Hyperbola. Předpoklady: 7507, 7512

Transkript

1 7.5.6 Hperbola Předpoklad: 7507, 75 Pedagogická poznámka: Na první pohled se nezdá, že b hodina bla příliš zaplněná, ale kreslení obrázků studentům (spíše studentkám) docela trvá. Je dobré vsvětlit, že ne každý obrázek v učebnici, musí mít zvlášť i v sešitě a hlavně, že lepší je trochu ledablý obrázek se vším, co má obsahovat, než nehotová superkresba. Já osobně beru kreslení obrázků jako nácvik schopnosti rozlišovat podstatné a nepodstatné věci. Hperbola po elipse a parabole třetí (a poslední) tp kuželosečk. Hperbolu už známe jako graf funkce = Jak souvisí hperbola s našimi definicemi kuželoseček pomocí vzdáleností? Př. : Vpočti libovolný bod ležící na hperbole dané funkcí = a pomocí kalkulačk ověř, že absolutní hodnota z rozdílu jeho vzdáleností od bodů F ; a ; se rovná. Například pro = platí: Určujeme vzdálenosti: = = = bod [ ; ] K je bodem hperbol. KF = ( ) + ( ) = = 6 0,5858 K = ( + ) + ( + ) = = 6 + 3,,88 = 3, 0, 5858 Zkusíme ještě jeden bod: 3 Například pro = platí: 3 = = = bod L 3 ; 3 je bodem hperbol. 3

2 Určujeme vzdálenosti (rovnou počítáme na kalkulačce): LF L 3 = + 0, = , ,88 = 3,5809 0, 755 Pro oba zvolené bod vztah pro vzdálenosti platí. Pedagogická poznámka: Téměř nezbtnou podmínkou pro vřešení předchozího příkladu je schopnost zadat do kalkulačk výraz najednou. Milovníci mezivýpočtů si užijí. Při výuce ve třídě počítáme vžd alespoň šest různých bodů. Př. : (BONUS) Ukaž, že graf funkce = je totožný s množinou všech bodů, jejichž absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od bodů F ; a ; se rovná. Při výpočtu vzdáleností budeme určitě dostávat komplikované výraz zatím nebudeme dosazovat do rovnice pro = a dosadíme pouze X [ ; ]. Podmínka: XF X =. ( ) ( ) ( ) ( ) = na obou stranách kladná čísla můžeme umocnit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 8 Levou stranu si rozdíl na dva výraz, které budeme upravovat zvlášť: ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) Dále budeme upravovat jenom výraz pod odmocninou:

3 = = = = + + 6( ) Dosadíme pod odmocninu: ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( ) 6 Dosadíme do rovnice: = 8 + = / : ( ) 6( ) ( + ) = ( + ) + 6( ) + = + + obě stran rovnice jsou kladné umocníme: 0 = 6( ) = = získali jsme rovnici hperbol vztah pro vzdálenosti platí. Pedagogická poznámka: Obecný důkaz definice je označen jako BONUS schválně. Je časově náročnější a pro student méně přesvědčivý než, kdž si v příkladu sami spočítají konkrétní vzdálenosti. Př. 3: Na základě výsledků příkladu zformuluj planimetrickou definici hperbol. Při formulaci vužij planimetrickou definici elips. V rovině jsou dán dva různé bod, F. Množina všech bodů X rovin, pro které se X FX rovná danému kladnému číslu, které je menší než F, se nazývá hperbola. Bod, F se nazývají ohniska hperbol. Př. : Porovnej definici hperbol a definici elips a vsvětli příčinu rozdílů. Definice elips: V rovině jsou dán dva bod, F. Množina všech bodů X rovin, pro které se součet d = X + FX vzdáleností bodů X od bodů, F rovná danému číslu většímu než F, se nazývá elipsa. Bod, F se nazývají ohniska elips. Rozdíl: U hperbol je požadavek na různost bodů, F kdb bod, F splnul do jednoho, všechn bod rovin b od nich měl stejnou vzdálenost rozdíl b všel nulový. U elips splnutí nevadí, dostaneme kružnici, která je jejím speciálním případem. 3

4 Jiný výraz spočtený ze vzdáleností od ohnisek jasné, jde o jinou křivku. Číslo získané z výpočtu musí být u hperbol menší než vzdálenost ohnisek jinak b mezi bod hperbol nenáležel žádný bod mezi ohnisk (u elips musí být součet vzdáleností větší než vzdálenost ohnisek, jinak b podmínku nesplňoval žádný bod rovin). Pedagogická poznámka: S příkladem 3 příliš nečekám. Pro většinu studentů je nad jejich síl (a hlavně odvahu) a zamšlení nad příkladem je pro ně větším přínosem. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad sleduje dva cíle. Jednak jde o nácvik sestavování definic, kde b si studenti měli uvědomit, že každé slovo má svůj význam. Není nutné přeříkat definici doslova, ale je nutné ní obsáhnout všechn význam. Druhým cílem je zdůraznění podobnosti hperbol a elips, která má význam zejména při přípravě na čtvrtletní práci, která shrnuje celou látku kuželoseček a logické zapamatování studentům přípravu může velice usnadnit. Zkusíme podobně jako u elips prozkoumat vlastnosti hperbol. Zdá se, hperbola bude souměrná podle přímk F. K F Bohužel náš obrázek se značně liší od dosavadních obrázků všech kuželoseček osa F je nakřivo zkusíme ho natočit tak, ab odpovídal našim zkušenostem a bla vodorovná otočíme ho podle směru hodinových ručiček o K F - - Osa hperbol (přímka F) je nní totožná s osou. Kromě hperbol a bodů, F a K jsme otočili i původní os souřadnic, které se přetočili do přímek = a =. Hperbola se k nim blíží, ale nikd se jich nedotkne, nazýváme je asmptot hperbol.

5 Př. 5: Urči souřadnice bodů, F a K po otočení, Při otočení se nemění vzdálenost od počátku, -ové souřadnice otočených bodů jsou nulové -ové se rovnají vzdálenosti původních bodů od počátku. KO = k + k = + = nové souřadnice bodu K ;0. FO = f + f = + = nové souřadnice bodu F [ ;0]. Bod má souřadnice: [ ;0] (je s bodem F souměrný podle počátku). Stejně jako u elips můžeme ke každému bodu hperbol nají další tři, které jsou s ním buď osově nebo středově souměrné. X - - S F - X 3 - X X Pedagogická poznámka: Obrázek souměrností si studenti nekreslí. Následující obrázek promítnu, nechám student nakreslit a terminologii, poté sestavujeme společně. Obrázek si nakreslíme ještě jednou a sjednotíme si terminologii: e b B F e a - - S A - - 5

6 Terminologie: bod, F ohniska hperbol přímka F hlavní osa hperbol osa úsečk F vedlejší osa hperbol bod S střed hperbol bod A, B hlavní vrchol hperbol vzdálenost S = FS = e - výstřednost (ecentricita) hperbol vzdálenost AS = BS = a - hlavní poloosa hperbol vzdálenost b - vedlejší poloosa hperbol Jak se liší hperbola od elips? Hperbola nemá vedlejší vrchol, naopak má asmptot. Vedlejší poloosu uvádíme schválně (i kdž neeistují vedlejší vrchol): S její pomocí můžeme snadno vjádřit rovnice asmptot. b Směrnice asmptot je dána pravoúhlým trojúhelníkem s odvěsnami a, b k = ± a b b rovnice asmptot: =, =. a a Pro velikosti poloos a ecentricitu platí podobný vztah jako u elips (opět je vidět z pravoúhlého trojúhelníku): e = a + b. Př. 6: Urči u nakreslené hperbol velikosti poloos a ecentricitu. Ověř platnost vztahu e = a + b. Z obrázku je vidět, že platí: e = (-ová souřadnice bodu F), a = (-ová souřadnice bodu A), b = (asmptotou je přímka = a vznačený trojúhelník je ted rovnoramenný). Dosadíme do vztahu e a b = + : ( ) ( ) = + =. Pedagogická poznámka: Předchozí příklad není zbtečný. Jak už to v podobných příkladech bývá, teprve při řešení příkladu vezmou mnozí na vědomí to, co si před chvilkou zapisovali a pracně zjišťují, kde mají tu ecentricitu najít. Hperbolu, pro kterou platí a = b (poloos jsou shodné), nazýváme rovnoosá hperbola. k Pouze rovnoosé hperbol otočené o 5 je možné zapsat jednoduchou rovnicí =. Pedagogická poznámka: Není nutné stihnout následující příklad. Začátek příští hodin obsahuje dva podobné, které jsou vužité dalším průběhu hodin. 6

7 Př. 7: Nakresli obrázek, vpočti souřadnice vrcholů, ecentricitu a urči rovnice asmptot hperbol se středem v počátku soustav souřadnic, pokud je její hlavní osa totožná s osou a platí pro ni a =, b =. e a b e = + = + = 5 B ;0. Vrchol: [ ;0] A, [ ] Ohniska: 5;0, F 5;0. Rovnice asmptot: =, =. F - -B A - - Pedagogická poznámka: Poměrně často se studenti snaží dělat asmptot navzájem kolmé, další studenti mají problém je nakreslit. Př. 8: Petáková: strana 6/cvičení a) c) d) Shrnutí: Hperbolu tvoří bod, které mají konstantní rozdíl vzdáleností od ohnisek. 7