Vedení tepla v MKP Stacionární úlohy (viz dále) Konstantní tepelné toky Analogické úlohám statiky v mechanice kontinua Nestacionární úlohy (analogické dynamice stavebních konstrukcí) 1
Základní rovnice vedení tepla (1) E in + E gen = U + E out (1) E in... teplo vstupující do úlohy ([W h], [J]), E gen... teplo generované vnitřním zdrojem ([J]), U... změna energie ([J]), E out... vystupující teplo ([J]). 2
Základní rovnice vedení tepla (2) q x A dt + Q A dx dt = U + q x+dx A dt (2) q x... teplo vstupující do úlohy na okraji x (tepelný tok), ([W/m 2 ]), q x+dx... teplo vstupující do úlohy na okraji x + dx ([W/m 2 ]), t... čas ([s]), Q... vnitřní zdroj ([W/m 3 ]), A... plocha kolmá na tepelný tok ([m 2 ]). q x x A dx A q x+dx 3
Fourierův zákon (1) q x = λ x T x (3) q x... tepelný tok (teplo vstupující do úlohy), ([W/m 2 ]), λ x... tepelná vodivost [W/(m K)] T... teplota T x = g x... tepelný gradient [K m 1 ] 4
Fourierův zákon (2) Taylorův rozvoj (1. člen): f x+dx = f x + df x dx, (4) dx tedy z (4) plyne: q x+dx = [ λ x dt dx + d dx ( ) ] dt λ x dx dx (5) 5
Změna energie U U = c (ρ A dx) dt (6) c... měrná tepelná kapacita ([(W h)/(kg K)]) ρ... objemová hmotnost (kg/m 3 ) 6
Rovnice nestacionárního vedení tepla Dosazením výrazů a do základní rovnice q x + dx = U = c (ρ A dx) dt [ λ x dt dx + d dx ( ) ] dt λ x dx dx q x A dt + Q A dx dt = U + q x+dx A dt získáme rovnici nestacionárního vedení tepla: ( ) d dt λ x + Q = cρdt dx dx dt (7) 7
Rovnice stacionárního vedení tepla Úpravou předchozí rovnice d dx ( ) dt λ x dx + Q = cρdt dt získáme rovnici stacionárního vedení tepla: ( ) d dt λ x + Q = 0 (8) dx dx 8
Maticový přepis vztahů pro stacionární případ Pro 2D úlohu můžeme napsat vztahy pro teplotní gradienty ve tvaru ε = T: { gx g y } = [ x y ] { T }, (9) což lze chápat jako analogii geometrických rovnic v mechanice. Dále můžeme zřejmě Fourierův vztah přepsat ve tvaru: q = Dε: { } [ ] { } qx 1 0 gx = λ, (10) 0 1 q y což je analogií k fyzikálním rovnicím v mechanice. Potenciální energie vnitřních sil potom můžeme zapsat jako: Π = 1 2 V εt qdv = 1 2 g y V εt D εdv (11) 9
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (1) y T3 3 Neznámé parametry deformace: u, v v každém uzlu. T1 1 2 T2 x Tj. celkem tři neznámé uzlové parametry: T = {T 1, T 2, T 3, } T. 10
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (5) Aproximace neznámých teplot: T (x, y) = a 1 x + a 2 y + a 3 (12) Maticově (T = U a): { T } = [ x y 1 ] a 1 a 2 a 3 (13) 11
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (2) Aproximace neznámých uzlových teplot v uzlech 1, 2, 3 (r = S a): T 1 T 2 T 3 = x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 a 1 a 2 a 3 (14) 12
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (3) Kombinací vztahů ε = T T a T = U a vznikne ε = B a, kde B = T U: { gx g y } = x 0 0 y [ x y 1 ] a 1 a 2 a 3, (15) tedy:. { gx g y } = [ 1 0 0 0 1 0 ] a 1 a 2 a 3 (16) 13
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (4) Z r = S a plyne: a = S 1 r, kde S 1 má tvar: S 1 = y 2 y 3 y 3 y 2 y 1 y 3 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 (y 2 y 3 ) + x 2 (y 3 y 1 ) + x 3 (y 1 y 2 ). (17) Pak: ε = B S 1 r. ε = y 2 y 3 y 3 y 2 y 1 y 3 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 x 1 (y 2 y 3 ) + x 2 (y 3 y 1 ) + x 3 (y 1 y 2 ) T 1 T 2 T 3. (18) 14
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (5) Potenciální energie vnitřních sil : Π = 1 2 V εt qdv = 1 2 V εt D εdv Po dosazení z jednotlivé matice je možné psát: Π i = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r T (19) Stručně: Π i = 1 2 rt K r (20) 15
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (6) Potenciální energie vnějších sil : kde Q je vektor tepelných toků: Π e = V QT dv, (21) Q = q 1 q 2 q 3 (22) 16
Odvození konečného prvku pro stacionární problém (7) Můžeme napsat známý vztah K r = F, (23) kde F je vektor zatížení a K... matice tuhosti konečného prvku: K = V S 1T B T D B S 1 d V. (24) Protože všechny matice v integrálu obsahují jen konstanty, můžeme psát: kde t... tloušt ka konečného prvku. K = t A S 1T B T D B S 1, (25) 17
Převod teplot do statiky Vypočítané rozložení teplot (změn teplot) můžeme využít jako teplotní zatížení ve statických výpočtech. Zřejmě platí: ε = α T α T 0, (26) kde T je změna teploty oproti výchozímu nenapjatému stavu a α je součinitel teplotní roztažnosti ([m/k]). Potom napětí od změny teploty budou: σ = D ε, (27) a protože ε = B S 1 r, uzlové síly prvku F: F = t A S 1T B T D ε (28) 18
Příklad: Analýza stěny metodou konečných prvků (1) Stanovte průběhy napětí σ x a σ y na stěně. Úlohu řešte metodou konečných prvků, použijte konečný prvek odvozený na minulé přednášce. Tloušt ka stěny o rozměrech 1 0, 5 m je konstantní a má velikost t = 0.1m, modul pružnosti použitého materiálu je E = 20 GP a, Poissonův součinitel má velikost 0.2, součinitel teplotní roztažnosti α = 1 10 6 m/k. Stěna je zatížena teplotou 5 K na spodní okraji a +10 K na horním okraji. Vypočtené rozdělení teplot použijte jako zatížení stěny vetknuté na levém okraji 19
Příklad: Statická analýza stěny MKP (2) 20
Příklad: Analýza stěny (teplota) (3) 21
Příklad: Analýza stěny V dalším výpočtu využijeme vypočtené rozložení teplot na stěně jako zatížení stěny na levém okraji vetknuté. 22
Příklad: Analýza stěny (σ x ) (5) 23
Příklad: Analýza stěny (σ y ) (6) 24
Příklad: Analýza stěny (τ xy ) (7) 25