METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0003 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického listu: ZLOMKY (Zlomek jako racionální číslo)
Název příspěvku Jméno autora Stručná anotace Očekávaný výstup vzhledem k RVP ZV Rozvíjené klíčové kompetence Průřezové téma Zlomek jako racionální číslo Mgr. Martin Choutka Celek a jeho část Zlomky na číselné ose Rozšiřování zlomků Krácení zlomků Porovnávání zlomků Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla Žák umí číst a správně používat pojem zlomek, zobrazit zlomky na číselné ose porovnat dva zlomky převést desetinné číslo na zlomek a naopak převést smíšené číslo na zlomek, uvést daný zlomek na základní tvar užívat zlomky při řešení praktických situací zobecňovat principy platící v matematice a využívat informační a komunikační technologie Kompetence k učení volí různé postupy při řešení reálné situace aplikuje znalosti a dovednosti v ostatních vyučovacích předmětech a v reálném životě Kompetence komunikativní přesně vyjadřuje myšlenky pomocí matematického jazyka rozvíjí komunikaci při řešení problému je schopen argumentace a diskuse při obhajování svých názorů Kompetence k řešení problémů provádí rozbor úloh vytváří plán řešení odhaduje výsledek řešení ověřuje způsob a postup řešení rozvíjí samostatné uvažování vyvozuje logické závěry Kompetence sociální a personální je zodpovědný za řešení problému Člověk a svět práce práce s informacemi vyhledávání a hodnocení dosažených výsledků skupinová diskuse při řešení problémů
obhájení vlastního návrhu řešení Informační a komunikační technologie vyhledávání, zapisování a zakreslování výsledků úloh Organizace časová Nutné pomůcky a prostředky Použitá literatura a zdroje Poznámka 1 vyuč. hodina - Celek a jeho část 1 vyuč. hodina - Zlomky na číselné ose 2 vyuč. hodiny - Rozšiřování zlomků 2 vyuč. hodiny - Krácení zlomků 2 vyuč. hodiny - Porovnávání zlomků 1 vyuč. hodina - Zlomky a desetinná čísla 1 vyuč. hodina - Smíšené číslo 2 vyuč. hodiny Shrnutí a procvičení Rýsovací potřeby a pomůcky, barevné fixy, nůžky, počítač s internetem nebo nainstalovaným softwarem, interaktivní tabule. Odvárko Kadleček, Matematika 1. pro 7. ročník ZŠ, Prometheus J.Trejbal,D.Jirotková,V. Sýkora, Matematika 1. díl pro 7. ročník ZŠ, SPN www.rvp.cz Pomůcky mohou být rozšířeny o hrací kostky, provázek, kolíčky na prádlo, čtvrtky a další potřeby použité na uvedené hry.
Úvodem Metodický list Zlomky by měl posloužit jako návod či inspirace pro výuku kapitol, které se týkají zavedení pojmu zlomku, jeho správné pochopení a jako příprava žáka na následné téma Počítáme se zlomky. Cílem metodického listu je snaha souborně navrhnout, jak toto téma uchopit a předat žákům na základní škole. Doporučuji vyučujícím, aby využili k práci nejen učebnici, ale i již hotové prezentace na uvedených internetových adresách a hlavně zapojili žáky aktivně do objevování a poznávání formou her a ročních prací překládání listů papíru, vystřihování apod. Stejně tak jako metodiku je potřeba neustále měnit a střídat frontální výuku se skupinovou prací a samostatnou prací, měnit neustále složení skupin a jejich početnost. Doporučuji využít přirozené soutěživosti žáků tohoto věku a vnášet do výuky vlastní odvážné nápady a vlastní kreace v návaznosti na očekávané výstupy. Vycházíme ze známé představy zlomky jako části celku. Poznatky o zlomcích rozšiřujeme v těchto směrech: zobrazení zlomků na číselné ose, rozšiřování a krácení zlomků, porovnávání zlomků podle velikosti, převodní vztahy mezi zlomkem, desetinným číslem a smíšeným číslem. Metodický list má několik částí: 1. Celek a jeho část 2. Zlomky na číselné ose 3. Rozšiřování zlomků 4. Krácení zlomků 5. Porovnávání zlomků 6. Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla
1. Celek a jeho část V tomto článku zavádíme (připomínáme) pojem zlomku jako části celku a termíny čitatel, jmenovatel, zlomková čára. Nabízejí se zde různé varianty úloh: Hry na čtení zápisu zlomku házení dvěma hracími kostkami a zapisování bodů ve tvaru zlomku a zpětné hlasité čtení zapsaných zlomků Na natažený provaz zavěsí každý žák svůj zápis zlomku a přečte jej Rozdělení archu papíru na části - poloviny, čtvrtina, osminy vybarvování počtu částí a následný zápis Příklad: Jak velká část je vybarvená? Příklad: Přelož list papíru čtyřikrát, pak jej rozlož a vybarvi 3 vzniklá políčka. Jak velkou část jsi vybarvil? Krájení ovoce na předem určené části Příklad: Oloupej pomeranč a rozděl jej na jednotlivé dílky. Vyjádři zlomkem velikost jednoho dílku.
Model hodin část hodiny vyjádřená minutami a zlomkem, část dne vyjádřená hodinami a zlomkem Příklad: Kolik minut je čtvrt hodiny? Diktát slovního vyjádření zlomků učitel diktuje, žák zapisuje matematickou formu zlomku Lze měnit počet dílů nebo velikost zbylé části dortu Čtverečkovaný, nebo linkovaný papír vybarvování částí Všechny úlohy jsou zaměřeny na čtení, zápis a definování pojmu zlomek a jeho pochopení. Zdůrazňujeme: - Zlomky, ve kterých je čitatel nula, se rovnají nule. - Zlomky, ve kterých se rovná čitatel jmenovateli, jsou rovny jedné. - Jmenovatel zlomku musí být rovný číslu od nuly. Upozornění: Zápis zlomku je graficky velice náročný. Dbáme proto na dokonalost zápisu i u žáků se specifickými poruchami učení. Hotové prezentace a materiály vytvořené kolegy. http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-1-zakladni-pojmy.html http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-pracovni-listy.html http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-3.html http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-na-zs-2.html
2. Zlomky na číselné ose Soustředíme se na dva základní úkoly: - určit zlomek, jehož obraz je na číselné ose - zobrazit daný zlomek na číselnou osu Varianty úloh: - Všechny úlohy musí souviset s číselnou osou, proto je nutné, aby žáci měli neustále číselnou osu na očích. - Žáci si připraví větší obrázek číselné osy a výraznou značku (šipku). Sami modelují umístění zlomků na číselné ose. - Posouvání magnetické šipky po číselné ose na magnetické tabuli. - Natažený provázek přes šířku učebny, vyznačená nula a jednička (dvojka, trojka). Každý žák si vylosuje kartičku se zlomkem a jde jej pověsit jako prádlo na šňůru na správné místo na číselné ose. - Úlohy na připomenutí převodních vztahů mezi délkovými (hmotnostními) jednotkami. Lze použít tyčový metr. Příklad: = cm = cm = cm = g = g = g - Příklady z běžného života modelované pomocí hraček. Příklad: Turista ušel 12 km a má za sebou 4 3 cesty. Kolik mu ještě zbývá do cíle? Dva turisté jdou proti sobě (dva automobily jedou proti sobě), každý ujde část trati. Vyjádři v kilometrech a zlomkem. Upozornění: Žáci si musí uvědomit, že zlomek je ZPŮSOB ZÁPISU ČÍSLA.
3. Rozšiřování zlomků Cílem je naučit žáky formálně rozšiřovat zlomky a dovést je k pochopení, že hodnota zlomku se při rozšiřování nemění. Nemalý důraz je nutné klást také na správnou terminologii. Žáci mají tendenci zaměňovat pojem rozšiřování za násobení. Varianty úloh - Žáci si na modelech ověří, že jsou zlomky, které vyjadřují stejnou hodnotu. Příklad: Vybarvi 1 ; 3 2 ; 6 3 9 Příklad: Vybarvi 1 ; 3 2 ; 6 3 9 Lze použít náměty z kapitoly 1.
Na modelu hodin se dostaneme od čtvrtiny až na šedesátiny. Důležité jsou úlohy, které se neustále vracejí k definici rozšiřování zlomků čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem.
Testy jsou ideální jako doplňovačky. Příklad: Doplň chybějící čitatele a jmenovatele tak, aby se hodnota zlomku nezměnila. 4. Krácení zlomků Cíle jsou podobné jako v tématu o rozšiřování zlomků. Situace je však složitější v tom, že každé číslo, kterým krátíme zlomek, musí být společným dělitelem čitatele i jmenovatele. Je proto velice účelné připomenout si znaky (kritéria) dělitelnosti (dvěma, třemi, pěti a deseti) a na příkladech připomenout pojem společný dělitel a algoritmus jeho hledání. Doporučuji nejprve používat otázku: Kterými čísly můžeme dělit čitatele a kterými čísly můžeme dělit jmenovatele? A až následně se ptát: Kterými čísly můžeme dělit čitatele i jmenovatele? Příklad: Doplň čísla na místo otazníků tak, aby mezi zlomky platila rovnost. Doporučuji: Připomenout žákům, že číslo 1 není ani složené číslo, ani prvočíslo. Připomenout pojem nesoudělná čísla. Metody samotného krácení zlomků směřujeme vždy k přehlednosti, praktičnosti a rychlosti provedení. Není potřeba rozepisovat krácení (dělení) do mnoha kroků např.:
Je možné použít škrtání a nadepisování nových čitatelů a nových jmenovatelů i do několika vrstev (pater). Vedeme však žáky k úhlednému a čitelnému škrtání a zapisování nových hodnot, aby neztratily přehled. Pojem ZLOMEK V ZÁKLADNÍM TVARU nemusíme nijak zvlášť definovat, žáci sami pochopí konečnost krácení a stav nesoudělnosti čitatele a jmenovatele. V ten moment je dobré ukázat, že každé přirozené číslo můžeme napsat jako zlomek se jmenovatelem 1. Při aplikaci některých úloh na rozšiřování a krácení zlomků můžeme narazit na úlohy velice podobné formálnímu řešení rovnic. Není dobré zmiňovat pojem rovnice ani naznačovat jiné způsoby řešení než násobení a dělení čitatelů a jmenovatelů. Příklad:
Hotové prezentace a materiály vytvořené kolegy. http://dum.rvp.cz/materialy/kraceni-zlomku.html http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-2-rozsirovani-a-kraceni.html http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-rozsirovani-kraceni-7-rocnik.html http://dum.rvp.cz/materialy/rozsirovani-a-kraceni-zlomku.html Různé pomůcky již připravené (listy na rozstřihání) http://dum.rvp.cz/materialy/zlomek.html 5. Porovnávání zlomků Žáci si v této kapitole mají osvojit aritmetický postup při porovnávání zlomků a geometrickou představu o vzájemné pozici většího a menšího zlomku na číselné ose. Při zápisu používáme výhradně značky <, >. A. Porovnávání zlomků se stejnými jmenovateli Je celkem jednoduché, protože při dobrém zvládnutí předchozího učiva žáci snadno vyvodí pravidlo o poloze menšího zlomku vzhledem k většímu. Menší zlomek je na číselné ose znázorněn vlevo od většího zlomku. Příklad: Pro názornost opět použijeme nataženou prádelní šňůru, kolíčky a kartičky se zlomky. Každý žák si napíše svůj zlomek a sám jej pověsí do řady. Celou sestavu pak společně zapíší od nejmenšího po největší a mezi zlomky použijí značky <. B. Porovnávání zlomků s různými jmenovateli Připomeneme pravidla o rozšiřování zlomků a to, že se hodnota zlomku při rozšiřování nemění. Představíme pojem SPOLEČNÝ JMENOVATEL. Převáděním zlomků na společného jmenovatele se dostaneme k problému porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem. Doporučení: Od samého začátku seznámení se s problematikou společného jmenovatele je nutné dbát na precizní formulaci. Společný jmenovatel není stejný jmenovatel. Žákům se to bude plést. Jednoduché zdůvodnění je např.: Se stejným jmenovatelem se zlomek narodil, ale společného jmenovatele získal až od nás. Na závěr této kapitoly je zařazeno téma < 1 a > 1. Opět se vrátíme k samotné podstatě zlomku jeho definici a žáci sami vyvodí závěr:
Když je čitatel zlomku větší než jmenovatel, je hodnota zlomku větší než jedna. Když je čitatel zlomku menší než jmenovatel, je hodnota zlomku menší než jedna. Nezavádíme zde však ještě pojem smíšeného čísla, to je součástí následující kapitoly. Hotové prezentace a materiály vytvořené kolegy. http://dum.rvp.cz/materialy/zlomky-5-porovnavani.html http://dum.rvp.cz/materialy/porovnavani-zlomku- 3.htmlhttp://dum.rvp.cz/materialy/porovnavani-zlomku.html Hra http://dum.rvp.cz/materialy/hra-5-porovnavani-zlomku.html 6. Zlomky, desetinná čísla a smíšená čísla V této části se soustředíme na upevnění a rozšiřování znalostí převodních vztahů mezi různými způsoby zápisů racionálních čísel. Jsou zavedeny termíny desetinný zlomek a smíšené číslo. Na úlohách z reálného života ukážeme opodstatněnost zavedení termínu smíšené číslo. Pokud žáci učivo o desetinných číslech pozapomněli, je účelné se v průběhu probírání tématu vracet k příkladům z 6. třídy. Doporučuji soustředit se především na zápisy desetinných čísel (formou diktátu) a jejich čtení (využít projekci). Není potřeba zdůrazňovat žádné metodické prvky. Toto téma je hlavně o velkém množství přečtených a zapsaných racionálních číslech jak ve tvaru desetinného čísla, tak ve tvaru zlomku se jmenovatelem 10,100, 1000, 10 000. Chceš vyjádřit zlomek desetinným číslem? Převeď ho (rozšiřováním a krácením) na desetinný zlomek a ten zapiš jako desetinné číslo. Chceš vyjádřit zlomek desetinným číslem? Vyděl čitatele jmenovatelem. ZLOMEK JE NAZNAČENÉ DĚLENÍ. Tako část kapitoly je velice vhodná pro uvedení příkladů a úloh, v nichž použijeme převodní vztahy jednotek délky ( mm, cm, m, km ), hmotnosti (g, dkg, kg, t) a objemu (l, hl). Fyzikální jednotky délky, hmotnosti a objemu lze využít i při modelování SMÍŠE- NÉHO ČÍSLA. Smíšená čísla se dají velice snadno modelovat také v údajích času.
SMÍŠENÍ ČÍSLO je číslo, které je zapsané pomocí přirozeného čísla a zlomku menšího než 1. Příklad Vrcholem jsou pak převody smíšeného čísla na zlomek a zlomek na smíšené číslo. Položme žákům otázku: Kolik polovin je 1 celá, kolik polovin jsou 2 celé a kolik polovin jsou 3 celé? Cílem těchto kapitol je uvést žáka do problematiky zlomků co nejjednodušší formou. Zvolením názorných a hravých metod ušetříme čas a zapojíme žáka aktivně do procesu výuky. V tématu ZLOMKY je mnoho pojmů, které jsou pro žáka nové a neznámé. Klademe zde důraz na správná pojmenování: CELEK, ČÁST, ČITATEL, JMENOVATEL, STEJNÝ JMENOVATEL, SPOLEČNÝ JMENOVATEL, SMÍŠENÉ ČÍSLO a mnoho dalších. V následujících tématech se nám tento důraz jedině vyplatí. Než začneme sčítat, doporučuji rozšiřující učivo výpočet zlomku z celku. Hotové prezentace a materiály vytvořené kolegy. http://dum.rvp.cz/materialy/vypocet-zlomku-z-celku.html Následuje POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY. Je to natolik průřezové téma, že jej musí zvládnout všichni žáci bez výjimek. Matematické dovednosti se musí stavět jako pyramida. Dlouho, pracně a poctivě.