LOGISTICKÉ SYSTÉMY Dr. Ing. Tomáš Šubrt

LOGISTICKÉ SYSTÉMY Dr. Ing. Tomáš Šubrt Orientační sylabus Typologie logistických systémů, makrologistika, mezologistika, mikrologistika Kvantitativní a kvalitativní přístupy v logistice, přehled problémů Logistické řetězce a jejich typy Zásobovací systémy a zásobovací logistika Dopravní logistika dopravní systémy, dopravní sítě, formalizační aparát Základní úlohy v dopravních systémech a jejich klasifikace Optimalizace v dopravních sítích I optimální spojení míst, vícestupňové úlohy Optimalizace v dopravních sítích II optimální spojení míst, vícerozměrné úlohy Optimalizace v dopravních sítích II dopravní obslužnost Dopravní komplety, vytěžování a shromažďování Dopravní proudy, kinematika a interakce Výrobní logistika I Výrobní logistika II uplatnění modelů teorie obnovy a teorie front Logistický systém firmy a meziodvětvová logistika Doporučená literatura: 1. Daganzo, C.F.: Logistic Systems Analysis, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2005 2. Kosková, I,: Distribuční úlohy I, ČZU Praha, 2004 3. Lambert, J., Stock, J.R., Ellram, L.: Logistika, CP Books, Brno, 2005 4. Pernica, P.: Logistický management, Radix, Praha 1998 5. Schulte, Ch.: Logistika, Victoria Publishing, Praha, 1994 6. Sixta, J., Mačát, V.: Logistika, teorie a praxe, CP Books, Brno, 2005 7. Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.: Teorie Dopravy, ČVUT Praha, 1997 Podmínky absolvování Alespoň 60% ze 2 zápočtových testů Skupinová případová studie Pojem LOGISTIKA Termín logistika měnil v historii význam 1591 l. numerosa vs l. speciosa (počítání s číslicemi vs počítání s písmeny) G.W. Leibnitz (1646-1716) matematická logika 1904 Ženevský filosofický kongres symbolická logika 60. Léta 1) symbolická logika, 2) týlové zabezpečení Novodobý systémový pohled (kořeny logistiky ve vojenství) Řetězec operací probíhající v prostoru a čase, za pomocí fungujících toků informací

Organizace, plánování a výkon toků zboží vývojem a nákupem počínaje, výrobou a distribucí podle objednávky finálního zákazníka konče tak, aby byly splněny požadavky trhu při minimálních nákladech a minimálních kapitálových výdajích (Evropská logistická asociace) Logistika je řízení materiálového, informačního i finančního toku s ohledem na včasné splnění požadavků finálního zákazníka a s ohledem na nutnou tvorbu zisku v celém toku materiálu. Při plnění potřeb finálního zákazníka napomáhá již při vývoji výrobku, výběru vhodného dodavatele, odpovídajícím způsobem řízení vlastní realizace potřeby zákazníka (při výrobě výrobku), vhodným přemístěním požadovaného výrobku k zákazníkovi a v neposlední řadě i zajištěním likvidace morálně i fyzicky zastaralého výrobku (Sixta 2005) Úkolem logistiky je: řídit oběh, jako hmotné spojení mezi výrobou a spotřebou, jakož i spojení ve výrobě samé. Úkolem logistiky je: postarat se, aby bylo k dispozici správné zboží či služba, se správnou kvalitou, u správného zákazníka, ve správném množství, na správném místě, ve správném okamžiku a to s vynaložením přiměřených nákladů (Pravidlo 7s. Resp. seven Rs) Logistický řetězec (Pernica, 1998)

Cíle logistiky Vnější vs vnitřní (vzhledem k firmě) Výkonová vs ekonomická složka Vnější cíle: zvyšování objemu prodeje, zkracování lhůt dodání, zlepšování spolehlivosti dodávek, zvýšení pružnosti Vnitřní cíle (při dodržení vnějších): snižování nákladů na zásoby, dopravu, manipulaci, sklady, výrobu, řízení Logistické priority Logistické komponenty Business logistics - podniková logistika Channel management - řízení (distribučních) kanálů Distribution - distribuce Industrial logistics - průmyslová logistika Logistical management - logistické řízení Materials management - řízení materiálů Physical distribution - distribuce zboží (fyzická) Quick-response systems - systémy "rychlé odezvy" Supply chain management - řízení zásobovacích/dodávkových řetězců Supply management - řízení zásobování Logistic systems - logistické systémy Logistické činnosti Customer service - Zákaznický servis Demand forecasting (planning) - Prognózování (plánovánání) poptávky Inventory management - Řízení stavu zásob Logistics communications - Logistická komunikace Material handling - Manipulace s materiálem Order processing - Vyřizování objednávek Packaging - Balení Parts and service support - Podpora servisu a náhradní díly Stanovení místa výroby a skladování - Plant and warehouse site selection.

Členění logistiky dle Pfohla a Baumanna dle Krampeho

Členění logistiky (nejčastější) Logistické řízení Proces plánování, realizace a řízení toku a skladování služeb a souvisejících informací z místa vzniku do místa spotřeby Integrální součástí je řízení oblasti materiálu (správa surovin, součástí, obalů ) Složky logistického řízení (Lambert, Stock Elram, 2005)

Oblast vlivu logistiky (Sixta, Mačák, 2005)

Logistický systém Distribuční systémy (doprava, rozdělování, přiřazování) Lokační a alokační systémy (kolik a kam) Skladové systémy Systémy hromadné obsluhy Cílem všech LS minimalizace nákladů minimalizace času Charakteristické rysy řešení problémů LS Složitost, velké množství proměnných (exogenních i endogenních) nutnost generalizace Multidisciplinarita Obvykle NP úplné Stochastické rysy Aplikace suboptimálních řešení Strategická až taktická úroveň řízení Distribuční systémy 1 to 1 1 to n 1 to n over m n to n over m Co? Odkud? Kam? Kdy? Jak? Čím? Základní kalkulace PŘÍKLAD Hypotetická společnost vyrábí počítače, rádia a televize. Celkově disponuje 100 odbytovými centry ve střední části USA. Střediska výroby jsou umístěna v Green Bay (počítačové moduly) Indianopolis (monitory, klávesnice, TV) Denver (příslušenství) Před vlastním prodejem musí být počítače ještě zkompletovány. Tato kompletace se může provádět buď V distribučním centru Nebo ve skladu (logistickém středisku) poblíž Indianopolis Parametry výrobků Typ Cena Hmotnost Počítač 300 $ 5 lbs TV (monitor+kláv) 400 $ 10 lbs Příslušenství 100 $ 30 lbs Parametry přepravy Nosnost kamionu: Náklady: Průměrná přepravní vzdálenost: 30 000 lbs 1 $ / míle 1000 mil

Parametry skladování Denní náklad: 0,06% z ceny výrobku za pracovní den 1 rok = 250 pracovních dní, tedy 15% ročně Parametry odbytového centra Denní požadavek: 10 ks (PC modulů, TV, klávesnic, monitorů, příslušenství) tj. 2500 ročně Cíl: Minimalizace logistických nákladů Dvě elementární strategie - Přímá distribuce od výroby do odbytové centra (OC) plnými kamiony bez zastávky - Svoz do skladu v Indianopolis a následný rozvoz do OC Strategie 1 bez využití skladu kamiony jedou až jsou plně obsazeny a) Přepravní náklady Frekvence dodávky = (požadavek OC*hmotnost)/kapacita kamionu z Green Bay = (2500*5)/30000 = 0,417 (=počet spojů za rok) z Denveru = (2500*30)/30000 = 2,5 z Indi = (5000*10)/30000 = 1,67 Přepravní náklady = počet OC*frekvence*prům. vzdálenost*cena za míli 100*(0,417+2,5+1,67)*1000*1= 460 000 $ b) Skladovací náklady Jednotkový náklad = (cena výrobku*roční podíl)/frekvence dodávky Green Bay = (300*0,15)/0,417= 108$ Denver = (100*0,15)2,5 = 6$ Indi = (400*0,15)1,67 = 36$ Skladovací náklady = počet OC*požadavek*jednotkový náklad 100*2500*108 + 100*2500*6 + 100*5000*36 = 46,5 mil $ c) Celkové logistické náklady Celkový náklad = přepravní náklad + skladovací náklad 465 000 + 46 500 000 = = cca 47 mil $ Strategie 2 Veškeré zboží je transportováno do skladu v Indi, kde je kompletováno. Poté rozvezeno do OC.

a) Přepravní náklady do skladu v Indi Přepravní náklady = počet OC*frekvence*prům. vzdálenost*cena za míli 100*(0,417+2,5)*1000*1 = 300 000 $ (pozor, bez Indi) b) Přepravní náklady ze skladu v Indi do OC (viz strategie 1) 460 000 $ Přepravní náklady celkem = 760 000 $ c) Skladovací náklady u výrobce Frekvence dodávky do skladu = (požadavek OC*počet OC* hmotnost)/kapacita kamionu z Green Bay do Indi= (2500*100*5)/30000 = 41 z Denveru do Indi= (2500*100*30)/30000 = 250 Jednotkový náklad = (cena výrobku*roční podíl)/frekvence dodávky Green Bay = (300*0,15)/41= 1,$ Denver = (100*0,15)/250 = 0,06$ Skladovací náklady u výrobce = počet OC*požadavek*jednotkový náklad 100*2500*1,1 + 100*2500*0,06 = 290 000 $ d) Skladovací náklady v Indi Frekvence dodávky do OC = (požadavek OC*celková hmotnost)/kapacita kamionu Celkem z Indi = (2500*(5+10+10+30)/30000 = 4,6 Jednotkový náklad = (cena výrobku*roční podíl)/frekvence dodávky Celkem = (300*0,15+2*400*0,15+100*0,15)/4,6 = 39$ Skladovací náklady = počet OC*požadavek*jednotkový náklad 100*2500*39 = 9,8 mil $ e) Celkové logistické náklady Celkový náklad = a) + b) +c) +d = cca 10,9 mil $ Smíšené strategie Strategie 3 optimální frekvence bez skladu Strategie 4 optimální frekvence s využitím skladu v Indi Strategie 5 optimální frekvence, kombinace 3,4

Logistické náklady Cíl: minimalizace všech typů LN LN závisí na: - množství materiálu - čase čas náklady snižuje i zvyšuje Dále na Místě, typu materiálu, frekvenci dodávek, typu dopravního prostředku.. Typy LN Náklady ve fázích řetězce přeprava (manipulace) od producenta do distribučního centra čekání na přepravu nakládání do dopravního prostředku vlastní transport vykládání a související manipulace čekání na spotřebu u zákazníka Pozn: stejné ve všech částech řetězce (např. dodavatel výrobce, výrobce sklad, sklad OC) Skladovací resp. udržovací náklady (holding costs) pronájem (rent) prostor, techniky, zařízení, bezpečnost čekání (waiting) zpoždění, penále, obětovaná příležitost, vázaný kapitál Přepravní náklady (motion costs) dopravní (transportation) v dopravním prostředku manipulační (handling) mimo dopravní prostředek Analýza typů nákladů Nezáleží nám na tom, kdo náklady hradí zda - výrobce (producent, dodavatel, zdroj.) - spotřebitel (zákazník, odběratel, cíl..) - někdo třetí dopravce, zprostředkovatel Skladovací náklady - Zboží je vyráběno i spotřebováváno (požadováno) s konstantní intenzitou D - Produkční i spotřební funkce (I a IV viz dále) jsou lineární a rovnoběžné 4 funkce zboží vyrobené (I)..produkce zboží vypravené resp. odeslaného (II) zboží doručené (III) zboží spotřebované resp. prodané (IV)

množství zboží I IV II III H3 H2 zelená plocha celková čekací doba u dodavatele modrá plocha celková čekací doba u zákazníka mezi plochami celkový přepravní čas D H1 t m D čas t m přepravní doba jednotky (každé, stejné za předpokladu FIFO) H i interval mezi dvěma dodávkami (odvozy), tedy doba čekání jedné dodávky na distribuci H 1 maximální interval mezi dvěma dodávkami (odvozy), tedy maximální doba čekání na distribuci Průměrná doba čekání jednotky na spotřebu (u výrobce, u zákazníka): w= H + t kde H = max H 1 m 1 Maximální akumulace v ks (stejná u dodavatele i zákazníka) max A = DH 1 { i } Náklady na pronájem Náklady na pronájem prostor, zařízení, obslužné a udržovací techniky atd. k zachování příslušného množství zboží v pokud možno nezměněné kvalitě za předpokladu lineárních vztahů mezi množstvím a časem = maximální akumulaci Klíčový parametr: c r. jednotková sazba za rok skladování (USD/y) CRC - roční náklady pronájmu (rent cost/year) CRC = c A r max

URC - jednotkové náklady pronájmu (rent cost/item) max URC = cra / D = crh1 Náklady čekání též nazývány náklady na zásoby (inventory cost) náklady na zboží za dobu mezi výrobou a spotřebou strávenou mimo dopravní prostředek Klíčový parametr: c i. sazba za čekání (skladování) jednotky zboží za CWC - roční náklady čekání (wait cost/year) UWC - jednotkové náklady čekání (wait cost/item) jednotku času (USD/y) CWC = ci * celková čekací doba za rok UWC = ci * průměrná čekací doba ( ) CWC = cdw i = ci D H1+ tm = cdh i 1+ cdt i m ( ) UWC = ciw = ci H1 + tm = cih1 + citm Význam a stanovení ci v případě transportu lidí hodnota času (value of time) jak stanovit?? v případě standardního zboží vázaný kapitál, tedy cena obětované příležitosti (oportunity cost) v případě zboží podléhajícího zkáze znehodnocení (fyzické, morální např. sezónní) Od jaké ceny odvodit π0... cena u výrobce π1... cena na trhu π1>>π0 Jaká je absorpční schopnosti trhu prodá se vše?? Při konstantní poptávce lze snížit tempo (intenzitu) výroby - nižší skladovací náklady Podmínkou je rovnoběžnost křivek I a IV Sklon I větší než sklon IV hromadění zásob Sklon I menší než sklon IV neuspokojení poptávky Úspora nákladů na jednotku Δ... redukce čekací doby

D Δ D Δ π 0 D Δπ 1 snížení objemu výroby úspora nákladů za jednotku času u výrobce (π 0 je přímo úměrné c i ) je-li trh schopen plné absorpce, tedy mimořádný důchod za jednotku Dopravní náklady vedle manipulačních jsou součástí přepravních nákladů (viz) lineární vztah mezi cenou a vzdáleností lineární vztah mezi množstvím a cenou u malého množství přepravy skokový nárůst diskrétní dopravní prostředky Klíčové parametry c f pevné náklady (např. mzda řidiče) závisí pouze na počtu přeprav c v v i variabilní náklady (závislost na čase a vzdálenosti spotřeba paliva) počet přepravovaných kusů (kompletů) v i té přepravě TTC celkové dopravní náklady obecně (resp. na jednu přepravu) TTC = c + c v f v

TTC n celkové dopravní náklady na n přeprav n ( ) UTC jednotkové dopravní náklady TTC = c + c v = c n+ c V kde V = v n f v i f v i= 1 n c UTC = c + c = + c V v DTC dopravní náklady za jednotku času f f v v i Průměrná velikost přepravy: - nepřímá úměrnost s UTC w v V = n Dopravní náklady lze analyzovat ve vztahu k Intervalům jízd (odvozu, přepravy) tedy (Headways) Vzdálenosti (Distance) Rozsahu (Size) Kapacita (Capacity restrictions) Způsob (Modes) DN ve vztahu k intervalům jízdy - DN klesají s průměrnou délkou intervalů (nezávislé na dílčích intervalech) - manipulační náklady rostou s maximálním intervalem - Přeprava by měla být co nejpravidelnější UTC nebotˇ c f f = = + v V= D H = D Hn v = D H i c D H c v DN ve vztahu ke vzdálenosti Základní typ závislosti Připomenutí: JDU a VDU, lokační a alokační problém, dimenzování (mezi) skladů Klíčové parametry c d náklady na jednotku vzdálenosti (distance cost) c s náklady při zastavení (stopping costs)

c d dodatečné náklady na jednotku vzdálenosti c s dodatečné náklady při zastavení např. pokuta za zpoždění d vzdálenost (distance) TTC n cf = cs + cdd Pro případ konstantní vzdálenosti D-S bez zastávky c = c + c d v s d TTC c n + c nd + c V + c Vd n s d s d Pro případ zastávek (v počtu ns) TTC c (1 + n ) n + c nd + c V + c Vd n s s d s d 1+ ns d s d s UTC c + c + c v v 1+ ns d s d s UTC c + c c DH DH + 1+ ns d DTC cs + cd + c D s H H

DN vzhledem k rozsahu dopravy a) Vazba na kapacitní omezení - Jeden dodavatel, jeden spotřebitel vmax maximální nosnost vozidla funkce dopravních nákladů v čase f t () v Jednotkové dopravní a skladovací ve vztahu k rozsahu přepravy (přepravovanému množství)

Optimální přepravované množství ( lot size resp. economic order quantity úloha matematického programování: EOQ :min Av + v v kde max ch A= ; B= c D f B v b)vazba na typ dopravy Přibližně lineární nárůst dopravní ceny ve vztahu k množství - záleží ale na typu přepravy - různý poměr fixních a variabilních nákladů - např. pošta (nízké cf vysoké cv) x vlastní auto (vysoké cf nízké cv) Jde o to zvolit optimální typ dopravy vzhledem k přepravovanému množství Příklad: kapacita vozidla vmax = 1 způsob 1: cf = 1; cv = 0 způsob 2: cf = 0; cv = 1,5 Přepravní náklady jedním způsobem: pro v = 1,1: TTC1 = 2. (1+1) TTC2 = 1,65. (1,5*1,1) Přepravní náklady optimální kombinace: (1 jednotka 1. způsobem, 0,1 jednotky 2. Způsobem, tedy TTCopt = 1 + 0,1*1,5 = 1,15

Manipulační náklady 1) Na paletizaci resp. kontejnerizaci 2) Na naložení na dopravní prostředek 3) Na vyložení z dopravního prostředku 4) Na vybalení palety (kontejneru) Kusová manipulace TLC c v s Paletová manipulace U dodavatele a spotřebitele jsou různé hodnotu v max manipulační náklady dávka c c v c resp. c f / f + v v, ale funkce fh(v) mají stejný tvar a stejnou

Přepravní náklady souhrnné v max v max f = f + f m t h resp. f c f () v c + c + c + v v max m f v v Vztah mezi velikostí přepravy a přepravními náklady (souhrn dopravních a manipulačních) Optimální přepravované množství Pevné resp. variabilní přepravní (dopravní + manipulační) náklady c resp. c f v

Vzhledem ke kapacitě dopravního prostředku dopravní N Vzhledem k velikosti palety (kontejneru) manipulační N Economic Order Quantity B EOQ :min Av + + C v v v max kde ch A= ; B= c f ; C = ct i m+ c v D Stochastické vlivy na logistické náklady 1. Intenzita produkce (a zvláště spotřeby) D - není konstantou, ale náhodnou veličinou s určitým rozdělením pravděpodobnosti (! Nelinearita vztahu) 2. Spotřeba - Poissonovský proces 3. Vliv především na skladovací náklady - Zvyšování rezerv (viz teorie zásob)

Logistické optimalizační modely Distribuce 1:1 Lot Size Problem Cíl: Stanovení optimální velikosti dodávky Minimalizace nákladů při konstantní poptávce Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce Lot Size Problem V praxi suboptimální řešení (drobné změny v nákladech nemají vliv na strukturu opt. řešení) Řešení bývá obvykle dvoustupňové 1. Model (analytický) pro hrubou strukturu optima 2. Model upřesnění (Fine Tuning) analytický, simulační a) Minimalizace nákladů při konstantní poptávce Výchozí model optimalizace přepravovaného množství v (v*) B z = min Av+ ; v v v 1 Je-li vmax = potom v* = min( Av+Bv ) B pevné přepravní náklady (cf) A jednotkové skladovací náklady (ch/d ) max v* = B A

Po dosazení v* do účelové funkce a příslušné úpravě dostáváme optimální jednotkové náklady: z* = 2 AB Obě dvě části UF jsou stejné (z odvození) proto náklady na jednotku jsou minimální pro skladovací náklady = přepravní náklady Přímá úměrnost z a cf, ch nepřímá z a D Analýza citlivosti vzhledem k Cf Ch Analýza odolnosti vůči chybám V datech V modelu Kombinovaným chybám b) Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce poptávky se mění v čase stává se funkcí D(t) D (t).derivace D(t) intenzita poptávky Cílem je najít optimální čas dodávky (t0 = 0, t1, t2,,tn-1) optimální velikost dodávky (v0 = 0, v1, v2,,vn-1) Časový horizont t [t0;tmax] v max = (není-li uvedeno jinak) c f pevné přepravní náklady (za vozidlo) c h = c r +c i n počet dodávek Pro konstantní poptávku D(t) = D (tedy A = ch/d a B = cf) Základní dva typy problémů 1) Zanedbatelné čekací náklady 2) Zanedbatelné náklady pronájmu 1) Zanedbatelné čekací náklady tedy ci << cr; ch c r Náklady pronájmu rostou s maximální akumulací A max (viz)

Dolní mez maximální akumulace u spotřebitele = maximální velikosti dodávky (kterážto je nejmenší při pravidelných intervalech dodávek Hi!) max A Dt n ( max )/ max Čas ve kterém A = Dt ( max )/ n minimálních nákladech cdt ( )/ n r max je optimálním pro pro realizaci n dodávek při Tj. každá dodávka přesně stačí k uspokojení poptávky Do další dodávky je spotřeba mezi dvěma dodávkami rovněž D(t max )/n Rozdělit osu x mezi 0 a D(t max ) na n stejných intervalů a najít časy ti pro které platí id( t ) Dt i n n max ( i ) = pro = 0,1,...,( 1) Dodávat právě tolik aby byla uspokojená poptávka do další dodávky

Minimální náklady nezávisí na t i ale pouze na n, potom: DC(cost/time) UC(cost/item) cdt ( ) n r max = + cdt ( ) Dn r max = + cn t f max cn f Dt ( ) max kde D = Dt ( max ) t max... prům. intenzita spotřeby Vzorec pro UC odpovídá vzorci pro EOQ když v=d(t max )/n n musí být celočíselné dá se předpokládat, že pro větší n (cca n>3) platí: n* = D( tmax ) v* 2) Zanedbatelné náklady pronájmu tedy cr << ci; ch c i Skladované položky jsou malé a drahé - náklady narůstají s jejich skladováním Celkové náklady u spotřebitele odpovídají šrafované ploše na grafu Kombinované náklady (dodavatel+spotřebitel) rovněž odpovídají pokud (i) se jedny zanedbají, nebo (ii) pokud obojí mají stejný průběh Aby sled časových okamžiků (t1, t2, tn) byl optimální, musí být úsečka PQ rovnoběžná s tečnou křivky D(t) v bodě T optimální čas dodávky D(t) už není pouze funkcí n problém s tvarem funkce numerická nebo aproximativní řešení Numerické řešení A) Dynamický program, kde čas dodávky ti je stanoven pro všechny i=1,2,,n-1 B) Algoritmus dynamického programování nalezne optimální skladovací náklady pro dané n, tj. zi*(n*) resp. n*. C) Numerická procedura je vhodná pokud je křivka D(t) hladká D) probíhá v následujících krocích

Postup numerického řešení A) bod P1 a jemu odpovídající T1 B) přímka z P1 paralelně s tečnou k D(t) v T1 C) kolmice bodem T1 D) průsečík kolmice s přímkou z P1 bod P2 E) atd. až po D(tmax) F) pokud průsečík není v D(tmax)..posun P1 G) Optimální náklady experimentováním s posunem P1, dokud součet ploch trojúhelníků Ti-1;Ti,Pi (skladovací náklady) není roven přepravním nákladům a tedy MIN R(t) skoková funkce dodávek (receiving step curve) Analytické řešení (metoda spojité aproximace) Metoda vhodná pokud D (t) se nemění příliš rychle Interval Ii, jako i-tý interval mezi ti-1 a ti Celková cena za jednu dodávku bude: Ci i = cf + c i P( I ) (cost ) ( ) Kde Pi je plocha vyťatá D(Ti-1), D(Ti), Pi (tedy pro interval Ii) P() i ti ti 1 D ( t i) dt Velikost této plochy s využitím bodu t i = ( ) Definujme si funkci Hs(t) jako skokovou tak, že Hs(t)=ti-ti-1, pro t z intervalu Ii t t i i 1 2

Z minulého grafu cena za interval: ti c f ch i S() t Ci(cost i) = + D ( t i) dt HS () t 2 t i 1 Po aproximaci D ( t) za D ( t i ) (což je akceptovatelné pro malé změny D(t) dostáváme pro celé období do tmax: tmax c f ch i S() t C(cost) + D ( t) dt H () 2 0 S t Interpolací Hs(t) spojitou funkcí H(t) viz obr dostáváme: tmax c f ch i S() t C(cost) + D ( t) dt Ht () 2 0 Po dosazení Ht () = 2c f cd () t i (což odpovídá vzorcům EOQ viz přednáška 2 a úpravě dostáváme t max TC 2 cic fd ( t) dt 0 Vztažením na jednotku produkce dostáváme celkové optimální náklady na jednotku produkce ve výši: z *(cost/item) t max 0 2 cc i fd ( t) dt t max 0 D () t dt Kde max t max D( t ) = D ( t) dt 0 je celkový počet vyrobených jednotek

Optimalizace dopravní sítě Minulá přednáška: výběr optimální trasy Dnes: optimální vytížení trasy vzhledem k nákladům optimální (Flow scale economies úspory z rozsahu) Trasa ohodnocena nákladovou funkcí Z* klesá s rozsahem přepravy příklad Trasa (L1) Cíl (D1) Zdroj (S) Trasa (L2) Trasa (L3) S = 8 i/t D1 = 4 i/t D2 = 4 i/t Cíl (D2) Cíl 1 dostává veškeré zboží přímo, Cíl 2 částečně přímo, částečně před S1 xi přepravované množství ( tok zboží ) na trase X1 S-D1 X2 S-D2 X3 D2-D3 zi(xi) nákladová funkce příslušné trasy x část zboží (ve formě zlomku) přepravovaného přes mezisklad, tedy po trase S-D1-D2 odvození x3 x = 4 x = 4x 3 x x x + x = 8 2 2 x 1 2 + x = 4 2 3 + 4x= 4 = 4(1 x) x + 4(1 x) = 8 1 x = 4(1 + x) 1 3 TC = xizi( xi) i= 1

Vztah mezi x i a x je vždy lineární Funkce x i z i (x i ) je rostoucí, konkávní z z z 1/2 1 1 1/2 2 2 3 = x = 3x = 1 xz x 1/2 1 1 1 xz = 3x 1/2 2 2 2 xz = = x 3 3 3 TC = 2 (1 + x) + 6 (1 x) + 4x Podíl zboží TC 0 8 0,05 8,09746676 0,1 8,189717485 0,15 8,276487733 0,2 8,357453376 0,25 8,4322204 0,3 8,500311009 0,35 8,561144657 0,4 8,614011929 0,45 8,658038008 0,5 8,69213043 0,55 8,714902279 0,6 8,72455532 0,65 8,718694386 0,7 8,694016307 0,75 8,645751311 0,8 8,566563146 0,85 8,444084109 0,9 8,254176347 0,95 7,934488795 1 6,828427125 TC 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 X 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Optimální řešení: x*=1; z*=6,82 Všechno vezeme přes D1 Vzhledem ke tvaru nákladových funkcí (konkávní) dosahujeme min nákladů na jednom nebo druhém konci přípustných hodnot oboru je častým řešením všechno nebo nic (viz. praxe) Analýza citlivosti nákladových koeficientů např. nárůst koeficientu u z 3 na 1/2 z 3 = 2 2 1,293 x3z3 1,293x3 TC = 2 (1 + x) + 6 (1 x) + 5,172x = Tedy alternativní řešení viz 1.tab

Pro 1/2 z veškerý transport přímo viz. tab 2 3 > 2 2 např z = 1, 3 0 8 0,05 8,156045 0,1 8,306875 0,15 8,452224 0,2 8,591768 0,25 8,725114 0,3 8,851783 0,35 8,971195 0,4 9,082641 0,45 9,185246 0,5 9,277917 0,55 9,359267 0,6 9,427499 0,65 9,480217 0,7 9,514117 0,75 9,524431 0,8 9,503821 0,85 9,439921 0,9 9,308592 0,95 9,047483 1 8 0 8 0,05 8,157467 0,1 8,309717 0,15 8,456488 0,2 8,597453 0,25 8,73222 0,3 8,860311 0,35 8,981145 0,4 9,094012 0,45 9,198038 0,5 9,29213 0,55 9,374902 0,6 9,444555 0,65 9,498694 0,7 9,534016 0,75 9,545751 0,8 9,526563 0,85 9,464084 0,9 9,334176 0,95 9,074489 1 8,028427 Konkávní funkce problém s nalezením lokálního minima (dtto úloha nekonvexního programování) Network with scale diseconomies konvexní funkce Řešení: Heuristika, local search, kombinatorické algoritmy Redukce na úlohu o batohu Pro Local Search ppř. konvexní úlohu můžeme řešit pomocí Excel Solver (řešitel s Excelu) Lingo Přírodní logistické sítě princip všechno nebo nic dělení se nevyplácí (složitost v rozvodných uzlech) Strom jeden kmen (rozvod mízy) Savec jedna aorta (rozvod krve)

Fraktální struktura Zákazník (list) Zdroj (kořen) Fraktální struktury (přírodních) logistických sítí Fraktál je geometrický objekt, který má následující vlastnosti: je soběpodobný znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku, v jakémkoliv rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar, má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel. Fraktály jsou nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá. Termín fraktál použil poprvé matematik Benoît Mandelbrot v roce 1975. Pochází z latinského fractus rozbitý. Podobné objekty dlouho před tím (např. Kochova vločka). (zdroj: http://cs.wikipedia.org) Kochova vločka Základem je Kochova křivka, jež vznikne nekonečným opakováním jednoduchého postupu. Na začátku je prostá úsečka (v případě Kochovy vločky rovnostranný trojúhelník tvořený třemi takovými úsečkami). V každém kroku se pak provede následující: 1. Úsečka se rozdělí na třetiny. 2. Nad prostřední třetinou se sestrojí rovnostranný trojúhelník. 3. Základna trojúhelníka (bývalá prostřední třetina úsečky) se odstraní. Tím se z původní úsečky stane křivka složená ze čtyř úseček (resp. z trojúhelníka se stane šesticípá hvězda) a postup se rekurzivně opakuje s každou takto vzniklou úsečkou. Kochova křivka vznikne jako limita při opakování tohoto postupu do nekonečna. Její délka je nekonečná, neboť se v každém kroku prodlouží vždy o třetinu ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že v kroku n bude délka křivky (4/3)n délky původní úsečky, Kochova křivka je spojitá, ale v žádném bodě nemá tečnu. První čtyři iterace Kochovy vločky vzniklé ze 3 Kochových křivek

obecný fraktál Logistický fraktál Optimalizace dopravní sítě Nástroje pro řešení nelineárních problémů Lingo (www.lindo.com) Solver - Řešitel Součást Excelu: Nástroje Řešitel (třeba doinstalovat) univerzální nástroj ve formě doplňku SOLVER.XLA řeší lineární a konvexní modely MP nutno model upravit do formy součtových vzorců výsledková, citlivostní a limitní zpráva

Řešitel Zápis modelu z počátku přednášky pro řešení Řešitelem (na listu Excelu) Nastavení parametrů řešitele a nalezené optimum pro iteraci od x0=(0;0;0)

Nastavení parametrů řešitele a nalezené optimum pro iteraci od x0=(10;10;10) Microsoft Excel 11.0 Výsledková zpráva List: [Ad P7 solver.xls]list1 Zpráva vytvořena: 20.11.2006 18:34:58 Nastavovaná buňka (Min) Buňka Název Původní hodnota Konečná hodnota $B$22 TC 22,64911064 6,828427125 Měněné buňky Buňka Název Původní hodnota Konečná hodnota $B$23 x1 10 8 $B$24 x2 10 0 $B$25 x3 10 4 Omezující podmínky Buňka Název Hodnota buňky Vzorec Stav Odchylka $F$19 SumaLHS 8 $F$19=$G$19 Neplatí 0 $F$20 SumaLHS 4 $F$20=$G$20 Neplatí 0

Dopravní obsluha úseků sítě - Každý vrchol je třeba navštívit právě jednou (TSP) - Každý úsek sítě je třeba navštívit alespoň jednou úsek sítě hrana (Úloha o Čínském pošťákovi hrana=ulice) - Při podmínce průchodu hranou právě jednou = Eulerův tah - Při podmínce průchodu hranou alespoň jednou = Eulerův sled Neorientovaný Eulerův tah nutná a postačující podmínka: a) Všechny uzly sudého stupně nebo b) Právě 2 uzly lichého stupně Ad a) uzavřený tah Ad b) otevřený tah Orientovaný Eulerův tah nutná a postačující podmínka: a) Všechny uzly stejný vstupní a výstupní stupeň nebo b) Právě 2 uzly U a V pro něž platí Ad a) uzavřený tah Ad b) otevřený tah Úloha o čínském pošťákovy s jednosměrnými cestami Hledání ET Fleuryho algoritmy a jejich modifikace deg ( b) = deg ( a) + 1 u deg ( b) = deg ( a) 1 Dopravní obsluha úseků sítě - Hledání uzavřeného ET v neorient. grafu 1. Sestavíme libovolný uzavřený tah 2. Při kontrole procházíme podél tahu a v každém uzlu U testujeme, zda v množině hran incidentních s tímto uzlem, existuje hrana h, která dosud v tahu neleží. 3. Pokud hrana podle kroku [1] v grafu existuje (tj. v tahu dosud neleží), tak v uzlu u tah rozpojíme a začneme jej prodlužovat, počínaje hranou h; toto prodlužování skončí v uzlu u. 4. Po propojení nového a starého tahu pokračujeme v kontrole podle kroku [1] počínaje uzlem u a postupujeme podél nové části tahu. Tím je zajištěno, že jak při prodlužování, tak při kontrole postupujeme podél každé hrany právě jednou; postup je proto velmi rychlý. 5. Pokud hrana podle kroku [1] v grafu již neexistuje, tak naposledy (propojením) získaný tah je eulerovský. příklad v u v

1. 1-10-11 2. 1-2-6-8-10-11 3. 1-2-3-5-8-10-11 4. 1-2-3-4-5-8-10-11 5. 1-2-3-4-5-9-7-6-8-10-11 Délka trasy: 62 Uzavřený ET existuje právě jeden (konstantní počet hran) Nezáleží na ohodnocení Libovolný takový tah je optimálním řešením Vybraná posloupnost hran tvoří plán obsluhy úseku dopravní sítě Eulerův graf (síť) existuje-li uzavřený ET Pokud dva vrcholy lichého stupně doplnění fiktivní hanou stejný postup, počátek tahu v jednom z těchto vrcholů Dopravní obsluha úseků sítě - Eulerův sled Počet vrcholů lichého stupně je vždy sudý 1) ( ) Graf S = V, H, kde V = n V V...uzly lichého stupně, V = 2n 2) Pro každou dvojici různých uzlů (u,v) z množiny V vytvoříme doplňkový úsek h =(u,v) o délce d(h ) rovné vzdálenosti těchto uzlů v S, tyto úseky tvoří množinu H 3) Obdržíme S=(V,H ) jakožto úplný graf 4) Hledáme n párů úseků tak, aby součet ohodnocení byl minimální 5) Řešíme pomocnou úlohu Nejlevnějšího maximálního párování Pomocná úloha: Nejlevnější maximální párování PÁROVÁNÍ V grafu S = (V,H) je takový jeho podgraf P, ve kterém má každý uzel stupeň nejvýše 1, tzn. že je spojen nejvýše jednou hranou s jiným uzlem. Párování je tedy taková podmnožina hran původního grafu (tedy podgraf), ve které žádné dvě hrany nemají společný uzel. O uzlu v říkáme, že je NASYCEN V PÁROVÁNÍ, existuje-li v párování hrana, která je s tímto uzlem incidentní. PERFEKTNÍ PÁROVÁNÍ je takové párování, které nasycuje všechny uzly původního grafu. MAXIMÁLNÍ PÁROVÁNÍ obsahuje největší možný počet hran původního grafu. NEJLEVNĚJŠÍ MAXIMÁLNÍ PÁROVÁNÍ je takové maximální párování, ve kterém je součet ohodnocení hran minimální D={dij} matice vzdáleností uzlů V Řešíme úlohu bivalentního programování 2n i 1 x x ij i= 1 j= 1 ij + x = 1 { 0;1} ji 2n 2n DP ( ) = dx...min i= 1 j= i+ 1 ij ij