REDUKCE DIMENSIONALITY PRAVDĚPODOBNOSTNÍCH MODELŮ PRO FDI J. Jkovský 1, M. Hofete 2 1 Humusoft s..o., Paha 2 Ústav Přístojové a řídcí technky, Fakulta stojní, ČVUT v Paze Abstakt Příspěvek se věnuje poblematce detekce a lokalzace pouch technckých systémů s využtím pavděpodobnostního modelu založeného na bayesovském přístupu k pavděpodobnost. Přístup je vhodný k nasazení detekce a lokalzace pouch u lneáních nelneáních systémů. Poblémem po eálné nasazení je však ozměnost modelu a z toho plynoucí náočnost na výpočetní zdoje. Poto byla navžena edukce dmensonalty, kteá ozkládá dentfkovaný pavděpodobnostní model na několk submodelů. Výsledky dílčích modelů jsou pak skládány opět za využtí bayesovského přístupu k pavděpodobnost. 1 Dagnostka pouch využívající pavděpodobnostní model Systémy detekce a lokalzace pouch (FDI) slouží k tomu, abychom na základě měřtelných velčn systému ozhodl o tom, zda systém pacuje v bezpouchovém ežmu nebo došlo k pouše, případně o jakou pouchu se jedná [1, 2, 3, 4]. V případě pavděpodobnostního přístupu zakládáme své ozhodování na učení pavděpodobnost výskytu dané pouchy v čase t za podmínky znalost současných a mnulých hodnot měřtelných velčn. vstupy Systém výstupy Tvoba ezdua ezduum Rozhodovací poces Ob 1: Pncp dagnostky pouch Realzace FDI je obvykle pováděna ve dvou kocích. Pvním kokem je tvoba ezdua. Jejím účelem je vytvořt sgnál, kteý ndkuje vznk pouchy z dostupných vstupů a výstupů daného systému. Duhým kokem je ozhodovací poces. V této část se na základě esdua ozhodne, zda se jedná o danou pouchu, č nkol. Obecně vzato se však většna pozonost soustředí na tvobu ezdua, potože s dobře postaveným ezduem je ozhodování o vznku pouchy v zásadě jednoduchou záležtostí. Pavděpodobnostní model, kteý je předmětem dsetační páce, představuje geneáto esdua. Na jeho základě pak ozhodovací poces pouze volí pouchový stav soustavy podle maxmání hodnoty pavděpodobnost. Detekc a lokalzac pouch ozdělíme do dvou fází. V pvní fáz dochází k dentfkac pavděpodobnostního modelu. Tuto fáz nazveme fáze učení. Tento poces může pobíhat jen po dobu, kdy máme komě měřených velčn D t k dspozc explctně učený pouchový stav f t. Fáze učení pobíhá do času. Př následném povozu systému jž hodnotu pouchového stavu k dspozc
nemáme, naopak hlavním cílem je odhad pavděpodobnostního ozdělení pouchových stavů v systému v daném časovém okamžku. Tuto fáz nazveme fází dagnostky. Pavděpodobnost pouchového stavu soustavy f t = φ v čase t, za předpokladu aktuální hodnoty R egesního vektou z t = ζ dat D tr t získaných ve fáz učení a platnost hypotézy H, učující tva egesního vektou, je dána pvkem matce pavděpodobnost pouch, kteý leží v řádku příslušném hodnotě egesního vektou ζ a sloupc příslušném pouchovému stavu φ [5, 6]. Hodnota tohoto pvku je učena vztahem p f t = z t =, D, H = n, n, kde hodnota n je defnována jako počet výskytů dvojce [ζ, φ] ve fáz učení navýšený o počet těchto událostí v časech před fází učení předpokládaný aponě. Počet hypotéz o tvau egesního vektou není obecně omezen a společně tvoří množnu ϕ H. Učíme aposteoní pavděpodobnost těchto hypotéz po ověření eálným daty ve fáz učení [7]. Můžeme j vypočítat dle půběžného vztahu p H D = j : H j H p H D 1 1 p n z j H D 1 1 n z, j n z j 1 j 1 n z j, 1 Výsledné ozdělení pavděpodobnost po všechny pouchové stavy soustavy učuje vztah p f t z t, D = p f t, j z t, D, jh p j H D (3) j : j H H Kde z t představuje sjednocení hodnot z t po všechny hypotézy H z ϕ H. V případě, že někteý model má o několk řádů nžší aposteoní pavděpodobnost než ostatní, můžeme tento model z výpočtu vynechat. Výsledkem je tedy znalost pavděpodobnost, kteá není závslá na volbě konkétního pavděpodobnostního modelu. 2 Redukce dmensonalty Největší překážkou eálného nasazení těchto modelů je přílšná ozměnost sufcentní statstky. Rozmě sufcentní statstky oste exponencálně s délkou egesního vektou. Po výaznou edukc velkost pavděpodobnostního modelu je tedy třeba sáhnout do jeho stuktuy [8]. Každý pavděpodobnostní model využtý v předchozím vztahu, kteý je dán egesním vektoem z t učeným hypotézou H, dekomponujeme na m M dílčích pavděpodobnostních modelů s egesním vektoy učeným hypotézam Hs. Délka egesních vektoů dílčích modelů je stejná a jejch pvky jsou dány výběem z pvků původního egesního vektou. Počet dílčích modelů je dán počtem všech kombnací, kteé lze z pvků původního egesního vektou vytvořt. Výsledky dílčích modelů jsou následně agegovány do výsledného ozdělení pavděpodobnost pouchových stavů soustavy. Matce pavděpodobnost pouch dílčích pavděpodobnostních modelů jsou dány vztahem p f t = z t =, D, Hs = n, n, Mnmální délka egesních vektoů dílčích modelů je ovna 2. Tato délka přnáší největší edukc ozměnost. Ke zvýšení této délky přstupujeme až v případě, že výsledný systém modelů poskytuje výazně hoší přesnost než původní model. (1) (2) (4)
Př agegac předpokládáme, že jednoduchý dílčí pavděpodobnostní model umožní spávně dentfkovat pouze jedný pouchový stav soustavy, po kteý je chaaktestcké odlšné chování pávě těch velčn, kteé jsou obsaženy v jeho egesním vektou. Př učování ostatních pouchových stavů soustavy poskytuje model neučté výsledky a nedokáže je navzájem odlšt. Zavedeme předpoklad, že po učení aposteoní pavděpodobnost hypotézy Hs využté př odhadu pavděpodobnost pouchového stavu soustavy f t má smysl uvažovat pouze schopnost příslušného dílčího pavděpodobnostního modelu spávně učovat, zda soustava JE č NENÍ v daném čase τ v pouchovém stavu f τ = f t. Tento předpoklad označíme As(f t ). Odhad pavděpodobnost daného pouchového stavu soustavy f t učíme dle vztahu p Hs D, As f t = p Hs D, As f t = : Hs : Hs p Hs Hs p Hs D 1 1, As f t n z t D 1 1, As f t p Hs D 1 1, As f t 1 n z 1, n z 1 t n z po 1, n z t Hs p Hs D 1 1, As f t 1 n z 1, n z t n z f = f t po 1 Výpočet celkového ozdělení pavděpodobnost pouchových stavů soustavy povedeme spojením pavděpodobností jednotlvých stavů f t. Potože jsou tyto pavděpodobnost podmíněny odlšným položkam vyplývajícím z odlšných předpokladů As(f t ) po ůzná f t, musíme povést úpavu měřítka těchto výsledků. Celkový výsledek pak budeme považovat za odhad pavděpodobnostního ozdělení pouchových stavů soustavy dle původního modelu a vypočteme jej dle vztahu, D, H, As f t p f t z t 3 Ilustatvní příklad, D t t R R, H = p f z t t f t f p f t z t, D, H,, As f t Detekce a lokalzace pouch byla aplkována na soustavu Batyskaf s PI egulací [9]. (5) f f t (6) (7)
Ob 2: Laboatoní soustava Batyskaf Soustava byla naučena a následně testována na dagnostku tří pouch, kteé se lší zdojem pouchy a její velkostí. Jednotlvé pouchy byly vždy vyvolány v ovnovážném stavu bez pouchy, kdy plováček setvával v zadané pozc. Ob 3: Půběh měřených velčn a pouch ve fáz učení Měřeným velčnam byla poloha plováčku y, akční zásah sevomotou u a tlak v systému p. Hodnoty velčn byly následně kvantovány. Kvantzační ntevaly lneáně ozdělovaly ozsah hodnot dané velčny do 20 úovní.
Ob 4: Půběhy kvantzovaných hodnot měřených velčn soustavy Dagnostka pouch byla nejpve testována s modely 3. řádu. 1H: 1 z t = [y t, y t-1, y t-2 ] 2H: 2 z t = [p t, p t-1, p t-2 ] 3H: 3 z t = [u t, u t-1, u t-2 ] 4H: 4 z t = [y t, p t, u t ] Aposteoní pavděpodobnost 4. modelu byla o několk řádů vyšší než u ostatních, poto byly v dalších výpočtech zanedbány. Ob 5: Půběh pavděpodobnost hypotéz ve fáz učení v lneáních souřadncích (nahoře) a logatmckých souřadncích (dole) Model byl následně ozložen na 3 modely 2. řádu, jejchž egesní vektoy obsahovaly ůzné kombnace velčn původního egesního vektou 4.modelu: 4 1 H: 41 z t = [y t, p t ] 4 2 H: 42 z t = [y t, u t ] 4 3 H: 43 z t = [p t, u t ]
Ob 6: Vývoj aposteoních pavděpodobností dílčích modelů ve fáz učení Výsledky byly agegovány na základě navžené metody. Pouchový stav soustavy byl volen na základě maxma pavděpodobnost z pavděpodobnostního ozdělení po všechny pouchové stavy soustavy. Ob 7: Výstup po agegac dílčích pavděpodobnostních modelů dává stejně dobé výsledky, jako původní model Po sovnání je na následujícím obázku obazen výsledek s plného pavděpodobnostnho modleu učeného hypotézou 4 H.
Ob 8: Výstup plného pavděpodobnostního modelu Z výsledků je vdět, že edukovaný model dosáhl stejně dobých výsledků, jako původní model třetího řádu. Počet pvků sufcentní statstky plně dentfkovaného pavděpodobnostního modelu učeného hypotézou 4 H je 32 000 pvků. Napot tomu počet pvků všech sufcentních statstk plně dentfkovaných dílčích pavděpodobnostních modelů učených hypotézam 41 Hs, 42 Hs, 43 Hs je 4 800 pvků, což je hodnota více než 6x nžší. 4 Závě Zavedení systematcké edukce dmensonalty pavděpodobnostních modelů po FDI, kteá využívá dekompozc původního pavděpodobnostního modelu na skupnu dílčích modelů nízkých řádů, poskytuje značnou edukc ozměnost a s tím souvsející snížení požadavků na výpočetní zdoje, což usnadňuje eálné nasazení. Metoda využívá agegace výsledků dílčích pavděpodobnostních modelů, kteá byla navžena s využtím bayesovského přístupu k pavděpodobnost a vychází ze specfckých předpokladů vycházejících z FDI. Refeences [1] V. VENKATASUBRAMANIAN, et al.: A evew of pocess fault detecton and dagnoss : Pat I: Quanttatve model-based methods. Computes and Chemcal Engneeng. 2003, no. 27, s. 293-311. [2] V. VENKATASUBRAMANIAN, et al.: A evew of pocess fault detecton and dagnoss : Pat II: Qualtatve models and seach stateges. Computes and Chemcal Engneeng. 2003, no. 27, s. 313-326. [3] V. VENKATASUBRAMANIAN, et al.: A evew of pocess fault detecton and dagnoss : Pat III: Pocess hstoy based methods. Computes and Chemcal Engneeng. 2003, no. 27, s. 327-346. [4] J. Chen, R.J. Patton: Robust model-based fault dagnoss fo dynamc systems. Nowel (Massachusetts) : Kluwe Academc Publshes, 1999. 356 s. ISBN 0-7923-8411-3. [5] G. Gaajayewa: Bayesan appoach to eal-tme fault detecton and solaton wth supevsed tanng. Paha, 2005. 179 s. ČVUT v Paze. Fakulta stojní. Vedoucí dsetační páce Pof. Ing. Mlan Hofete, CSc. [6] M. Hofete, G. Gaajayewa: Real-tme fault detecton and solaton wth supevsed tanng. In IFAC. [s.l.] : [s.n.], 2006. s. 667-672. [7] M. Hofete: Bayesovská dentfkace technologckých pocesů. Paha, 1998. 73 s. ČVUT v Paze. Fakulta stojní. Habltační páce. [8] J. Jkovský: Detekce a lokalzace pouch s využtím pavděpodobnostních modelů a edukce jejch dmensonalty. Paha, 2012. 119 s. ČVUT v Paze. Fakulta stojní. Vedoucí dsetační páce Pof. Ing. Mlan Hofete, CSc.
[9] J. Jkovský: Počítačové modelování a řízení laboatoního modelu Batyskaf. Paha, 2004. 110 s. ČVUT v Paze, Fakulta stojní. Vedoucí dplomové páce Pof. Ing. Mlan Hofete, CSc.