MECHANIKA I. Jaromír Švígler

Transkript

1 MECHNIK I Jaomí Švígle

2 OBSH Pedmluva Rozdlení a základní pojm mechank 4 Statka Základní pojm a aom statk Síla Moment síl k bodu a k ose Slová dvojce Základní vta statk Páce a výkon síl a momentu 5 Slové soustav Soustav sl o spoleném p-sobšt náhada ekvvalence ovnováha plkace na hmotný bod 8 4 Obecné soustav sl Obecná ovnná soustava sl plkace na tleso v ovn 7 5 Obecná postoová soustava sl plkace na tleso v postou Tžšt Vntní statcké únk 5 6 Rovnné soustav tles Statcké ešení soustav Soustav s ozubeným kol 46 Knematka 7 Knematka hmotného bodu Pímoaý pohb bodu a kvoaý pohb bodu 55 8 Knematka tlesa Rovnný pohb tlesa Posuvný pohb Rotaní pohb Obecný pohb 64 9 Souasné pohb tlesa 7 Sted kvost tajektoí a obálek 76 Knematcké ešení mechansm- Soustav s ozubeným kol 78 <ešení 85 LITERTUR [] Rosenbeg J: Statka Skptum VŠSE Plze 987 [] Rosenbeg J: Knematka Skptum VŠSE Plze 98 [] Bát V Rosenbeg J Já V: Knematka SNTL/L Paha 987 [4] Ken J: <ešené píklad ze statk Skptum VŠSE Plze 985 [5] Ken J: <ešené píklad z knematk Skptum VŠSE Plze 986 [6] Julš K Bepta R a kol: Mechanka I díl Statka a knematka Techncký p-vodce 65 SNTL Paha 986

3 PEDMLUV Tento uební tet je uen student-m v kombnované fom studa studujícím pedmt Mechanka I kteý náleží k pedmt-m tvoícím základ znalostí nutných po pochopení a zvládnutí modelování technckých a píodních jev- a poces- Pedmt Mechanka I kteý je zamen na klasckou mechanku bod- soustav bod- tuhých tles a soustav jm vtváených je ozdlen do dvou ástí V pvní ást vnované statce jsou uveden základní poznatk potebné po slová ešení technckých a píodních jev- a duhá knematcká ást se zabývá ešením pohbových stav- tchto jev- Poznatk jsou uvádn mamáln stun pevážn bez odvozování a d-kaz- ncmén se snaží zachtt všechn d-ležté a nezbtné znalost Látka je ozdlena do kaptol a v každé kaptole jsou k pobíanému tématu uveden ešené píklad Budu velm vden za jakékolv ppomínk k pedkládanému tetu neboi jenom tak lze zlepšt jeho kvaltu Velké podkování patí paní Jan Nocaové za její pelvost a tplvost p keslení obázk- a gafcké úpav uto

4 ROZDLENÍ ZÁKLDNÍ POJMY MECHNIKY Mechanku m-žeme dlt podle -zných hledsek a zejm se nám stejn nepodaí povést dlení pln uspokojující Pdžíme se poto dlení ponkud konzevatvního ale nám vhovujícího ozdlení kteé m-žeme schematck zachtt následovn Mechanka klascká v << c kde c je chlost svtla elatvní v c kvantová Mechanka tuhých t'les poddajných tles hdomechanka temomechanka mechanka kontnua V našem kuzu se budeme zabývat klasckou mechankou tuhých tles kteou ješt dále ozdlíme Klascká mechanka tuhých t'les statka knematka dnamka <ešení budeme povádt poetn a gafck P poetním ešení mechanckých úloh budeme používat vektoový pístup ( M ) analtcký pístup ( E E W P ) k p Vekto jako sílu a moment M budeme znat špkou nad písmenem skalání veln jako knematckou a potencální eneg E k E p pác W a výkon P písmen bez špk Budeme-l hovot o velkost vektou použjeme samozejm písmeno bez špk ted nap Základní pojm mechank tuhých t'les V mechanckých úlohách budeme používat nkteé ustálené pojm samozejm kom dalších jako hmota m [kg] posto R [m] as t [s] 4 síla [N] Podle našeho dlení m-žeme íc že knematka používá: statka používá: 4 dnamka používá: 4 4

5 STTIK ZÁKLDNÍ POJMY XIOMY STTIKY SÍL MOMENT SÍLY K BODU K OSE ZÁKLDNÍ POJMY Síl jmž -zná tlesa -zné ást téhož tlesa na sebe navzájem p-sobí oznaujeme jako odpo tah tlak pípadn jako akce nebo eakce Ppomeme že tíhová síla mg je slou akní! Po názonost uvedeme píklad sl Píklad duh sl T < Nf T tená síla Nf tecí síla R eakce kloubu S R B R C osová síla v podpném putu a souasn eakce ( eakní síla) v kloubech B C k konstanta pužn podloužení pužn N tah (tlak) T smková síla vntní statcké M ohbový moment únk M N T slové únk ekvvalentní p-sobící akní síle Poznámka: Moment je na obázku smbolck znázonn obloukem takže není zakeslen jako vekto a poto nemá špku! XIOMY STTIKY Následující aom nazvme je pouk jsou velm jednoduché a adu z nch jž znáte ncmén jsou a budou základním stavebním pvk vašch znalostí statk Poto s je dobe zapamatujte Šest základních pou7ek po statku Únek síl na tleso se nezmní kdž sílu na její nostelce lbovoln posuneme 5

6 Dv síl skládáme ve výslednc podle zákona ovnobžníka Poznámka: Gafckou konstukc m-žeme smbolck vjádt vektoovým zápsem V + Dv síl mohou být v ovnováze jen tenkát leží-l na témže papsku jsou stejn velké a mají opaný smsl + ( ) 4 T síl mohou být v ovnováze jen tenkát leží-l v téže ovn pochází jedním bodem a položen za sebou tvoí uzavený tojúhleník K soustav sl lze ppojt lbovolnou jnou soustavu sl kteá je v ovnováze anž se zmní p-sobení pvé soustav K síle v bod ppojím a v bod P-sobení p-vodní síl se nezmní Poznámka: K tomuto obázku se vátíme u momentu dvojce sl a všmneme s M 6 Únek tlesa na tleso B vvodí stejný ale opaný únek tlesa B na tleso I jde o sílu dvojc sl moment o celou soustavu sl N B N B Odvozené pou7k T síl v postou skládáme ve výslednc podle zákona ovnobžnostnu V + + 6

7 Ekvvalence Dv soustav sl jsou ekvvalentní mají-l stejnou výslednc S + S + V Rovnováha Dv soustav sl jsou v ovnováze kdž jejch výslednce se uší S + S + + V V 4 Rozklad <íkáme že jsme sílu ozložl ve složk kdž výsledncí složek je daná síla Mnmální poet složek síl v ovn jsou složk v postou složk SÍL Síla je vekto vázaný ke své nostelce a je po ní lbovoln posunutelný Je to klouzavý vekto Rozmovou jednotkou po sílu je Newton [N] p-sobšt síl nostelka p Skládání a ozklad síl Skládání sl blo zmínno v základních poukách po statku Rozkladem síl kteý je opaným djem ke skládání sl získáme složk síl Pozo musíme dát na odlšení složk síl od p-mtu síl tak jak je to patné po -znobžné pímk p p Opt platí jednoduché vztah + + ( ) složka síl ve smu p p-mt síl do smu p U7ení síl bchom mohl sílu jednoznan ut potebujeme k tomu jstý mnmální poet pvk- Rovna Posto Potebujeme pvk: Potebujeme 5 pvk-: z 7

8 Vztah mez úhl u síl Po úhl kteé jsou mez slou jejím složkam a z jejím p-mt I II do pvní a duhé p-mtn m-žeme psát tgonometcké vztah kteé plnou z pavoúhlých tojúhelník- sn sn z sn sn Úpavou vztah- na píklad dlením duhé ovnce ovncí pvní dostaneme tg tg Podobn povedeme-l dlení tetí ovnce ovncí pvní získáme ze tetích a tvtých výaz- další vztah tg tg Takto m-žeme postupovat dále podle toho kteé vztah jsou po nás potebné Významnou technckou aplkací ozkládání sl na složk je ešení slových pom- u ozubených kol kde povádíme ozklad ve výpotovém bod P páu spoluzabíajících kol Výpotový bod umsiujeme do stedu šík a délk zubu a záb zub- dealzujeme do tohoto bodu Jednou slou neuvažujeme pasvní únk p-sobící mez bok zub- je síla nomálová ležící na nomále dotkového bodu Je to vžd síla eakní ted síla kteou p-sobí spoluzabíající kolo na kolo kteé ešíme Naším úkolem je ut složk nomálové síl ve smu obvodovém ( T ) adálním ( R ) a aálním ( ) smu Píklad $elní kola s p(ímým zub Dáno: M K Ut: T R <ez - Poznámka: Z daného koutícího momentu M K uíme nejdíve obvodovou tenou ( T O ) složku ze vztahu M k T Pak jž m-žeme ut adální složku R T tg 8

9 a pípadn výslednou nomálovou sílu N T V pípad pímých zub- je Uování složek N je d-ležté po navazující ešení napíklad po zjštní namáhání hídele na kteém je kolo uloženo Píklad $elní kola se škmým zub Dáno: z 7 Poznámka: m 4 Hovoíme o kolech se škmým zub ale ve o skutenost se jedná o zub šoubovt o 5 zakvené Po lepší pedstavu je pá P 4W spoluzabíajících zub- znázonn oddlen n ot / mn Ut: O <EZ - R Mez polomem oztené kužnce a potem zub- z platí vztah z m kde m je modul a je úhel sklonu šoubovce na ozteném válc Velkost úhlu zábu je Z výkonu uíme nejdíve moment P 4 P M M & Nm 9

10 Potom m-žeme ut obvodovou sílu M M z m 59 N Dále ješt uíme p-mt síl N do ovn tené k oztenému válc I 4 7 N a nní je jž možné vjádt aální a adální složku nomálové síl N tg 58 N tg 88 R I N a pípadn samotnou nomálovou sílu N N I & 58 N kteou samozejm m-žeme ut jako výslednc jejích jž uených složek R N Píklad Kuželová kola s p(ímým zub Jedná se o další tp ozubených kol jejchž os jsou -znobžné a opt chceme ut složk nomálové síl N Dáno: M k Ut: R <EZ - Z daného momentu uíme opt nejdíve obvodovou sílu M k a pak jž je možné vjádt aální a adální složku výsledné nomálové síl tg sn R tg a je-l to potebné samotnou nomálovou sílu N

11 MOMENT SÍLY M S momentem síl jste se jž seznáml díve a bžn jste ho defnoval jako soun velkost síl a její kolmé vzdálenost od uvažovaného pevného bodu Ukážeme s nní obecnjší defnc pomocí vektoového potu Budeme ozlšovat dva pípad Ppomeme že ozmovou jednotkou po moment je [Nm] a že sm vektou momentu uíme podle pavdla pavé uk tak jak ho známe z vektoového násobení vekto- Moment síl k bodu Hovoíme-l o momentu síl k bodu máme na msl moment k ose kteá daným bodem pochází a je kolmá na ovnu položenou danou slou a tímto bodem Moment je uen vztahem M L j k z z z 44 4 z ( z ) j( z ) + k ( ) M M M z Vekto momentu splývá s osou pocházející bodem a jeho velkost je M M M M ++ M L L z Ješt jednou s ppomeneme že moment síl k bodu je oven momentu síl k ose tak jak je naznaeno na obázku vpavo Moment síl k ose O momentu síl k ose hovoíme jestlže osa je vzhledem k síle mmobžná Postupujeme tak že uíme nejdíve moment M L k lbovolnému bodu L os o a potom tento moment pomítneme do os o M L P-mt vektou M L do os o povedeme pomocí skaláního sounu M e [ e M ] e [ e ( )] L kde e Velkost momentu v ose o je ted M M L Uvdomme s že síla nemá k ose o moment kdž osu o potíná kdž je s osou o ovnobžná Stun s m-žeme pamatovat že moment síl k ose je oven p-mtu vektou momentu této síl k lbovolnému bodu os do této os

12 Vagnonova v'ta D-ležtá je následující vta podle kteé m-žeme moment výsledné síl ut pomocí jejch složek Platnost vt plne hned z následujícího výpotu momentu síl k ose M e o [ e M ] e L % # ) + e e $ * M [ e ( )] o (" & '! Lze poto vslovt následující Vagnonovu vtu Moment výslednce sl k lbovolné ose je oven algebackému soutu moment jejích složek k této ose Píklad 4 Chceme ut moment síl k ose o ležící v bokosn Dáno: ba Ut: M Výpoet povedeme jak skalán tak vektoov Nesmíme zapomenout že v jednoduchých úlohách je skalání postup mnohd chlejší avšak v úlohách postoových je tomu naopak Skalán: M p Vektoov: M a o ( ) [ ] T o a p ab a p p sn c b c c b ab M o a + b Znaménko je (-) neboi oentujeme od síl k bodu! % j k " a z M # M # a # $ z! + a M z / M M o o o sn o ( ) Po velkost složk momentu M M o do os o platí M o M / + M z b ab a c a + b

13 Moment k ose o je dán sounem složk Po? OdpovZ naleznete na konc tetu Píklad 5 Uete moment síl k ose o ležící v násn a kolmé vzdálenost Složk a z moment nemají! Dáno: Ut: z M o Jedná se o píklad podobný píkladu pedcházejícímu a poto povedeme jenom ešení vektoové M j k z z z z ( z ) j( z ) + k ( ) M M M z Po jednotlvé složk síl m-žeme psát Nní uíme dílí moment sn z sn M M M z ( sn z sn) ( z sn ) ( z sn ) ( sn ) Moment k ose o získáme jako p-mt M do této os s jednotkovým vektoem s s Po úpav ( s M ) s M + s M ( ) M s / o M M + M sn o Moment dvojce sl M Moment dvojce sl nebo též jnak dvojcový moment je momentem dvou ovnobžných stejn velkých a opan oentovaných sl Nejpve s ted budeme pamatovat že dvojce sl jsou dv stejn velké ale opan oentované síl kteé leží na ovnobžných nostelkách Popvé jsme se s touto kombnací sl setkal v šest základních poukách po statku a nní uíme jejch moment k lbovolnému bodu L po kteý platí M L + ( ) ( )

14 Vdíme že výsledný moment závsí pouze na vzájemné vzdálenost obou sl takže volba bodu L je zcela lbovolná To je podstatný ozdíl vzhledem k momentu síl k bodu nebo k ose M-žeme poto vslovt následující d-ležtou vlastnost Moment dvojce sl je volný vekto není vázán k bodu nebo k ose Je možno ho ovnobžn pesouvat Rozmovou jednotkou momentu dvojce sl je opt [Nm] Poznámka: Mez momentem dvojce sl a momentem síl panuje fomální shoda takže z výazu M L nepoznáme zda se jedná o moment síl dvojce sl To plne z podstat ešené úloh nebo nám to musí být eeno Skládání slových dvojc Z možnost paalelního pesouvání vektou dvojcového momentu vplývá následující významná vlastnost slových dvojc Slové dvojce skládáme tak že geometck s6ítáme jejch dvojcové moment Moment dvojce sl k ose Zcela stejn jako jsme uoval moment síl k ose uujeme moment dvojce sl k ose Stuace je zejmá z obázku podle kteého je složka momentu dvojce sl k ose o dána vztahem M o e [ e M ] kde M je vekto momentu dvojce sl kteý je kolmý na ovnu položenou obm slam ZÁKLDNÍ VT STTIKY Nní m-žeme vslovt vtu jejíž význam po statku je mmoádn d-ležtý a nepostadatelný Peložíme-l sílu na ovnobžnou nostelku musíme k této síle ppojt dvojcový moment ovný momentu pvodní síl k lbovolnému bodu nové nostelk Platí opa6n! Slou6ením dvojcového momentu a síl na nj kolmé dostaneme sílu na ovnobžn posunuté nostelce Posunutí povedeme tak ab moment posunuté síl k lbovolnému bodu p9vodní nostelk bl oven dvojcovému momentu Poznámka: Podívejte se na pátou základní pouku statk Na nové nostelce q ppojíte k p-vodní síle novou soustavu sl a kteá je v ovnováze Novou sílu necháte a staá síla s novou slou vtvoí dvojcový moment M Tím vznkne nový útva M vznaený na obázku tmav 4

15 PRÁCE VÝKON Potože se jedná o opakování jž známých pojm- povedeme pouze stuné shnutí hlavních P Nms poznatk- Ppomeme že ozmovou jednotkou páce W je [Nm] a výkonu [ ] Páce Síla Páce kteou vkoná síla p pohbu podél kvk k mez poloham I a II je dána vztahem W -dw - d Jedná se o skalání soun vekto- a d a poto musíme dát pozo na znaménko p násobení tak jak je naznaeno na pavé stan po -zné uspoádání obou vekto- Moment Pác momentu uíme pomocí výše uvedeného vztahu po pác síl kdž pí-stek dáh jedná se o otaní pohb vjádíme vztahem d d dosadíme do výazu po pác a upavíme W - d - ( d ) - d ( ) Po fomálním pepsání dostaneme výaz po pác vkonanou momentem síl - W M d Jedná se o otaní pohb a poto fzkální smsl má jenom složka momentu M do os o M W - M e d - M M d Poznámka: Je užtené zapamatovat s následující postup p výpotu páce: zakeslíme obecnou polohu vznaíme d d zakeslíme všechn slové únk a napíšeme vztah po dfeencál páce dw z podmínek ovnováh uíme píslušný slový únek dosadíme do výazu po dw a ntegujeme 5

16 Výkon Okamžtý výkon je defnován vztahem dw P dt Síla Dosadíme-l za dfeencál páce vztah z pedcházejícího oddílu m-žeme výkon síl vjádt jako P v Moment Podobn je tomu u momentu P M Ú7nnost Únnost mechancké soustav posuzujeme podle pvedených a odvedených únk- v v deální stav: M M mechancká soustava M M skutenost: < M > M pvádné únk odvádné únk Mez pvedeným a odvedeným výkonem ted platí elace M M M M odvedený výkon (výkon) pvedený výkon (píkon) V pa se asto používá pouze jenom jeden zátžný nebo hnací únek Hnací ú6nek M d M deální hnací únek skutený hnací únek Zátžný ú6nek M skutený zátžný únek M deální zátžný únek d Píklad 6 Chceme ut pác síl potebnou k pemístní tlesa z poloh I do II Dáno: m f b Ut: W Postup: Tleso konající posuvný pohb budeme uvažovat jako hmotný bod a napíšeme podmínk ovnováh vz následující kaptolu o soustav sl pocházejících jedním bodem ze kteých uíme sílu potebnou po pemístní tlesa 6

17 Po pác m-žeme psát vztah W - d - d Jedná se o soustavu sl pocházejících jedním bodem a poto píšeme dv podmínk ovnováh : Nf : N Q sn Ze duhé ovnce uíme N sn + Q a dosadíme do pvní ovnce ( sn ) fq + Po úpav dostaneme Q f f sn Nní m-žeme dosadt do výazu po pác W Q f - d Q f sn - d Q f - d f f tg b f + fb fb + fb ( % fb " Q f - d Q f ) + & #( ) + ln - d Q f bf fb * fb ' $ fb! Píklad 7 Chceme ut pác síl kteá má stálou velkost a sm podél pímé dáh s / L o o Dáno: N 5 m 6 m z m 6 45 Ut: W OdpovZ naleznete na konc tetu W - d + + z Postup: Pác vpoítejte jako skalání soun dvou vektoz Výsledek: ) W 5 Nm B) W 6 Nm C) W 7 84 Nm 7

18 Píklad 8 Chceme ut velkost a sm momentu síl k ose Dáno: Ut: o o N m mz M OdpovZ naleznete na konc tetu Poznámka: Sm momentu je kladný jestlže vekto momentu má souhlasný sm s jednotkovým vektoem os ke kteé moment hledáme Výsledek: ) M 485 Nm B) M 5 Nm C) M 5 5 Nm SILOVÉ SOUSTVY V pedcházející kaptole jsme se zabýval jednou zolovanou slou Nní se budeme vnovat soustavám sl a jejch základním vlastnostem Po vtší pehlednost ozdlíme soustav sl na soustav ovnné a postoové a každou z nch ješt dále ozdlíme na soustavu sl pocházejících jedním bodem a na obecnou soustavu sl Schematck s toto uspoádání znázoníme následovn Soustava sl o spoleném p-sobšt ovna posto Obecná soustava sl ovna posto SOUSTVY SIL O SPOLE@NÉM PCSOBIŠTI V této kaptole jak jž samotný název napovídá uvedeme základní vlastnost soustav sl kteé pocházejí jedním bodem Všmnte s že zde a bude tomu tak v dalším výkladu neozlšujeme síl akní a eakní K tomuto odlšení pstoupíme pozdj v aplkacích na hmotný bod Postoová soustava sl pocházejících jedním bodem Po další výklad zavedeme pojm kteé budeme používat Jsou to: náhada ekvvalence ovnováha Náhada (výslednce) O náhad slové soustav hovoíme kdž chceme síl nahadt jednou slou výsledncí po kteou platí 8

19 Je to ovnce vektoová kteou ozepíšeme do složek z z D-ležté je že každou složkovou podmínku m-žeme nahadt podmínkou momentovou ale opan to nelze! Moment k lbovolné ose o uíme pomocí vt Vagnonov a samozejm vužjeme znalost získané v kaptole Moment síl k ose takže m-žeme psát M o e [ e ( )] e[ e ( )] Ekvvalence O dvou slových soustavách Pj íkáme že jsou ekvvalentní mají-l stejnou náhadu Matematck toto tvzení zapíšeme smbolckým vztahem j P j Opt se jedná o vektoovou ovnc kteá pedstavuje t ovnce skalání j j P P j jz j j P D-sledkem uvedených ovností je následující tvzení Dv slové soustav jsou ekvvalentní mají-l stejné p-mt do tí nekomplanáních sm- V našem pípad jsou sm uen jednotkovým vekto j k Rovnováha Slová soustava je v ovnováze je-l ekvvalentní s nulovou náhadou ted má-l nulovou výslednc Musí poto platt a po ozepsání z Pojem ovnováh je nejd-ležtjší po paktckou aplkac na hmotný bod Síl oznaují ješt stále síl akní eakní avšak p psaní konkétních podmínek ovnováh jž budeme jak uvdíme tto síl od sebe odlšovat z 9

20 Rovnná soustava sl pocházejících jedním bodem Po soustavu sl kteé pocházejí jedním bodem a navíc leží v jedné ovn platí stejné úvah a záv jako po postoovou soustavu pocházející jedním bodem pouze s tím ozdílem že osa z neestuje To znamená že složkové ovnce ve smu os z se nepíší Píklad 9 Dáno: Ut: P a P po ekvvalenc a ovnováhu Poznámka: Jedná se o ovnný pípad a poto píšeme vžd dv ovnce Sm sl P P na nostelkách p p zvolíme lbovoln Pokud skutená síla bude mít sm opaný vjde nám p ešení znaménko mínus Ekvvalence Na nostelkách p p chceme ut síl P P kteé vtvoí ekvvalentní soustavu k p-vodní soustav sl Podmínk ekvvalence mají tva + P P + sn P sn P sn Z ovnc uíme P P Úlohu m-žeme ešt gafck skládáním sl Rovnováha Podmínk ovnováh mají následující tva + + P P sn + P sn + P sn Opt uíme P P Píklad Dáno: Ut: Náhadu sl <ešení povedeme gafck a poetn Gafcké (ešení

21 Po6etní (ešení Píšeme opt dv podmínk náhad kteou m-žeme smbolck zapsat vektoov + + Po výslednou sílu platí sn sn + Síl na jedné nostelce Zvláštním pípadem soustav sl pocházející jedním bodem ai postoové nebo ovnné jsou síl ležící na jedné nostelce Všechn uvedené pojm z-stávají v platnost pouze vektoové ovnce jsou nahazen ovncem skaláním Po náhadu ekvvalenc a ovnováhu m-žeme psát následující vztah náhada ekvvalence Pj ovnováha j PLIKCE N HMOTNÝ BOD ž dosud jsme hovol o soustav sl pocházejících jedním bodem anž bchom tomuto bodu psoudl jakýkolv fzkální význam Uvažujme nní hmotný bod na kteý p-sobí jedna z uvedených slových soustav Nejvtší fzkální význam mají úloh kteé eší ovnováhu bodu nebo její podmínk Ukážeme s nní pípad kteé se mohou p ešení ovnováh hmotného bodu vsktnout Znovu s uvdomte že se jedná o aplkac teoe soustav sl o spoleném p-sobšt na hmotný bod Rovnováha hmotného bodu v ovn' Podmínkou ovnováh je Tato podmínka platí po všechna následující uložení bodu v ovn Síla je výsledncí akních a eakních sl Zde popvé zaínáme ozlšovat síl akní kteé na bod p-sobí a síl eakní kteé vznkají ve vazb pokud se tato vazba vsktuje kteou je bod vázán ke svému okolí Bod v ovn m-že být podle uložení volný vázaný ke kvce nehbný (vázaný ke kvkám) volnost volnost volnost Nehbný bod U pípadu nehbného bodu s ukážeme -zné zp-sob všetování ovnováh

22 Píklad Dáno: Q l l Ut: Síl S S v putech Po6etní (ešení složkovým podmínkam S S S sn + S sn Q Po6etní (ešení momentovým podmínkam M : S l sn ( + ) Q l M B : S l sn ( + ) Q l Gafcké (ešení Q + + SS Poznámka: U gafckého ešení keslíme síl a jejch nostelk kdežto u ešení poetního používáme složk sl Gafcko-po6etní (ešení S Q + ( sn + sn ) & * ' ( ) S Q + ( sn + sn ) & * ' ( ) Bod vázaný ke kdvce Rozlšujeme jednak hladkou a dsnou kvku a u dsné kvk ješt dále dva pohbové stav a to pohb a kld Hladká k(vka Podmínku ovnováh sl zapíšeme vektoovou ovncí + N kteou m-žeme ozepsat do dvou složkových skaláních ovnc t N n Poznámka: U bodu vázaného ke kvce s výhodou používáme složk ve smu nomál a ten

23 Dsná k(vka a) pohb Stejn jako u pedcházejícího pípadu vjádíme ovnováhu sl ovncí + R kteou ozepíšeme do složek ve smu ten a nomál t Nf n N Po tecí úhel platí Nf tg f N b) kld Platí stejné ovnce jako u pedcházejícího pípadu kd se bod pohboval ale s jedním d-ležtým ozdílem Složka T výsledné eakce R není tecí slou nýbž tenou eakcí po kteou platí takže platí T Nf! Píklad Dáno: l h h Q Q Q Ut: Máme ut polohu ve kteé budou síl p-sobící na bod ealzovaný objímkou v ovnováze Objímka koná posuvný pohb po hladké t Píšeme dv podmínk ovnováh Q sn + Q Q Q sn + Q Q kde + h l ( l ) + h ze kteých uíme neznámé veln N

24 Píklad U bodu vázaného k dsné kvce chceme ut sílu tak ab pohb bodu bl ovnomný Dáno: Q f Ut: kd bude Napíšeme dv podmínk ovnováh + Nf Q sn sn + N Q Pomocí Cameova pavdla uíme neznámé N a N Q sn sn Q Q f sn ( sn sn ) ( + ) f sn Q f sn Q sn f ( sn f ) Q Q sn f Q f f sn f sn sn OdpovZ na otázku kd bude získáme z výazu po položíme-l sn f Odtud je tg f Píklad 4 Uvažujme dv pužn spojené za sebou kteé tvoí slovou soustavu ležící na jedné nostelce Dáno: l l k k l Ut: po ovnováhu sílu S v míst Rovnovážná poloha pužn nastane v míst kde bude platt S S Po vjádení sl ( Po dosazení za l dostaneme ovnost k S k ) dostaneme k k l l l l l ( l ) k ( l l ) 4

25 ze kteé uíme k l + k ( l l ) k + k Nní chceme znát jak velkou sílu S musíme vnaložt p posunutí o po dosažení ovnováh Musí být splnna podmínka ovnováh S + SS Po dosazení za S a S dostaneme ( + ) k ( ) ( k ) S S + S k k Je užtené s zapamatovat že výsledná tuhost dvou pužn p jejch následujícím uspoádání je dána uvedeným vztah k k k k k + k k + k Rovnováha hmotného bodu v postou Po ovnováhu platí stejná podmínka tj a potože se jedná o posto ozepsujeme vektoovou ovnc do skaláních ovnc Bod v postou m-že být podle uložení volný vázaný k ploše vázaný ke kvce nehbný (vázaný ke kvkám) volnost volnost volnost volnost Nehbný bod Píklad 5 Dáno: a cb Ut: S S S 5

26 Vektoovou podmínku ovnováh ozepíšeme do tí složkových ovnc Po vjádení úhl- : S S : sn S z : S sn S sn + sn c a + c b c + c m-žeme z ovnc vpoítat hledané síl S SS Bod vázaný ke kdvce Píklad 6 Dáno: a b l k Q f Ut: po ovnováhu Podobn jako u ovnné úloh máme ut polohu objímk ve kteé budou síl p-sobící na objímku kteá ealzuje bod v ovnováze Vedení objímk je hladké Rovnováhu sl vjádíme tem složkovým ovncem : S : sn + N Q S + : sn + N S + z z 6

27 Vjádíme úhl + a + b a + a + b b + a + b a nní ješt potebujeme ut podloužení pužn tj sílu v pužn S k Po tento úel s délk pužn v poátení a v konené poloze znázoníme ve zvláštním obázku ze kteého m-žeme hned psát l + + a + b po úpav l ++ + a b a konen po podloužení dostaneme + a + b l Nní m-žeme ze složkových ovnc ut hledané neznámé N N z Poznámka: Pokud bchom uvažoval dsnou kvku musíme vzít do úvah tva vedení tak jak je uvedeno na vedlejším obázku vpavo neboi tecí síla b bla po oba pípad odlšná 4 OBECNÉ SOUSTVY SIL V tomto oddílu budeme hovot o obecné soustav sl v ovn a v postou Jak samotný název vpovídá jedná se o soustavu sl kteé jsou v ovn nebo v postou lbovoln uspoádán Pojm náhada ekvvalence a ovnováha zavedené jž díve u soustav sl pocházejících jedním bodem z-stávají v platnost zde Soustedíme se zejména na pojm náhada a ovnováha neboi ekvvalence dvou soustav sl je jak jsme jž díve uvedl založena na skutenost že dv ekvvalentní soustav sl mají stejnou náhadu OBECNÁ ROVINNÁ SOUSTV SIL Uvažujme soustavu sl n v ovn Chceme povést její náhadu a ovnováhu Náhada ovnné soustav sl Náhadu soustav sl povedeme v poátku souadného sstému Zcela stejn ale m-žeme postupovat po lbovoln zvolený bod v ovn Slou a momentem v bod Použtím základní vt statk pesuneme síl do bodu a ppojíme moment M-žeme ted psát následující t skalání ovnce M sn ( sn ) 7

28 Velkost a sm síl vjádíme takto tg + M Z uvedených ovnc m-žeme ut hledané veln ovnné soustav sl a dostaneme náhadu obecné Jednou slou Použjeme základní vtu statk a slouíme a M Dostaneme M posunutou o míu a To je náhada obecné ovnné soustav sl Nní je možné vslovt následující tvzení Obecnou ovnnou soustavu sl mžeme nahadt slou a dvojcovým momentem ve zvoleném bodu nebo jednou slou v jsté vzdálenost od poátku souadncového sstému Gafcké u7ení výslednce obecné ovnné soustav sl Náhadu obecné soustav sl jednou slou m-žeme povést také gafck pomocí pólového obazce Uvažujme síl a naším cílem je ut jejch výslednc V po kteou po ozepsání platí V + + Vektoový záps geometck ntepetujeme obazcem vpavo Nní potebujeme ut polohu výslednce V To povedeme tak že k soustav ppojíme dv pomocné navzájem se ušící síl + S S jak je ukázáno ve složkovém obazc vpavo dole Tím vtvoíme tojúhelník sl kteé musí podle aonstatk pocházet jedním bodem vz slový obázek vlevo dole Postupným pechodem od pvního ke tetímu tojúhelníku získáme p-seík pólových papsk- v levém obazc dole kteé jsou tvoen mšleným slam ( S ) ( S ) kteým musí pocházet výsledná síla V 8

29 Uvedený postup m-žeme stun vjádt následujícím zápsem V + + S + ( ) S Z ovnce plne že V pochází p-seíkem S a S a je ovna soutu S + S Rovnováha ovnné soustav sl Jak jsme jž uvedl p uování náhad obecné ovnné soustav sl použl jsme k ešení t ovnce Dv z ovnc bl složkové a tetí ovnce bla momentová Tento poet ovnc jejch ozlenní z-stává v platnost po další postup Rovnováha obecné ovnné soustav sl je vjádena tmto tem ovncem sn ( sn z ) V tomto pípad jsou síl slam akním eakním Rovnná soustava ovnob'žných sl Jedná se o zvláštní pípad obecné ovnné soustav sl kd všechn síl jsou ovnobžné Z ovnobžnost sl vplývá že po ešení náhad ovnováh pípadn ekvvalence nám postaí dv ovnce Napíklad po náhadu m-žeme psát p Z tchto ovnc uíme hledané p sn Píklad 7 Dáno: Ut: Náhadu slové soustav v bod Náhada sl v bod musí splovat tto podmínk + sn ( ) + ( ) + sn ( ) + M Po velkost výsledné síl platí ( ) ( ) ++ sn Poznámka: Slové únk v bod nakeslíme zcela lbovoln neboi sm vjdou výpotem 9

30 Píklad 8 Dáno: Ut: Výslednc slové soustav tj Poznámka: Všmnte s fomulace obou úloh Nní hledáme výslednc tj velkost a p-sobšt výsledné síl Gafcké (ešení Gafcké ešení povedeme pomocí pólových papsk- tak že síl vkeslíme v mítku do složkového obazce a pólové papsk peneseme do slového obazce Po6etní (ešení P poetním ešení zvolíme míu úhel vznaíme a tto zvolené veln musí vhovovat vztah-m sn sn Velkost síl uíme známým zp-sobem ( ) + ( ) sn a po úhel m-žeme psát tg sn PLIKCE N TLESO V ROVIN Povedeme nní podobn jako tomu blo u soustav sl pocházejících jedním bodem aplkac teoe obecné ovnné soustav sl na tleso Z paktckého hledska má opt nejvtší význam ovnováha tlesa a tou se budeme zabývat Stejn jako tomu blo u aplkace na hmotný bod budeme nní odlšovat síl akní od sl eakních

31 Rovnováha t'lesa v ovn' Rovnováhu tlesa m-žeme ešt bez pasvních odpo- s pasvním odpo Nejdíve s ale ekneme kolk stup- volnost tleso v ovn m-že mít Stupn volnost tlesa v ovn Poet stup- volnost tlesa znázonného úsekou B v ovn uujeme vazbovou ovncí M-žeme mít tto možnost: volné tleso o ( ) vázané tleso je poet vazeb (poet vazbových podmínek) Uložení t'lesa v ovn' Uložení tlesa v ovn ealzujeme knematckým dvojcem kteé jsou deální (bez pasvních odpo-) nebo eálné (s pasvním odpo) Ideální knematcké dvojce otaní "" RR o ( R nebo ) posuvná "p" o ( N nebo ) NN valvá "v" o ( NT ) Po tenou eakc platí podmínka T Nf obecná "o" o ( N ) Poznámka: je poet vazbových podmínek a v závoce jsou uveden odpovídající vazbové síl

32 Reálné knematcké dvojce otaní "" Moment epového tení je dán vztahem M 6 R f6 6 kde f6 je sountel epového tení a 6 je polom epu posuvná "p" valvá "v" e je ameno valvého odpou a po tenou eakc opt platí T Nf obecná "o" Rameno valvého odpou e asto zanedbáváme Poznámka: Poet stup- volnost je stejný jako u deálních knematckých dvojc Knematcké dvojce ješt doplníme Euleovým vztahem po tení vláken S S e f ešení ovnováh t'lesa v ovn' Rovnováhu tlesa m-žeme ešt analtck - keslíme složk eakcí gafck - keslíme nostelk výsledných eakcí

33 Zejména po gafcké ešení s zapamatujte následující t pípad uvedení akních sl p-sobících na tleso do ovnováh: a) slou na dané pímce a slou pocházející daným bodem b) tem slam na tech daných nostelkách (metoda t sl nebo také metoda ástené výslednce) c) slou na dané pímce a slou ovnobžnou s daným smem ad a) ad b) ad c) R + R + S + + SS + B + + NR Poznámka: Všechn uvedené pípad m-žeme ešt poetn tak že vektoové podmínk ovnováh ozepíšeme do dvou složkových a jedné momentové ovnce Píklad 9 U nakesleného nosníku zatíženého slou chceme ut eakce v uložení Dáno: Ut: a l R N B Z podmínek ovnováh R R sn + N N B l sn B <ešíme ovnováhu tlesa se tením uíme hledané neznámé R R N B Píklad Dáno: Q G f6 6 Z podmínek ovnováh Ut: Reakce a sílu R G Q R + Poznámka: Pasvním únkem Q f6 6 R + R je moment epového tení uíme hledané neznámé R R

34 Píklad Dáno: Q e f Ut: Použtím Euleova vztahu m-žeme psát f S Q e S f e Píklad Dáno: Q q[ Nm ] Ut: Gafck eakce Postup: uíme výslednc V spojtého zatížení q uíme výslednc V a Q pomocí pólových papsk- metodou ástené výslednce uíme síl v putech S SS 4 Píklad Dáno: G f f f Ut: Q tak ab bemeno klesalo ovnomn Použjeme Eule-v vztah e f Q S + a napíšeme podmínk ovnováh S sn + N f + NG S N + fn S N f N f odkud uíme neznámé Q S NN 4

35 Píklad 4 Dáno: Q m f6 6 Ut: potebnou k vtažení bemene Z podmínek ovnováh + R sn R + g Qm + Q M 6 kde M 6 R + R f6 6 uíme R R Stuac p ešení nám komplkuje výaz po moment epového tení kteý do ešení vnáší nelneatu <ešení nelneáního poblému povedeme buz pblžn lneazací nebo fzkální teací Cešení nelneáního poblému ) Lneazací použtím Ponceletova vztahu ( po R R ) R + R 96R 4 R >+ ) zkální teací tak že nelneání len pevedeme do vektou pavé stan sn R mg Q R Q + f R + R <ešení povádíme v postupných kocích ( ) ( ) ( ) kok po f 6 R R? ( ) ( ) ( ) kok po f 6 4 R R? kok po f OBECNÁ PROSTOROVÁ SOUSTV SIL Postoovou soustavu sl n nelze nahadt jednou slou neboi nelze složt dv mmobžné síl bez ppojení momentu Budeme se opt zabývat náhadou a ovnováhou obecné postoové soustav sl 6 6 5

36 Náhada postoové soustav sl Postupujeme zcela stejn jako u obecné ovnné soustav sl tj po náhadu v poátku nebo v lbovoln zvoleném bodu pesouváme paaleln jednotlvé síl a ppojujeme dvojcové moment Dostaneme následující soustavu tí složkových a tí momentových ovnc z z z Velkost výsledné síl získáme jako absolutní hodnotu vektou ++ z ( z z ) M M ( z ) M M M z M z + ( ) Po velkost momentu m-žeme opt psát M 5 M M µ M M z 7 M M M M ++ M z M-žeme poto vslovt následující tvzení Obecnou postoovou soustavu sl lze nahadt výslednou slou a dvojcovým momentem M Po lbovolnou polohu poátku dostaneme stejnou výslednc ale -zný moment M Potože výsledná síla je vžd stejná íkáme že je pvní vektoový nvaant obecné postoové soustav sl Pomítnutím vektou momentu M do smu síl dostaneme moment M Peložíme nní sílu a moment M z bodu do bodu Dvojcový moment M m-žeme pesunout bez poblému avšak p posunutí síl je nutné podle základní vt statk ppojt moment takže v bod budeme mít moment (znaménko (-) je dáno oentací polohového vektou ) M M / Po skaláním vnásobení vektoem dostaneme M ( M ) M ( ) M M 6 M Z poovnání obou skaláních výaz- plne

37 M M M konst M-žeme poto íc že M je duhý vektoový nvaant obecné postoové soustav sl Rovnováha postoové soustav sl b bla slová soustava v ovnováze musí být M ted musí být splnn ovnce M M z M z kteé tvoí 6 skaláních podmínek ovnováh Složkové podmínk lze nahadt momentovým podmínkam Ppomeneme s že zde opt a M pedstavují únk akní eakní ROVNOBŽNÉ SÍLY V PROSTORU Jedná se o zvláštní pípad obecné postoové soustav sl kd všechn síl podobn jako tomu blo v ovn jsou ovnobžné s jedním smem V techncké pa má tento pípad velký význam jak uvdíme v následující kaptole vnované uování tžšt Budeme se zabývat náhadou a ovnováhou Náhada Náhadu ovnobžných sl v lbovolném bod m-žeme vjádt vektoovým ovncem M M n kteé po ozepsání budou pedstavovat t skalání ovnce M M M M Jak vdíme z obázku povedl jsme ovnobžné posunutí jednotlvých sl do zvoleného bodu a ppojl dvojcové moment Po náhadu píšeme ted t podmínk z toho je jedna složková a dv jsou momentové k osám kteé jsou kolmé na sm sl Potože je M m-žeme optovným použtím základní vt statk soustavu ovnobžných sl v postou nahadt jednou výslednou slou tak jak uvdíme dále Rovnováha b blo dosaženo ovnováh musí být opt splnno že M ted musí platt M M z M-žeme poto íc že po ovnováhu píšeme opt t podmínk a to jednu složkovou a dv momentové 7

38 StDedsko soustav ovnob'žných sl v postou Stedsko soustav S je bod kteým pochází výslednce ovnobžných sl v postou Uvažujme že jsme soustavu ovnobžných sl nahadl jednou výslednou slou Vekto m-žeme vjádt jako soun jednotkového vektou a hodnot vektou ted e e b síla bla jednou výslednou slou musí platt s Po dosazení za vekto sl z pedcházejícího vztahu dostaneme e e s Potože e se vsktuje na obou stanách ovnce musí platt s odkud získáme polohový vekto stedska soustav s PLIKCE N TLESO V PROSTORU Podobn jako u obecné ovnné soustav sl budeme získané teoetcké poznatk aplkovat na tleso a to na jeho ovnováhu kteá má domnantní techncký význam Nejdíve se ale musíme zmínt o potu stup- volnost tlesa v postou a o zp-sobech jeho uložení Poet stup- volnost tlesa v postou je dán vazbovou ovncí 6 kde je poet vazeb espektve poet stupvolnost odebíaných vazbam M-žeme mít tto možnost volné tleso o 6 vázané tleso ( 6 ) o Uložení t'lesa v postou Možností uložení tlesa v postou je celá ada a nelze je tak jednoduše uspoádat jako jsme to udlal po ovnný pípad Uvedeme základní vazb tlesa k ámu a jejch kombnace a vaace nní ponecháme stanou 8

39 Vazba bodu tlesa k ámu Vazba ploch tlesa k (ploše) ámu nekonguentní ploch (nesplývající): dotk v bod nebo v kvce o o Vazba kvk tlesa k ámu adální ložsko o 4 tvoí všší knematckou dvojc (ozubená kola) konguentní ploch (splývající): dotk ve všech bodech adaální ložsko posuvné uložení o o 5 5 Píklad 5 Dáno: a b c d Ut: Reakce v úložných místech Po ovnováhu píšeme šest podmínek ovnováh R X R + RB + C R R z RC RB z d RB d + R Bz b b a a ze kteých uíme šest eakcí R R R R R R Poznámka: Celkem jsme stanovl šest eakcí To znamená že tleso je uloženo nehbn 9 z B Bz C

40 Píklad 6 Dáno: M 5 µ l a b c Ut: Reakce Nejdíve vznaíme eakní síl ve vazbách Jsou to R R R N N S z Napíšeme šest podmínek ovnováh : + R + N S os + c : + R + N S + : + Rz S 8 + z M : M 5 N l S b 8 cs M : M µ N l + S b os8 as + c M : M 7 S c + S a z ze kteých uíme hledané eakní síl R R R N N S z Píklad 7 Dáno: Q ozm Ut: Síl v závsných lanech a ozhodnout kteý z výsledk- B C je spávný Postup: K ešení použjeme momentové podmínk ovnováh k vznaeným osám o o Odpovd: a b ) S Q ( S + S) S Q S Q s s a b B ) S S + S Q S ( S S) S + Q s s b a C ) S Q ( S + S) S Q S Q s s TŽIŠT Vátíme se nní k soustav ovnobžných sl v postou a zejména k uování jeho stedska V bžném žvot asto slýcháme nebo sam používáme pojem tžšt Tžšt je stedsko ovnobžných elementáních tíhových gavtaních sl Cílem této kaptol je ukázat uování tžši -zných geometckých objekt- Naše úvah ozdlíme na tžšt ovnných a postoových útva- 4

41 T'žšt' ovnných útvam Podle tvau ovnného útvau m-žeme ešení povádt gafck poetn z ekvvalence statckých moment- pípadn použtím Pappových vt nebo též jnak nazýváno Guldnova pavdla Gafck Chceme ut tžšt desk daného tvau Postup: Útva se skládá z jednoduchých dílích obazc- jejchž tžšt známe a umístíme do nch síl úmné jejch plochám ted ab Potože kuh chbí sílu odeteme Pomocí pólového obazce nalezneme výslednc a její polohu Síl otoíme o a postup zopakujeme V p-seíku svslé a vodoovné síl je tžšt Pappov vt Pappov vt nebo též pod jným názvem Guldnovo pavdlo jsou dv Po plochu a po objem Podle pvní Pappov vt uíme tžšt p-lkužnce neboi m-žeme psát Plocha ota6ního tlesa je ovna sou6nu délk ovnné k(vk a délk kužnce opsané tžštm této k(vk Objem ota6ního tlesa je oven sou6nu ploch ovnného obazce a délk kužnce opsané tžštm tohoto obazce 4 T odkud je T Podle duhé Pappov vt uíme tžšt p-lkuhu Po tento pípad platí 4 4 T T Ekvvalence statckých moment Nejpve s musíme zapamatovat že statckým momentem ozumíme soun váh hmot obsahu ploch nebo délk kvk a vzdálenost omáln se podobá momentu síl avšak fzkáln má zcela jný význam Po nakeslený obazec platí že statcký moment obsahu ploch je oven soutu ploch elementáních obdélník- což m-žeme zapsat výazem 4

42 b T - d a Stun m-žeme ted vslovt následující tvzení Statcký moment celkové ploch je oven algebackému sou6tu statckých moment9 elementáních ploch Potom po souadnc tžšt ploch je možné psát b - f ( ) d b a T b kde -d - f ( ) d a f ( ) d - a Platí následující vta: Tžšt T ploch kteá je p-mtem ploch je v p-mtu tžšt T ploch Píklad 8 Dáno: a b Ut: Tžšt ploch ohanené pavoúhlým tojúhelníkem P uování souadnce statckých moment- T použjeme podmínku ekvvalence Potože platí b a ab T a - d m-žeme výaz na pavé stan pepsat a dostaneme ab a b b a - d a a T odkud jž vjádíme souadnc tžšt ve smu os kteá je T a Po uení souadnce T m-žeme použít duhou Pappovu vtu kdž s uvdomíme že otací kolem vznkne kužel Platí poto ab ab T b T Poznámka: Souadnc T m-žeme samozejm také ut pomocí Pappov vt neboi platí ab a b T a T 4

43 Píklad 9 Dáno: a b Ut: Tžšt ploch ohanené tvtelpsou Potože otací ploch tvtelps vznknou objem polovn elpsod- uvedeme s nejdíve tto objem po naznaené sm otací Podle duhé Pappov vt m-žeme po uení souadnce T psát V T kde ab 4 V a b 4 Po dosazení a úpav dostaneme po T 4 a b 4 a T ab 4 4 V a b 4 V ab Podobn po souadnc T dostaneme V T + ab 4 4 b V ab ( ) & T * 4 ' T'žšt' postoových útvam P uování tžši postoových útva- vcházíme vžd z ekvvalence statckých moment- Nejlépe bude kdž postup budeme demonstovat na konkétním pípadu uení tžšt komolého kužele Podle podmínk ekvvalence statckých moment- m-žeme psát - V T V d Po komolý kužel m-žeme napsat úmu h h kde a jsou obsah ploch ve vzdálenost a h od vcholu Objem komolého kužele m-žeme vjádt jako souet objem- elementáních válc- h h V - d h Po dosazení do pvní ovnce m-žeme vjádt souadnc tžšt T 4 4 h h dv h h - V h h 4 h h 4

44 Píklad Dáno: a b Ut: Tžšt polovn elpsodu Jedná se o uení tžšt postoového útvau a poto vjdeme z podmínk ekvvalence statckých momenta V T - dv Celkový objem uíme jako souet elementáních objem- V a - dv - d Z ovnce elps v osovém ezu vjádíme závslost ( ) a b + * a + b ) & ( ' Po dosazení do pvní ovnce dostaneme T a - dv a dv a d a d a + b ( ) b d b a b & a * ' a a a + b ( b -) b d b a & * a ' a 4 a 4 a b a b a 4 b a 8b a a 8 VNITNÍ STTICKÉ Ú@INKY Na konec vužjeme získaných znalostí o postoové soustav sl k uení vntních statckých únk- tlesa kteé se používají v pedmtu pužnost a pevnost Vntním statckým únk nazýváme slové únk kteým je namáhán zvolený ez tlesa Tmto únk jsou síla a moment M Musíme s zapamatovat následující vtu: Vnt(ní statcké ú6nk u6ujeme jako náhadu všech slových ú6nk9 p9sobících po jedné stan (ezu povedenou v jednom bod ovn (ezu P uování vntních statckých únk- postupujeme tak že nejdíve povedeme ovnováhu celého tlesa a z ovnovážných podmínek uíme eakní únk Uvažujme že na tleso p-sobí síl a Q kteé pedstavují síl akní eakní Po ovnováhu musí poto platt j 44

45 + Q j j M + M Q j j Nní na vbaném míst tlesa povedeme mšlený ez a jednu z ástí teba pavou odejmeme Odstannou ást nahadíme slou a dvojcovým momentem M a povedeme ovnováhu zblé ást s pdaným slovým únk M Nezáleží na tom kteou ást po ovnováhu vbeeme Rozdíl bude jenom ve znaménkách slových únk- Po ovnováhu zblé levé ást platí vztah + M + M odkud uíme hledané slové únk M Složk tchto únk- oznaujeme N T T z M j nomálná síla smkové posouvající síl koutící moment M ohbové moment M K M z Píklad Dáno: Ut: Vntní statcké únk v míst Z ovnovážných podmínek R R + N sn B N B l sn a uíme eakce R N R B Nní povedeme ovnováhu pavé ást je to výhodnjší a dostaneme vntní statcké únk v míst N T N M N ( l ) B B 45

46 6 ROVINNÉ SOUSTVY TLES SLOŽENÍ VYTVÁENÍ ROVINNÝCH SOUSTV Soustavou tles nazýváme seskupení alespo tí tles Soustav dlíme na nepohblvé volnost pohblvé volnost mechansm volnost dfeencál Jednotlvá tlesa tvoící soustavu jsou navzájem spojena knematckým dvojcem Ukážeme s nní základní mechansm a nehbné skupn jejchž skládáním m-žeme vtváet mechansm a nehbné soustav s komplkovanjší stuktuou Díve než s základní soustav ukážeme nauíme se uovat stupe volnost ovnných soustav Stupe? volnost ovnné soustav Poet stup- volnost ovnné soustav uujeme ovncí vazbové závslost (n ) (+p+v) kde p v jsou jž díve uvedené knematcké dvojce kteé soustav odnímají každá volnost Obecná dvojce o odnímá º volnost Ukážeme s použtí na jednoduchých pípadech o ( ) ( ) Jedná se o tojkloubový nosník kteý je nejjednodušší nepohblvou soustavou ve statce Také jí nazýváme bnání skupnou Poznámka: Všmnte s -zného zakeslení uložení len- na základním ámu kteý vžd oznaujeme íslem u obou pípad- Jedná se o fomální úpavu kteá nemní nc na skutenost že se vžd jedná o otaní knematckou dvojc 9 ( 5) Znaménko (-) znamená že se jedná o soustavu statck neutou pvního stupn Bnání skupnu (5 + 6) lze ppojt k lbovolné soustav anž se tím zmní stupe pohblvost této soustav a naopak odejmeme-l základní skupnu stupe pohblvost se opt nezmní Ppojením bnáního 6lenu (put 5) se stupe pohblvost soustav zmenší o a obácen 46

47 Základní mechansm Rozdlíme je podle potu len- na mechansm tlenné a mechansm Klkový Whtwoth-v Pavoúhlá kulsa btkloubový Tojlenné mechansm Tto mechansm vžd obsahují obecnou dvojc Vakový mechansmus Mechansmus ozubených kol zaoblený zvedák plochý zvedák Základní nehbné skupn Bnání skupna Tenání skupna Dvoutenání skupna 47

48 STTICKÉ EŠENÍ SOUSTV P ešení budeme ozlšovat soustav bez pasvních odpo- a soustav s pasvním odpo a dále ešení ozdlíme na poetní a gafcké EŠENÍ SOUSTV BEZ PSIVNÍCH ODPORC Ped vlastním ešením s zapamatujeme že nezatížený bnání len m-že mez dvma tles B penášet následující slové únk Poznámka: Nezatíženým bnáním lenem ozumíme že na tento len nep-sobí žádná vnjší síla Po7etní Dešení soustav <ešení je stejné po pohblvé nepohblvé soustav a povádíme ho uvoloováním jednotlvých len- soustav P ešení uujeme slové únk ve vazbách ted eakce mez tles a v pípad pohblvých soustav ješt slový únek potebný po dosažení ovnováh Kolk stup- volnost má všetovaná soustava tolk slových únk- musíme ppojt po ovnováhu (každý na -zný len!) Ukážeme s postup na konkétních pípadech Píklad Dáno: G Q a b c l Ut: Reakce Jedná se o nepohblvou soustavu a poto uujeme jenom síl ve vazbách Uvolníme len a a po každý z nch napíšeme t podmínk ovnováh 6len 6len Po len dostaneme B + B a bb 48

49 a po len B Q C + B + GC B l B b + cq Z ovnc uíme hledané B B C C Poznámka: Sílu G p-sobící ve stníku B m-žeme zahnout p uvolování buz ke lenu nebo Všmnte s že vlouením B B dostaneme ovnováhu mez vnjším slam a vnjším eakcem! Píklad Dáno: Q ozm U6t: Reakce a M po ovnováhu Jedná se o pohblvou soustavu a poto musíme ppojt po ovnováhu vnjší únek kteým je moment M 6len B B B a + B + Mb 6len 6len 4 B C C + B + QC C N B e + B b cq N ( + gd ) Ze získaných devít ovnc uíme hledané eakce a moment B B C C N M Gafcké Dešení soustav Po gafcké ešení je velm užtená znalost následujících vt Vnjší síl a vnjší eakce jsou v ovnováze Je-l soustava zatížena nkolka slam platí že výsledné eakce v každém jednotlvém kloubu se ovnají geometckému soutu dílích eakcí nalezených po pípad že každá ze sl b p-sobla sama (pncp supepozce) Platí po soustav bez pasvních odpo- 49

50 Jestlže složka njaké síl p-sobí do kloubu na základním ámu pak se tímto kloubem pímo zachtí a nevvodí žádné jné eakce Poznámka: Po vlastní postup ešení je d-ležté vdt že: u gafckého ešení keslíme nostelk eakcí nkolv eakce samotné nebo jejch složk! p ešení vcházíme od nezatížených len- kde známe nostelk eakcí nepovádíme uvolování! p gafckém ešení vžd musíme mít k dspozc výkes v mítku Nepohblvé soustav P9sobí jedna síla Dáno: Ut: Reakce P9sobí více sl <ešení povedeme supepozní metodou Dáno: Ut: Reakce <ešení povedeme po každou sílu zvláši a v jednotlvých stnících povedeme geometcký souet dílích eakcí P9sobí : P9sobí : Pohblvé soustav <ešení pohblvých soustav je shodné s ešením soustav nepohblvých s tím že navíc hledáme slový únek po dosažení ovnováh Opt po každý len soustav keslíme tojúhelník sl u metod ástené výslednce túhelník sl Stuace je zejmá z ešení následujících mechansm- kde je p-sobící slou 5

51 btkloubový mechansmus R + + S R + + RB S S + R R B + + SS + D 4 Whtwoth-v mechansmus + R + + NR R + + SN N + + NN Poznámka: Rovnováhu ovnobžných sl N N N p-sobících na len 4 ešíme pomocí pólového obazce Složený mechansmus + N + R D N + R + C RB R S + R B + ešení soustav s pasvním odpo <ešení m-žeme opt povádt poetn nebo gafck P poetním ešení používáme metodu uvolování a uvažujeme eálné knematcké dvojce stejn jako u ešení gafckého kde ale nesmíme použít metodu supepozce P gafckém ešení povedeme nejdíve ešení bez pasvních únk- a pak následn kd jž známe sm eakních sl povedeme ešení s pasvním únk M se budeme vnovat jenom ešení poetnímu a stuac budeme demonstovat na píkladu Píklad 4 Dáno: m m m4 f6 6 6 Ut: M eakce H Povedeme uvolnní jednotlvých len- 6len 5

52 6len len : R R m Sg M M 6 H kde M 6 R f6 6 len : S + S m Rg S M 6 6len 4 S kde M 6 RB f6 6 len 4: R B 4 gm M 6 m g 4 Ze získaných ovnc uíme hledané neznámé M R R S S RB SOUSTVY S OZUBENÝMI KOLY Soustav s ozubeným kol m-žeme ozdlt podle -zných hledsek Použjeme-l hledsko uspoádání a potu stup- volnost m-žeme schematck použít následující lenní: soustav: ovnné pedlohové sfécké planetové postoové dfeencální Ukážeme s tpcké uspoádání pedlohové a planetové soustav P(edlohová soustava Osa každého ozubeného kola je pevná Planetová soustava centální kolo satelt 4 unaše 5 kounové kolo ešení soustav s ozubeným kol <ešení pedlohových soustav povádíme stejn jako u jných soustav není zde žádná zvláštnost Ukážeme s poto poetní ešení u páu ozubených kol a u planetového soukolí s dvojtým sateltem basto píšeme jenom momentové podmínk ovnováh kdž nepotebujeme eakce v uložení 5

53 Dáno: M m m Ut: Reakce M Mez složkam síl N platí vztah R T tg Kolo : R Kolo : B R + T gm B T gm M T M T Z uvedených ovnc m-žeme ut B B M T Dáno: M n z z zz 4 Ut: M 4 n4 Jedná se o planetové soukolí s dvojtým sateltem a ešení opt povedeme uvolnním jednotlvých len- Potože nehledáme eakce budeme po uvolnné len psát jenom momentové podmínk ovnováh 5

54 Po jednotlvé len m-žeme psát následující momentové podmínk ovnováh M Poznámka: Rovnováhu lenu povedeme tak že síl peložíme do os sateltu a ppojíme dvojcové moment M ( + ) ( + ) 5 Ze duhé ovnce získáme M Ze tetí ovnce uíme hledaný moment na unaše M 5 ( + ) ( + ) M 54

55 KINEMTIK 7 KINEMTIK HMOTNÉHO BODU Pohb bodu m-žeme popsat vztah ( t) ( s) s s ( t) kde ( s) s ( t) jsou spojté a dfeencovatelné funkce a délka oblouku s je pozený paamet Rchlost a zchlení jsou defnován vztah d d dv v ms dt dt dt [ ms ] a [ ] Podle tajektoe dlíme pohb na pímoaý kvoaý ovnný postoový Pímoaý pohb po pímce p se smovým vektoem p m-žeme popsat vektoovým vztahem p () t ( t ) [ ] Rovnný pohb v ovn kteá má nomálu n je uen výazem n [ () t ( t )] PÍMO@RÝ POHYB BODU Ztotožníme-l pímku p se souadncovou osou bude platt p p a pohb m-žeme popsat skaláním ovncem Po chlost a zchlení platí následující vztah v d dt a dv dt d dt ( v ) d d + ) ) a * dv d d { dt v v dv d ( d( v )& & d ' kde zejména poslední výaz po zchlení je velm užtený Pímoaý pohb bodu dlíme podle zchlení na a) a b) a konst c) a 4 konst ovnomný ovnomn zchlený zpoždný neovnomný 55

56 P ešení pvních dvou pípad- m-žeme po vjádení chlost a dáh použít výaz uené z defnních vztah- P ešení tetího pípadu vcházíme z defnních vztah- ad a) a v konst + tv ad b) a konst v v ± at v v ± a v t ±+ at po a <> P-bh zchlení chlost a dáh m-žeme gafck znázont následovn ad c) a 4 konst p ešení se musí použít defnní vztah tak jak s ukážeme na následujících píkladech Píklad 5 Dáno: a k Ut ( t) Potože je dáno a a( ) a chceme ut ( t) obsahuje všechn t veln (a t) tj d a k dt Po pepsání dostaneme d + k dt použjeme k ešení defnní vztah kteý Jedná se o dfeencální ovnc duhého ádu s konstantním koefcent k jejíž ešení použjeme metodu chaaktestcké ovnce u kteé pedpokládáme ešení ve tvau 5 t 5 t t e & 5 e 5 & 5 e Potom platí t 5 t C e + C e po 5 5 t 5 t C e + t C e po Po dosazení do p-vodní ovnce a vdlení t e 5 dostaneme chaaktestckou ovnc 56

57 5 + k 5 ± k Po dosazení do výazu po dostaneme k t k t C e + C e Použjeme gonometcký tva po komplení íslo a dostaneme C ( k t + sn k t) + C ( k t sn k t) Slouíme eálné a magnání ást a peznaíme konstant ( C + C ) k t + ( C C ) sn k t k t + B sn k t Po uení B potebujeme ješt jednu ovnc kteou získáme devací ovnce po v & k sn k t + B k k t Po poátení podmínk t v v Uíme konstant B v k B kteé dosadíme do výchozí ovnce a získáme hledaný vztah ( t) v k t + sn k t k Poznámka: <ešený píklad má velkou d-ležtost v dnamce kde pedstavuje matematcký model kmtavého pohbu Píklad 6 V jaké vzdálenost musí motockl odbot z pímého smu ab as kteý potebuje k cest z do B bl mnmální kdž chlost po odboení bude polovní? Dáno: v 6 kmh l 5km h 5 km Ut: Jedná se o pohb ovnomný Vjádíme celkový as potebný k pekonání obou ástí dáh a uíme jeho mnmum ( l ) + h t + v v 57

58 dt d v + [( l ) + h ] ( l )( ) v v ( l ) + ( l ) + h v Vjádíme a dosadíme íselné hodnot v h h l l km v v Píklad 7 Do studn pustíme kámen Jeho dopad uslšíme za as t od okamžku vpuštní kamene Uete hloubku studn h Dáno: t 6 s c ms (chlost zvuku) Ut: h Kámen se pohbuje ovnomn zchleným pohbem a dáhu h uazí za as t Zvuk dopadu se šíí ovnomným pohbem a stejnou dáhu uazí za as t Po oba pohb platí h h g t t g h h c t t c Celkový as od vpuštní kamene do uslšení dopadu je h h t t + t + g c Odstaníme odmocnnu upavíme h t c h g + c ( h h ) c t & + c t * g ' + vjádíme h a dosadíme + c ( + c ( h ) + ct & ± ) + ct & c t & 5 m * g ' * g ' Píklad 8 Po dané zchlení bodu uete jeho dáhu a chlost Dáno: a a kv Ut: ( t) v v( t) 58

59 Jedná se o pohb neovnomný a poto po ešení použjeme defnní vztah po chlost a zchlení Z defnního vztahu po chlost m-žeme psát dv a a kv dt Povedeme sepaac pomnných a naznaenou ntegac t v dv - dt - lg( a kv) v + v a + kv k v Upavíme a vjádíme chlost a a + kv + kv e kt + a + kv v ( ) a & v v( t) kt k * e ' Pomocí defnního vztahu po dáhu m-žeme napsat d dt + a + kv ) a k * e ( & ' kt Povedeme sepaac pomnných a + kv k kt - d -e dt a po ntegac dostaneme t a k t - dt kt a + kv e a t a + kv a t k k k k k kt ( e ) t KIVO@RÝ POHYB BODU Defnní vztah po chlost a zchlení uvedené v úvodní ást z-stávají pln v platnost a m je nní blíže vjádíme po pípad kvoaého pohbu kteý ozdlíme na pohb v ovn a v postou Rovnný pohb Po ešení ovnného pohbu m-žeme použít jednak katézské sou(adnce a jednak polání sou(adnce V našem výkladu budeme používat katézské souadnce Poznámka: U ( t) znamená t as v obázku znamená tenu t s jednotkovým vektoem t 59

60 Použtím defnních vztah- m-žeme psát d d ds v t v dt ds dt dv dt ds dv a v + t dt ds { dt dt v n + t at an R v + a kde an je nomálová dostedvá složka zchlení at je tená složka zchlení P tomto odvození jsme použl výaz d dt t kteé jsou odvozen vpavo ds ds R pomocí pekesleného obázku t Podle defnce devace m-žeme psát d ds : lm t kde t je jednotkový : s : s vekto ten Z podobnost tojúhelník- platí : t : s t R t takže m-žeme psát : t dt lm : s : s ds R Tím jsme odvodl oba použté vztah dt Nní ješt potebujeme ut sm vektou Potože je t m-žeme psát že t tt ds dt Devací tohoto vztahu dostaneme výaz t kteý vjaduje že vekto t je kolmý na ds dt vekto a poto m-žeme psát ds dt ds n R dt ds n K kde R je polom kvost a K je flení kvost Tomuto výazu íkáme pvní enetv vzoec Píklad 9 Dáno: Ut: Rchlost zchlení a polom kvost dáh bodu L v jeho poloze L Bod L kteý je bodem kužnce k opsuje p valení k po pímce cklodu Rovnce dáh bodu L je dána vztahem j ( sn ) + ( ) Devací získáme chlost a zchlení v obecném bod L 6

61 v & ( ) + j sn a v sn + j Bod L zaujme polohu L po a po chlost a zchlení v tomto bod platí v a j ( ) Potože je a v platí že a a a m-žeme poto psát n a v v a n 4 n 4 Píklad 4 V bod s poátení chlostí se nachází hmotný bod Pod jakým úhlem musíme z poátku vpustt stelu s výstelem? Odpo vzduchu neuvažujeme v s abchom zasáhl padající bod jestlže bod zane padat souasn Dáno: 4m 7m v s ms Ut: Poznámka: Bod se pohbuje ovnomn zchleným pímoaým pohbem stela S se pohbuje po kvce V obecném ase t souadnce bodu a stel m-žeme vjádt následujícím vztah bod: gt stela: s tv s s vs sn t gt V bod zásahu mají hmotný bod stela stejné souadnce takže platí s s Po dosazení dostaneme 6

62 v s t v s sn t g t tg Po úpav máme tg 75 o 65 Postoový pohb Platí stejné defnní vztah a z nch plnoucí vzoce jako po ovnný pohb navíc pstupuje tozní kvost S nomálou a tenou v obecném bod L postoové kvk jsme se jž seznáml p ovnném pohbu K tmto pímkám nní pstupuje pímka další kolmá na ob pedcházející kteou nazýváme bnomálou Tto t pímk espektve jejch jednotkové vekto t n b tvoí p-vodní tojhan kvk kteý také jnak nazýváme enetv tojhan Dvojce pímek vznaují v bod L následující ovn t n n b t b oskulaní ovna nomálová ovna ektfkaní ovna Jednotkový vekto bnomál m-žeme vjádt pomocí vektoového sounu b t n Devací podle paametu s dostaneme db dt dn n + t ds ds ds Kdž s uvdomíme že platí dt n K ds a potože je dále n tj n nn je podobn jako tomu blo u ten dn dn n n ds ds d n To ale znamená že vekto leží v ektfkaní ovn a m-žeme ho vjádt jako souet jstých ds vekto- ležících v této ovn tj m-žeme psát 6

63 dn ds t + b kde jsou jsté zatím neznámé koefcent Po dosazení do vztahu vjadujícího devac bnomál podle paametu s dostaneme dn n K n + t ds ( t + b) t b a po pepsání s tím že G získáme duhý enetv vzoec db G n ds kde G je tozní kvost n Píklad 4 Uete chlost a zchlení bodu pohbujícího se po šoubovc a flení a tozní kvost jeho dáh Dáno: Ut: v a K G Polohový vekto bodu L šoubovce je t t tg sn t Podle defnních vztah- platí po vekto chlost a zchlení d v dt sn t tg t dv a dt t sn t Hodnot chlostí a zchlení získáme jako absolutní hodnot vekto- v v + tg a a Ze vztahu v tv m-žeme ut jednotkový vekto nomál v t v sn t tg t 6

64 dt lení kvost m-žeme ut z pvního enetova vzoce n K ds Devac na levé stan m-žeme ut následovn jako devac složené funkce dt ds dt dt dt ds dt dt ds { dt v t sn t Po jednoduché úpav dostaneme dt ds t sn t n K Poovnáním postedního výazu s výazem na pavé stan získáme flení kvost K P výpotu tozní kvost vjdeme ze vztahu b t u a povedeme devac podle ds stejn jako u flení kvost Zkuste výpoet a ozhodnte kteý z výsledk- je spávný ) B) C) sn G tg G sn G 8 KINEMTIK TLES ROVINNÝ POHYB TLES Tajektoe všech bod- tlesa jsou ovnné kvk Po polohu bodu L platí ( t) ( t) + ( t) L L kde je efeenní bod a L konst 64

65 POSUVNÝ POHYB Po posuvný pohb platí L konst tj L v L & & + & & + v L L nemní velkost an sm Potom je a L v& a P posuvném pohbu tlesa se všechn bod tlesa pohbují po stejných tajektoích a mají stejné chlost a stejná zchlení Poznámka: Knematka posuvného pohbu tlesa je shodná s knematkou bodu Píklad 4 Dáno: konst O BO4 Ut: v a L L vl v al a Poznámka: Potože O BO4 a souasn O // BO4 jedná se o paalelogam Tleso koná posuvný pohb Píklad 4 Uete bzdnou dáhu auta jedoucího chlostí eakní doba de je s Dáno: a 6ms t s Ut: v 6 kmh je-l zpoždní a 6ms a Postup: Celkovou bzdnou dáhu ozdlíme na úsek a V úseku kteý odpovídá eakc de se auto pohbuje ovnomn ( a ) a v úseku ovnomn zpoždn Po d ( v ) tento úsek je velm vhodné použít k ešení vztah a ze kteého pímo m-žeme ut OdpovJ: ) 56 m B) 4 7 m C) 5 m d 65

66 POHYB Po otaní pohb platí konst tj nemní velkost an sm potom je v a L L & & + & + & L L L L + ( L ) L + ( { L L ) L L L a + a t n Vta o zoných úhlech Rchlost (zchlení) p( ota6ním pohbu jsou ze st(edu otá6ení vdt pod stejným zoným úhlem Píklad 44 Setvaník se ozbhne za sec na 5 ot mn - ovnomn zchleným pohbem Uete jakým zchlením se ozbíhá a kolk otáek vkoná za dobu ozbíhání - Dáno: n 5 ot/mn t sec Ut: a d (poet otáek) Potože úhlové zchlení je konstantní platí + t + t t zchlení: poet otáek: + t { t d d n & 57 ad sec t ad sec d 7 5 ot tt 75 Píklad 45 Roto otáející se otákam n konstantním úhlovým zchlením R Vpotte úhlové zchlení kteé oto v p-bhu uchlování z otáek n na oták n udlá se uchlí za as t na oták R n Uchlování otou se dje R otou a poet otáek n R Dáno: n 5 ot/mn n 8 ot/mn t R 5s 66

67 Vpoteme úhlové chlost a píslušející otákám n a n ted n n ad s 87 ad s Po úhlové zchlení platí R d dt - t R - d R dt R tr R 57 ad s t R Mez potem otáek a úhlem otoení otou platí vztah R R n R nr Po úhlové zchlení platí n - R d ( ) ( ) d R d ( )( + ) t 4 ( ) R R - R d R R R ( + ) t 4 R 54 ot OBECNÝ ROVINNÝ POHYB Základní ozklad pohbu Obecný ovnný pohb m-žeme ozložt na unášvý pohb posuvný uený pohbem efeenního bodu a na duhotný (elatvní) otaní pohb kolem tohoto bodu Po obecný ovnný pohb platí 4 konst konst potom je L 4 v L & & + & v + L L L a L a + + a + L L L L Pamatujte s: Základní ozklad pohbu je chaaktezován tím že unášvý pohb je posuvný! Píklad 46 Dáno: Ut: v a L L Je dána konstantní úhlová chlost lenu Použtím základního ozkladu pohbu chceme vjádt chlost a zchlení bodu L tlesa kteé koná obecný ovnný pohb 67

68 Poznámka: Bod je spoleným bodem tles a a poto jeho knematcké veln jsou spolené obma tles-m Potože známe knematcké veln v bod zvolíme ho za efeenní bod do kteého mšlen umístíme posto 5 kteý koná posuvný pohb po kužnc a po bod L tlesa m-žeme psát v v + v L 5 LL 5 Po vjádení jednotlvých veln v a an dostaneme vl v + 5 L Podobn po zchlení (není na obázku zakesleno) a L a + L + v 5 5 L Pól ovnného pohbu t'lesa Pokládáme otázku zda podobn jako u otaního pohbu estuje bod množna bod- kteý má p obecném ovnném pohbu v daném okamžku nulovou chlost tj zda po L / P platí v / v v + / P L P v + 44 takže dostaneme P ( ) ( ) 44 P P v P odkud m-žeme ut polohový vekto bodu P vzhledem k efeennímu bodu v P a tím m-žeme ut polohu bodu P P + P U ovnného pohbu tlesa estuje po 4 bod tlesa P jehož chlost je nulová Tento bod nazýváme pólem pohbu 68

69 Použjeme-l pól za efeenní bod dostaneme po chlost a zchlení bodu L vztah v L PL al ap + PL PL kde ap je zchlení bodu tlesa v pólu Pole chlostí Rchlostní pole bod9 tlesa konajícího obecný ovnný pohb je v daném okamžku takové jako kdb tleso konalo ota6ní pohb kolem pólu Vta o zoných úhlech Rchlost všech bod9 tlesa jsou vdt z pólu pod stejným úhlem Zapamatujte s že nomál tajektoí všech bod- tlesa pochází pólem Píklad 47 Dáno: v l Ut: v a L L Máme ut chlost a zchlení bodu L pevn spojeného s kužncí kteá se valí po pímce Poznámka: Valvý pohb je zvláštním pípadem obecného ovnného pohbu L L L l ; PL PL Použjeme základní ozklad pohbu Refeen6ní bod : v v L v + L vv L l vl vl v L v + + ( ) & + v * ' v al a + L L potože a L l dostaneme v l a a L n 69

70 Refeen6ní bod P: v L v v + potože v PL l ++ l P PL P dostaneme v v L + l + l a L a + P PL PL Potože platí ap v ap v v v PL + l + l a tené zchlení PL dostaneme a L + v ( v ) & + ( PL) PL * ' kde tg l sn + l Polode Hbná polode je množna bod- tlesa kteé se v p-bhu pohbu stanou pól Nehbná polode je množna bod- základního nehbného postou kteé se v p-bhu pohbu stanou pól Vtváení nehbné a hbné polode s ukážeme u ojnce klkového mechansmu kteá koná obecný ovnný pohb Pesunutím : BP na p-vodní polohu tlesa tj pot smu pohbu získáme bod P kteý je bodem hbné polode a p optovném dopedném pohbu se v míst P stane pólem Pamatujte s poto že každý obecný ovnný pohb lze nahadt valením dvou polodí! : BP ~ : BP Podíváme-l se jak jsme uoval pól pohbu tlesa m-žeme hned psát následující vztah 7

71 Píklad 48 Dáno: v h v Nehbná polode k N : P + v Hbná polode k H : P Ut ovnc k N kh tlesa Posto R / z je nehbný posto R / z se natáí s tlesem Polode uíme tak že vjádíme polohu pólu P v píslušném postou Vjádíme nejdíve funkce úhlu v t tg h h h + ( v t) Rovnce nehbné polode je dána vztahem ( v t tg ) + j ( v t) N Rovnce hbné polode je dána vztahem H + v t ( v h + v t ( ) + j) & j t * ' h Poznámka: V pípad že m-žeme pól ut jako p-seík nomál postupujeme tak jak je zde uvedeno Jestlže polohu pólu neznáme musíme použít výše uvedené knematcké vztah po nehbnou a hbnou polod Píklad 49 Dáno: l Ut ovnc k k tlesa N H Posto R / z je nehbný posto R / 8 je spojen s tlesem Nehbná polode k N : + l ( l ) tg R P + platí sn l sn sn? Hbná polode k H : R P + ( ) & ( + ) * ' + ( ) & sn ( + ) * ' + ) l + * + ) l + * l l ( sn &( sn sn ) ' ( sn & ( sn sn ) ' 7

72 9 POHYBY TLES Po další výklad se musíme seznámt s devací v postou kteý se otáí neboi až dosud jsme povádl devace pouze v nehbném postou Devace vektou v pohbujícím se postou V postou R / j je dán polohový vekto a potebujeme ut jeho asovou devac v postou R / j + j d dt & & & j & + + j + Po devac jednotkových vekto- m-žeme psát & & j j neboi po nfntesmální pootoení na píklad vz obázek platí : d j + d j d d dj & j + d j dt { dt { dt takže je & j Potom asovou devac m-žeme vjádt takto % d " #$ dt! a po pepsání & + j & + + j [] & + [ & ] [ & ] + Knematcké závslost pd sou7asných pohbech Po tleso pohbující se v postou R kteý se pohbuje v postou R m-žeme napsat ozklad pohbu + kde pohb je pohbem unášvým a pohb je pohbem duhotným elatvním 7

73 Po polohový vekto bodu L m-žeme psát L + Devováním dostaneme & & kde [ & L ] [ ] + [ ] + v + vl + v + v LL v v + Takže po chlost platí v v + v L LL Další devací dostaneme zchlení [ v& ] a + a + v + + ([ & ] + ) L a + a L L Po úpav m-žeme psát a a + a + v L L L L + L vl + + ( ) kde a C vl je Coolsovo zchlení jehož sm získáme otoením vl o ve smslu Jestlže je unášvý pohb posuvný potom ac a platí ( a L a vz posuvný pohb tlesa!) a a + a a + a L L L L To je základní ozklad pohbu tlesa tak jak jsme ho uvedl v kaptole pojednávající o obecném ovnném pohbu tlesa Souhnn m-žeme vslovt po knematcké veln bodu tlesa kteé vkonává souasné pohb následující tvzení: Po chlost platí zákon ovnobžníka ( v v el + vu ) Po zchlení kdž unášvý pohb je posuvný platí zákon ovnobžníka ( a a el + au ) a kdž unášvý pohb není posuvný zákon ovnobžníka neplatí zchlení je dáno geometckým sou6tem jednotlvých složek ( a a + a + a ) el u c Poznámka: Rozklad pohbu tlesa platí nejenom po chlost a zchlení bodu ale také po úhlové chlost a úhlová zchlení tlesa! Píklad ozklad- pohbu tlesa Základní ozklad Obecný ozklad v v4 + v L: v v4 + v4 a a + a a + a + a L: 4 4 a4 4 4 c 7

74 Pólová v'ta Pól absolutního pohbu () leží na spojnc elatvního () a unášvého () pohbu P + P P Použtí pólové vt m-žeme ukázat na pípadu spojení dvou tles kde P P + P Píklad 5 Dáno: Výkes v mítku Ut: Pól P Použtím pólové vt m-žeme psát P + P P P + P4 P4 Pól P leží v p-seíku obou spojnc Píklad 5 Dáno: ( t) Ut: v a Po tleso m-žeme psát ozklad pohbu + takže po chlost a zchlení ozm tlesa zanedbáváme platí v + v v a + a + a a c 74

75 Pomocí znalost knematckých veln v a n v a t a c v je možné keslt obazce chlostí a zchlení (na obázku jsou keslen oddlen) Píklad 5 Dáno: Ut: v a L L Bod L je bodem tlesa a poto povedeme ozklad pohbu tlesa a souasn s ukážeme ešení základním ozkladem pohbu Cešení ozkladem pohbu L : v v + v v LO LO + ( ) v sn 5 v v + v v v sn LO 5 L: a a + a + ac a a n LO t a a n t a c v a ( a + a ) + a a ( a + a ) ( 5) n c n n cn 75

76 Cešení základním ozkladem Povedeme základní ozklad pohbu tlesa s efeenním bodem kam umístíme mšlený posto 4 kteý koná posuvný pohb po kužnc L: v v4 + v4 Po úhlové chlost platí v 4 v v 4 4 +! v v4 + v4 4 vv 4 [ ( )] L : a a + a 4 4 a a 4 a ( + ) 4 4 a a4 + a4 4 aa 4 [ ( )] STEDY KIVOSTI TRJEKTORIÍ OBÁLEK Uování sted- kvost tajektoí bod- a obálek je v nženýské pa d-ležté jak z hledska oskulace kvek tak z hledska uování nomálových složek zchlení V'ta Eule Savaho Tleso konající obecný ovnný pohb jak jž víme m-žeme nahadt valením hbné polode k H po polod nehbné k N LP PS L s Vta Eule Savaho je dána následujícím vztahem + ( ) + & sn; * s ' + kde je vzdálenost bodu L od pólu P s je vzdálenost stedu kvkost bodu L od pólu ; je úhel kteý svíá nomála bodu L s tenou k polodím a jsou polom nehbné a hbné polode 76

77 Rchlostní konstukce Základem chlostní konstukce kteou uujeme sted kvost gafck je Hatmanova vta Koncový bod vektou chlost lbovolného bodu tlesa L jeho st(ed k(vost S L a koncový bod pavoúhlého p9mtu pólové chlost v do smu kolmého na nomálu bodu L leží na jedné p(ímce Boblleova konstukce Boblleova gafcká konstukce je založena na následující vt Po lbovolné dv nomál estuje osa kolneace po jejíž bod platí že se v nch potínají spojnce bod9 ležících na obou nomálách a spojnce jejch st(ed9 k(vost Osa kolneace svíá s nomálou jednoho bodu stejný ale opa6n oentovaný úhel jako svíá te6na k polodím s nomálou duhého bodu Obálková v'ta Uování sted- kvost obálek je založeno na obálkové vt St(ed k(vost So obálk o k(vk k je totožný se st(edem k(vost SM tajektoe bodu M kteý je st(edem k(vost výtvané k(vk k Píklad 5 Dáno: m Ut: S L Po6etn pomocí vt Eule Savaho + m s + s? Gafck chlostní konstukcí zvolíme chlost bodu O neboi jeho sted kvost známe uíme v v L P-sence spojnce koncových bod- chlostí vl a v s nomálou nl kvost je hledaný sted 77

78 Píklad 54 Dáno: Ut: Sted kvost obálk vtváené pímkou p Po6etn vtou Eule Savaho + ( + ( ) + & sn) & * < s ' * ' + < odkud je s Gafck Boblleovou konstukcí pímka q má sted kvost v nekonenu bod Q< kvost v bod O kteý s tímto stedem splývá má sted sted kvost výtvané pímk p je v nekonenu a splývá s bodem U < tena k polodím splývá s valvou pímkou q a s hbnou polodí k H nomálu bodu Q < podle Boblleov vt musí být poto osa kolneace bod- Q < U < bodu U < a je kolmá na kolmá na nomálu p-seík spojnce bod- U < Q< potne osu kolneace v jejím úbžném bodu K < spojnce úbžného bodu K < a bodu SQ s nomálou bodu U < < obálk o je hledaný sted kvost KINEMTICKÉ EŠENÍ MECHNISMC Jak blo jž eeno p klasfkac ovnných soustav tles v oddílu STTIK mechansmus je soustava tles s stupnm volnost V této kaptole se budeme zabývat zjšiováním knematckého stavu mechansmu tj budeme hledat chlost a zchlení jeho len- nebo bod- kteé na jeho lenech leží Knematcké všetování mechansm- budeme povádt analtck gafck (chlost) U gafckého všetování budeme uovat jenom chlostní stav mechansmu kdž všetování zchlení je také možné a po pedstavu o knematckém stavu mechansmu velm užtené NLYTICKÉ VYŠETOVÁNÍ MECHNISMC Cílem poetního ešení je hledání závslost poloh chlost a zchlení esp úhlové poloh úhlové chlost a úhlového zchlení bod- esp tles na poloze hnacích len- nebo na ase P ešení budeme používat 78

79 metodu tgonometckou: mechansmus ozdlíme na vhodné tojúhelník kteé tgonometck ešíme metodu vektoovou: mechansmu nebo jeho lenu bodu pazujeme vektoový mnohoúhelník nebo polohový vekto kteý ozepsujeme do sm- souadncových os Postup p obou metodách budou patné z ešení následujících pípad- Tgonometcká metoda Chceme ut chlost a zchlení btu nástoje na smkadle 6 a úhlovou chlost a úhlové chlení lenu 4 pomocí tgonometcké metod Dáno: l h Ut: v6 a6 4 4 Knematcké pom na nož jsou stejné s pom v bodu neboi smkadlo koná posuvný pohb Polohu lenu 6 uuje mía sn h tg tg l + sn h t l + Devací dostaneme chlost a zchlení v 6 / v d h ( l + ) + h sn dt ( l + ) h ( + l ) ( l + ) a v& K a 6 Polohu lenu 4 uuje úhel actg sn l + Devací získáme úhlovou chlost a úhlové zchlení ( + l ) ( l + ) 4 & 4 & 4 K + sn ( + ) & * l + ' 79

80 Taloova (ada P poetním ešení bývá velm užtené nahadt nelneání len kteý se v ovncích objeví pvníma dvma len Taloov ad kteou znáte z matematk a kteou s zde stun bez dalšího výkladu ppomeneme Talo-v ozvoj má tva f ( ) f ( a) + n f ( a) f ( a) f ( a) ( ) ( ) ( ) n a + a + K a! n! Uvažujme že máme funkc f ( ) ( 5 44 n + ) s po a je f ( a) ( ) f ( ) ( ) f ( a) ( ) + ( f ) &( ) ( ) * ' 4 ( ) f ( a) 4 Po dosazení do Taloov ad dostaneme 4 f ( ) ( 5 sn + ) ( 5 sn + kk ) + K 8 Vektoová metoda U nakesleného ecentckého klkového mechansmu chceme ut chlost zchlení a zdvh lenu 4 a chlost a zchlení bodu L ojnce použtím vektoové metod Dáno: l m eh Ut: v a v L a 4 4 L Potože len 4 koná posuvný pohb staí ut chlost a zchlení jednoho jeho bodu $len 4: Polohový vekto bodu B lenu 4 je B OM + MB O + B Po ozepsání do sm- a dostaneme + l e sn l sn Vjádíme úhel 8

81 sn + e sn 5 sn + k l ( 5 sn + k ) 5 l e k l Použtím Taloov ad (omezíme se na pvní dva len) nahadíme odmocnnu ( ) 5 sn + ( 5 sn + kk ) takže dostaneme ( 5 sn + k ) 5 sn 5 sn kk Z duhé ovnce od shoa dostaneme polohu lenu 4 + l % l 5 l 5kl k l " ( 5 sn + k) # + sn sn $! % " # k + 5 sn k sn $ 5 5! Devací získáme chlost lenu 4 v % & sn + 5 sn + " #$! 4 k a dalším devováním dostaneme zchlení lenu 4 a [ + 5 sn] & 4 & k Bod L: Uíme polohový vekto bodu L vjádíme jeho složk a povedeme devace / OL O + C + CL L L + + hm sn L sn sn + hm m + L + k k ( ) 5 sn 5 sn & + h( 5 sn + k) * ' L ( ) + sn m 5 sn + k + h ( ) 5 sn 5k sn k & * ' 8

82 Vlastní výpoet devací po úspou místa povádt nebudeme v & v & L L L L v v + v L L L a L & v& a & v& L L L L L a a + a L L L SOUSTVY S OZUBENÝMI KOLY <ešením pedlohových soustav kteé je dáno pomem potu zub- nebo polom- valvých kužnc se nebudeme zabývat a pozonost soustedíme na planetová soukolí a dfeencál Dfeencál a planetové soukolí <ešení povádíme metodou zámn mechansmu nebo také jnak Wllsovou metodou kteá spoívá na mšlence že ámem uníme unaše Postavíme-l se mšlen na unaše máme jeho úhlovou chlostí 5 a všechn další úhlové chlost vdíme jako ozdíl jejch p-vodních chlostí a chlost unášee Znaménko (-) je tam kde skutený sm chlostí má opaný sm než jsme mu po ešení pedbžn psoudl Jednoduchý satelt 5 z z 4 5 z z 4 z z 4 5 z z 5 Dvojtý satelt <ešení je stejné jako u sateltu jednoduchého 5 z z 4 5 z4 z 5 5 z z GRICKÉ VYŠETOVÁNÍ MECHNISMC Cílem gafckého všetování mechansm- je stejn jako u ešení analtckého uení chlostního a akceleaního stavu mechansmu V tomto kuzu se ale jak jsme jž ekl v úvodu gafckým všetováním zchlení zabývat nebudeme Po gafcké ešení chlostí používáme dv metod: 8

83 podmínku tuhost úsek ozklad na souasné pohb Podmínka tuhost úse7k Rchlostní stav tlesa jak jž víme m-žeme v daném okamžku nahadt otací kolem pólu P b nedošlo k peušení spojnce B dvou bod- tlesa musí být p-mt chlostí v vb do jejího smu stejné tj BB p Pootoením všafovaných tojúhelník- o 9º do vtekovaných poloh dostaneme BB p Spojnce B je nejenom ovnobžná s úsekou B ale leží na ní koncové bod H K potoených chlostí M-žeme ted vslovt podmínku tuhost úsek Spojnce koncových bod9 vekto9 pooto6ených chlostí dvou bod9 téhož tlesa je ovnobžná se spojncí tchto bod9 Píklad 55 Dáno: nákes v mítku Ut: 4 Postup: uíme v O otoením v o dostaneme v použjeme podmínku tuhost úsek a uíme v B zptným otoením o uíme v B v B vpoteme 4 BO 4 8