Q N v místě r. Zobecnění Coulombova zákona Q 3 Q 4 Q 1 Q 2

Transkript

1 Zobecnění Coulombova zákona Uvažme nyní, jaké elektostatcké pole vytvoří ne jeden centální) bodový náboj, ale více nábojů, tzv. soustava bodových) nábojů : echť je náboj v místě v místě.... v místě Pak podle pncpu supepozce síly působící od jednotlvých nábojů na zkušební náboj v místě ) se sčítají a vznkne tak celková síla : F F F... F F Rovnc vydělíme nábojem a dostaneme hned analogcký vztah po celkovou výslednou) el. ntenztu jako součet dílčích ntenzt od jednotlvých nábojů jak jnak, ntenzty přece jsou také síly) :...

2 A za jednotlvé ntenzty můžeme dosadt z Coulombova zákona vz. dříve) :... Zapíšeme opět zkáceně pomocí matematcké sumy : ntenzta el. pole soustavy bodových nábojů Stejným způsobem je možno také sečíst potencály potencální enege) jednotlvých nábojů do výsledného potencálu po potencální enege tedy platí pncp supepozce přemýšlejte, poč tomu tak je ) :... A po dosazení vztahu po potencály jednotlvých bodových nábojů : potencál el. pole soustavy bodových nábojů Př paktckých výpočtech v elektotechnce se ovšem bodové náboje vyskytují zřídka, většnou se jedná o kvaz)spojtě ozložené náboje na eálných hmotných objektech. Podle geomete těchto objektů můžeme ozlšovat : a) Objemově ozložené náboje tj. elektcké náboje spojtě ozložené v nějakém objemu V jde tedy například o nabtý objem tělesa) Pncpem řešení je představa nabtého tělesa jako soustavy nábojů, použtí výše odvozených matematckých vzoců sum) a jejch přechod k lmtním tvaům : - objem V ozdělíme myšleně) na velký počet malých v lmtě pak nekonečně malých) částí V dv) - každá tato nepatná objemová část obsahuje nějaký velm malý elektcký náboj d) - můžeme je tedy považovat za bodové náboje a použít vztahy po soustavu bodových nábojů: o Jde ale vlastně o přblžné vztahy po ntenztu a potencál el. pole objemově ozložených nábojů. Tyto vztahy platí tím přesněj, čím je ozdělení objemu na část jemnější, tj. čím je větší počet částí V.

3 aktní vzoce lze tedy očekávat až v lmtě po nekonečný počet nekonečně malých částí objemu, tj. po, V dv Zavedeme ještě novou fyzkální velčnu, popsující ozložení nábojů ve sledovaném objemu : d dv objemová hustota náboje Slovní vyjádření : objemová hustota náboje je číselně) elektcký náboj obsažený v jednotce objemu. Jde zřejmě o funkc místa a obecně, mmo elektostatku, funkc času) : ),y,z ) Př znalost této velčny lze pak jednoduše vyjádřt velkost náboje v lbovolném malém objemu, v lbovolném místě nabtého tělesa objemu) : d dv nebo samozřejmě V Pomocí objemové hustoty náboje můžeme tedy výslednou ntenztu a potencál napsat ve tvau : V V A nakonec uvážíme, že v lmtním případě po nekonečný počet nekonečně malých objemových část, V dv ) přejdou matematcké sumy na ntegály objemové): o V dv ' ' ntenzta el. pole objemově ozložených nábojů dv potencál el. pole objemově ozložených nábojů ' o V V dv d =.dv ' '

4 b) Plošně ozložené náboje tj. elektcké náboje spojtě ozložené v nějaké ploše S např. elektcky nabtý povch tělesa) Řešíme analogcky, tj. plochu S ozdělíme na malé plošky S ds) s nábojem d), kteý vyjádříme jako : d ds kde opět defnujeme pomocnou velčnu : d ds plošná hustota náboje Slovní vyjádření : plošná hustota náboje je číselně) elektcký náboj obsažený v jednotce plochy. A vztahy po ntenztu a potencál přejdou nyní na plošné ntegály: S ds ' ' ntenzta el. pole plošně ozložených nábojů ds potencál el. pole plošně ozložených nábojů ' S S ds d =.ds ' ' c) Lneáně ozložené náboje tj. elektcké náboje spojtě ozložené na nějaké křvce např. elektcky nabté vlákno) - vz. cvčení zavede se délková hustota náboje ) Otázka za D.cv. : Je el. pole soustavy nábojů, nabtých těles, ploch a křvek také konzevatvní?

5 lektcký dpól je specálním případem soustavy elektckých nábojů. Je tvořen dvěma bodovým náboj stejné velkost, ale opačného znaménka tj. + a - ), kteé jsou l, umístěny v místech a ve vzájemné vzdálenost l kteou lze také defnovat jako vekto směřující od náboje záponého k náboj kladnému, vz ob.) X l + Vznká tak zajímavá stuace když by oba náboje byly v jedném stejném místě, byly by jejch účnky dokonale vykompenzovány tj. jejch výsledné pole by bylo nulové. Avšak př nenulové vzájemné vzdálenost vznká sce elatvně malé, ale také nenulové elektcké pole elektcké dpólové pole). lektcký dpól má obovský paktcký význam po pops vntřku hmotných těles : základní částce stuktuy všech látek - atomy molekuly) jsou sce celkově neutální mají stejný počet kladných potonů v jádu a záponých elektonů v elektonovém obalu), ale v důsledku nesymetckého uspořádání nábojů se často jeví pávě jako elektcké dpóly více vz kaptolu lektcké pole v látce ). Uvážíme-l nepatné ozměy těchto dpólů jako atomy, řádu - m) a že jejch elektcké pole pak vlastně působí v celém objemu tělesa třeba mkoskopckého, o ozměech řádu mkometů, tj. -6 m), pak je nám jasné, poč se účnky elektckého dpólu vyšetřují většnou jen ve vzdálenost od dpólu, kteá je nesovnatelně větší než vzdálenost nábojů : l 5

6 A přtom se ještě předpokládá l Vypočítejte sam na cvčení, že elektcké pole dpólu, kteý je umístěn v počátku souřadnc, lze za výše uvedených podmínek popsat potencálem : ) p o kde jsme defnoval : p l elektcký) dpólový moment Tato velčna, jak vdíme ze vztahu po potencál, velm dobře popsuje elektcké působení dpólu na okolní náboje, neboť v daném místě je potencál elektckého pole dpólu vždy úměný velkost dpólového momentu.: p Pozn. : Známe-l potencál, lze pak snadno vypočítat také ntenztu pole podle standadního vztahu : gad a ozdíl od popsu obecné soustavy nábojů v pvní část této kaptoly pobeeme nyní zajímavý poblém. Slové působení elektckého pole na dpól Víme jž, že elektcký dpól jako každá soustava nábojů - sám vytváří svoje vlastní) elektcké pole, zde ale budeme zkoumat, co se bude dít, když dpól umístíme do nějakého vnějšího elektckého pol od jných nábojů) : ) Jde opět o velm důležtou stuac uvntř hmotného postředí, neboť žádný dpól v látce není osamocený, zolovaný, ale je v pol nějakých jných okolních nábojů, včetně okolních dpólů. a obázku je znázoněn elektcký dpól jako malé tělísko například polání molekula acl ) a vekto vnějšího el pole, kteé estuje v místě dpólu : 6

7 F d = l + F a oba jednotlvé bodové náboje dpólu - a + působí vnější elektcké pole učtým slan, kteé označíme F a F. yní můžeme využít znalostí z mechanky, neboť jde zjevně o působení vnějších sl na hmotné těleso když velm malé) a důsledkem tohoto působení je obecný pohyb tělesa, kteá můžeme vždy ozložt na dva nezávslé pohyby : ) Tanslac tělesa učuje výsledná vnější síla : F F F Vyjádříme jednotlvé síly na náboje pomocí ntenzt elektckého pole v místě nábojů : F ) ) ) ) ) eboť výaz v závoce je vlastně příůstkem změnou) ntenzty pole d příůstek napíšeme nyní jako dfeencál vektoové funkce tří poměnných : ), y,z ), y,z ), y, y,z ), d mez místy z, y,z ) a. Tento Př přechodu z místa pvního náboje o hodnotu : l d d, dy, dz ) do místa duhého náboje, tj. př změně nezávsle poměnné Tento dfeencál je samozřejmě také funkce tří poměnných : d d,d y,d z ) d, y,z ), d y, y,z ), d z, y,z Každá ze souřadnc tohoto vektou je pak dfeencálem obyčejné skalání funkce tří poměnných, kteý můžeme standadně matematcky vyjádřt pomocí gadentu : 7 )

8 d d d d y dy z dz d gad d gad d gad y y z z To lze zapsat vektoově : d d gad A dosadíme do vztahu po výslednou vnější sílu : F d d gad Uvážíme-l o několk řádek výše uvedenou ovnost příůstku původče a vektou vzdálenost nábojů, dostáváme nakonec jednoduchý a zajímavý vztah : F p gad síla působící na dpól Samozřejmě nás překvapí vznklý gadent vektou, ale jen do té doby, než s uvědomíme, že jsme vlastně napsal fomální vektoovou ovnc. Př jejím ozepsání do souřadnc pak vznknou běžné gadenty, skaláních funkcí y z. a ) Rotace tělesa je pak dána výsledným vnějším slovým momentem : Př výpočtu momentů působících sl dobře využjeme nezávslost ovnc mechanky na necální) soustavě souřadnc a zvolíme její počátek v místě jednoho náboje např. ), pak je jeho původč nulový a původč duhého náboje je oven vektou vzdálenost nábojů : M M M F F l F Vyjádříme opět sílu pomocí ntenzty a přesuneme náboj ve vektoovém součnu : M l ) l p Uvážíme-l ovšem, že ntenzta v místě duhého náboje je paktcky stejná jako v kteémkolv místě nekonečně malého dpólu, tj. : Pak po výsledný slový moment vznká jednoduchý vztah : M p slový moment působící na dpól 8

9 Je vdět, že když síla na dpól může být někdy nulová - po homogenní pole tj. konst. ), kteé má nulový gadent), moment síly je ale vždy ůzný od nuly, pokud je pole nenulové a dpölový moment není náhodou ovnoběžný s vektoem ntenzty). Tento slový moment se pak snaží uvést těleso dpól - do otačního pohybu. Dpól je ovšem ve stuktuře látky vázán nějakým slam, kteé neumožní stálý otační pohyb, ale pouze malé jednoázové) pootočení dpólu úměné zřejmě momentu síly a tím ntenztě pole), mamálně do směu ovnoběžného s ntenztou p ), kdy slový moment zcela vymzí vz ob.) : p + l F F F p + F l M = M = stjící dpóly v látce, kteou vložíme do vnějšího elektckého pole, se tedy všechny natáčejí do jednoho jedného směu, do směu ntenzty pole, a to tím více, čím je pole slnější nastává. oentace dpólů a poto se s ntenztou pole zvětšuje součet všech jejch dpólových momentů je to tzv. oentační polazace delektka vz kaptolu lektcké pole v látce ). konec otázky) K.Rusňák, /5) 9