TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Fakulta strojní DIPLOMOVÁ PRÁCE. Matematický model kinematiky robotizovaného podvozku se šestnácti stupni volnosti

Transkript

1 ECHNICKÁ UNIVERZIA V IERCI Fakulta stojní DIPOMOVÁ PRÁCE Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Mathematcal Model of Roboted Chasss Knematcs wth Steen Degees of Feedom 7 Moslav Denk

2 ECHNICKÁ UNIVERZIA V IERCI Fakulta stojní Kateda mechank pužnost a pevnost Studjní pogam: M3 - stojní nženýství Studjní obo: Aplkovaná mechanka Zaměření: Inženýská mechanka Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Mathematcal Model of Roboted Chasss Knematcs wth Steen Degees of Feedom Denk Moslav číslo dplomové páce: KMP Vedoucí páce: Doc. Ing. Moslav Ší CSc Počet stan: 6 Počet obáků: Počet gafů: Počet voců: 89 Počet příloh: 3. května 7

3 Anotace ato dplomová páce se abývá tvobou matematckého modelu obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost. ento model bude v budoucnu vužt po stanovení paametů pohonů bude součástí řídícího sstému a bude ákladem po tvobu smulátou. Podvoek je opatřen čtřm noham akončeným kol. Každá noha má čtř stupně volnost. Knematka je řešena v osahu úloh poloh a úloh chlost př mamálním možném dodžení podmínek valení me kol a pojedovou plochou. Annotaton hs dploma thess deals wth elaboaton of a mathematcal model of a oboted chasss wth steen degees of feedom. hs model wll be used fo settng of gea paametes t wll be a pat of contol sstem and t wll be a base fo ceaton of a smulato n the futue. he chasss s equpped wth fou shanks ended wth wheels. Each shank has fou degees of feedom. he knematcs s solved wthn the ange of locaton and speed wth mamal obsevance of ollng condtons between the wheels and the suface.

4 Pohlašuj že jsem dplomovou pác vpacoval samostatně s použtím uvedené lteatu a na ákladě konultací s vedoucím dplomové páce a konultantem. l jsem senámen s tím že na mou dplomovou pác se plně vtahuje ákon č. / Sb. o pávu autoském ejména 6 - školní dílo a 35 - o výdělečném užtí díla k vntřní potřebě škol. eu na vědomí že echncká unveta v bec (U) má pávo na uavření lcenční smlouv o užtí mé páce a pohlašuj že souhlasím s případným užtím mé páce (podej apůjčení apod.). Jsem s vědom toho že užít své dplomové páce č posktnout lcenc k jejímu vužtí mohu jen se souhlasem U kteá má pávo ode mne požadovat přměřený příspěvek na úhadu nákladů vnaložených unvetou na vtvoření díla (až do jejch skutečné výše). Místo: beec Datum:.května 7 Podps:...

5 Poděkování Rád bch touto cestou poděkoval všem kteří m s vpacováním dplomové páce pomohl. Zejména bch chtěl poděkovat svému vedoucímu dplomové páce Doc. Ing. Moslavu Šíov CSc Kated mechank pužnost a pevnost kteý m posktnul svůj čas odboný dohled a mnohé cenné ad.

6 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Obsah Anotace... 4 Annotaton... 4 Obsah... 7 Senam použtých smbolů... 9 Úvod... Rešeše... Nabíená řešení po pohb handcapovaných osob v otevřeném teénu... Volba koncepce... 4 Paamet obotovaného podvoku... 6 Zaměření páce... 7 Použté matematcké postup Matcová metoda v knematce Knematka tělesa ve 3D Rošířené matce Současné pohb Učení nomál k ploše Učení vdálenost bodu od přímk Numecké řešení soustav dfeencálních ovnc Runge - Kuttova metoda 4. řádu Softwae Maple... 7 Souřadncové sstém lobální souřadncový sstém SS Souřadncový sstém ( ) Sstém sféckých úhlů RPY Souřadncové sstém (U U U U ) Souřadncové sstém (A A A A ) Souřadncové sstém ( ) Souřadncové sstém (C C C C ) Denk Moslav 7 beec 7

7 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost.7 Souřadncové sstém (D D D D ) Souřadncové sstém (E E E E ) od dotku -tého kola s pojedovou plochou f() Vlastní matematcký model Úloha poloh Úloha chlost Devace soustav (3.6) podle času Podmínk valení Rchlost dotkového bodu považovaného a bod -tého kola Přřaení podmínek valení Podmínka valení u dokonale se valícího kola Podmínka valení u kola kteé má defnovanou podmínku valení v daném směu Vlastní řešení soustav Počáteční podmínk po soustavu (3.3) Základní manév Jída do atáčk Půjed úženým místem Překonání překážk překočením Pohb do schodů Závě Senam použté lteatu Senam příloh... 6 Denk Moslav 8 beec 7

8 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Senam použtých smbolů Onačení: Jednotka: Náev velčn: A C D E U [-] počátk souřadncových sstémů A A A ( A ) [-] onačení souřadncového sstému s počátkem v bodě A s osam A A A příslušející -té noe [m] polohový vekto bodu vjádřený v SS [m] polohový vekto bodu U U vjádřený v souřadncovém sstému příslušný -té noe [m] ošířený tva vektou v D [m/s] chlost bodu D vjádřená SS ( ) E v [m/s] onačení chlost bodu v SS jako b bl ( ) E součástí souřadncového sstému v [m/s] -ová složka vektou ( v ) E E E E (E ) 3 [-] tansfomační matce kteé epeentují otočení okolo příslušných os souřadncového sstému [-] tansfomační matce po tansfomac e souřadncového sstému do SS U [-] tansfomační matce po tansfomac e souřadncového sstému U U U (U ( ) příslušná -té noe [-] ošířený tva matce n [-] jednotkový nomálový vekto k ploše f() s počátkem v bodě v [m/s] onačení chlost bodu v globálním souřadncovém sstému a [-] noma vektou a a b [-] skalání součn vektoů a b ) do Denk Moslav 9 beec 7

9 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost a b [-] vektoový součn vektoů a b 4 [-] tento nde olšuje jednotlvé noh v pořadí: levá ϕ A [ad] přední pavá přední levá adní pavá adní natočení okolo os A -té noh [-] bod dotku -tého kola s plochou f() f() [-] pojedová plocha [m] polomě kola R [m] polomě požadované atáčk v [m/s] požadovaná chlost půjedu atáčkou ϕ [ad] polohový paamet půjedu atáčkou p ( R) [-] obecná funkce paametu R d [m] polomě na kteém se otáčí -té kolo Denk Moslav beec 7

10 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Úvod ato dplomová páce vnkla v ámc výkumného áměu Optmalace vlastností stojů v nteakc s pacovním poces a člověkem a abývá se obotovaným podvokem voíku po socálně davotní aplkace s cílem přspět k vývoj aříení kteé umožní pohb handcapovaných osob a ležících pacentů v obtížném teénu. Řešení úloh je oděleno do dvou dplomových pací jedna se abývá matematckým modelem ( Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost ) a duhá se abývá konstukcí ákladní podvokové skupn - kombnované podvokové noh ( Konstukce podvokové noh obotovaného podvoku ). Rešeše Základním poblémem je samotná koncepce podvoku. Poto vlastnímu návhu předcháela ešešní čnnost s cílem najít analogcká řešení pesentovaná v otevřených nfomačních dojích. Invaldních voíků učených do teénu je možno nalét celou řadu. Žádný nch však nemá uspokojvě řešenu stablac postou po užvatele a půchodnost a manévovatelnost teénem řeší spíše hubou slou jak ukaují dále uvedené příklad. Nabíená řešení po pohb handcapovaných osob v otevřeném teénu Jedním možných řešení je klascká teénní čtřkolka ( AV - All ean Vehcle ). V současné době se nabíejí stovk tpů od desítek výobců. Koncepčně jsou však tato vodla paktck dentcká. Mají spalovací moto a náhon 44 s ovodem hnacího momentu postřednctvím uamkatelných nápavových a menápavových dfeencálů. Jednotlvé cenové kategoe se přtom lší míou automatace ovládání těchto dfeencálů. Přední nápav jsou u většn tpů poveden jako dvě neávslá lchoběžníková avěšení se výšeným dvhem a adní nápav bývají většnou tuhé avěšené na kutných amenech. Denk Moslav beec 7

11 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Z hledska našeho áměu je ákladním poblémem skutečnost že vodla AV nejsou pmáně učena po handcapované osob. Částečně se používají po hospodářské účel většnou jsou to však postředk po povoování adenalnových spotů. Navíc ejména v Evopě nemají povolen přístup do většn tustck ajímavých a ekologck cháněných oblastí. A také daleka neřeší veškeé potřeb pohbu handcapovaných osob například v ubanovaných pěších úemích kde se běžně vsktují překážk ve fomě schodů obubníků chodníků a úžených poflů. Me další řešení učená přímo po pohb handcapovaných osob v teénu patří: vodlo SupeFou od fm Ottoock ( ) Pohon tohoto vodla je řešen čtřm neávsle elektck poháněným kol ale sstém nápav žádné mmořádné řešení nevkauje. Jedná se o čtř klascká neávslá lchoběžníková avěšení poue dvh je výaně většen. Co se týče vodoovné stablace postou po cestujícího je de možnost př sjedu nebo výjedu kopce naklont sedačku což je po pohb v teénu nedostačující. Mamální chlost voítka je cca 5 km/h. Denk Moslav beec 7

12 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost pojídné křeslo ankcha ( ) Paamet tohoto vodla nejsou na webových stánkách uveden ale obáku je patné že toto řešení je vhodné jen po venkovní použtí potože dík svým obustním oměům není voík schopen pojet úkým místem jako jsou např. áubně dveří. Což vlučuje jeho použtí v btě. A navíc de není vůbec řešena vodoovná stablta sedadla. 66 Eploe ( ) Uváděná mamální chlost vodla je km/h. oto řešení také nemá řešenu vodoovnou stabltu sedadla a navíc pevné uložení kol neposktuje dostatek komfotu př jídě v teénu. Denk Moslav 3 beec 7

13 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Pedato 44 ( Voík je poháněn čtřm elektomoto každý o výkonu 5W. Dosahuje chlost 7-8km/h. oto řešení představuje na pvní pohled klascký elektcký voík poue má větší kola a pohon s všším výkonem. Volba koncepce Ab se užvatel mohl volně pohbovat v ubanovaném postředí ve volné příodě be pomoc jné osob měla b koncepce podvoku být taková ab obotovaný podvoek bl schopen alespoň těchto manévů př achování sedačk ve vodoovné poloe: jída v přímém poměnném směu po ovném vlněném teénu měna světlé výšk podvoku pohb po schodštích ůných paametů překonání překážk překočením půjed úkým poflem be tát stablt. Poto bla volena konfguace se čtřm noham nchž každá je opatřena kolem. Dále v tetu př onačení noh s kolem bude používán temín noha. Kolo blo voleno kulového tvau potože takové kolo je schopné př větším odklonu os otace od tečné ovn jíd. Každá noha má čtř stupně volnost kteé jsou přímo nebo nepřímo ovládán samostatným elektomoto a jsou vnačen na následujících obácích. Denk Moslav 4 beec 7

14 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost IV II III I Ob.: Stupně volnost noh vnačené na konstukčním řešení II IV U A C D E III I f() Ob.: Stupně volnost noh vnačené na matematckém modelu I. otace kola II. pvotace kola III. vovnávání teénu IV. ejd ento obáek je de veřejněn se svolením Jaoslava Kofa kteý dplomovou pác týkající se konstukce podvokové noh vpacoval. Denk Moslav 5 beec 7

15 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Rotací kola se uvádí celé vodlo do pohbu. Změnou úhlu pvotace se dosahuje měn směu jíd. Stupeň volnost onačený jako ejd (IV) slouží ke měně ovou a ochodu kol a bude také vužíván př překonávání překážek. Stupeň volnost na Ob. a Ob. vnačený jako III je úhel kteý umožňuje vovnávání neovností teénu a měnu světlé výšk podvoku. Ve fcké ealac bude ovládání řešeno součnností elektomotou a tlačné pužnu tak že elektomoto postřednctvím šnekové převodovk ovládá předpětí pužn. Paamet obotovaného podvoku Pvní fáí vývoje je tvoba měřítkového modelu jehož ákladní paamet jsou uveden v tabulce. Pokud se model osvědčí další fáí bude tvoba pototpu jehož omě nebudou přímo násobk modelu ale jednotlvé část budou většen v požadovaném měřítku kteé bude vcháet fnálních oměových požadavků. Rovo a ochod jsou vhledem k pohbovým možnostem podvoku načně vaablní poto jsou v tabulce uveden omě v meních polohách. Paamet modelu ma. chlost 8 km/h pohotovostní hmotnost kg celková hmotnost 3 kg ovo (-5)mm ochod (-6)mm Paamet konečného povedení budou přblžně odpovídat oměům běžně podávaných voíků. Celková hmotnost bude cca kg ovo a ochod v ákladní poloe přblžně m. Rchlost pohbu bude as 8km/h. Denk Moslav 6 beec 7

16 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Zaměření páce ato dplomová páce je aměřena na tvobu matematckého modelu obotovaného podvoku. Volně navauje na dplomovou pác Ondřeje Medůn oku ( Mechanka podvoku se čtřm neávsle avěšeným kol s tlumč a pužnam s říeným předpětím ) kteý úspěšně mplementoval do D podob podvoku egulační soustavu tak že př pojedu po vlněné křvce s užtečné atížení achovává stablovanou polohu. Ve shodě se adáním se ale v této pác egulací abývat nebudeme potože b to namenalo řešt úlohu chlení s osahem výpočtů aktuálně neealovatelným. Cílem páce je vtvoření matematckého modelu. Úloha bude řešena v osahu úloh poloh a úloh chlost. Pohb podvoku bude odvoen od otáčení kol př mamálním možném splnění podmínek valení me kol a podložkou. Matematcký model bude mít v budoucnost následující vužtí: po naleení paametů pohonů převodů a návh manévů bude součástí řídícího sstému kd bude možné nahadt nfomace ískané nějakého čdla nfomacem ískaným matematckého modelu po vtvoření smulátou kteý bude sloužt k osvojení s ovládání vodla př každodenním používání. Denk Moslav 7 beec 7

17 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Použté matematcké postup Př řešení adané úloh bl použt jsté matematcké postup kteé budou přblížen v této kaptole. Př tvobě této kaptol jsem čepal knh uvedených v senamu použté lteatu [] [] [3].. Matcová metoda v knematce Jako ákladní matematcký apaát je použt matcový pops matematckého modelu. Použt jsou jak matce o oměu 3 3 a vekto o oměu 3 tak o oměu 4 4 a 4 což jsou tv. ošířené matce a vekto kteé usnadňují pops sstému... Knematka tělesa ve 3D η Ob..: Souřadncové sstém Sledujeme pohb tělesa v němž jsme s voll lokální souřadncový sstém ( ) v globálním souřadncovém sstému ( ) (Ob..). Denk Moslav 8 beec 7

18 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Pohb obecného bodu tělesa epeentovaného souřadncovým sstémem ( ) je popsán ovncem (.) γ γ γ β β β α α α kde jsou souřadnce bodu v globálním souřadncovém sstému jsou souřadnce téhož bodu v lokálním souřadncovém sstému tj. v postou tělesa ( ) γ β α γ β α γ β α jsou směové úhl kteé svíají os s osam.např. je úhel kteý svíá osa a osa γ β je úhel me osam a a jsou souřadnce počátku vjádřené v globálním souřadncovém sstému. Uvedené ovnce jsou paametcké ovnce tajektoe bodu kteé se matcově apíší (.) γ γ γ β β β α α α nebo smbolck (.3) kde [ ] ] ] je polohový vekto bodu v globálním postou [ je polohový vekto téhož bodu v postou tělesa [ je polohový vekto počátku v globálním postou a Denk Moslav 9 beec 7

19 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost α α α β β β je tansfomační γ γ γ matce lokálního do globálního souřadncového sstému. Je to matce směových kosnů jednotlvé sloupce vjadřují postupně směové kosn os je otogonální takže platí ( ) ( ). ato matce. (.4) Rovnce (.3) jsou matcové ovnce pohbu ( tajektoe ) bodu. Obecně jsou funkcem času a je konstantní vekto potože bod se pohbuje spolu s tělesem epeentovaným lokálním souřadncovým sstémem. Přesněj se poto ovnce (.3) apíší jako kde () t ( t) t ( ) (.5) [ ] [ t t t ] a () t () t ( t) ( t) () t () () () () t α () () t α t () t β () t β () t () t γ () t () t γ α () t β. γ Vtah po chlost bodu dostaneme devací ovnce (.5) podle času s ohledem na to že : kde v () t () t () t ( t) (.6) () t () t ( t) ( t) ] sstému [ [ t t t ] () t () () () je chlost bodu vjádřená v globálním souřadncovém je chlost bodu vjádřená v globálním souřadncovém sstému a Denk Moslav beec 7

20 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost () t α () () t α t () t β () t β () t () t γ () t () t γ α d () t β je pvní devace tansfomační matce dt γ podle času. Po úplnost uveďme ještě voec po výpočet chlení bodu kteý ískáme devací ovnce (.6) podle času kde a () t v () t () t () t ( t) (.7) [ () t () t ( t) ( t) sstému [ () t () t ( t) ( t) ] je chlení bodu vjádřené v globálním souřadncovém ] je chlení počátku vjádřené v globálním souřadncovém sstému a () t α () () t α t () t β () t β () t () t γ () t () t γ α d () t β je duhá devace tansfomační dt γ matce podle času... Rošířené matce Výše uvedená matcová metoda kteá vužívá matce 3 3 je vhodná př použtí menšího počtu souřadncových sstémů. Nevýhodou je že jednotlvé tansfomační matce nele nahadt jednou kteá b epeentovala pohb posledního řetěce souřadncových sstémů vůč globálnímu postou. ento poblém řeší použtí tv. ošířených matc. Rošířené matce jsou matce o oměu 4 4 a obsahují jak směové kosn tak polohový vekto počátku lokálního souřadncového sstému. Sstém tvob ošířených matc a jejch použtí po sstém s více souřadncovým sstém je obsahem této podkaptol. Denk Moslav beec 7

21 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost K ovncím (.) přpojíme ještě denttu. to 4 ovnce le matcově apsat jako. (.8) γ γ γ β β β α α α V ovnc (.8) se vsktují jako submatce matce (.3) a poto můžeme tuto ovnc přepsat do tvau (.9) nebo smbolck (.) kde [ ] [ ] je ošířený polohový vekto bodu v globálním postou [ ] [ ] je ošířený polohový vekto bodu v lokálním postou a γ γ γ β β β α α α je ošířená tansfomační matce. Po výpočet chlost bodu použjeme obdobný vtah jako (.6) v (.) Denk Moslav beec 7

22 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost... Současné pohb m m m- 3 m N m m m 3 m- m- m m Ob..: Řetěec souřadncových sstémů Pohb m-tého tělesa soustav vůč ámu nechť je ealován pomocí současných pohbů popsaných smbolckou ovncí ( m ) ( m ) : ( m ) 3: : m : m : K. Vájemné poloh jednotlvých souřadncových sstémů jsou dán matcem m m 3 m m K a polohové vekto bodu jsou váán podle (.) postupně vtah m m m m 3 3. m m m m M (.) Denk Moslav 3 beec 7

23 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Kdž ovnc (.) vloučíme postupně K dostaneme vtah 3 m K. (.3) 3 34 m m m m m oto je matcová ovnce pohbu bodu členu m řetěce m. Roepsaná dává tř skalání paametcké ovnce tajektoe bodu. Čtvtá ovnce je dentta. ansfomační matce m 3 34 m m m m K (.4) je tansfomační matce pohbu členu m vhledem k ákladnímu ámu. Pomocí ní můžeme apsat vtah (.3) jako. (.5) m m. Učení nomál k ploše Učení nomál k ploše je důležtou součástí této dplomové páce. Pomocí nomál k ploše je možné učt polohu středu kola o daném poloměu př jeho odvalování po pojedové ploše jen e nalost bodu dotku. Nomálu hledáme jako jednotkový vekto ve tvau vektoové funkce n ( ) v bodě o souřadncích [f()]. Jednotlvé složk n n a n.vektou n jsou v tom případě směové kosn po kteé platí n n n. (.6) Po potřeb výpočtů souvsejících s matematckým modelem vjádříme pojedovou plochu eplctně jako defnován jako f ( ). V tomto případě jsou směové kosn nomál Denk Moslav 4 beec 7

24 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost n n p p p( ) ( ) q( ) q( ) ( ) q( ) (.7) n p ( ) q( ) kde p ( ) ( ) ( ) f f q( )..3 Učení vdálenost bodu od přímk Učení vdálenost bodu od přímk bude vužto př stanovení poloměu na kteém docháí k odvalování kulového kola po podložce. Polomě na kteém se kolo odvaluje se mění v ávslost na nastavených hodnotách paametů podvoku. Mějme bod o souřadncích [ ] tvořené bodem o souřadncích [ ]. Hledáme jeho vdálenost d od přímk [ 3 a směovým vektoem a a a a ]. Potom je hledaná vdálenost u a d (.8) a kde [ ] u. Denk Moslav 5 beec 7

25 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost.4 Numecké řešení soustav dfeencálních ovnc Po numecké řešení musíme soustavu převést do tv. kanonckého tvau. Kanoncký tva soustav dfeencálních ovnc je dán ápsem ( ) ( ) d d d d n f f n n n K KKKKKKK K (.9) nebo stučněj ( ) n j f n j j d d K K. (.) Vlastní numecké řešení soustav dfeencálních ovnc je možné povést více působ. Vhledem k očekávané složtost v budoucnu řešených dfeencálních ovnc bla po výpočet volena metoda Runge - Kuttova..4. Runge - Kuttova metoda 4. řádu Po převedení soustav do kanonckého tvau s použtím počátečních podmínek můžeme s pomocí následujících voců učt funkční hodnot hledaných nenámých. ( ) 4 3 k k k k h Y Y j j j j j j j n (.) kde ( ) ( ) k h Y k h Y h f k k h Y k h Y h f k k h Y k h Y h f k Y Y f k n n j j n n j j n n j j n j j K K K K (.) je hodnota j-té nenámé na ačátku koku Y j Denk Moslav 6 beec 7

26 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost j Y je hodnota j-té nenámé na konc koku n je počet nenámých h je kok neávsle poměnné. Nevýhodou této metod je velká časová náočnost výpočtu u složtějších soustav ovnc..5 Softwae Maple Matematcký model bl vtvořen v softwau Maple. Maple je počítačové postředí kteé blo vvnuto na unvetě Wateloo v Kanadě po jednodušení a chlení výpočtů v matematce. Na odíl od klasckých pogamů po numecké výpočt modeluje matematcké opeace se smbolckým výa. Maple umožňuje povádět jak smbolcké a numecké výpočt tak vtvářet gaf funkcí pogamovat vlastní funkce č pocedu ukládat data v několka fomátech ( např. aex HM RF MAHM ) a dokonce povádět epot do jných pogamovacích jaků. Funkce mplementované v Maplu pokývají šokou oblast matematk od ákladů lneání algeb dfeencálního a ntegálního počtu přes dfeencální ovnce geomet až k logce. Denk Moslav 7 beec 7

27 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Souřadncové sstém Celý podvoek se skládá více součástí a tto součást mají me sebou učté vab. Jednotlvé součást jsou v matematckém modelu epeentován ůným souřadncovým sstém. Vab me jednotlvým součástm vjadřují tansfomační matce. Po vjádření všech možných pohbů všech částí podvoku blo použto celkem 6 souřadncových sstémů. Z toho 5 souřadncových sstémů blo použto na každou nohu čtř epeentují místo přpojení noh k podvoku jeden epeentuje podvoek obotu a jeden náleží globálnímu postou. Na Ob.. je náoněn řetěec souřadncových sstémů kteé přísluší -té noe podvoku obotu a globálnímu postou. Jsou de také vnačen polohové vekto počátků souřadncových sstémů a jednotlvé stupně volnost kteé budou popsán v následujícím tetu. ϕ A ϕ C C C C D D E A ϕ U A U ϕ E f() Ob..: Souřadncové sstém a stupně volnost Denk Moslav 8 beec 7

28 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost. lobální souřadncový sstém SS lobální souřadncový sstém ( dále jen SS ) je ákladním souřadncovým sstémem celého matematckého modelu. Je spojen s podložkou po kteé obot pojíždí a má v čase konstantní polohu. Vůč tomuto sstému se ealují všechn pohb ostatních částí podvoku obotu.. Souřadncový sstém ( ) ento souřadncový sstém představuje podvoek obotu ke kteému jsou přpojen 4 výkvné noh. Počátek tohoto sstému je v SS učen vektoem ( v Ob.. ). (.) Podvoek vkonává obecný postoový pohb se šest stupn volnost kteé se vtahují ke třem souřadncím počátku a ke třem sféckým úhlům ϕ ϕ ϕ. Používají se ůné sstém těchto úhlů: Sstém Euleův ( tv ) - jedná se o pootočení o úhel ψ - pecese okolo os o úhel ϑ - nutace okolo nové os a o úhel ϕ - vlastní otace okolo pootočené os. ento sstém má nevýhodu v tom že kdž je úhel ϑ oven nule tak nele olšt úhl ψ a ϕ jedná se o tv. sngulatu. Sstém Cadanův ( --3 ODY FIXED ) - pootočení se měří okolo os o úhel Φ potom okolo os o úhel Φ a následovně okolo os o úhel Φ Sstém RPY ( --3 FIXED FRAME ) - tento sstém je podobný předchoímu případu s tím odílem že úhl okolo os ovnoběžných s osam SS. ϕ ϕ ϕ se vtahují k otacím Po stanovení poloh souřadncového sstému ( ) bl volen sstém sféckých úhlů RPY jak je obvklé u vodel letadel a plavdel. Denk Moslav 9 beec 7

29 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost.. Sstém sféckých úhlů RPY Jak už blo uvedeno sstém sféckých úhlů používá k popsání elatvního sféckého pohbu tří úhlů ϕ ϕ ϕ. Zkatka RPY ( Roll - Ptch - Yaw ) v překladu klonění - klopení - atáčení vcháí návosloví jednotlvých otací kolem os souřadncového sstému letadel. ansfomační matce elatvního sféckého pohbu je v tomto případě ( ϕ ϕ ϕ ). (.) ato matce vnkne součnem matc ( v obáceném pořadí než u sstému Cadanových úhlů ) kteé představují jednotlvé otace okolo souřadncových os. Pvní matcí je otace o úhel ϕ okolo os. ato matce je defnovaná jako ϕ snϕ snϕ. (.3) ϕ Duhou matcí je otace o úhel ϕ okolo os. ato matce je defnovaná následovně ϕ snϕ snϕ. (.4) ϕ Poslední matcí je otace o úhel ϕ okolo os defnovaná 3 ϕ snϕ snϕ ϕ. (.5) Výsledná tansfomační matce je pak 3 (.6) nebol po tansfomac souřadnc e sstému ( ) do SS máme matc ϕ ϕ snϕ ϕ - snϕ - snϕ ϕ ϕ snϕ snϕ ϕ ϕ snϕ snϕ snϕ ϕ snϕ snϕ snϕ ϕ snϕ ϕ - ϕ snϕ snϕ snϕ ϕ.(.7) ϕ ϕ Denk Moslav 3 beec 7

30 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Z (.) a (.7) podle (.9) složíme ošířenou tansfomační matc e sstému ( ) do SS ϕ ϕ snϕ ϕ - snϕ - snϕ ϕ ϕ snϕ snϕ ϕ ϕ snϕ snϕ snϕ ϕ snϕ snϕ snϕ ϕ snϕ ϕ - ϕ snϕ snϕ snϕ ϕ ϕ ϕ.(.8).3 Souřadncové sstém (U U U U ) 4 U U U Souřadncový sstém (U ) epeentuje místo přpojení -té výkvné noh k podvoku obotu a je náoněn na Ob... ento souřadncový sstém s počátkem v bodě ϕ U U je vůč souřadncovému sstému ( ) pootočen o úhel okolo os a následně pak okolo nově vnklé os pootočen o úhel ϕ U. Úhl ϕ U a ϕ U jsou konstukční úhl. U U U Polohový vekto počátku souřadncového sstému (U ) je v souřadncovém sstému ( ) vjádřen jako vekto U U U. (.9) U U U U ansfomační matce e sstému (U ) do ( ) vnkne jako součn dvou tansfomačních matc kteé epeentují uvedené otace. Výsledná ošířená tansfomační matce bude ve tvau U sn ( ϕu ) ( ϕu ) sn( ϕu ) ( ϕu ) sn( ϕu ) ( ϕu ) ( ϕu ) ( ϕu ) sn( ϕu ) sn( ϕu ) sn( ϕ ) ( ϕ ) U U U U U. (.) U Vnásobením matce leva matcí podle (.4) dostáváme tansfomační matc e sstému U U U (U ) do SS U U. (.) Denk Moslav 3 beec 7

31 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost.4 Souřadncové sstém (A A A A ) 4 Počátek A souřadncového sstému (A A A A ) -té podvokové noh je vůč sstému (U U U U ) vjádřen polohovým vektoem U A U A U A U A (.) a je pootočen o úhel ϕ okolo os u Z A Ob... Úhl ϕ A K 4 se naývají ejd a jejch měn jsou ovládán samostatným elektomoto. Změna těchto úhlů bude potřeba např. př překonávání překážk nebo př měně ochodu č ovou podvoku. Rošířená tansfomační matce bude po tansfomac tohoto sstému do (U U U U ) v následujícím tvau ( ϕ A ) sn( ϕ A ) ( ϕ ) ( ϕ ) U A U UA sn A A A. (.3) U A ansfomace do SS bude podle (.4) A U UA (.4) nebo s vužtím (.) A U UA. (.5).5 Souřadncové sstém ( ) 4 Na Ob.. je také vnačen souřadncový sstém ( ) s počátkem učeným polohovým vektoem A A A A. (.6) Denk Moslav 3 beec 7

32 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost ento souřadncový sstém je vůč souřadncovému sstému (A A A A ) pootočen okolo os A o úhel ϕ a přísluší -té noe obotovaného podvoku. Změnou těchto úhlů budou řídcím sstémem vovnáván neovnost teénu tak ab bl podvoek stablován ve vodoovné poloe. Změnou úhlů ϕ K 4 bude také možné měnt světlou výšku podvoku dle požadavků stuace. Ovládání úhlů ϕ K4 je unkátně řešeno postřednctvím elektomotoů a pužn kde elektomotoem ovládáme předpětí pužn. ím je ajštěno že př nastaveném předpětí pužn jsou dovolen učté měn úhlů ϕ K 4 kteé mohou elmnovat neovnost teénu tak malé že na ně neaeaguje egulační soustava. Rošířená tansfomační matce e sstému ( ) do (A A A A ) s vužtím (.6) je ( ϕ ) sn( ϕ ) A A A. (.7) A - sn( ) ( ) ϕ ϕ Po výpočet tansfomační matce ( ) do SS použjeme opět vtah (.4). Výsledná tansfomační matce bude pak mít tva U UA A (.8) nebo s vužtím (.5) A A. (.9).6 Souřadncové sstém (C C C C ) 4 Dalším souřadncovým sstémem je souřadncový sstém s počátkem v bodě C -té noh jehož polohový vekto je v ( ) vjádřen jako C C C C. (.) Denk Moslav 33 beec 7

33 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost ento souřadncový sstém má vhledem k sstému ( ) jeden stupeň volnost a to otac ( pvotac ) kolem os o úhel ϕ. Rotace okolo os C o úhl ϕ C 4 jsou ajštěn samostatným elektomoto a jsou potřeba př měně směu jíd. Úhel pvotace je uveden na Ob... C C C Rošířená tansfomační matce (C ) do ( (.5) a (.) podle (.9) dána vtahem ( ϕc ) sn( ϕc ) ( ϕ ) ( ϕ ) ) je s vužtím C C sn C C C. (.) C Podle vtahu (.4) učíme ošířenou tansfomační matc kteá chaakteuje pohb tohoto souřadncového sstému v SS C U UA A C (.) nebo C C. (.3).7 Souřadncové sstém (D D D D ) 4 o Souřadncový sstém s počátkem v bodě D což je střed -tého kola je posunut C C C C D vhledem k (C ) a je pootočen o úhel okolo os C ϕ D souřadncového sstému C (C C C ). Souřadnce C D jsou ovn nule poto ab poloha bodu dotku kola ( tvořeného kulovou plochou ) s pojedovou plochou neáležela na pootočení souřadncového sstému C D C C C (C ) o úhel ϕ C. Pootočení těchto souřadncových sstémů o úhl ϕ D 4 jsou povedena jen konstukčních důvodů a podobně jako úhl obotu. ϕ U Polohový vekto počátku D je ve tvau a ϕ U neajšťují žádný požadovaných pohbů Denk Moslav 34 beec 7

34 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost C D C D. (.4) Rošířená tansfomační matce e sstému (D D D D ) do (C C C C ) bude mít v případě posunutí o C D a otace o ϕ D tva ( ) ( ) CD ϕd sn ϕ D (.5) C sn( ) ( ) ϕ D ϕ D D a tansfomace do SS bude analogck D U UA A C CD (.6) nebo D C CD. (.7).8 Souřadncové sstém (E E E E ) 4 E E E od E kteý přestavuje počátek souřadncového sstému (E ) je totožný s bodem D. ento souřadncový sstém je pevně spojen s -tým kolem a otáčí se vůč D D D (D ) kolem společné os je ovládána elektomoto pojedu vodla. D E o úhel ϕ E. Změna úhlů ϕ E 4 E E E D D Rošířená tansfomační matce (E ) do (D D ) je ( ϕ ) sn( ϕ ) E E DE (.8) sn( ) ( ) ϕe ϕe a tansfomace do SS je ajštěna matcí E U UA A C CD DE (.9) nebo s vužtím (.7) Denk Moslav 35 beec 7

35 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost E D DE. (.3).9 od dotku -tého kola s pojedovou plochou f() Na Ob.. je bod dotku -tého kola s pojedovou plochou epeentován bodem kteý je v SS učen polohovým vektoem f ( ). (.3) Složk a vektou budou předmětem výpočtu v kaptola 3. Denk Moslav 36 beec 7

36 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 3 Vlastní matematcký model V této kaptole budou uveden ákladní vtah po pops matematckého modelu. Cílem bude ab bl pohb celého podvoku odvoen od požadované chlost pohbu a adaného poloměu atáčk což jsou dva paamet kteé budou ovládán užvatelem. Většna polohových vektoů učujících počátk souřadncových sstémů na Ob.. je konstantní potože jsou dán geometí konstukce podvokové noh. Jedná se o vekto A U C C D K 4. Výjmku tvoří vekto kteý defnuje polohu bodu v SS ted vlastně polohu vodla na pojedové ploše. ento vekto má tř nekonstantní nenulové složk. Z nch -ová a -ová složka ted a budou předmětem výpočtu a -ová složka kteá defnuje světlou výšku podvoku bude v budoucnu říena sstémem automatcké stablace. Stablační sstém ovšem nní není součástí modelu takže de bude adána jako funkce času. Jako funkce času musí být adán velčn kteé ve výpočtu fguují jako vstupní paamet. Jsou to polohové paamet příslušné stupňům volnost ovládaným samostatným elektomoto: Výjmku tvoří úhl předmětem výpočtu. Hodnot úhlů ϕ ϕ ( t) ϕ ϕ ( t) ϕ ϕ () t A A C C E E () t K4. ϕ K4 kteé budou podobně jako a ϕ K 4 budou počítán a předpokladu že sfécké úhl ϕ ϕ jsou ovn nule. Ve skutečnost bude nulování úhlů ϕ ϕ ajštěno opět sstémem automatcké stablace po kteý budou ϕ ϕ egulované velčn a úhl ϕ K4 velčn akční. Zbývá ted učt úhel ϕ což je poslední paamet kteý ískáme výpočtem. Poveďme nní nventuu nenámých. Po adání všech námých délkových a úhlových oměů bývá učt ϕ po polohu ámu vodla a ϕ po noh K4 ted celkem 5 hodnot po každý časový okamžk. Způsob jejch výpočtu bude uveden v následujícím tetu. Denk Moslav 37 beec 7

37 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 3. Úloha poloh U A C D E f() D n Ob.3.: Vekto týkající se úloh poloh Cílem bude učt úhl ϕ a vekto př adaných ostatních úhlových a délkových oměech tak ab se každé kolo ( ) K 4 stýkalo s podpůnou plochou f vžd jen v jednom bodě a to v bodě. Okamžté hodnot velčn ϕ A K4 ϕe ϕ budeme přtom považovat a adané a hodnot ϕ C K4 nemají na polohu bodu dotku -tého kola žádný vlv jak vplývá uspořádání souřadncových sstémů. Poto budeme psát tansfomační ovnce po bod D a to přes souřadncové sstém ( ) (U U U U ) (A A A A ) C C ( ) (C C ) (D D D D ). Následně budeme polohu bodů D v SS defnovat pomocí nomál k ploše v bodě a poloměu kola Ob.3.. Poloh bodů D vjádřené v SS epeentované vekto K 4 D K4 učíme jako K4 (3.) D D D D kde Denk Moslav 38 beec 7

38 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost D D D D vjadřují polohové vekto bodů D v sstémech (D D ) K 4. Po výpočet nomál k ploše kteou budeme potřebovat po sestavení duhé matcové ovnce učující polohu bodů D K 4 vužjeme vtahu (.7). Pojedovou plochu uvažována jako f ( ) budeme uvažovat cela obecně. Po testovací účel bla f ( ) F sn. (3.) X Y Konkétní tva ploch v Ob.3.. Ob.3.: va testovací pojedové ploch po F 5 X Y 4. Jednotkové nomálové vekto s počátkem v bodech K 4 s polohovým vekto K 4 budou Denk Moslav 39 beec 7

39 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost ( ) f ( ) ( ) f f f ( ) n K4. (3.3) ( ) ( ) f f Potože jsou tansfomační ovnce (3.) vjádřen pomocí ošířených matc a vektoů musí být vekto n K4 uveden také v ošířeném tvau ted n n K4. (3.4) Polomě kola onačíme a s použtím (3.4) vjádříme poloh bodů D jako K4. (3.5) D n Rovnce (3.) a (3.5) vjadřují polohu stejného bodu takže můžeme přejít k ovnost pavých stan n D D D K4. (3.6) ím ískáváme soustavu 4 3 ovnc po výpočet dvanáct nenámých ϕ K4. ( řetí složku vektoů K 4 učíme ovnce ploch ted f ( ) K4. ) V případě že uvažujeme jen tto nenámé opadne se soustava ovnc tak že po každé máme soustavu tří ovnc po tř nenámé. kd Jak blo uvedeno v počátku kaptol můžeme takto uvažovat jen v případě ϕ A ϕ K 4 jsou námé hodnot. Ve skutečnost jsou však Denk Moslav 4 beec 7

40 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost ϕ ϕ () t K 4 ( t) A A a dané funkce času a hodnot ϕ kteé učují okamžtou poloh a poc vodla se mění v důsledku pohonu kol. o má dva důsledk. Zapvé jsou nenámé ϕ obsažen ve všech ovncích soustav (3.6) takže k opadu na 3 4 ovnce nedocháí. A a duhé tř ovnce chbí. 3. Úloha chlost Potože kola se po pojedové ploše odvalují budou tř chbějící ovnce v soustavě (3.6) doplněn v podobě podmínek valení. Podmínk valení budou vjádřen jako nulové chlost učtých bodů v učtých směech tj. bude se jednat o dfeencální ovnce pvního řádu. Výsledná soustava 5 ovnc tak bude algebo - dfeencální. Poto musíme soustavu (3.6) devovat podle času abchom ískal soustavu 5 dfeencálních ovnc kteou už budeme schopn vřešt. 3.. Devace soustav (3.6) podle času Soustava ovnc (3.6) je nní ve tvau D ( t ϕ ) ( ) n ( ) D D Devací podle času přejde do tvau D ϕ K4. (3.7) n D D K4 (3.8) kde D t D D D ϕ D ϕ ϕ D ϕ n n n Denk Moslav 4 beec 7

41 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost takže jde o soustavu dfeencálních ovnc. řádu po 5 nenámých funkcí () t () t () t () t () t ϕ ( t)... 4 ϕ. 3.. Podmínk valení Podmínk valení budeme defnovat po bod dotku -tého kola s pojedovou plochou f ( ). Př dokonalém valení tělesa kulového tvau je chlost dotkového bodu ovna nule nebol bod dotku je okamžtým pólem kolem kteého se kulová plocha odvaluje Rchlost dotkového bodu považovaného a bod -tého kola U A C D E f() E Ob.3.: Vekto týkající se úloh chlost Pvním kokem je vjádření polohových vektoů K4 což jsou E polohové vekto bodů dotku K 4 vjádřené v otujících souřadncových sstémech E E E (E ) K4. K tomu použjeme polohové vekto bodů K4 vjádřené v SS a tansfomační matce e souřadncových sstémů E E E (E ) K4 do SS. Platí že Denk Moslav 4 beec 7

42 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost K4. (3.9) E E Z ovnce (3.9) vjádříme vekto K4 vnásobením leva matcí ( E ) ( E ) E s vužtím vtahu E K4 (3.) E E kde E E E E je tansfomační matce SS do sstému (E ) pevně spojeného s -tým kolem. Vekto chlostí dotkových bodů kde s bod představíme jako součást - tého kola ískáme devací ovnce (3.) podle času a předpokladu že budeme uvažovat vekto E K4 nepoměnné v čase tj. jako b měl v každém okamžku vůč bodům E konstantní polohu ted E. Onačíme-l je jako potom ( v ) E E E E ( v ) K4 (3.) kde E E E E E E ϕ ϕ. t ϕ ϕ Po dosaení (3.) a ( ) E v K4 E do (3.) dostáváme konečné vtah po chlost E E E ( v ) K4. (3.) 3... Přřaení podmínek valení ( ) E Vekto chlostí K 4 mají v SS obecně tř nenulové složk. v Kdbchom s ttéž vekto vjádřl v takových souřadncových sstémech kteé b měl dvě souřadncové os v tečné ovně k ploše ( ) f v bodě a třetí osu kolmou na předchoí dvě tj. ve směu nomál k tečné ovně potom b vekto ( v ) E Denk Moslav 43 beec 7

43 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost K4 měl po každé poue dvě nenulové složk. o je působeno tím že jsou kola sváána s plochou f ( ) podmínkou dotku v jednom bodě. Uplatnění podmínk valení na všechna čtř kola b poto představovalo dalších osm ovnc. V soustavě (3.8) ale chbí poue ovnce tř čehož plne že v knematckém modelu není možné požadovat splnění podmínek valení na všech kolech současně. Z tohoto důvodu použjeme jen tř podmínk valení kteé uplatníme na dvou kolech. U pvního kola budeme uvažovat dokonalé valení kteé odebíá dva stupně volnost ( podmínk valení ). Duhé kolo bude podmínku valení splňovat poue v jednom směu a v duhém bude mít dovolený poklu. Poklu bude umožněn ve směu os otace kola Podmínka valení u dokonale se valícího kola Podmínku budeme defnovat po pvní kolo ( ). Po toto kolo musí platt ( v ) E. (3.3) ( ) E Zde vžjeme faktu že složka chlost v ve směu nomál k ploše f ( ) je ovna nule a potože musí platt podmínka (3.3) potom půmět chlost jakýchkol dvou směů s výjmkou směu nomál učených dvěma lneáně neávslým vekto musí být oven nule. ( v ) E Po vjádření těchto podmínek valení musíme nejpve tansfomovat vekto ( ) SS do souřadncového sstému D D což je nvesní matce k jž míněné matc ted D E D ( ) ( v ) E v v D D D (D ). Po tansfomac použjeme matc. (3.4) Os každého souřadncového sstému jak vplývá defnce musí být tvořen lneáně neávslým vekto. Poto můžeme podmínk valení uvažovat jako nulové do E Denk Moslav 44 beec 7

44 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost D složk vektou chlost ( v )E ve směu os D D a. ím vnknou ovnce D E ( ) v (3.5) D E ( ) (3.6) v kteé doplní soustavu (3.8). Složka vektou ve směu os D nebla použta potože se tato osa může svou oentací blížt ke směu nomál Podmínka valení u kola kteé má defnovanou podmínku valení v daném směu Podmínku po duhé kolo ( ) budeme defnovat podobným působem jako v předchoím případě poue s odílem že a nulovou budeme považovat jen složku ve směu os D D D D v souřadncovém sstému souřadncového sstému (D ). Opět s vjádříme vekto D E D ( ) ( v ) E v Podmínka že D D D (D ) ( ) E v. (3.7) D E ( ) (3.8) v je poslední chbějící ovncí v soustavě (3.8). Složka vektou ( D )E v ve směu os D bla použta poto že pokud bude tato složka ovna nule potom se může vekto ( v ) E nacháet jen v ovně tvořené osam D a D. Vekto ( )E se musí také nacháet v tečné ovně k ploše f() v bodě dotku. Obě tto podmínk nám ajstí že kolo má dovolený poklu v požadovaném směu. v Denk Moslav 45 beec 7

45 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 3.3 Vlastní řešení soustav V této fá je nutné řešt soustavu devít dfeencálních ovnc opot původním patnáct. o je působeno tím že jsou podmínk valení učen jen po pvní a duhé kolo. o namená že bude pohb podvoku odvoen od otáčení těchto dvou kol. Jedná se o matcové ovnce (3.8) po a ovnce (3.5) (3.6) (3.8). ( ) ( ) ( ). E D E D E D D D D D D D v v v n n (3.9) Po adání všech konstukčních oměů a všech paametů jež jsou uvažován jako funkce času se v ovncích (3.3) vsktují následující nenámé a jejch devace ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. Po řešení soustav (3.9) bla volena metoda Runge - Kuttova podle vou (.). Jak blo uvedeno v kaptole.4 musíme soustavu převést do kanonckého tvau daného předpsem (.9). Zde bude vužto toho že soustava (3.9) je lneání vůč devacím. Poto můžeme soustavu přepsat do matcového tvau ϕ ϕ ϕ Aq a (3.) kde ( ) [ ] ( ). a ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ a a q A A Soustavu převedeme do kanonckého tvau tak že matcové ovnce (3.) vjádříme q. Jednotlvé složk q budou potom představovat funkce použté v (.) f j a. (3.) A q Denk Moslav 46 beec 7

46 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 3.3. Počáteční podmínk po soustavu (3.3) Nní už jen bývá učt počáteční podmínk abchom mohl soustavu (3.9) vřešt. K jejch učení použjeme matcovou ovnc (3.6) opět po. Potože tto dvě matcové ovnce obsahují všech devět nenámých budeme muset tř nch volt. Zvolíme výchoí polohu a poc vodla tj. ϕ ϕ. ϕ a dopočítáme. Ab blo možné vkeslt pohbující se podvoek je potřeba dopočítat polohové a úhlové hodnot týkající se třetího a čtvtého kola. Potřebné hodnot spočítáme ovnc (3.6) po 3 4. Nenámým po nás budou ϕ ϕ. Jestlže nás budou ajímat devace těchto hodnot podle času ted 3 ϕ 3 3 4ϕ 4 4 tak použjeme ovnc (3.8) po Výsledkem ted je soustava devít dfeencálních ovnc kteou numeck řešíme metodou Runge - Kutta. Zajímají-l nás ještě hodnot devací velčn vpočtených touto metodou stačí poue dosadt do jednotlvých funkcí soustav (3.9) do kanonckého tvau. j f vtvořených převodem Denk Moslav 47 beec 7

47 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 4 Základní manév V úvodu blo míněno jaké ákladní pohb je obotovaný podvoek dík své konfguac schopen povádět. V této kaptole bude popsáno co se př takovýchto manévech s podvokem děje a kdž to bude možné budou de uveden ovnce podle kteých b se mělo dosáhnout požadovaného pohbu. O přesné fomulac algotmů bude ohodnuto poděj po úspěšném odladění a odkoušení na funkčním modelu nebo až se matematcký model doplní o úlohu chlení a bude možné takové manév povádět s ohledem na všechn vlv jako je např. setvačná síla poloha těžště atd. 4. Jída do atáčk Jída do atáčk bude u podvoku nejvíce užívaným manévem. Cílem této podkaptol bude odvodt natočení kol ( pvotac ) a úhlové chlost otáčení kol ab se podvoek pohboval po kuhové atáčce o daném poloměu R danou chlostí v. V tomto případě budeme uvažovat ovnou pojedovou plochu. v D 3 v D v v D R 4 v D Střed atáčk Ob.4.: Požadované chlost bodů D Denk Moslav 48 beec 7

48 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Na Ob.4. je vnačena požadovaná chlost v půjedu atáčkou a také je de vnačen požadovaný střed atáčk o poloměu R. Dále jsou de vnačen požadované chlost bodů D kteé se mění v ávslost na hodnotách v R a na nastavených paametech podvoku. Jak už blo uvedeno budeme uvažovat že př půjedu obotovaného podvoku atáčkou o poloměu R se bude obot pohbovat po kuhové dáe. Jeho polohu učíme úhlem ϕ. Z Ob.4. je řejmé že po ujetí dáh příslušné nějakému úhlu ϕ dojde také v ovně ( okolo os ) k pootočení podvoku o tentýž úhel. ϕ R (t ) ϕ střed atáčk ϕ Nejpve musíme učt měnu úhlu () t ωt Ob.4.: Půjed atáčkou ϕ ϕ( t). Vtah po ( t) ϕ budeme hledat ve tvau. Znaménko mnus ohledňuje to že př odvoení je bán jako kladný úhel ϕ úhel naůstající pot směu hodnových učček. Uvažujme že požadovaná chlost v se Denk Moslav 49 beec 7

49 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost také ovná obvodové chlost půjedu atáčkou. S použtím vtahů po pohb po kužnc učíme úhlovou chlost tohoto pohbu v ω. (4.) R Polohu lokálního počátku vhledem k SS učíme pomocí paametcké ovnce kužnce () t Rsnϕ() t () t R ϕ() t ( ). (4.) S vužtím (4.) a (4.) složíme pomocnou tansfomační matc e sstému ( ) do SS a onačíme j p ( t) snϕ( t) ( t) () t ϕ() t () t () t ϕ snϕ p. (4.3) Pomocí matce p vjádříme nepatně měněný řetěec souřadncových sstémů SS až (D D D D ) D U UA A C CD p p K4. (4.4) Nní e soustav (3.6) kde nahadíme matc matcí po daný čas vpočítáme hodnot ϕ K4. D D p Polohový vekto učující polohu bodů D v půběhu půjedu atáčkou vjádříme podobně jako v (3.) K4. (4.5) D D p D D Všechna kola musí být natočena tak ab směřovala ve směech chlostí bodů D. Vekto těchto chlostí jstíme devací vtahu (4.5) podle času v D K4. (4.6) D D p D D Denk Moslav 5 beec 7

50 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Dále musíme sestavt ovnce po výpočet úhlů ϕc K 4. Vjádříme jednotkové vekto ve směu os D souřadncových sstémů (D D D D ) K4 D D n D p p K4. (4.7) Rovnce po výpočet úhlů ϕc K 4 vjádříme jako skalání součn vektoů chlostí a jednotkových vektoů ve směech os D (4.7) položených ovno nule potože vekto musí svíat úhel π. v n K 4. (4.8) D D Z analtckého řešení ovnc (4.8) po ϕ C K 4 kteé je ve tvau actan ( p( R) ) vplývá že ovnce mají více řešení. Je ted nutné je řešt numeck v daných meích abchom ajstl požadovaný smě natočení kola. Následujícím kokem je výpočet poloměu otáčení kola. Zde vužjeme vtahu (.8). Př výpočtu tohoto poloměu můžeme vužít analtckého řešení ovnc (4.8) potože funkce actan má peodu π a výsledek ovnc (4.8) měněný o π vede ke stejným poloměům otáčení. Polomě odvalování kol odpovídají vdálenostem bodů K 4 od přímek tvořených bod D K4 a směovým vekto K 4. Vdálenost onačme d a potom n D d u n D K4 (4.9) n D kde [ ] u. D D D Úhlové chlost otáčení kol jsou potom dán vtahem Denk Moslav 5 beec 7

51 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost v D ω K4. (4.) d Otáčení kol bude ajštěno elektomoto kteé budou buen tak ab jejch fekvence otáčení odpovídala ( t) E () t ( ω)t ω. Výchlka ϕ E musí ted odpovídat vtahu ϕ K4. (4.) Výsledkem jsou ovnce (4.8) a (4.) pomocí kteých jsme schopn př nastavených hodnotách voltelných paametů podvoku učt úhl a úhlové chlost ϕ C K4 ω K4 tak ab se podvoek pohboval požadovaným směem poue v ávslost na R a v. Rovnce (4.8) a (4.) jsou ávslé poue na poloměu požadované atáčk a na chlost jejího půjedu poto jsou vhodné po říení skutečného modelu kde pávě tto dva paamet bude užvatel ovládat. Zde s můžete pohlédnout anmace atáček: konstantní polomě poměnný polomě 4. Půjed úženým místem Př povou obotovaného podvoku ať už v ubanovaném postředí nebo ve volné příodě může dojít k tomu že podvoek dík svému ochodu nedokáže pojet úženým místem. akové místo mohou představovat třeba áubně dveří kteé v mnoha případech bývají užší než ochod běžně podávaných nvaldních voíků. V příodě se těchto míst vsktuje daleko více např. úké místo tvořené dvěma stom úká lávka apod. akový případ je také náoněn na Ob.4.3. Denk Moslav 5 beec 7

52 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Ob.4.3: Půjed úženým místem I Ab mohl podvoek takovýmto místem pojet a áoveň s achovat co největší stabltu musí nejpve pootočt přední noh o příslušný úhel ϕ A ( úhel ejdu ) tak ab došlo k přblížení kol jak je náoněno na následujícím obáku (Ob.4.4). V takovéto konfguac pojede předním kol úžené místo a kola se následně vací do původní poce. Ob.4.4: Půjed úženým místem II Denk Moslav 53 beec 7

53 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Celý postup se poté opakuje po adní kola v Ob.4.5 a po pojetí úženého místa se podvoek vátí do původní konfguace. Ob.4.5: Půjed úženým místem III Na následujícím gafu je náoněno jak se mění úhl ejdu př výše uvedeném manévu. 3 4 af 4.: Změna úhlu ϕ A v čase Anmace půjedu úženým místem. Denk Moslav 54 beec 7

54 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 4.3 Překonání překážk překočením Daleko náočnější manév než je půjed úženým místem je překonání ležící překážk překočením. uto překážku může představovat ležící kmen stomu obubník nebo jná překážka jejíž velkost je větší než polomě kol. Překážk o velkost menší než je polomě kola b měl být podvoek schopen překonat sám. Př najetí kola na takovouto překážku b sama egulační soustava měla upavt nastavení podvoku tak ab podvoek překážku be poblémů překonal. Dále se ted budeme abývat překážkou větší než je polomě kola. Na následujících obácích jsou náoněn jednotlvé fáe tohoto manévu. Ob.4.6: Příjed k překážce Podvoek se k překážce přblíží v takové konfguac kd mají přední kola největší ochod a adní kola jsou v ákladní poloe v Ob.4.6. Potom postupně jednotlvým kol překoná překážku. oho je docíleno současnou měnou úhlů ϕ a ϕ jak je náoněno v afu 4.. Na Ob.4.7 a Ob.4.8 je ve dvou kocích nanačeno překonání překážk pvním kolem. A Denk Moslav 55 beec 7

55 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost Ob.4.7: Překonávání překážk. kolem Ob.4.8: Dokončení překonávání překážk. kolem Denk Moslav 56 beec 7

56 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost ϕ A ϕ A 4 ϕ 4 ϕ ϕ 3 ϕ ϕ ϕ A 3 A af 4.: Změna úhlů ϕ A a ϕ v čase Je řejmé že měn úhlů ϕ A a ϕ náoněné v gafu 4. nejsou unveální po překonání obecné překážk. Z toho důvodu budou měn úhlů ϕ a ϕ A modfkován paamet kteé budou jštěn např. čdel nebo adané přímo užvatelem. Překočení překážk překočením. 4.4 Pohb do schodů Nejnáočnějším manévem obotovaného podvoku bude nepochbně chůe do schodů. V běžném žvotě se setkáváme se schod olčných paametů - výaně se mění úhel sklonu schodů šířka a výška schodu počet schodů. Všechn tto vaablt načně těžují překonání této běžné překážk. Podvoek kteý je řešen v této pác je samořejmě tohoto složtého manévu schopen ale samostatné říení manévu kteé musí být dostatečně vaablní ab poklo všechn duh schodů bude velce složté. Podvoek stejně jako v předchoím případě musí být osaen čdl kteé odměří paamet schodště podle kteých se následně mění řídící algotmus. Denk Moslav 57 beec 7

57 Matematcký model knematk obotovaného podvoku se šestnáct stupn volnost 5 Závě ato dplomová páce obsahuje 3D matematcký model obotovaného podvoku. Matematcký model bude v budoucnu doplněn o úlohu chlení což jak doufám bude obsahem mé další páce na tomto pojektu. Pohb vodla epeentovaného matematckým modelem je odvoen od otáčení dvou kol jejchž úhlová chlost se počítá předepsaného poloměu atáčk a požadované chlost pohbu vodla. Pohb vodla odvoený od pohbu pouhých dvou kol je v míném opou s ealtou. Je to však nutná daň a jednodušení eálné ted dnamcké úloh na úlohu knematckou. Po usaení všech kol na pojedovou plochu bývá podvoku pět stupňů volnost. Dva stupně volnost podvoku odebíá předpoklad automatcké egulace vodoovné poloh ted předpoklad ϕ ϕ. Zblé stupně volnost ϕ odebeeme výše míněným podmínkam valení. Anmace ákladních manévů uvedených v kaptole 4 jako je jída do atáčk jída do atáčk s poměnným poloměem půjed úženým místem překonání překážk překočením jsou veřejněn na uvedených ntenetových adesách. Nejsložtější manév je jída do atáčk po vlněné ploše. Náočnost výpočtu dokauje to že na velce výkonném počítač SI Alt 35 tval výpočet této stosnímkové anmace několk dnů. Po výpočet této anmace blo také nutné napogamovat vlastní poceduu po řešení soustav dfeencálních ovnc podle Runge - Kutta. Funkce dsolve použtá v softwau Maple po řešení soustav dfeencálních ovnc se v případě takto složtých ovnc neosvědčla. Denk Moslav 58 beec 7