10. Prut v pružnosti a pevnosti

p10 1 10. Prut v pružnosti a pevnosti Základním úkolem PP je řešit problémy spojené s napjatostí, deformací a porušováním součástí technických objektů, což jsou většinou tvarově složitá tělesa. Určení napjatosti a deformace těles složitějších geometrických tvarů bylo umožněno až pomocí počítačů. Předtím bylo možné jen řešení určitých geometricky jednodušších těles, a to ještě při použití řady omezujících předpokladů. My se teď budeme zabývat nejjednodušším modelovým tělesem, a to prutem. V běžném jazyce chápeme prut jako těleso dlouhé a tenké, ale v PP si musíme prut vymezit přesněji. Toto vymezení na jedné straně zavádí další omezující podmínky, na druhé straně umožňuje zahrnout i tělesa, která nejsou dlouhá a tenká. Prut v PP je nejjednodušším teoretickým modelem reálného tělesa, které splňuje jisté geometrické, vazbové, zatěžovací, deformační a napjatostní předpoklady (označujeme je jako prutové předpoklady). předpoklady OBSAH další

p10 2 10.1. Prutové předpoklady a) předpoklady geometrické Prut je určen střednicí γ, a v každém bodě střednice příčným průřezem ψ. Střednice γ je spojitá a hladká křivka konečné délky. Příčný průřez je jednoduše nebo vícenásobně souvislá oblast, ohraničená obrysovou křivkou, matematicky ji popisujeme charakteristikami příčného průřezu. Příkladem nesouvislého příčného průřezu je řez A-A v místě drážky v prutu obdélníkového průřezu (porušení prutových předpokladů). Délka střednice je vždy podstatně větší než největší rozměr příčného průřezu. charakteristiky

p10 3 Pro popis prutu se používá obvykle pravotočivý kartézský souřadnicový systém, jehož osa x má směr tečny ke střednici a osy y, z jsou vhodně zvoleny v příčném průřezu. b) předpoklady vazbové a zatěžovací Vazby omezují jen posuvy a úhly natočení střednice. Zatížení je soustředěno na střednici, tj. silovým působením na prut jsou osamělé nebo liniové síly a silové dvojice s působištěm na střednici (není li splněno, nutná staticky ekvivalentní (SE) náhrada reálného zatížení zatížením na střednici; přitom je třeba mít na paměti omezení plynoucí ze Saint Venantova principu). silové působení SE

p10 4 c) předpoklady deformační Střednice zůstává v procesu deformace spojitá a hladká. Průřezy v procesu deformace zůstávají rovinné a kolmé k deformované střednici, pouze se vzájemně oddalují (tah), přibližují (tlak), tah natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a deformují (ohyb), ohyb natáčejí kolem osy kolmé k příčnému průřezu a nedeformují (krut), krut posouvají kolmo ke střednici (smyk).

p10 5 d) předpoklady napjatostní Napjatost v bodě prutu je určena normálovým a smykovým napětím v příčném řezu vedeném tímto bodem; ostatní složky tenzoru napětí jsou nulové. Tuto napjatost nazýváme prutová napjatost. prutová napjatost T σ = σ x τ xy 0 τ yx 0 0 0 0 0 = σ τ 0 τ 0 0 0 0 0 nebo T σ = σ x 0 τ xz 0 0 0 τ zx 0 0 = σ 0 τ 0 0 0 τ 0 0 Pro řešení problémů deformace a napjatosti prutu budeme používat dva typy prvků: prvek konečný Ω 0, uvolněný z prutu jedním příčným řezem ω 1, prvek jednonásobně elementární Ω 1, uvolněný z prutu dvěma limitně blízkými příčnými řezy ω 1, ω 2 (je základním prvkem prutů). Tento základní prvek bude často vhodné chápat jako soustavu tvořenou trojnásobně elementárními prvky, určenými prvkem dψ příčného průřezu ψ a prvkem dγ střednice prutu γ.

p10 6 10.2. Geometrické charakteristiky příčného průřezu Jsou to veličiny, které charakterizují příčný průřez, a jsou používány ve vztazích pro výpočet napětí a deformace pro jednotlivé způsoby namáhání. 10.2.1. Plocha příčného průřezu S = ds = dydz [ m 2 ] ψ ψ 10.2.2. Lineární (statické) momenty U y = zds, U z = yds ψ ψ [ m 3 ] S lineárními momenty jste se setkali už ve statice při určování polohy těžiště: těžiště rdf G Ω r T = df G Ω rds yds Ψ Ψ pro ρ = konst., t = konst. r T = y T = = U zds z S S S, z Ψ T = = U y S S Poznámka: Příklad 101 Lineární moment k ose procházející těžištěm průřezu (centrální osa) je roven nule.

p10 7 10.2.3. Kvadratické momenty název definiční vztah rozměr příklad použití osové deviační polární J y = z 2 ds, [m 4 ] napětí a deformace v ohybu (určované ψ J z = y 2 ds, v hlavním souřadnicovém systému) ψ J yz = yzds, [m 4 ] určení polohy hlavního souřadnicového ψ systému J P = r 2 ds, [m 4 ] napětí a deformace v krutu středově symetrických ψ průřezů ohyb krut

p10 8 10.2.4. Základní vlastnosti kvadratických momentů průřezu 1. Aditivnost: kvadratické momenty celého průřezu ψ k daným osám jsou rovny součtu kvadratických momentů částí průřezu ψ i k těmže osám. 2. Hodnoty osových a polárních kvadratických momentů jsou kladné. Hodnota deviačního momentu může být jakékoliv reálné číslo (obojí plyne z vlastností integrálů). 3. Osové momenty dvou symetrických průřezů k ose symetrie jsou stejné. Totéž platí pro jakoukoli osu kolmou k ose symetrie obou průřezů. Deviační momenty k těmto osám jsou rovněž stejné, ale opačných znamének. Příklad 102 Důkaz: Ψ 1 = Ψ 2, J z (1) = y 2 ds = ( y) 2 ds = J z (2) Ψ 1 Ψ 2 J yz (1) = Ψ 1 J y (1) = z 2 ds = z 2 ds = J y (2), Ψ 1 Ψ 2 yzds = yzds = J yz (2) J yz (1)+(2) = J yz (1) + J yz (2) = 0. Ψ 2 Odtud plyne: deviační moment symetrického průřezu k pravoúhlému souřadnicovému systému, kde alespoň jedna z os je osou symetrie, je roven nule. 4. Polární kvadratický moment je dán součtem osových kvadratických momentů k osám pravoúhlého souřadnicového systému s počátkem v pólu. Důkaz: r 2 = y 2 + z 2 J P = ψ r 2 ds = (y 2 + z 2 )ds = y 2 ds + z 2 ds = J z + J y ψ ψ ψ

p10 9 10.2.5. Kvadratické momenty základních tvarů průřezů a) Obdélník J y = z 2 ds = h/2 z 2 bdz = bh3 12, J z = y 2 ds = b/2 y 2 hdy = hb3 12, ψ h/2 ψ b/2 J yz = yzds = 0 ψ y(z) b) Trojúhelník b = h h z y(z) = b h b z, ds = (b h b z)dz J y = z 2 ds = h z 2 (b b bh3 ψ 0 h z)dz = 12, J z = hb3 12, J yz = h2 b 2 24 Poznámka: pro praktické použití je třeba tyto momenty transformovat posunutím a natočením, protože nejsou vztaženy k hlavnímu centrálnímu souřadnicovému systému (viz dále). c) Kruh J y = J z, J y + J z = J P J y = 1 2 J P, ds = 2πρ dρ, J P = ρ 2 ds, ψ J P = R 0 ρ 2 2πρ dρ = πr4 2, J y = J z = J P 2 = πr4 4 = πd4 64, J yz = 0

p10 10 10.2.6. Kvadratické momenty průřezu při transformaci souřadnic Transformačních vztahů s výhodou využíváme při určování kvadratických momentů průřezu. Určíme kvadratické momenty k osám, ke kterým je výpočet nejsnadnější (nebo je známe), a pak je transformujeme k hlavním centrálním osám. Tyto tzv. hlavní centrální osové kvadratické momenty se využívají např. pro výpočet napětí a deformace při namáhání ohybem. a) Transformace posunutím Steinerovy věty Pomocí známých kvadratických momentů k centrálním osám y T a z T (osy procházející těžištěm) určujeme tyto momenty k posunutým osám y a z (nebo naopak): J y = J yt + b 2 S, J z = J zt + a 2 S, J yz = J yt z T + abs. Protože členy a 2 S i b 2 S jsou vždycky kladné, je kvadratický moment ke kterékoliv posunuté ose větší než moment k ose rovnoběžné centrální (procházející těžištěm). b) Transformace natočením Pro transformaci natočením lze odvodit následující vztahy: ohyb Příklad 103 Příklad 04 Příklad 110 J y = J y cos 2 α J yz sin 2α + J z sin 2 α J z = J z cos 2 α + J yz sin 2α + J y sin 2 α J y z = J y J z 2 sin 2α + J yz cos 2α J P = J y + J z = J P

p10 11 10.2.7. Hlavní kvadratické momenty V množině pootočených souřadnicových systémů y, z existuje souřadnicový systém y h, z h, ke kterému je deviační moment roven nule (J yh z h = 0). Nazývá se hlavní souřadnicový systém a jeho osy jsou osy hlavní. Kvadratické momenty k tomuto souřadnicovému systému se nazývají hlavní kvadratické momenty J yh, J zh. Jak plyne z Mohrova zobrazení (viz 10.2.8), jeden z těchto hlavních kvadratických momentů je maximální (značíme J 1 ) a druhý minimální (J 2 ) mezi kvadratickými momenty ke všem různě natočeným souřadnicovým systémům. Poloha hlavního souřadnicového systému je dána úhlem mezi natočenými a původními osami, který se určuje z podmínky nulového deviačního momentu: J yh z h = J y J z 2 sin 2α h + J yz cos 2α h = 0 α h = 1 ( ) 2 arctg 2Jyz. J y J z Hlavní souřadnicový systém s počátkem v těžišti se nazývá hlavní centrální souřad- Příklad 105 nicový systém. Protože osa symetrie průřezu vždy prochází jeho těžištěm a deviační Příklad 107 moment k ní je nulový, je tato osa vždy hlavní centrální osou, stejně jako osa k ní kolmá jdoucí těžištěm. Příklad 108 Příklad 109

p10 12 10.2.8. Mohrova kružnice kvadratických momentů Mohrovou kružnicí lze geometricky znázornit kvadratické momenty k souřadnicovým systémům různě natočeným kolem bodu průřezu (obvykle kolem jeho těžiště). Na vodorovnou osu vynášíme osové kvadratické momenty, na osu svislou momenty deviační. Souřadnici J y přísluší deviační moment J yz, souřadnici J z pak přísluší deviační moment J yz stejně velký, ale s opačným znaménkem. (Tato konvence je dána odvozením Mohrovy kružnice.) Příklad 106 Úhel 2α h mezi průvodičem bodu odpovídajícího osovému kvadratickému momentu J y a vodorovnou osou je dvojnásobkem úhlu mezi osou y a příslušnou hlavní centrální osou příčného průřezu.

p10 13 10.3. Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ) Řešíme úlohu pružnosti pro prutové těleso, na něž působí silová soustava Π. Viditelným projevem odezvy jsou posuvy jednotlivých bodů tělesa, matematicky popsané vektorovým polem, tj. množinou vektorů posuvů u A = f u (Π). Vnitřním projevem odezvy jsou stavy deformace a napjatosti tělesa v každém jeho bodě, popsané dvojicí vzájemně závislých tenzorů přetvoření T ε a napětí T σ. Při řešení složek napětí vycházíme z podmínek statické rovnováhy prvku tělesa. Prut rozdělíme příčným řezem ω na dva konečné prvky Ω 01 a Ω 02. Statickou rovnováhu prvku Ω 01 zajišťují vnitřní síly, mající obecně charakter sil spojitě rozložených v průřezu ω; pro vyjádření těchto sil jsme zavedli veličinu obecné napětí f ω. (Analogicky platí statická rovnováha pro prvek Ω 02 ; jsou-li splněny podmínky pro prvek Ω 01, budou automaticky splněny i pro prvek Ω 02.) Protože však použitelných podmínek statické rovnováhy je nejvýše šest, nestačí k určení napětí, které může být v každém bodě řezu různé co do velikosti i směru; úloha určení napětí v řezu je mnohonásobně staticky neurčitá. Aby úloha byla řešitelná, nahradíme obecná napětí v řezu staticky ekvivalentně (SE) výslednicí silovou F V a momentovou M V v těžišti příčného průřezu (těžiště budeme nadále značit R kvůli vyloučení záměny s označením tenzorů a posouvajících sil). úloha pružnosti T σ T ε rovnováha konstitutivní vztahy

p10 14 Výslednice F V i MV jsou vektory dané každý třemi složkami. Těchto celkem šest složek nazýváme výsledné vnitřní účinky (VVÚ) a určujeme je z rovnic statické rovnováhy (SR) uvolněného prvku Ω 01 nebo Ω 02, vyjadřujících rovnováhu sil vnějších Π 1 (působících na prvek Ω 01 resp. Ω 02 ) a vnitřních Π V = { FV, M V }. ekvivalence Znalost určování VVÚ je nutným předpokladem zvládnutí problému pružnosti prutů. VVÚ jsou pomocné veličiny, popisující namáhání prutu a umožňující nalézt předem nebezpečná místa prutu (tj. místa s největším namáháním). Při definici složek VVÚ postupujeme následovně: Výslednici silovou F V a momentovou M V rozložíme do směrů lokálních souřadnicových os: F V = F V x + F V y + F V z = N i + T y j + T z k M V = M V x + M V y + M V z = M k i + M oy j + M oz k Jejich souřadnice jsou výsledné vnitřní účinky v bodě R střednice (VVÚ). VVÚ = {N, T y, T z, M k, M oy, M oz } VVÚ v bodě střednice se určují z podmínek statické rovnováhy uvolněného prvku. podmínky SR

p10 15 Lokální souřadnicový systém má počátek v těžišti R průřezu, ve kterém určujeme složky VVÚ. Osa x L je u přímého prutu totožná se střednicí (v případě prutu zakřiveného je tečnou k zakřivené střednici), osy y L a z L leží v příčném průřezu a dohromady tvoří kartézský souřadnicový systém. osy Složky VVÚ mají zavedeny specifická označení a názvy: N - normálová síla / \ namáhání tahem - směr vnější normály namáhání tlakem - směr vnitřní normály T y, T z - posouvající síly - namáhání prutu smykem (střihem) M k - kroutící moment - namáhání prutu krutem M oy, M oz - ohybové momenty - namáhání prutu ohybem Výsledné vnitřní účinky (VVÚ) jsou složky silové a momentové výslednice vnitřních sil v těžišti příčného průřezu, které spolu se soustavou vnějších silových účinků tvoří rovnovážnou silovou soustavu působící na prvek prutu. tah krut ohyb těžiště

p10 16 Průběhy VVÚ ( F V, M V ) jsou funkce popisující rozložení jednotlivých složek VVÚ podél střednice prutu; tyto funkce jsou určeny tvarem střednice a silovým působením. Střednice se při zatížení deformuje, proto se mohou v průběhu zatěžování měnit i F V a M V v každém bodě střednice. VVÚ bychom proto měli vyjadřovat obecně vzhledem k deformované střednici pružnost a pevnost II. řádu. Když jsou změny F V a M V v důsledku deformace střednice nepodstatné, můžeme tyto změny zanedbat a F V a M V určíme vzhledem k nedeformované střednici, tj. k výchozímu tvaru (PP I. řádu). V tomto případě musíme určit deformaci a zkontrolovat, jestli deformace střednice podstatně VVÚ nezmění. Jestliže je podstatně změní, je výpočet chybný a správně by měl být proveden znovu s uvažováním deformace střednice (PP II. řádu). My se však, až na výjimky (vzpěrná stabilita prutů), budeme zabývat pružností I. řádu (deformace prutu neovlivňuje podstatně jeho napjatost) a uvolňovat prvek v nedeformovaném stavu. V pružnosti a pevnosti prutů dále rozlišujeme podle počtu nenulových složek VVÚ: jednoduché namáhání prutu jestliže v každém bodě střednice působí pouze jedna ze složek N, T, M o, M k. Označíme ho jako tah (N > 0), tlak (N < 0), ohyb (M o 0), krut (M k 0), smyk (T 0); kombinované namáhání prutu jestliže alespoň v jednom bodě střednice prutu je více než jedna ze složek N, T, M o, M k nenulová; nebo podle způsobu vyjádření VVÚ a) VVÚ v bodě střednice: určitá hodnota, je potřebná pro určení lokálních charakteristik (napětí), b) VVÚ prutu: funkční závislost po délce střednice, potřebná pro určení nebezpečných průřezů a globálních charakteristik (deformační posuvy). silové působení

p10 17 Znaménková konvence: O znaménkách N, T y, T z, M k, M oy, M oz zavedeme tuto úmluvu (existují i jiné úmluvy, v literatuře musí být použitá konvence uvedena): Veličiny N, T y, T z, M k, M oy, M oz považujeme za kladné, když mají smysl kladných (záporných) os lokálního souřadnicového systému pro uvolněný prvek obsahující počáteční L (koncový P) bod střednice. Poznámka: Rozdílný smysl kladných složek VVÚ na levém (obsahujícím bod L) a pravém (obsahujícím bod P) prvku prutu je zaveden z důvodu respektování zákona akce a reakce mezi oběma prvky prutu. Při dodržení této konvence dostaneme znaménkově shodné výsledky, ať si pro řešení VVÚ vybereme kterýkoliv z těchto prvků.

p10 18 10.4. Určování VVÚ Úkolem je vyjádřit VVÚ pro obecný bod střednice, znázornit průběh složek VVÚ podél střednice a určit místa jejich extrémů, určit extrémní hodnoty jednotlivých složek, vymezit na střednici oblasti stejného typu namáhání množinou nenulových složek VVÚ. 10.4.1. Přístupy k řešení průběhů VVÚ Pro určování průběhů VVÚ se používají 2 základní přístupy: a) Integrální přístup založen na sestavení a řešení podmínek SR konečného prvku prutu. b) Diferenciální přístup založen na sestavení a řešení podmínek SR elementárního prvku prutu.

p10 19 Uvažujme přímý volný prut, jehož střednice je určena v globálním souřadnicovém systému bodem počátečním L (levý) a koncovým P (pravý). Prut je zatížen zadanou obecnou silovou soustavou Π: osamělé síly F i [N] v bodech A i střednice, i = 1 n, osamělé silové dvojice M j [Nm] v bodech B j střednice, j = 1 m, liniové síly dané měrným liniovým zatížením q(l) [Nm 1 ] podél střednice nebo její části γ q, jejíž body označíme C. Příčný průřez prutu nemusí být pro určování VVÚ zadán! Příklad 201 Příklad 202

p10 20 a) Integrální přístup vychází z definice složek VVÚ, které určujeme z rovnic SR konečného prvku následovně: 1. Bodem R vedeme řez ω, rozdělí prut na dva prvky: Ω L (obsahuje bod L) a Ω P (obsahuje bod P). 2. VVÚ určujeme z podmínek rovnováhy jednoho z těchto prvků. Je libovolné, který prvek pro řešení vybereme. Volíme prvek, pro který je řešení jednodušší. 3. Na vybraný prvek (označíme Ω R ) s délkou střednice l R působí vnější silová soustava Π R. Do řezu zavedeme složky VVÚ (tj. složky F V, M V ) v kladném smyslu podle znaménkové konvence. Prut je ve statické rovnováze, proto i prvek Ω R musí splňovat podmínky statické rovnováhy: silová podmínka: momentová podmínka: l R Fi + lr 0 q i (l)dl + F V = 0 ( RA i F i ) + ( M j ) + l R ( RC q)dl + M V = 0 l R l R 0 rovnováha konvence

p10 21 Z uvedených vektorových rovnic je patrné (jsou zde sumy a integrály), že VVÚ v bodě R prutu, zatíženého vnější silovou soustavou, jsou součtem VVÚ od jednotlivých vnějších silových účinků. 4. Definujeme-li polohu bodu R střednice v globálním souřadnicovém systému (x R pro kartézský, ϕ R pro polární), můžeme určit kteroukoliv souřadnici VVÚ v závislosti na poloze bodu R na střednici prutu, tj. určit průběh VVÚ. lokální s.s. Důsledky znaménkové konvence: kladná normálová síla N směřuje ven z řezu, kladná posouvající síla T má snahu otáčet prutem kolem bodu L i P ve směru pohybu hodinových ručiček, kladný ohybový moment M o deformuje střednici do konvexního tvaru (červená křivka na obrázku - střed křivosti nahoře) Pravidla pro znaménka T a M o lze jednoznačně použít jen u rovinné úlohy a vodorovného přímého prutu.

p10 22 5. Kde je třeba vést řezy, abychom získali průběh VVÚ? K určení VVÚ musí být prut popsán střednicí, která je spojitou a hladkou křivkou a soustavou zatěžujících prvků působících na střednici. Průběh VVÚ lze vyjádřit funkcí s konečným počtem bodů nespojitosti podél střednice. Tyto body představují hranice intervalů a v každém intervalu musí být zvolen jeden řez. VVÚ mají tedy charakter funkcí, které na hranicích intervalů mohou být nespojité nebo mít nespojitou derivaci. prutové předpoklady 6. Vyšetříme průběhy funkcí popisujících závislosti jednotlivých složek VVÚ na poloze řezu (znáte z matematiky) a určíme polohu extrémů (kromě hranic intervalů mohou být v místech nulové derivace - viz matematika) analyticky nebo graficky. V těchto tzv. nebezpečných bodech stanovíme funkční hodnoty jednotlivých složek VVÚ. nebezpečný bod

p10 23 b) Diferenciální přístup Vychází z diferenciálních závislostí mezi zatížením prutu a složkami VVÚ. Tyto závislosti (tzv. Schwedlerovy věty) je možné odvodit pro prut s obecnou střednicí, obecně zatížený. Zde odvodíme diferenciální vztahy pouze pro přímý prut zatížený v rovině obecným nekonstantním spojitým zatížením q(x). Z prutu vyřízneme dvěma blízkými řezy jednonásobně elementární prvek Ω 1 o délce dx. Spojité zatížení q(x) rozložíme do normálového a tečného směru příčného průřezu ( q T (x), q N (x)): q N (x) = q(x) cos α, q T (x) = q(x) sin α. Zavedeme složky VVÚ, které se mezi oběma řezy budou vzájemně lišit o elementární přírůstky dn, dt, dm o. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy, přičemž vzhledem k elementárnosti prvku můžeme na něm spojité zatížení q považovat za konstantní (co do velikosti i směru): Fx = 0 : N(x) + dn(x) N(x) + q N (x)dx = 0 Fz = 0 : T (x) + dt (x) T (x) + q T (x)dx = 0 MR2 = 0 : M o (x) + dm o (x) M o (x) T (x)dx + q T (x)dx dx 2 = 0

p10 24 Zanedbáme-li v poslední rovnici diferenciál 2. řádu oproti ostatním členům (diferenciály 1. řádu), dostaneme vztahy, označované jako Schwedlerova věta: dn(x) dx = q N (x), dt (x) dx = q T (x), Podívejme se na tyto vztahy z hlediska významu derivace: dm o (x) dx = T (x). Velikost spojitého zatížení q T nám určuje směrnici tečny k funkční závislosti T (x) ve vyšetřovaném bodě střednice. Velikost posouvající síly T (x) v daném bodě střednice je směrnice tečny k průběhu ohybových momentů. Známe-li tedy průběh spojitého zatížení, je tím dán jednoznačně charakter průběhu VVÚ. Pro určení konkrétních hodnot lze použít následující pomocná pravidla.

p10 25 10.4.2. Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ u přímých prutů 1. Skok v průběhu N(x) nebo T (x) (tj. směrnice tečny ) může být jen tam, kde působí vnější osamělá síla odpovídajícího směru ( q ). T > 0, jestliže vlevo od řezu působí příčná síla směrem vzhůru. 2. V místě, kde je skok v průběhu T (x) (různá zleva a zprava), musí být zlom v průběhu M o (x) (různé směrnice). ( Schwedlerova věta: dm o (x) dx = T (x) 3. Skok v průběhu M o (x) může být jen tehdy, když v tomto místě působí vnější silová dvojice. M o > 0, je-li střed křivosti ohybové čáry nahoře. 4. Je-li prut zatížen jen osamělými silami a dvojicemi (ne spojitým zatížením), jsou průběhy N(x) a T (x) konstantní a M o (x) je tvořen pouze lomenými přímkami, nikoliv křivkami (plyne opět ze Schwedlerovy věty). ).

p10 26 5. Kde průběh T (x) prochází nulou, má M o (x) extrém. ( ) dmo (x) = T (x) = 0 extrém dx 6. V průřezu prutu, kde je posouvající síla kladná (záporná), je průběh M o (x) rostoucí (klesající) (opět vyplývá ze Schwedlerovy věty: dm o(x) dx = T (x)). 7. Podle zavedených konvencí je pro konvexní ohybovou čáru M o > 0. Přechod mezi konvexní a konkávní částí ohybové čáry je jejím inflexním bodem, ve kterém proto platí M o = 0. 8. Na konci prutu musí všechny složky VVÚ dosáhnout nulové hodnoty, pokud zde nepůsobí odpovídající složka vnějšího zatížení (ta by vyvolala skok VVÚ podle bodu 1 nebo 3).

p10 27 9. Pro kreslení průběhu VVÚ je výhodné využít symetrie a antisymetrie prutů. Je-li prut z hlediska geometrie symetrický a z hlediska vnějších silových účinků (zatížení a sil ve vazbách) symetrický, pak v rovině symetrie je nulová posouvající síla, extrémní ohybový moment, nulový kroutící moment, antisymetrický, v rovině antisymetrie je nulová normálová síla, extrémní posouvající síla, nulový ohybový moment.

p10 28 10.4.3. Otevřené vázané pruty Vazbové deformační podmínky prutu Vazbu kinematickou dvojicí popisuje množina kinematických vazbových parametrů (posuvy a natočení): v prostoru je to množina D 3 = {u, v, w, ϕ x, ϕ y, ϕ z }, v rovině D 2 = {u, w, ϕ}. Je-li vazbou některý kinematický vazbový parametr z množiny D i omezen, je odpovídající silový vazbový parametr (složka stykové výslednice) z množiny S = {F x, F y, F z, M x, M oy, M oz } nenulový. Připomeňme zde základní typy rovinných vazeb: vazby Tyto vazby označujeme jako tuhé omezený kinematický vazbový parametr je nulový.

p10 29 Lineárně pružné vazby jsou charakterizovány lineární závislostí mezi odpovídajícími Příklad 407 složkami silových a kinematických vazbových parametrů (např. u = konst. F x ). Více se blíží realitě, používají se tam, kde deformace základního tělesa (rámu) nejsou zanedbatelné oproti deformacím řešeného prutu. Problém je obvykle v praxi v určení tuhosti (poddajnosti) těchto vazeb, kterou je často snazší stanovit experimentálně. Jako vazbovou deformační podmínku označujeme rovnici, určující velikost deformačního parametru omezeného vazbou tělesa. Tyto rovnice budou dále využívány při řešení staticky neurčitých prutů. Příklady vazbových deformačních podmínek tuhé a pružné vazby

p10 30 Prut vázaný v n bodech střednice Uvažujme prut v podmínkách prostého namáhání, který je vázán k základnímu tělesu (rámu) v n bodech střednice. Pro řešení silových účinků ve vazbách prut uvolníme tak, že odstraníme vazby a nahradíme je stykovými silami a silovými dvojicemi. Ve statice jste se zabývali statickými rozbory, zavedli jste si µ jako počet neznámých nezávislých silových parametrů (složky neznámých silových účinků) a ν jako počet použitelných podmínek statické rovnováhy (závislý na typu silové soustavy). Na základě porovnání těchto hodnot se rozhodovalo o statické určitosti (řešitelnosti) úlohy. V pružnosti a pevnosti jsou na rozdíl od dynamiky neznámými parametry pouze vazbové silové účinky, proto lze hovořit o statické určitosti (resp. neurčitosti) uložení. statický rozbor Posouzení statické určitosti může vést k následujícím závěrům: a) ν = µ uložení je staticky určité, neznámé nezávislé parametry stykových výslednic určíme z použitelných podmínek statické rovnováhy. Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, ale s možností volné deformace (žádný deformační parametr není omezen). deformační charakteristiky

p10 31 b) µ < ν Prut není uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku. Tyto případy řeší dynamika, pak teprve případně pružnost a pevnost. Dynamika není pro řešení nutná v případě, že pohyb tělesa je sice možný, ale při daném zatížení nenastane. Úloha je staticky určitá (µ = ν), i když nepohyblivost tělesa není uložením zajištěna. c) µ > ν 1. uložení je staticky neurčité, stupeň statické neurčitosti s = µ ν, 2. neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic je víc než použitelných podmínek statické rovnováhy, 3. pro určení neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic je třeba kromě ν použitelných podmínek statické rovnováhy formulovat s vazbových deformačních podmínek. Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, navíc s omezenou deformací. Při řešení využijeme částečného uvolnění.

p10 32 Otevřené pruty vázané staticky určitě postup řešení Prut úplně uvolníme tzn. nahradíme všechny stykové vazby stykovými výslednicemi, které určíme z podmínek statické rovnováhy a řešíme jako prut volný. V některých případech (pruty s volným koncem) není pro stanovení VVÚ úplné uvolnění nezbytné.

p10 33 Otevřené pruty vázané staticky neurčitě postup řešení 1. prut uvolníme úplně nahradíme všechny stykové vazby stykovými výslednicemi (reakcemi) a sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. Např.: Fx = 0 : Fz = 0 : MA = 0 : 2. prut uvolníme částečně tj. na úroveň staticky určitého uložení (uložení, při němž je v prostoru právě definována poloha prutu, ale není omezena jeho deformace) a sestavíme vazbové deformační podmínky, což jsou podmínky, které musí splňovat uvolněné vazby. Tvar deformační podmínky jednoznačně souvisí se způsobem částečného uvolnění. Částečné uvolnění je uvolnění na úroveň staticky určitého uložení a zavedení deformačních podmínek tak, aby byla zachována deformace shodná s původním staticky neurčitým uložením. Jeho cílem je formulace deformační podmínky. Deformační podmínka je vazbová podmínka v místě uvolněné vazby při částečném uvolnění. Je to právě ta chybějící rovnice, kterou potřebujeme k řešení neznámých silových vazbových parametrů.

p10 34 Deformační podmínky mohou být 1. homogenní (s nulou na pravé straně rovnice) u tuhých vazeb, Příklad 414 2. nehomogenní u poddajných vazeb, pruty s výrobní nepřesností, změnou teploty, Příklad 418 Příklad 417 Příklad 419 3. podmíněné u podmíněně funkčních vazeb. Příklad 437

p10 35 Záporné znaménko plyne z použití Castiglianovy věty, u níž znamená posuv proti směru působení síly F B. Castiglianova věta 10.4.4. Uzavřené pruty - rámy Určení VVÚ je u uzavřených prutů úloha vždy vnitřně staticky neurčitá. Uzavřený prut totiž řezem nerozdělíme na prvky (části), ale pouze z něj vytvoříme prut otevřený. Nemáme tedy žádné použitelné podmínky statické rovnováhy pro určení VVÚ. Podle charakteru uložení k základnímu tělesu může být úloha také vně staticky neurčitá. Při řešení je třeba převést uzavřený prut vhodně volenými řezy na prut otevřený a formulovat deformační podmínky. Detailně se řešením uzavřených prutů zabývat nebudeme.

p10 36 10.4.5. Algoritmus určování VVÚ 1. Klasifikace prutu otevřený přímý prut vázaný staticky určitě - uvolnění a určení stykových sil (pokud jsou zapotřebí); otevřený přímý prut vázaný staticky neurčitě - řešení lze provést pouze kvalitativně (pro kvantitativní řešení je zapotřebí částečně uvolnit a podmínky statické rovnováhy doplnit o potřebné vazbové deformační podmínky); otevřený prut zakřivený - řešení podobné jako u prutu přímého, ale v tomto případě i při nulovém spojitém zatížení nebudou silové složky VVÚ konstantní; prut uzavřený - vždy z hlediska určování průběhu VVÚ staticky neurčitý (vnitřně), navíc může být vně staticky určitý anebo neurčitý. Vyjádření průběhu VVÚ je vždy relativně složitá úloha, která vyžaduje doplnit použitelné podmínky statické rovnováhy o potřebné deformační podmínky. 2. Uvolnění prutu, sestavení podmínek statické rovnováhy a určení stykových sil (je-li úloha staticky určitá a nejedná se o prut vetknutý). 3. Rozdělení prutu na úseky, a to ve všech bodech, kde působí osamělé vnější zatěžovací účinky (včetně stykových sil, resp. momentů); se mění charakter spojitého zatížení; se mění směr (zlom) nebo křivost střednice. Příklad 203 4. Rozhodnutí o dalším postupu (nemusí být pro všechny úseky stejný) integrální přístup (sestavování rovnic statické rovnováhy prvku) volím tehdy, je-li integrální úloha relativně obtížná, ale staticky určitá; přístup diferenciální přístup (využití Schwedlerových vět) volím u relativně snadné úlohy diferenciální nebo vždy u úlohy staticky neurčité (kvalitativní řešení); přístup

p10 37 A) diferenciální přístup B) integrální přístup - v každém úseku prutu provedeme kroky: 5. Z 1. Schwedlerovy věty a zadaného 5. Uvolníme prvek prutu řezem vedeným průběhu spojitého zatížení ur- číme s využitím dalších pravidel v obecném bodě střednice řečíme šeného úseku. (10.4.2 Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ) průběh silových složek VVÚ, resp. kroutícího momentu. 6. Z průběhu posouvajících sil určíme s využitím 2. Schwedlerovy věty průběh ohybových momentů. 7. Z průběhu VVÚ odhadneme nebezpečné průřezy (místa lokálních extrémů) a v nich určíme číselné hodnoty složek VVÚ (není-li úloha staticky neurčitá). 6. Z podmínek statické rovnováhy prvku určíme všechny složky VVÚ (jako funkce souřadnice místa řezu). 7. Vyšetříme funkční závislosti průběhu VVÚ z hlediska lokálních extrémů a určíme polohu těchto extrémů. 8. Nakreslíme průběh funkčních závislostí VVÚ, určíme nebezpečné příčné průřezy a vypočítáme číselné hodnoty VVÚ v těchto průřezech. Poznámka: U prutů neprizmatických (s proměnným příčným průřezem) mohou existovat další nebezpečná místa daná lokálním zeslabením prutu. Tím se budeme zabývat až při řešení napjatosti a deformace pro konkrétní typy namáhání. pravidla Příklad 238

p10 38 10.5. Příklady k procvičování látky Řešené příklady Příklad 101 Příklad 102 Příklad 103 Příklad 105 Příklad 106 Neřešené příklady Příklad 104 Příklad 107 Příklad 108 Příklad 109 Příklad 110 10.6. Příklady k procvičování látky

p10 39 Řešené příklady Příklad 201 Příklad 202 Příklad 203 Příklad 217 Příklad 238 Neřešené příklady Příklad 204 Příklad 205 Příklad 206 Příklad 207 Příklad 208 Příklad 209 Příklad 210 Příklad 211 Příklad 212 Příklad 213 Příklad 214 Příklad 215 Příklad 216 Příklad 218 Příklad 219 Příklad 220 Příklad 221 Příklad 222 Příklad 223 Příklad 224 Příklad 225 Příklad 226 Příklad 227 Příklad 228 Příklad 229 Příklad 230 Příklad 231 Příklad 232 Příklad 233 Příklad 234 Příklad 235 Příklad 236 Příklad 237 předchozí OBSAH následující kapitola