CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky

CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky ÚROKOVÝ A RENTNÍ POČET 1. pracovní verze OBSAH 1. PŘÍKLADY ÚROKOVÉHO POČTU... 2 1.1 Jednoduché úročení... 2 1.2 Složené úročení... 3 2. PŘÍKLADY RENTNÍHO POČTU... 7 2.1 Důchody věčné... 7 2.2 Důchody dočasné (konečné)... 8 2.3 Výpočty anuity... 10 FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 1

1. PŘÍKLADY ÚROKOVÉHO POČTU 1.1 Jednoduché úročení A1. příklad Majitel vkladu a) 100 000, b) 150 000, c) 120 000 Kč vyzvedl jednoroční úroky. Kolik mu banka vyplatila při p = 3 %? a) 3 000 b) 4 500 c) 3 600 A2. příklad Roční úrok z vkladu uloženého na p = a) 7 %, b) 8 %, c) 9 % byl 12 600 Kč. Z jakého vkladu úrok pocházel? a) 180 000 b) 157 500 c) 140 000 A3. příklad Pokud zastavíte např. auto Škoda Forman v zastavárně (ve frcu ) a dostanete na něj půjčku 100 000 Kč, za 25 dní musíte vrátit 125 000 Kč. Jakému ročnímu úroku to zhruba odpovídá? 360 % FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 2

1.2 Složené úročení B1. příklad Jakou kapitálovou hodnotu budou mít za 30 let dnes vynaložené náklady na zalesňování ve výši 17 500 Kč při p = 3 %? Kdyby majitel náklady na zalesňování uložil jako vklad do spořitelny (banky), na jakou částku by tento vklad vzrostl? 42 477 Kč B2. příklad Zástupce holandské Západoindické společnosti Peter Minuit koupil 24. května 1626 od indiánů Manhattan za cetky v hodnotě 60 holandských zlatých, tradičně přepočítané na 24 dolarů. Kolik by měli na účtu indiáni dnes, po 385 letech, kdyby 24 dolarů tehdy ušetřili a investovali? Výsledek (pro různou úrokovou míru): Úroková míra Částka v dolarech 1 % 1106 2 % 49 122 3 % 2 101 565 4 % 86 705 545 5 % 3 452 163 716 6 % 132 730 083 818 7 % 4 931 347 990 957 8 % 177 156 505 159 083 B3. příklad Jakou bude mít za 18 let nominální hodnotu dnes uložený vklad 15 000 Kč, jestliže úroková sazba činí 6 %? 42 815 Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 3

B4. příklad Čistý výnos z probírky ve výši 21 000 Kč uložil majitel lesa do banky. Jaká bude kapitálová hodnota této probírky (jaký bude stav vkladu) za 10 let při p = a) 2 %, b) 5 %, c) 8 %? a) 25 599 b) 34 207 c) 45 337 B5. příklad Meliorační náklady vynaložené v roce zalesnění byly a) 150 000 Kč, b) 130 000 Kč, c) 129 000 Kč. Jaká bude jejich kapitálová hodnota v 90 letech porostu při p = 3,5 %? a) 3 316 827 b) 2 874 583 c) 2 852 471 B6. příklad Majitel lesa podle dosavadních zkušeností předpokládá, že čistý výnos z pařeziny za 8 let bude 6 900 Kč. Jaká je dnešní kapitálová hodnota tohoto výnosu při p = 3 %? 5 447 Kč B7. příklad Pravá skotská whisky obdrží svoji typickou chuť dlouhodobým skladováním v požadovaných dubových sudech tak to stojí v lexikonu. Investiční společnost vám navrhuje investovat část vaší hotovosti do nákupu čerstvě vypálené whisky, která po delší skladovací době má být prodána za vyšší cenu. Jakou sumu by vám společnost měla zaručit, když byste vložil(a) 20 000 Kč a) na 5 let b) na 10 let a přitom chtěl(a) dosáhnout zúročení 8 %? a) 29 386 Kč b) 43 178 Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 4

B8. příklad Majitel polí a lesa měl v letošním roce mimořádně vysoký výnos a má tedy k dispozici větší kapitál. Předpokládá, že za 12 let bude nucen vystavět menší úsek cesty se skládkou, aby mohl těžit v oddělené části lesa. Předběžně kalkulované náklady výstavby jsou 780 000 Kč. Kolik by musel dnes na 15% úrok uložit, aby měl v daném roce potřebnou částku k dispozici? 145 788 Kč B9. příklad Očekávaný čistý výnos z lesního porostu v 80 letech je 130 000 Kč. Jaká je dnešní (současná) hodnota tohoto výnosu při p = 4 %, jestliže má porost 30 let? 18 292 Kč B10. příklad K dovršení 25. roku života vám daruje dědeček 25 000 Kč. S hrdostí vypravuje, že při vašem narození uložil peníze na vázaný účet a banku mu tehdy vzhledem k dlouhodobému spořitelnímu vkladu přiznala mimořádnou úrokovou sazbu ve výši 5,5 %. Napadá vás zvědavost: kolik peněz musel dědeček tehdy vyplatit? Dědeček o úrokové sazbě dlouho a houževnatě vyjednával. Původně mu banka chtěla přiznat pouze 4,5 %. Kolik peněz dědeček tím ušetřil, když každopádně měl v úmyslu našetřit 25 000 Kč? 1 763 Kč B11. příklad Váš známý, na kterého jste se obrátil(a) o radu, vám sděluje svůj úspěšný zážitek ze spolupráce s whiskovou společností: investuje 40 000 Kč a po 7 letech dostane zpět 45 947,60 Kč. Jakého dosáhne zúročení? 2 % FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 5

B12. příklad Podnik vloží do banky 500 000 Kč na dobu 2 let při úrokové sazbě 5 % p.a. (po zdanění). Jakou výši peněz obdrží podnik v den splatnosti vkladu po 2 letech, pokud je úrok připisován vždy na konci roku? Jakou výši peněž by obdržel, pokud by byl vklad úročen např. čtvrtletně? a) roční úročení = 551 250 Kč b) čtvrtletní úročení = 552 245 Kč B13. příklad Rostoucí stromy mohou přinést zajímavé výnosy týkové dřevo je investicí na mnoho let. S poklesem úrokových sazeb hledají investoři nové možnosti zhodnocení. Jednou z těch nestandardních je i týkové dřevo. Střadatel při investování peněz kupuje budoucí stromy, které budou vysazeny v jižní části brazilského státu Mato Grosso na okraji amazonského pralesa. Minimální jednotkou je 1 ha, na který je vysazeno 1 100 stromů. První sklizeň se uskuteční po 5 letech v rámci probírky. Komerčně využitelné jsou již 12leté stromy, které se používají pro obklady a dýhy. Nejcennější dřevo je ze závěrečné těžby, která se provádí mezi 20.- 25. rokem. Dřevo se poté prodá dalším zpracovatelům. Minimální investice je 17 500 USD. Podle údajů společnosti, která tuto investici nabízí, je možno při prodeji vzrostlých stromů po 25 letech dosáhnout výnosu až 750 000 USD. Jaké zúročení v % představuje tato investice? 16,22 % FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 6

2. PŘÍKLADY RENTNÍHO POČTU 2.1 Důchody věčné C1. příklad Lesní majetek vynáší svému majiteli roční čistý výnos 1 470 Kč. Jaká je výnosová hodnota tohoto majetku při p = 3 %? 49 000 C2. příklad Majitel vkladu se sjednanou 9 % úrokovou mírou si na konci každého roku vybírá roční úroky ve výši 13 500 Kč. Jaká je základní jistina nutná k výplatě tohoto úroku? 150 000 Kč C3. příklad Roční správní náklady (daně, poplatky za odbornou správu) na lesní majetek menšího vlastníka lesa jsou 750 Kč/ha/rok. Jaký kapitál by musel majitel uložit, aby při p = 4 % trvale uhradil úrokem z tohoto kapitálu roční správní náklady na svém majetku o velikosti 50 ha? 937 500 Kč C4. příklad Pro výstavbu trasy plynovodu došlo k trvalému odnětí 1 ha lesních pozemků. Roční ztráta hrubé půdní renty činí 300 Kč/ha a má být uhrazena předem a jednorázově (jednou částkou) na začátku odnětí lesních pozemků. Kapitalizační úroková míra činí 4 %. 7 500 Kč/ha FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 7

C5. příklad Pařezina při 30letém obmýtí poskytuje vždy na konci tohoto obmýtí čistý výnos a) 15 000, b) 20 000, c) 26 000 Kč. Jaká je výnosová hodnota této pařeziny při p = 3 %? a) 10 510 b) 14 013 c) 18 217 C6. příklad V rámci časově neomezeného užívacího práva lesního pozemku o výměře 1 ha by měla být vyplácena renta, a sice poprvé po 5 letech a potom vždy po dalších 5 letech ve výši 300 Kč/ha. Tento rentní nárok by měl být uhrazen předem jednou částkou. (p = 4 %) 1 384,71 Kč/ha 2.2 Důchody dočasné (konečné) D1. příklad Vypočtěte současnou hodnotu retního kapitálu při roční rentě ve výši 6 000 Kč, která je placena polhůtně po dobu 5 let při úrokové sazbě 6 % 25 274 Kč D2. příklad Vypočtěte konečnou (budoucí) hodnotu retního kapitálu při roční rentě ve výši 6 000 Kč, která je placena polhůtně po dobu 5 let při úrokové sazbě 6 % na konci 5. roku 33 823 Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 8

D3. příklad Vlastník lesa pronajme 4 500 ha borového lesa k provozování sběru smůly na 12 let za roční poplatek 0,30 EUR. 4 500 ha = 1 350 EUR. Jakou současnou hodnotu má výnos z tohoto pronájmu při úrokové míře 4 %? 12 669,88 EUR D4. příklad Při výstavbě silnice bylé investorem požadováno dočasné odnětí 1 ha lesních pozemků na dobu 5 let za účelem deponování zeminy z výkopových prací. Ztráta roční hrubé půdní renty činí 300 Kč/ha. Z důvodu administrativního zjednodušení nebude náhrada škody (odškodnění) hrazena každoročně, nýbrž bude vlastníkovi pozemku zaplacena předem v jedné částce. (p = 4 %) 1 335,55 Kč/ha D5. příklad Jakou má pařezina výnosovou hodnotu bezprostředně po svém smýcení, jestliže poskytuje při 20letém obmýtí vždy 5 000 Kč čistého výnosu? (p = 3 %) 6 202 Kč D6. příklad Bukový porost dává po 12 let čistý výnos 150 EUR/ha. Jak velká je současná hodnota tohoto výnosu při úrokové míře 4 %? 249,58 EUR FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 9

2.3 Výpočty anuity E1. příklad Jakou výši bude činit anuita, aby se bance vrátil její úvěr a současně dostala zaplacen svůj 6 % úrok, poskytne-li banka úvěr ve výši 100 000 Kč při úrokové sazbě 6 % a dohodne roční jednorázovou anuitu placenou polhůtně (resp. splátku jistiny - úmoru a úroku ve stálé výši. Umořování se děje po celé období 23 739 Kč E2. příklad Koupili jste půdu za 150 000 Kč. Prodávající ale nechce, abyste tuto částku zaplatili najednou, nýbrž jí spláceli doživotně. Vám přichází tento návrh vhod, neboť pak si nemusíte brát žádný úvěr. Jakou částku musíte ročně zaplatit, činí-li očekávaná doba dožití prodávajícího ještě 17 let a podléhá úrokové sazbě 4 %? 12 330 Kč E3. příklad Vypočtěte výši anuity v případě půjčky a znázorněte průběh splácení vlastní půjčky a úhrady úroků v jednotlivých letech splatnosti za těchto podmínek: vypůjčený kapitál činí 50 000,- Kč, anuitu je nutno splácet ročně polhůtně během 5 let při zúročení 12 %. Rok Úhrada úroků Úmor kreditu Anuita Zbytek dluhu 1 6 000 7 870 13 870 42 130 2 5 055 8 815 13 870 33 315 3 3 997 9 873 13 870 23 442 4 2 812 11 058 13 870 12 384 5 1 486 12 384 13 870-19 350 50 000 CELKEM 69 350 Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 10

E4. příklad Podnik pravidelně na konci měsíce převádí na termínovaný účet 300 tis. Kč. Účet je úročen sazbou 6,75 % p.a. (po zdanění). Kolik peněz bude mít podnik na tomto účtu za dva roky? 7 666 892 Kč *** Zpracoval: Jiří Matějíček Jílové u Prahy, listopad 2014 FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 11