MATEMATIKA 9. ROČNÍK CZ.1.07/1.1.16/02.0079 Sada pracovních listů Resumé Sada pracovních listů zaměřená na opakování, procvičení a upevnění učiva 9. ročníku racionální čísla, desetinná čísla, zlomky, výrazy, rovnice, soustavy rovnic, slovní úlohy, goniometrické funkce, kužel, válec, jehlan, koule. Může být využita jako samostatná práce, společná nebo skupinová práce v hodině či k domácí přípravě žáků. Součástí je i řešení jednotlivých pracovních listů. Sada byla ověřena během výuky od 4. 1. 2013 do 3. 1. 2015 Mgr. Bronislava Trčková, Daniela Trčková, Luboš Trčka
1
Obsah 1. Největší společný dělitel čísel, nejmenší společný násobek čísel... 4 2. Zlomky... 6 3. Celá čísla... 8 4. Číselné výrazy a jejich úpravy... 10 5. Opakování z 8. ročníku... 12 6. Číselné výrazy... 14 7. Lineární rovnice - 1... 16 8. Lineární rovnice 2... 18 9. Lineární rovnice, výrazy, složené zlomky... 21 10. Statistika... 25 11. Číselné výrazy, mnohočleny, vzorečky... 28 12. Slovní úlohy - lineární rovnice... 32 13. Rovnice se dvěma neznámými... 35 14. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 1... 38 15. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 2... 40 16. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 3... 42 17. Slovní úlohy - úlohy o pohybu... 45 18. Příprava na 2. kontrolní práci:... 48 19. Goniometrické funkce... 52 20. Goniometrické funkce 2... 54 21. Podobnost, goniometrické funkce 3... 56 22. Goniometrické funkce slovní úlohy... 58 23. Goniometrické funkce... 60 2
24. Povrch jehlanu... 62 25. Kužel povrch a objem (rotační)- obrázek... 64 26. Kužel povrch a objem (rotační)- obrázek... 67 27. Povrch a objem kuželu... 69 28. Koule 1... 71 29. Koule 2... 73 30. Lomené výrazy úpravy, podmínky... 74 31. Lomené výrazy výpočty +, -,., :, podmínky... 76 32. Složené úrokování 1... 78 34. Slovní úlohy 1... 80 35. Slovní úlohy - 2... 82 36. Opakování 1... 84 37. M9 motivace... 87 38. M9 - motivace... 89 Zdroje:... 91 3
1. Největší společný dělitel čísel, nejmenší společný násobek čísel D(16, 6) = n(16, 6) = 16 = 6 = D(24, 18) = n(24, 18) = 24 = 18 = D(42, 44) = n(42, 44) = 42 = 44 = D(12, 25) = n(12, 25) = 12 = 25 = D(20, 50) = n(20,50) = 20 = 50 = D(30, 45) = n(30,45) = 30 = 45 = D(21, 8) = n(21, 8) = 21 = 8 = D(17, 9) = n(17,9) = 17 = 9 = D(88, 22) = n(88, 22) = 88 = 22 = 4
1. Největší společný dělitel čísel, nejmenší společný násobek čísel - řešení D(16, 6) = 2 n(16, 6) = 48 16 = 2. 2. 2. 2 6 = 2. 3 D(24, 18) = 6 n(24, 18) = 72 24 = 2. 2. 2. 3 18 = 2. 3. 3 D(42, 44) = 2 n(42, 44) = 924 42 = 2. 3. 7 44 = 2. 2. 11 D(12, 25) = 1 n(12, 25) = 300 12 = 2. 2. 3 25 = 5. 5 D(20, 50) = 10 n(20,50) = 100 20 = 2. 2. 5 50 = 2. 5. 5 D(30, 45) = 15 n(30,45) = 90 30 = 2. 3. 5 45 = 3. 3. 5 D(21, 8) = 1 n(21, 8) = 168 21 = 3. 7 8 = 2. 2. 2 D(17, 9) = 1 n(17,9) = 153 17 = 17 9 = 3. 3 D(88, 22) = 22 n(88, 22) = 88 88 = 2. 2. 2. 11 22 = 2. 11 5
6 2. Zlomky Vypočítej: + 2 7 1 6 4 5 1 4 5 3 8 5-2 5 1 4 3 7 3 8 5 3 8 5. 2 9 1 5 3 8 1 10 7 4 8 3 : 4 3 3 5 4 9 3 10 5 6 5 2
7 2. Zlomky - řešení Vypočítej: + 41 21 33 18 37 15 23 12 66 35 53 30 4 37 20-19 15 17 12 26 21 31 24 30 25 27 20 41 35 49 40 Str. 4. 7 18 7 20 21 32 7 40 16 27 8 15 1 4 15 : 5 8 25 18 15 8 25 9 15 8 3 2 45 8 25 3
3. Celá čísla 1. Vyznač celá čísla na číselné ose: -4, 0, -2, -1, 1, 2 0 2. Porovnej celá čísla: -3-4; 2-4; -11 11; 4-10; 3. Urči absolutní hodnotu: -29 = 12 = 30 = -12 = 4. Vypočítej: 5. Vypočítej -11 + 19 = -32-23 = 10. 7 = -60 : - 6 = -22 : -2 = 0 + 11 = 4 + -3 = -12. -7 = 5 + 2 = -4 +16 = -8-3 = -13 + 0 = 6. -9 = -22 - -17 = -22 + -17 = 8 + -7 = -21 23 = 26 : 13 = -1. 0 = -4 + - 7 = 8
3. Celá čísla - řešení 1. Vyznač celá čísla na číselné ose : -4, 0, -2, -1, 1, 2 2. Porovnej celá čísla: - 3 > - 4; 2 > - 4; -11 = 11; 4 > - 10 3. Urči absolutní hodnotu: -29 = 29 12 = 12 30 = 30-12 = 12 4. Vypočítej: (výsledky - po sloupcích) 30; 70; 11; 9; 10; 11 5. Vypočítej: (výsledky po sloupcích) 7; 7; 5; 54; 39; -2; 0; 84; 20; 13; 3; 15; 2; 11 9
4. Číselné výrazy a jejich úpravy 7-6 2 = 4-7 2 = (7 6) 2 = (4 7) 2 = 7 2 6 = 4 2 7 = (7 + 4). 3 2 = (8 + 3). 2 2 = 8 + 4 2. 3 = 9 + 3 2. 4 = (4. 25) - 76 : 4 = (50. 2) - 72 : 4 = 4,3 + 3,1. 3 4,4 = 9. [(21,7 14,3) 4,4] = 7,6 + 4,2. 2 5,7 = 2 + [7 8 : (12 : 3 + 4)] = 3. [(34,7 22,3) 7,4] = (5 + 7 8). [6 : (15 17)] = [(72 12) : 4] : [6 45 : 5] = 0,5. {[(2 + 3)2 (5 3)3]. 4 9} = 2. {[80. 0,1 + ( 25-144)] 3 } = 10
4. ČÍSELNÉ VÝRAZY A JEJICH ÚPRAVY - řešení 7-6 2 = -29 4-7 2 = -45 (7 6) 2 = 1 (4 7) 2 = 9 7 2 6 = 43 4 2 7 = 9 (7 + 4). 3 2 = 99 (8 + 5). 2 2 = 52 8 + 4 2. 3 = 56 9 + 3 2. 4 = 45 (4. 25) - 76 : 4 = -9 (50. 2) + 72 : 4 = 28 4,3 + 3,1. 3 4,4 = 9,2 6. [(21,7 14,3) 4,4] = 18 7,6 + 4,2. 2 5,7 = 10,3 2 + [7 8 : (12 : 3 + 4)] = 8 3. [(34,7 22,3) 7,4] = 15 (5 + 7 8). [6 : (15 17)] = -8 [(72 12) : 4] : [6 45 : 5] = -5 0,5. {[(2 + 3). 2 (5 3). 3]. 4 9} = 3,5 2. {[80. 0,1 + ( 25-144)] 3 } = -4 11
5. Opakování z 8. ročníku 1. Umocni výrazy: ( 3 u + 0,2 4 v)2 = (2b 3-1 2 c)2 = ( 1 a + 3 2 b4 ) 2 = (0,09 x + 0,6 y 2 ) 2 = 2. Rozlož na součin: 9 a 2 4 b 4 = x 2 6 x + 9 = 36x 2 81 = c 2 + 10 cd + 25 = 12
5. Opakování z 8. ročníku - řešení 1. Umocni výrazy: 0,5625u 2 + 0,3uv + 0,04v 2 4b 5 2b 3 c + 9c 2 0,25a 2 3ab 4 + 9b 6 0,0081x 2 + 0,108xy 2 + 0,36y 4 2. Rozlož na součin: (3a 2b 2 ). (3a + 2b 2 ) (x 3) 2 (6x 9). (6x + 9) (c + 5) 2 13
6. Číselné výrazy 1. Vypočítej. 7 2. 4 3 6 3. 14 2 2. 7 19 = 91 : 7 4 = 2. Pojmenuj výraz a vypočítej ho: 10-5. 3 = (4 + 8). (5 9) = 18-4. 6 = (2 + 8) 2. (8 9) = 3. Vypočítej: 169 + 64 = 25. 144. 9 = 7 270 149 + 2. 11 2 = 4. Vypočítej: {[3 2 2. (12 8) + 6 2] 7. 0} + 10 2 = 225 {[4 2 + 2. (4 5) + 2. 6] 2} 5. (2 6) 2 = 324. 25 + 169. 49 = 21 + 19 + 177-3. 2 2 = 5. Vypočítej: {3. 4[6 2. (4 9) + 1] + 2. 5} 12 2 = 144 {13 + [5 3. (8 9) + 2. 4] + 10} (3 5) 2 = 14
6. Číselné výrazy - řešení 1. Vypočítej: 7 2. 4 3 2 27 6 3. 14 2 2. 7 19 = - 5 91 : 7 4 = 9 2) Pojmenuj výraz a vypočítej ho: 10-5. 3 = -5 (rozdíl) (4 + 8). (5 9) = -48 (součin) 18-4. 6 = -6 (rozdíl) (2 + 8) 2. (8 9) = 100 (součin) 3) 169 + 64 = 21 25. 144. 9 = 180 7 270 149 + 2. 11 2 = 238 4) Vypočítej: {[3 2 2. (12 8) + 6 2] 7. 0} + 10 2 = 104 225 {[4 2 + 2. (4 5) + 2. 6] 2} 5. (2 6) 2 = 71 324. 25 + 169. 49 = 181 21 + 19 + 177-3. 2 2 = 23 5) Vypočítej: {3. 4[6 2. (4 9) + 1] + 2. 5} 12 2 = 208 144 {13 + [5 3. (8 9) + 2. 4] + 10} (3 5) 2 = 10 15
7. Lineární rovnice - 1 1) Vyřeš rovnice, proveď zkoušku 2 x + 1 = 5 3 x 2 = 13 2 (x 2) = 2 2) Urči koncentraci kyseliny octové, která vznikne smícháním 6 litrů 20% kyseliny s 8 litry 25% kyseliny a 4 litry 40% kyseliny. 3) Cukrář připravil 10 kg směsi bonbónů, 1kg za 250 Kč. Kilogram balených bonbónů stojí 260 Kč, 1 kg nebalených 220 Kč. Kolik kg balených a kolik kg nebalených bonbónů bylo ve směsi? 16
7. Lineární rovnice 1 - řešení 1) Vyřeš rovnice, proveď zkoušku 2 x + 1 = 5 x = 2 3 x 2 = 13 x = 5 2 (x 2) = 2 x = 3 2) Urči koncentraci kyseliny octové, která vznikne smícháním 6 litrů 20% kyseliny s 8 litry 25% kyseliny a 4 litry 40% kyseliny. 26,7 % (26,66666 ) 3) Cukrář připravil 10 kg směsi bonbónů, 1kg za 250 Kč. Kilogram balených bonbónů stojí 260 Kč, 1 kg nebalených 220 Kč. Kolik kg balených a kolik kilogramů nebalených bonbónů bylo ve směsi? 7,5 kg po 260 Kč.. 1950 Kč 2,5 kg po 220 Kč.. 550 Kč 2 500 Kč 17
8. Lineární rovnice 2 Vyřeš rovnice, proveď zkoušku 2x - 3 = 5 x + 9 8x + 11 = 6 + 3x 10y + 11 = 5y + 9-3y 18 + 12 x -10 = 27x + 7-13x 18
2.(y + 1) = 6 5. (3 - y) = 12,5 3. (5-2x) + 5x = 5-3(x - 1) 3. (4x + 3) = 1-6. (1-x) 19
8. Lineární rovnice 2 - řešení Vyřeš rovnice, proveď zkoušku 2x - 3 = 5 x + 9 X = - 4 8x + 11 = 6 + 3x X = - 1 10y + 11 = 5y + 9-3y y = - 0,25 (- 1 ) 4 18 + 12 x -10 = 27x + 7-13x X = 0,5 ( 1 2 ) 2.(y + 1) = 6 Y = 2 5. (3 - y) = 12,5 Y = 0,5 3. (5-2x) + 5x = 5-3(x - 1) X = - 3,5 3. ( 4x + 3) = 1-6. (1-x) X = - 7 3 20
9. Lineární rovnice, výrazy, složené zlomky 1. Vyřeš rovnice a proveď zkoušku: a) 3 x+3 - x+2 = x+1 4 3 2 b) -[ 2. (2 y) (2 y)] 2 = 0 c) 2x 2+3x 4 = 2 + 1+x 2 d) 2-2.(3 2y) = 4 + 4y 21
Vypočítej a) 1 4 15 2 5 24 2 5 1 3 6 2 b) 7 2 9 3 4 d) c) 3 7 6 1 5 3 4 1 2 5 1 6 2 3 2 3 3. Umocni výrazy: ( 3 4 u + 0,2 v)2 = (2b 3-1 2 c)2 = ( 1 2 a 3 b4 ) 2 = (0,09 x + 0,6 y 2 ) 2 = 4. Rozlož na součin: 9 a 2 4 b 4 = x 2 6 x + 9 = 36x 2 81 = c 2 + 10 cd + 25 = 22
9. Lineární rovnice, výrazy, složené zlomky 1. Vyřeš rovnice a proveď zkoušku: a) 3 x+3 - x+2 = x+1 4 3 2 x = 1 y = 4 x = 4 3 b) -[ 2. (2 y) (2 y)] 2 = 0 c) 2x 2+3x 4 = 2 + 1+x 2 d) 2-2.(3 2y) = 4 + 4y 0 = 0 Nekonečně mnoho řešení Vypočítej 1 4 15 2 5 24 2 5 1 3 6 2 1 8 7 2 9 3 4 100 27 3 4 1 2 5 1 6 2 3 2 3 3 4 3 7 6 1 5 72 2 23
3. Umocni výrazy: 1) ( 3 4 u + 0,2 v)2 = 9 16 u2 + 0,3 uv + 0,04 v 2 (2b 3-1 2 c)2 = 4 b 6-2 b 3 + 1 4 c2 ( 1 2 a 3 b4 ) 2 = 1 4 a2-3 ab 4 + 9 b 8 (0,09 x + 0,6 y 2 ) 2 = 0,0081 x 2 + 0,108 xy 2 + 0,36 y 4 4. Rozlož na součin: 1) 9 a 2 4 b 4 = (3a + 2b 2 ). (3a - 2b 2 ) = x 2 6 x + 9 = (x 3) 2 36x 2 81 = (6x + 9). (6x + 9) c 2 + 10 cd + 25 = (c + 5) 2 24
10. Statistika 1. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky 1 2 3 4 5 četnost 3 5 4 6 2 RČ v % 25
2. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky 1 2 3 4 5 četnost 2 7 6 4 1 RČ v % 26
10. Statistika - řešení 1. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky 1 2 3 4 5 četnost 3 5 4 6 2 RČ v % 15 % 25 % 20 % 30 % 10 % Aritmetický průměr = 2,95 Modus = 4 medián = 3 10 5 Známky z prověrky 0 1 2 3 4 5 2. Urči relativní četnost v procentech, aritmetický průměr, modus a medián písemky. Narýsuj graf známky 1 2 3 4 5 četnost 2 7 6 4 1 RČ v % 10 % 35 % 30 % 20 % 5 % Aritmetický průměr = 2,95 Modus = 2 medián = 3 8 6 4 Známky z prověrky 2 0 1 2 3 4 5 27
11. Číselné výrazy, mnohočleny, vzorečky 1) (17 + 3.7) 5 = 2) 3[( 5) (3 + 1)] = 3) 3[( 5). 3 + 1] = 4) (((12 + 9) 6): (13 8)). ( 3) = 5) 7 {15 [16 (204 14. (11 + 3)) + 5] 2} (5 + 3) = 6) 18 {2 + 3. [21 ( 81 2)]} = 7) 15 [ ( 144 + 25 11) ( 7 + 1) ] = 8) 12 {4. [17,6 (15 3 4 )] + 0,16} = 9) 5 2 8 6. ( 1 3 5 4 ) = 28
2) Mnohočleny, vzorečky (a + 3).[(a 2) + (a 4)].(a + 1) = (2a + 6) 2 = (2a - 6) 2 = (7 + a) 2 = (7 - a) 2 = (6 - b) 2 = (6 + b) 2 = (3a + 4b) 2 = (3a - 4b) 2 = (10 - t) 2 = (10 + t) 2 = (16 + b). (16 - b) = Rozložte na součin vytýkáním: 6p 3 3p 2 + 9p = 3(a 4) + b(a 4) = a(x + 3) + 2x + 6 = 5x y 4z(y 5x) = 29
11. Číselné výrazy, mnohočleny, vzorečky řešení 1) (17 + 3. 7) 5 = 33 2) 3[( 5) (3 + 1)] = - 27 3) 3[( 5). 3 + 1] = - 42 4) (((12 + 9) 6): (13 8)). ( 3) = - 9 5) 7 {15 [16 (204 14. (11 + 3)) + 5] 2} (5 + 3) = - 7 6) 18 {2 + 3. [21 ( 81 2)]} = - 26 7) 15 [ ( 144 + 25 11) ( 7 + 1) ] = 15 8) 12 {4. [17,6 (15 3 4 )] + 0,16} = 1,15 9) 5 2 8 6. ( 1 3 5 4 ) = 1 30
2) mnohočleny (a + 3).[(a 2) + (a 4)].(a + 1) = 2a 3 + 2a 2 18a -18 (2a + 6) 2 = 4 a 2 + 24 a + 36 (2a - 6) 2 = 4 a 2-24 a + 36 (7 + a) 2 = 49 + 14 a + a 2 (7 - a) 2 = 49-14 a + a 2 (6 - b) 2 = 36 12 b + b 2 (6 + b) 2 = 36 + 12 b + b 2 (3a + 4b) 2 = 9 a 2 + 24 ab + 16 b 2 (3a - 4b) 2 = 9 a 2 + 24 ab + 16 b 2 (10 - t) 2 = 100 20 t + t 2 (10 + t) 2 = 100 + 20 t + t 2 (16 + b). (16 - b) = 256 b 2 (4x 3 + 5y). (4x 3-5y) = 16 x 6 25 y 2 Rozložte na součin: 6p 3 3p 2 + 9p = 3p(2p 2 p + 3) 3(a 4) + b(a 4) = (a 4) (3 + b) a(x + 3) + 2x + 6 = a(x + 3)+2(x + 3) = (x + 3)(a + 2) 5x y 4z(y 5x) = (5x y) + 4z(5x y) = (5x y)(1 + 4z) 31
12. Slovní úlohy - lineární rovnice 1. První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně? 2. Dva pracovníci kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a) První kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce. b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce? 32
3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval? b) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis? 4. Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 3 hodiny. Jak jim to bude trvat společně? 33
12 Slovní úlohy - lineární rovnice - řešení 1. První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně? 2 11 12 dne 2. Dva pracovníci kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a) První kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce. 4,5 h b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce? 4 h 3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval? 12 h b) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis? 2 3 7 h 4) Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 3 hodiny. Jak jim to bude trvat společně? 2h 34
13. Rovnice se dvěma neznámými Napiš 3 řešení rovnice ve tvaru [x 0; y 0 ] = [x; x-5] 1) 2x -3y = 4 2) 5x 2y = 3 3) 3x + 5 y = 6 35
4) 3x + 2y = 6 5) 2x 5y = -2 6) 4x + 2y = 4 36
13. Rovnice se dvěma neznámými Napiš 3 řešení rovnice ve tvaru [x 0; y 0 ] = [x; x-5] 1) 2x -3y = 4 [x 0; y 0 ] = [ 4+3y 2 ; y] - [x 0; y 0 ] = [ 5; 2], [x 0; y 0 ] = [ 8; 4] 2) 5x 2y = 3 [x 0; y 0 ] = [ 3+2y 5 ; y] ; [x 0; y 0 ] = [1; 1] 3) 3x + 5 y = 6 [x 0; y 0 ] = [ 6 5y 3 ; y] ; [x 0; y 0 ] = [ 3; 3] 4) 3x + 2y = 6 [x 0; y 0 ] = [x; 6 3x ] ; [x 0;y 0 ] = [2; 0] 2 5) 2x 5y = -2 [x 0; y 0 ] = [ 5y 2 2 ; y]; [x 0;y 0 ] = [4; 2] 6) 4x + 2y = 4 [x 0; y 0 ] = [x; 4 4x ] ; [x 0;y 0 ] = [2; 2] 2 37
14. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 1 řešení metodou dosazovací, sčítací nebo kombinovanou nezapomeň na zkoušky v tabulce najdi řešení k výsledku připiš označení příkladu 1) 3x 7y = 29 8x + y = 21 2) 10x 7y = 29 4x 5y = 27 3) 11x + 8y = 4 7x 4y = 52 38
4) 9) 2x + 7y = 2 3x 11y = 1 5) 5x + 60y = 0 4x 8y = 40 [-2;-7] [2;5] [1;5] [17;0] [12;1] [15;0] [3;6] [-1;13] [-4;6] [15;-4] [-1;-2] [8;-20] [5;7] [7;12] [1;-1] 39
15. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 2 řešení metodou dosazovací, sčítací nebo kombinovanou nezapomeň na zkoušky v tabulce najdi řešení k výsledku připiš označení příkladu 6) 0,4x 0,6y = 15,2 1,2x + 0,4y = 1,6 7) 5x 2y = 1 2x 5y = 8 8) 2 x 6 y = 30 7x + 5y = 105 40
9) 8x y = 21 3x + 2y = 23 10) 5x 2y = 3 10x + y = 36 [-2;-7] [2;5] [1;5] [17;0] [12;1] [15;0] [3;6] [-1;13] [-4;6] [15;-4] [-1;-2] [8;-20] [5;7] [7;12] [1;-1] 41
16. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 3 řešení metodou dosazovací, sčítací nebo kombinovanou nezapomeň na zkoušky v tabulce najdi řešení k výsledku připiš označení příkladu 11) x 6 y = 17 7 x + 10 y = 119 12) 12 x + 2 y = 22 3 x + 4 y = 17 13) 6 x 7y = 19 4 x + 2 y = 6 42
14) 0,3x + 0,4y = 2,7 1,5x 0,9y = 21,3 15) 8 x 10 y = 18 12 x 12 y = 24 [-2;-7] [2;5] [1;5] [17;0] [12;1] [15;0] [3;6] [-1;13] [-4;6] [15;-4] [-1;-2] [8;-20] [5;7] [7;12] [1;-1] 43
14. 16. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých 1 3 řešení 3x 7y = 29 8x + y = 21 [2;5] 8x 10y = 18 12x 12y = 24 [1;-1] 10x 7y = 29 4x 5y = 27 [-2;-7] x 6y = 17 7x + 10y = 119 [17;0] 11x + 8y = 4 7x 4y = 52 [-4;6] 12x + 2y = 22 3x + 4y = 17 [1;5] 2x + 7y = 2 3x 11y = 1 [15;-4] 6x 7y = 19 4x + 2y = 6 [5;7] 5x + 60y = 0 4x 8y = 40 [12;1] 5x 2y = 1 2x 5y = 8 [-1;-2] 2x 6y = 30 7x + 5y = 105 [15;0] 8x y = 21 3x + 2y = 23 [-1;13] 5x 2y = 3 10x + y = 36 [3;6] 7x 10y = 1,8 3x + 5y = 0,3 [2,4;1,5] 0,4x 0,6y = 15,2 1,2x + 0,4y = 1,6 [8;-20] 0,3x + 0,4y = 2,7 1,5x 0,9y = 21,3 [7;12] 1,6x + 0,3y = 5,5 0,4x y = 4 [-4;3] x 10y = 11 x + 15y = 27 [12;-0,1] 44
17. Slovní úlohy - úlohy o pohybu 1) Avie vyjíždí z Prahy do Bratislavy průměrnou rychlostí 72 km h. Za 40 minut za ním vyjelo osobní auto průměrnou rychlostí 88 km h. Kdy a v jaké vzdálenosti od Prahy dostihne osobní auto Avii? 2) Dvě letadla startují současně z letišť A a B, které jsou od sebe vzdáleny 560 km. Letadla letí proti sobě a míjejí se za 20 minut. Vypočítejte rychlosti obou letadel, když je jejich rozdíl 60 km h. 45
3) Auto jelo z města A do města B 4 hodiny. Při zpáteční cestě jelo auto rychlostí o 15 km větší, a tak zpáteční cesta trvala 0 48 minut méně než h cesta tam. Určete vzdálenost měst A a B. 46
17. Slovní úlohy - úlohy o pohybu - řešení 1) Avie vyjíždí z Prahy do Bratislavy průměrnou rychlostí 72 km. Za 40 h minut za ním vyjelo osobní auto průměrnou rychlostí 88 km. h Kdy a v jaké vzdálenosti od Prahy dostihne osobní auto Avii? Za 1 2 h, 88 km od Prahy 9 2) Dvě letadla startují současně z letišť A a B, které jsou od sebe vzdáleny 560 km. Letadla letí proti sobě a míjejí se za 20 minut. Vypočítejte rychlosti obou letadel, když je jejich rozdíl 60 km h. V1 = 870 km/h, V2 = 810 km/h, 3) Auto jelo z města A do města B 4 hodiny. Při zpáteční cestě jelo auto rychlostí o 15 km větší, a tak zpáteční cesta trvala 0 48 minut méně než h cesta tam. Určete vzdálenost měst A a B. Vzdálenost měst A a B je 240 km 47
18. Příprava na 2. kontrolní práci: 1) Soustava rovnic o dvou neznámých x 2y = 3 3x 6y = 0 2x + y = 16 5x + 2y = 18 x 3y = - 6 2y + 3t = - 8 x + y = 4 -y + 1,5t = 2 x + 3y = 7 x + y = - 1 5x 4y = - 22 x + 5y = 3 2) Jana má v pokladničce 23 bankovek. Spoří si dvousetkoruny a pětisetkoruny. Kolik je kterých bankovek, když úspory činí 9 100 Kč? Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 15 litrů 70 % lihu, 20 litrů 45 % kyseliny a 10 litrů 30 %. 3) Označ vrcholy, zapiš hodnoty ke stranám a dopočítej funkce a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: 12 m 20 m 4) Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 6 cm, β = 54 (nezapomeň obrázek) 48
5) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů sin 48 22 = cos 48 22 = tg 48 22 = sin 83 51 = cos 53 23 = tg 83 23 = b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: sin α = 0,544 8 cos α = 0,544 8 tg α = 0,5444 8 α = α = α = 9. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 350 m. lanovka stoupá v úhlu 64. Vypočítej vzdálenost stanic. 10. Jak je vysoká rozhledna vrhající stín dlouhý 53 m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 43 11. Do bazénu vedou celkem tři potrubí. Jedno naplní bazén za 60 minut, další za 40 minut a poslední za 25 minut. Za jak dlouho naplní bazén, když se budou napouštět ze všech tří trubek? 49
18. Příprava na 2. kontrolní práci: - řešení 1) Soustava rovnic o dvou neznámých x 2y = 3 3x 6y = 0 2x + y = 16 5x + 2y = 18 [x; y] = [7 ;2] [x; y] = [3 ;1,5] x 3y = - 6 2y + 3t = - 8 x + y = 4 -y + 1,5t = 2 [x; y] = [1,5 ;2,5] [x; y] = [- 2 3 ; - 1] x + 3y = 7 x + y = - 1 5x 4y = - 22 x + 5y = 3 [x; y] = [- 2; 3] [x; y] = [-2 ; 1] 2) Jana má v pokladničce 23 bankovek. Spoří si dvousetkoruny a pětisetkoruny. Kolik je kterých bankovek, když úspory činí 9 100 Kč? 8 x 200 Kč = 1 600 15 x 500 Kč = 7 500 9 100 Kč Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 15 litrů 70 % lihu, 20 litrů 45 % kyseliny a 10 litrů 30 %. 50 % 3) Označ vrcholy, zapiš hodnoty ke stranám a dopočítej funkce a úhly v pravoúhlém trojúhelníku: B sin 30 57 = 0,5143 sin 59 3 = 0,8576 12 m cos 30 57 = 0,8576 cos 59 3 = 0,5143 tan 30 57 = 0,6000 tan 59 3 = 1,668 c = 23,3 cm C 20 m A 50
4) Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 6 cm, β = 54 (nezapomeň obrázek) b = 8,2 cm; c = 10,2 cm 5) Urči a) velikosti goniometrických funkcí úhlů sin 48 22 = 0,7474 cos 48 22 = 0,2695 tg 48 22 = 1,125 sin 83 51 = 0,0,9942 cos 53 23 = 0,0,1071 tg 83 23 = 9,281 b) úhly příslušné goniometrickým funkcím: sin α = 0,544 8 cos α = 0,544 8 tg α = 0,5444 8 α = 33 α = 56 59 α =28 35 9. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 350 m. Lanovka stoupá v úhlu 64. Vypočítej vzdálenost stanic. 389,4 m 10. Jak je vysoká rozhledna vrhající stín dlouhý 53 m, dopadají-li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 43 49,4 m 11. Do bazénu vedou celkem tři potrubí. Jedno naplní bazén za 60 minut, další za 40 minut a poslední za 25 minut. Za jak dlouho naplní bazén, když se budou napouštět ze všech tří trubek? 12 15 (12,24 min) 51
19. Goniometrické funkce Urči ( na 4 desetinná místa): sin 69 = cos 69 = tg 69 = sin 37 16 = cos37 16 = tg 37 16 = Urči α, když: sin α = 0, 7 431 α = cos α = 0, 4 125 α = tg α = 12, 2 468 α = sin α = 0,1234 α = Urči ( na 4 desetinná místa): Urči β, když: sin β = 0, 2 431 sin 26 = cos 26 = tg 26 = sin 52 41 = cos 52 41 = tg 52 41 = β = cos β = 0, 9 125 β = tg β = 2, 2 468 β = cos β = 0, 1256 β = 52
19. Goniometrické funkce - řešení Urči ( na 4 desetinná místa): sin 69 = 0,9336 cos 69 = 0,3584 tg 69 = 2,6051 sin 37 16 = 0,6055 cos37 16 = 0,7958 tg 37 16 = 0,7609 sin α = 0, 7 431 α = 47 59 cos α = 0, 4 125 α = 65 38 tg α = 12, 2 468 α = 85 19 sin α = 0,1234 α = 7 5 Urči α, když: Urči ( na 4 desetinná místa): sin 26 = 0,4384 cos 26 = 0,8988 tg 26 = 0,4877 sin 52 41 = 0,7953 cos 52 41 = 0,6062 tg 52 41 = 1,3119 Urči β, když: sin β = 0, 2 431 β = 14 4 cos β = 0, 9 125 β = 24 8 tg β = 2, 2 468 β = 66 cos β = 0, 1256 β = 82 47 53
20. Goniometrické funkce 2 1. Narýsuj ABC a urči sin 25 ( pomocí úhlu). 2. Urči ( na 4 desetinná místa): sin 47 26 = cos 37 46 = tg 67 56 = 3. Urči α, když: sin α = 0, 3 431 cos α = 0, 9 125 tg α = 4, 2 468 α = α = α = 4. V pravoúhlém ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je α = 54, c = 72 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm) 5. Urči přeponu pravoúhlého ABC, je li dána odvěsna b = 8, 2 cm a úhel β = 66. 6. Je dán pravoúhlý ABC, s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej velikost obou ostrých úhlů, je li dáno: b = 9,6 cm; c = 13,9 cm. 54
20. Goniometrické funkce 2 - řešení 1. Narýsuj ABC a urči sin 25 ( pomocí úhlu). 2. Urči ( na 4 desetinná místa): sin 47 26 = 0,7365 cos 37 46 = 0,7905 tg 67 56 = 2,4668 3. Urči α, když: sin α = 0, 3 431 cos α = 0, 9 125 tg α = 4, 2 468 α = 20 4 α = 24 8 α = 76 45 4. V pravoúhlém ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je α = 54, c = 72 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm) a = 58 mm b = 42 mm 5. Urči přeponu pravoúhlého ABC, je li dána odvěsna b = 8, 2 cm a úhel β = 66. c = 9,0 cm 6. Je dán pravoúhlý ABC, s pravým úhlem při vrcholu C. Vypočítej velikost obou ostrých úhlů, je li dáno: b = 9,6 cm; c = 13,9 cm. 9,6 : 13,9 = 0,7059 β = 44 54 α = 45 6 55
21. Podobnost, goniometrické funkce 3 1. podobnost trojúhelníků Jsou trojúhelníky ABC a XYZ podobné? Dokaž, podobnost zapiš. Trojúhelník ABC má strany a = 5cm, b = 2,5 cm a c = 7,5 cm, trojúhelník XYZ má x = 9 cm, y = 3 cm a z = 6 cm. 2. Najdi v tabulkách nebo vypočítej na kalkulačce sin 36 20 = cos 86 50 = tg 12 40 3. Jak dlouhá je nájezdová rampa, která svítá s vodorovnou rovinou 35 a překonává převýšení 1,2m. (Náčrt, zápis, vzorec, výpočet, odpověď) 4. Rozděl graficky úsečku AB, velikost této úsečky je 11 cm v poměru 8 : 5 5. Rozděl graficky úsečku XY o velikosti 9 cm na 7 stejných dílů. 56
21. Podobnost, goniometrické funkce - řešení 1. podobnost trojúhelníků Jsou trojúhelníky ABC a XYZ podobné? Dokaž, podobnost zapiš. Trojúhelník ABC má strany a = 5cm, b = 2,5 cm a c = 7,5 cm, trojúhelník XYZ má x = 9 cm, y = 3 cm a z = 6 cm. ZYX ~ ABC, k = 1,2 z = 1,2. a y = 1,2. b x = 1,2. c 2. Najdi v tabulkách nebo vypočítej na kalkulačce sin 36 20 = 0,5925 cos 86 50 = 0,0552 tg 12 40 = 0,2247 3. Jak dlouhá je nájezdová rampa, která svítá s vodorovnou rovinou 35 a překonává převýšení 1,2m. (Náčrt, zápis, vzorec, výpočet, odpověď) c = 2,09 m 4. Rozděl graficky úsečku AB, velikost této úsečky je 11 cm v poměru 8 : 5 5. Rozděl graficky úsečku XY o velikosti 9 cm na 7 stejných dílů. 57
22. Goniometrické funkce slovní úlohy 1) Úsek lanovky spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 180 m. Lanovka stoupá v úhlu 56. Vypočítej délku lana příslušného úseku. 2) Jak vysoká je rozhledna vrhající stín dlouhý 31 m; dopadají li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 47? 3) V pravoúhlém ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 47, c = 80 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm) 58
22. Goniometrické funkce - řešení 1) Úsek lanovky spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 180 m. Lanovka stoupá v úhlu 56. Vypočítej délku lana příslušného úseku. x 180 m sin 56 = 180 x 0,8290 = 180 x x = 180 : 0,8290 x = 217 m Lano je dlouhé 217 m. 56 2) Jak vysoká je rozhledna vrhající stín dlouhý 31 m; dopadají li paprsky Slunce na vodorovnou rovinu pod úhlem 47? x 47 tg 47 = x 31 31 m 1,0724 = x 31 x = 31. 1,0724 x = 33,2 m Rozhledna je vysoká 33,2 m 3) V pravoúhlém ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 47, c = 80 mm, urči délky a, b obou odvěsen (výsledek v mm) úhly 43, 47 ; funkce sinus a = 55 mm, b = 59 mm 59
23. Goniometrické funkce 1. Lanovka má přímou trať délky 550 m a stoupá pod úhlem 41. Jaký je výškový rozdíl horní a dolní stanice? 2. Jak dlouhý musí být žebřík přistavený k místu, které je 12 m nad vodorovnou rovinou, má-li se svislým směrem svírat úhel o velikosti 42 (v metrech) 3. V pravoúhlém ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 61, b = 50 mm, urči délku druhé odvěsny a přepony (výsledek mm). 60
23. Goniometrické funkce - řešení 1. Lanovka má přímou trať délky 550 m a stoupá pod úhlem 41. Jaký je výškový rozdíl horní a dolní stanice? X 550 m sin 41 = x 550 56 x 0,6561 = 550 x = 0,6561. 550 x = 361 m Výškový rozdíl stanic je 361 m. 2. Jak dlouhý musí být žebřík přistavený k místu, které je 12 m nad vodorovnou rovinou, má-li se svislým směrem svírat úhel o velikosti 42 (v metrech) 42 cos 42 = 12 x x 0,7431 = 12 x 12 m x = 12 : 0,7431 x = 16,1 m 3. V pravoúhlém ABC, s pravým úhlem při vrcholu C, ve kterém je β = 61, b = 50 mm, urči délku druhé odvěsny a přepony (výsledek mm). Úhly 61, 29 ; funkce sinus, kosinus 28 mm; 57 mm 61
24. Povrch jehlanu Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 6 dm, v = 8 dm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,4 cm, va = 11 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,5 cm, va = 12 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 32 mm, v = 51mm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) 62
24. Povrch jehlanu - řešení Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 6 dm, v = 8 dm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) S = 138 cm 2 Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,4 cm, va = 11 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) S = 116,16 cm 2 Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 4,5 cm, va = 12 cm (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) S = 128,25 cm 2 Vypočítej povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, je-li dáno: a = 32 mm, v = 51mm. (obrázek tělesa, náčrtek trojúhelníku, výpočty) S = 4 448 cm 2 63
25. Kužel povrch a objem (rotační)- obrázek 1. Vypočítej objem kužele o poloměru r = 45 mm a straně s = 75 mm. 2. Rovnostranný trojúhelník o straně 2 dm se otáčí kolem své výšky. Vypočítej povrch a objem vzniklého tělesa. 3. Obvod podstavy rotačního kužele je 22 cm, výška 5 cm. Vypočítej jeho objem. 4. Jak se změní objem vašeho modelu rotačního kužele, zdvojnásobíš-li jeho průměr, ale výšku zmenšíš na polovinu? 64
5. Jak se změní povrch vašeho modelu rotačního kužele, zmenšíš-li průměr i výšku na polovinu? 6. Objem rotačního kužele je 462cm 3, průměr podstavy je 14 cm. Vypočítej jeho výšku 65
25. Kužel povrch a objem (rotační)- obrázek - řešení 1. Vypočítej objem kužele o poloměru r = 45 mm a straně s = 75 mm. V = 127 cm 3 2. Rovnostranný trojúhelník o straně 2 dm se otáčí kolem své výšky. Vypočítej povrch a objem vzniklého tělesa. S = 9,4 dm 2 V = 1,8 dm 3 3. Obvod podstavy rotačního kužele je 22 cm, výška 5 cm. Vypočítej jeho objem. V = 64 cm 3 4. Jak se změní objem vašeho modelu rotačního kužele, zdvojnásobíš-li jeho průměr, ale výšku zmenšíš na polovinu? V se zvětší 2x! 5. Jak se změní povrch vašeho modelu rotačního kužele, zmenšíš-li průměr i výšku na polovinu? S se zmenší 4x! 6. Objem rotačního kužele je 462cm 3, průměr podstavy je 14 cm. Vypočítej jeho výšku v = 9 cm 66
26. Kužel povrch a objem (rotační)- obrázek 1. Objem rotačního kužele je 924cm 1,poloměr podstavy je 7cm. Vypočítej jeho výšku. 2. Obvod podstavy rotačního kužele je 44 cm jeho výška je 12cm. Vypočítej jeho Objem. 3. Vypočítej objem rotačního kužele, jehož osový řez má úhel při vrcholu ω 144 a průměr podstavy d = 20cm. 4. Osový řez rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník se základnou d = 14cm a přilehlým úhlem ω = 48. Vypočítej plášť kužele. 67
26. Kužel povrch a objem (rotační)- obrázek 1) Objem rotačního kužele je 924cm 2,poloměr podstavy je 7cm. Vypočítej jeho výšku. v = 18cm 2) Obvod podstavy rotačního kužele je 44 cm jeho výška je 12cm. Vypočítej jeho objem V = 615 cm 3 3)Vypočítej objem rotačního kužele, jehož osový řez má úhel při vrcholu ω = 144 a průměr podstavy d = 20cm. V = 335cm 3 4) Osový řez rotačního kužele je rovnoramenný trojúhelník se základnou d = 14cm a přilehlým úhlem ω = 48. Vypočítej plášť kužele. S pl = 229cm 2 68
27. Povrch a objem kuželu Vypočítej povrch a objem kuželu, je- li dáno 1) r = 5 cm; v = 8 cm 2) r = 7 cm; s = 11 cm 3) r = 6 cm; α = 59 4) v = 9 cm; α = 71 69
27. Povrch a objem válce - řešení Vypočítej povrch a objem kuželu, je- li dáno: 1) r = 5 cm; v = 8 cm s = 9,4 cm V = 209,3 cm 3 S = 226,1 cm 2 2) r = 7 cm; s = 11 cm v = 8,5 cm V = 435,9 cm 3 S = 392,6 cm 2 3) r = 6 cm; α = 59 v = 10,0 cm s = 11,7 cm V = 376,8 cm 3 S = 333,5 cm 2 4) v = 9 cm; α = 71 r = 3,1 cm s = 9,5 cm V = 90,5 cm 3 S = 122,6 cm 2 70
28. Koule 1 1. Vypočítej povrch a objem koule, která má průměr 6 dm. 2. Vypočítej povrch a objem koule, která má poloměr 2,8 cm. 3. Vypočítej objem koule, která má povrch 942 m 2 4. Kolik barvy je potřeba na natření vodojemu ve tvaru koule o průměru 15 m, jestliže na 1 m 2 je potřeba 150 g barvy? Kolik vody obsahuje vodojem? 5. Jaká je hmotnost ozdobné betonové koule, která má být umístěna na pilíři plotu, jestliže její průměr je 40 cm a hustota betonu je 1 700 kg/m 3? 71
28. Koule 1 - řešení 1. Vypočítej povrch a objem koule, která má průměr 6 dm. S = 113,04 dm 2 V = 113,04 dm 3 2. Vypočítej povrch a objem koule, která má poloměr 2,8 cm. S = 98,47 cm 2 V = 91,91 cm 3 3. Vypočítej objem koule, která má povrch 942 m 2 V = 2 719 m 3 4. Kolik barvy je potřeba na natření vodojemu ve tvaru koule o průměru 15 m, jestliže na 1 m 2 je potřeba 150 g barvy? Kolik vody obsahuje vodojem? S = 706,5 m 2 106 kg barvy V = 1766,25 m 3 = 176 625 l vody 6. Jaká je hmotnost ozdobné betonové koule, která má být umístěna na pilíři plotu, jestliže její průměr je 40 cm a hustota betonu je 1 700 kg/m 3? V = 0,03349 m 3 m = 56,9 kg 72
29. Koule 2 1. Vypočítej povrch a objem koule, která má poloměr 1,2 dm. S = 18,09 dm 2 V = 7,23 dm 3 2. Vypočítej povrch a objem koule, která má průměr 22 cm. S = 1 519,8 cm 2 V = 5 572,5 cm 3 3. Kolik látky je potřeba na ušití kulovitého horkovzdušného balónu o průměru 15 m? Kolik vzduchu je potřeba na naplnění balónu? S = 706,5 m 2 látky V = 1 766,3 m 3 vzduchu 4. Povrch koule je 2 462 cm 2. Vypočtěte poloměr koule. r = 14 cm 5. Vodojem ve tvaru koule má průměr 16 m. Kolik plechu je potřeba na zhotovení tohoto vodojemu? Na spoje přidejte 8 %. Kolik vody obsahuje? S = 803,84 m 2 ; 108 %. 868,15 m 2 plechu V = 2 143,6 m 3 73
30. Lomené výrazy úpravy, podmínky 1) uprav lomený výraz a zapiš podmínky 2rs 3 3r 2 s = a 2 +ab 4a = 0 2) Napiš, kdy je výraz roven nule: (x+2)(3x 6) 5x+ 6 = 0 3) Zkrať výrazy, urči podmínky: x+1 x²+x = b+3 b 2 9 = 74
30. Lomené výrazy úpravy, podmínky- řešení 1) uprav lomený výraz a zapiš podmínky 2rs 3 3r 2 s = 2s2 3r ; r 0; s 0 a 2 +ab 4a = a + b 4 ; a 0 2) Napiš, kdy je výraz roven nule: (x+2)(3x 6) 5x+ 6 = 0 (x + 2). (3x 6) = 0 X = - 2 nebo x = 2 ; x 1, 2 3) Zkrať výrazy, urči podmínky: x+1 x²+x = 1 x ; x 0; x -1 b+3 b 2 9 = b 1 3 b 3, b -3 75
31. Lomené výrazy výpočty +, -,., :, podmínky Vypočítej a urči podmínky 1) 7x 1 4 x 2 + 6 2+x = 2) 4 a 16 a2 15a 3 b 25ab 2 3) a+b 6b 2. 9ab 3(a+b) = 4) x+y x y + 2xy x 2 y 2 = 76
31. Lomené výrazy 2 výpočty - řešení Vypočítej a urči podmínky 1) 7x 1 4 x 2 + 6 2+x = x+11 4 x 2 ; x 2; x 2 2) 4 a 16 a2 15a 3 b 25ab 2 = 5 b 3 a 2 ; a 0; b 0; a 4; a 4 3) a+b 6b 2. 9ab = a 3(a+b) 2b 2; b 0; b a 4) x+y + 2xy = x y x 2 y 2 (x+y) 2 + 2xy x 2 y 2 ; x y; x y 77
32. Složené úrokování 1 Nápověda (Ki = K0. (1 + 0,85. x) i ) 1) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 20 000 Kč, na 5 let, s R. U. M. 1,2 %. 2) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil na spořící účet 100 000 Kč, na 3 roky, s R. U. M. 1,35 %. 3) Určete zisk pana Nováka, když vložil do banky 250 000 Kč, na 6 let, s R. U. M. 6 %. 4) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 80 000 Kč, na 4 roky, s R.U.M. 1,7 %. 5) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 200 000 Kč, na 8 let, s R. U. M. 1,9 %. 78
32. Řešení: vše se řeší pomocí vzorečku: K i = K 0. (1 + 0,85. x) i Ki konečné částka ( zhodnocená) K0 - počáteční vklad 0,85 zdanění 15 % x roční úroková míra i počet období 1) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 20 000 Kč, na 5 let, s R. U. M. 1,2 %. 21 041,02 Kč 2) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 100 000 Kč, na 3 roky, s R. U. M. 1,35 %. 103 482,15 Kč 3) Určete zisk pana Nováka, když vložil do banky 250 000 Kč, na 6 let, s R. U. M. 6 %. 86 942,90 Kč 4) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 80 000 Kč, na 4 let, s R. U. M. 1,7 %. 84 725,19 Kč 5) Určete konečný stav účtu pana Nováka, když vložil do banky 200 000 Kč, na 8 let, s R. U. M. 1,9 %. 227 348,75 Kč 6) Určete výši zdaněného úroku pana Nováka, když vložil do banky 1 000 000 Kč, na 10 let, s R.U.M. 2,2 %. 79
34. Slovní úlohy 1 1) První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně? 2) Dva kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a)první kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce. b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce? 3) Paní Fárová si koupila dluhopisy v celkové hodnotě 45 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 6,4 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržela peněz při výplatě? 4) Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na jeden rok 30 000 Kč, úroková míra je 4,3%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě? 80
34. Slovní úlohy 1 - řešení 1) První obkladač by obložil bazén za 5 dní, druhý by to zvládl za 7 dní. Jak dlouho by jim trvala práce společně? 35 12 h = 2 11 12 h 2) Dva kopou výkop. První by to vykopal sám za 3 hodiny, druhý za 6 hodin. a)první kopal sám hodinu a půl, výkop pak dokončil druhý. Jak dlouho trvala práce. 4,5 h b) Druhý pracoval sám 2 hodiny, výkop pak dokončil první. Jak dlouho trvala práce? 4 h 3) Paní Fárová si koupila dluhopisy v celkové hodnotě 45 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 6,4 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržela peněz při výplatě? 4) Paní Janatová si uložila na termínovaný vklad na jeden rok 30 000 Kč, úroková míra je 4,3%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržela při výplatě? 81
35. Slovní úlohy - 2 1. Pan Vrána si zakoupil depozitní certifikát hodnotě 55 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 4,9 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržel peněz při prodeji? 2. Pan Datel si uložil na spořící účet s výpovědní lhůtou jeden rok 180 000Kč, úroková míra činí 3,4 %, daň z úroku je 15 %. Kolik obdržel peněz při výplatě? 3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval? c) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis? 4. Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 4 hodiny. Jak jim to bude trvat společně? 82
35. Slovní úlohy 2 - řešení 1. Pan Vrána si zakoupil depozitní certifikát hodnotě 55 000 Kč na jeden rok, úroková míra činí 4,9 %, daň z úroku je 25 %. Kolik obdržel peněz při prodeji? 57 021,25 Kč (57 021) 2. Pan Datel si uložil na spořící účet s výpovědní lhůtou jeden rok 180 000 Kč, úroková míra činí 3,4%, daň z úroku je 15%. Kolik obdržel peněz při výplatě? 185 202 Kč 3. První písařka přepíše rukopis o 600 stranách za 20 hodin, druhá za 15 hodin. a) První psala sama 6 hodin, pak to přepisovaly spolu. Jak dlouho celý přepis trval? 12 h b) Druhá písařka psala sama 9 hodin, pak jí pomohla první písařka. Jak dlouho trval přepis? 13 4 7 h 4. Dva dělníci hloubí příkop. První by to zvládl za 6 hodin, druhý za 4 hodiny. Jak jim to bude trvat společně? 2, 4 h 83
36. Opakování 1 1. Vyřeš soustavu a proveď zkoušku: 3x - 2y = 12 (řešení, zkouška, zápis) 5x + y = - 6 2. Jana má v pokladničce 35 mincí. Spoří si padesátikoruny a dvacetikoruny. Kolik je kterých mincí, když úspory činí 1 090 Kč? 3. Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 12 litrů 80 % kyseliny, 8 litrů 65 % kyseliny a 20 litrů 42 %. 4. Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 7 cm, β = 49 (nezapomeň obrázek) 84
5. Věž ústředny je vysoká 96 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, je-li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 144 m? ( ) 6. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 220 m. Lanovka stoupá v úhlu 51. Vypočítej vzdálenost stanic. 85
36. Opakování 1. Vyřeš soustavu a proveď zkoušku: 3x - 2y = 12 (řešení, zkouška, zápis) 5x + y = - 6 [x; y] = [0; -6] 2. Jana má v pokladničce 35 mincí. Spoří si padesátikoruny a dvacetikoruny. Kolik je kterých mincí, když úspory činí 1 090 Kč? 22 dvacetikorun 13 padesátikorun 3. Jaká bude výsledná koncentrace směsi, když smícháme 12 litrů 80 % kyseliny, 8 litrů 65 % kyseliny a 20 litrů 42 %. 58 % 4. Vypočítej velikost druhé odvěsny a délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku ABC, je li dáno: a = 7 cm, β = 49 (nezapomeň obrázek) C = 9,3 cm a = 7,0 cm 5. Věž ústředny je vysoká 96 m. Pod jakým úhlem vidí pozorovatel vrchol věže, je-li jeho vodorovná vzdálenost od paty věže 144 m? ( ) 33 41 6. Lanovka spojuje dvě místa s výškovým rozdílem 220 m. Lanovka stoupá v úhlu 51. Vypočítej vzdálenost stanic. 283,1 m 86
37. M9 motivace Š ť a s t n ý c h d e s e t A Obvod kruhu Sin α Povrch Jehlanu Objem koule (prav. Čtyřboký) πr 2 1/3 a 2 v Pythagorova Věta (velikost přepony) Přilehlá ku přeponě Může být tg α = 5? Povrch kužele 87
37. M9 motivace řešení Obvod kruhu O = 2 πr Objem jehlanu 1/3 a 2 v Sin α Protilehlá ku přeponě Pythagorova Věta (velikost přepony) C 2 = a 2 + b 2 Obsah kruhu Povrch Jehlanu (prav. Čtyřboký) Objem koule πr 2 2S pl 4 3 πr3 S = 2S p + V = Cos α Přilehlá ku přeponě Může být tg α = 5? ano S = πr (r + s) Povrch kužele 88
38. M9 - motivace Š ť a s t n ý c h d e s e t B Obsah tg α Povrch koule πr 2 + πrs S = (a+c). v 2 Může být Sin α = 5? Objem Kužele 3 5 4 Obvod obdélníku ρ = m/v [kg/m 3 ] Sin α = cos α = tg α = 89
38. M9 motivace Š ť a s t n ý c h d e s e t B - řešení Obsah tg α Povrh kuželu Obsah lichoběžníku Povrch koule S = a. v a 2 Může být Sin α = 5? Ne Protilehlá ku přilehlé Hustota látky ρ = m/v [kg/m 3 ] πr 2 + πrs Objem Kužele V = 1 3 πr2 v S = (a+c). v 2 3 C 4 5 A Sin α = 0,6 cos α = 0,8 tg α = 0,75 S = 4 πr 2 Obvod obdélníku O = 2a + 2b 90
Zdroje: autor Microsoft Office 2013 Učebnice: prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy algebra, SPN Praha 2010 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy geometrie, SPN 2010 PhDr. Ivan Bušek PhDr. Vlastimil Macháček Bohumil Kotlík Milena Tichá Sbírka úloh z matematiky pro 8. ročník základní školy Běloun, F. a kol Tabulky pro základní školu, Prometheus Praha 2011 Pracovní sešity prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy algebra, SPN Praha 2010 prof. RNDr. Zdeněk Půlpán, CSc., Mgr. Michal Čihák, Ph.D. Matematika 9 pro základní školy geometrie, SPN 2010 Randáčková, Marie a kol. - Pracovní karty a šablony pro činnostní učení v matematice pro 8. a 9. ročník, Tvořivá škola Brno 2009 www.youtube.com 91