4.2.8 Řešení elektrických sítí pomocí Kirchhoffových zákonů Předpoklady: 427 Pedagogická poznámka: Hodina obsahuje čtyři obvody. Fyzikálně mezi nimi není velký rozdíl, druhé dva jsou však podstatně obtížnější po matematické stránce (nejsou předem připravené na hezké řešení a tak způsobí ve třídě slušný chaos). U prvních dvou příkladů jsou vyznačeny i směry proudů pro snadnější kontrolu, u zbývajících dvou si proudy značí každý sám. Mezi obě dvojice příkladů je vloženo zamyšlení nad sestavováním znaménkové konvence pro 2. Kirchhoffův zákon. Př. : Vyřeš pomocí Kirchhoffových zákonů elektrickou síť. R =2Ω U =5V Vyznačíme si jeden z uzlů a průchod ve dvou ze tří smyček. R =2Ω U =5V Uzel: =. Červená smyčka: =U. Modrá smyčka: = U 3. = 2 3 =5 6 3 = 6 3
Upravíme soustavu: = 2 3 = 3 =9 =3 A Dosadíme: 2 3 = 2 3 3= = A Dosadíme: = 3= =2A Všechny proudy vyšly kladné odhadli jsme situaci dobře a na obrázku nemusíme nic měnit. Př. 2: Vyřeš pomocí Kirchhoffových zákonů elektrickou síť na obrázku: U =0V =Ω =2Ω =Ω =5V R 4 Vyznačíme si jeden z uzlů a průchod ve dvou ze tří smyček. U =0V =Ω =2Ω =Ω =5V R 4 Uzel: =. Červená smyčka: =U. Modrá smyčka: R 4 =. = 2 =0 2 3 =5 Upravíme soustavu: 3 =0 3 3 =5
Ze třetí rovnici vydělíme 3 a vypočteme z ní : =5 =5 Z druhé rovnice vyjádříme : 3 =0 =0 3 Dosadíme do první rovnice: =0 3 5 5=5 =3A Dopočítáme zbývající proudy: =0 3 =0 3 3A=A =5 =5 3 A=2 A Všechny proudy vyšly kladné odhadli jsme situaci dobře a na obrázku nemusíme nic měnit. Př. 3: Najdi postup, kterým je možné ověřit případně zcel znovu zformulovat správné znaménkové konvence pro 2. Kirchhoffův zákon. Pamatujeme si, že součet úbytků na spotřebičích se v uzavřené smyčce musí rovnat součtu elektromotorických napětí. Jak zavedeme znaménkové konvence? Kdo si má pamatovat, kdy je co kladné? Nakreslíme si velmi jednoduchý příklad, který známe nejjednodušší obvod se zdrojem a jedním rezistorem. Uvažujeme jednoduché, konkrétní hodnoty. Proud teče od + i -. U I=2A R Sestavíme 2. Kirchhoffův zákon s konkrétními hodnotami: 2 3=6 nebo 2 3= 6. Dvě možností znaménkové konvence: 2 3=6 Hodnota úbytku napětí je kladná, když procházíme přes rezistor ve směru proudu a zároveň elektromotorické napětí zdroje je kladné, když narazíme nejdříve na záporný pól zdroje. 2 3= 6 Hodnota úbytku napětí je záporná, když procházíme přes rezistor ve směru proudu a zároveň elektromotorické napětí zdroje je záporné, když narazíme nejdříve na záporný pól zdroje. Př. 4: Vyřeš pomocí Kirchhoffových zákonů elektrickou síť na obrázku. U =0V =0Ω =0V =30Ω
Vyznačíme si směry proudů, jeden z uzlů a průchod ve dvou ze tří smyček. U =0V =0Ω =0V I =30Ω Uzel: = Červená smyčka: =U Modrá smyčka: = U 3 = 0 3 =0 0 3 30 =0 3 Upravíme soustavu: 0 3 = 3 0 3 30 =7 Dosadíme do zbývajících rovnic: = 3 0 I = 3 = 0 3 Dosadíme do poslední rovnice: 3 30 =7 3 0 3 30 =7 = 3 60 A = 0 3 = 6 A = 3 0 = 20 A Všechny proudy vyšly kladné odhadli jsme situaci dobře a na obrázku nemusíme nic měnit. Př. 5: Vyřeš pomocí Kirchhoffových zákonů elektrickou síť na obrázku:
U =4,5V R3 =0Ω =,5Ω Vyznačíme si směry proudů, jeden z uzlů a průchod ve dvou ze tří smyček. U =4,5V =0Ω =,5Ω Uzel: = Červená smyčka: = U Modrá smyčka: = =,5 0,5 =4,5 6 0,5 = 4,5 Upravíme soustavu: 0,5,5 =,5,5 0 = 4,5 Vynásobíme dvěma a odstraníme desetinná čísla: 3 = 3 3 20 = 9 Soustavu řešíme například dosazovací metodou: vyjádříme = a dosadíme do druhé rovnice: 3 = 3 3 = 3 4 = 3 Vyjádříme = 3 4 a dosadíme do třetí rovnice: 3 20 = 9 3 20 3 4 = 9 5=83 = 5 83 A Spočteme zbývající proudy:
= 3 4 = 3 4 5 45 = 83 83 45 83 5 83 I 96 = 83 A Znaménka všech proudů vyšla záporně směr proudů v obrázku jsme si zvolili špatně. Správné směry proudů: U =4,5V =0Ω =,5Ω Shrnutí: Nic nového jsme se nenaučili. Pravidla z minulé hodiny fungují.