Povrch a objem válce - slovní úlohy 1) Vodní nádrž má tvar válce s průměrem podstavy 4,2m a je hluboká 80 cm. Za jak dlouho se naplní 10 cm pod okraj přítokem, kterým přitéká 2 litry za sekundu? 2) Kolem kruhového záhonu o poloměru 3,6 m má být vysypána pískem cesta o šířce 80 cm. Výška vrstvy písku je 10 cm. Kolik m3 písku budeme potřebovat? 3) Kašna, která má tvar válce s průměrem podstavy 3m, je hluboká 80 cm. Kolik hl vody se do ní vejde? 4) Silo tvaru válce má průměr 3,6 m a výšku 8m. Kolik takových sil je třeba na uskladnění 430 m 3 senáže? 5) Pro kolik krav vystačí jedno takové silo na krmnou sezonu, jestliže jedna kráva spotřebuje minimálně 4 m 3 tohoto krmiva na sezonu? 6) Silo tvaru válce ( d = 2,8m; v = 9m) je naplněno na 65%. Kolik siláže je v ní uskladněno? 7) Válcová nádrž pojme 600 hl vody a je hluboká 2,5 m. Vypočítej průměr nádrže. 8) Vodojem tvaru válce má vnitřní průměr 8m a výšku 2,8m. Přístroj ukazuje, že vodojem obsahuje 800 hl vody. Vypočítejte: do jaké výšky sahá voda a kolik % objemu vodojemu není využito. 9) Betonová trubka o světlosti 36 cm, tloušťce stěny 80 mm a délce 1 m se požívá na stavbu odpadu. Kolik trubek může převést v přívěsu auto, je-li jeho nosnost 0,5 tuny? (hustota betonu je 2100 kg/m 3 ) 10) Odhadněte a pak vypočítejte jak dlouhý bude váleček zubní pasty vytlačený z tuby? Objem pasty je 70 ml a průměr otvoru 6 mm. 11) Válec na tenisovém kurtu má průměr 30 cm a je široký 1,2 metru. Jakou plochu uválí při jednom otočení 12) Kolik plechu je potřeba na výrobu sudu tvaru válce vysokého 100 cm a průměrem podstavy 60 cm? Kolik se do tohoto sudu vejde vody? (sud má víko) 13) Kolem kruhového záhonu o poloměru 3m má být vysypána pískem cesta o šířce 80 cm. Výška vrstvy písku je 5 cm. Kolik m 3 písku budeme potřebovat? 14) Do bazénu s kruhovým dnem přitéká každou hodinu 45 hl vody. Do jaké výšky bude voda dosahovat po 12 hodinách?
Koule 1) Naše malá neteř ráda navléká kuličky. Vypočítej objem a povrch jedné kuličky, je-li její průměr a) 4cm, b) 6 cm. 2) Pan soused Matějka má na zahradě venkovní sprchu s nádrží tvaru koule o objemu 250 l. Jaký má nádrž průměr? 3) V dřevěné stavebnici jsou různé tvary kostek včetně koule. Můj bratr je velmi zvídavý. Zajímá ho, jaká je hmotnost dřevěné koule o průměru 4 cm, je-li její hustota 515 kg/m3. 4) Babička Řiháčková si koupila skleněný lustr. Tvoří ho průhledná krychle. V ní je modrá koule, která se dotýká všech stěn krychle. Jak velký je objem krychle, je-li objem koule 5 dm3? Kolik % objemu krychle zaujímá objem koule? 5) Teta Jitka dostala k narozeninám parfém. Flakon má tvar krychle. Ozdobná krabička má tvar koule, která je opsána flakonu. Jak velký je povrch koule, je-li povrch krychle 356 cm2?
Slovní úlohy II z geometrie pro 6. roč. - řešení: 1. Na stavbu mají dovézt 5000 cihel o rozměrech 30cm,20cm a 10cm. O jak velký se jedná dohromady objem? 1 cihla: a=30cm, b=20cm, c=10cm V=?cm3 5000 cihel V=a.b.c V= 30.20.10 V=6 000 cm3 5000 cihel..30 000 000 cm3 0bjem 5000 cihel je 30 000 dm3= 30m3. 2. 1 dm3 cihly váží asi 0,5 kg. Kolik tun by vážily cihly dohromady? m= 0,5.30 000=15000 kg =15 tun Cihly by vážily dohromady 15tun. 3. Nosnost nákladního auta je 2,5 tuny. Kolika nákladními auty bude potřeba náklad odvézt? X=15:2,5 X=6 Náklad odveze 6 aut. 4. Jak vysokou zeď tloušťky 20cm okolo parcely, která má délku 20m a 15m lze pomocí těchto cihel postavit? x= 5000:(35:0.3).0,1 x=4,285m Výška zdi je 4,285m. 5. Do nádrže tvaru kvádru o rozměrech dna 2m a 3,5m natéká voda rychlostí 50litrů za minutu. Jak dlouho bude natékat, má-li být výška vody 50cm? V=50litrů za minutu V=a.b.c t=v:50 V=2.3,5.0,5 t=3500:50 V= 3,5m3 t= 70minut Nádrž bude natékat 70 minut. 6. Kolik kostek o hraně 2cm můžeme nasypat do obdélníkové krabice o rozměru dna 20cm a 15cm, jestliže do horního okraje zbývá od hladiny vody 3cm tak, aby voda nepřetekla? V1= a.a.a V=a.b.c V1=2.2.2 V=20.15.3 V1=8cm3 V=900cm3 X=900:8 X=112,5 kostek Do krabice můžeme nasypat 112 kostek. 7. Na záhon o rozměrech 12m a 4m rozlít vodu tak, aby všude byla výška vody 5mm. Kolika desetilitrovými konvemi to provedeme? V=a.b.c V=12.4.0,005 V=0,24 m3=240 dm3=240 litrů x=240:10=24 konví Na záhon budeme potřebovat 24 konví. 8. Kolik kilogramů bude vážit dřevěná skříňka tvaru krychle o hraně 60cm bez víka, jestliže je tloušťka dřeva 2cm a 1 metr krychlový váží 800kg? S=5.a.a m=800. 0,036 S=5.0,6.0,6 m=28,8 kg S=1,8m2 V=S.v V=1,8. 0,02 V= 0,036m3 Skříňka bude vážit 28,8 kg. 9. Kolik m2 papíru je potřeba na polepení krabice tvaru kvádru o rozměrech 50 cm, 40 cm a 30cm? Na přehyby připočítej jednu desetinu plochy. S= 2.(a.b+b.c+c.a) S=2.(50.40+40.30+30.50) S=9400cm2
S =10340cm2=1,034m2 Na polepení krabice je potřeba 1,034m2.
Povrch, objem krychle a kvádru slovní úlohy k procvičení 4. 6. 2009 Krychle má délku hrany 1,2 m. Kolikrát větší bude povrch krychle, jestliže její hrana bude dvakrát větší? Dárková krabice. Kolik metrů čtverečních balicího papíru je potřeba k polepení krabice tvaru krychle s hranou 4,5 dm? Vejde se 600 litrů roztoku do nádrže tvaru kvádru s rozměry dna 2,5 m a 1 m a výškou 3 dm? Bazén tvaru kvádru má délku 25 m, šířku 8 m a hloubku 2 m. Kolik litrů vody je třeba, aby byl bazén naplněn? 3. Rotační kužel má výšku 20 cm a poloměr podstavy 10cm. Vypočítejte jeho objem a povrch. Porovnejte s povrchem a objemem pravidelného jehlanu se stejnou výškou a stranou 20 cm. 4. Střecha věže má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavnou hranou 12 metrů a výškou 8 metrů. Na pokrytí střechy se spotřebovalo 270 metrů čtverečných plechu. Kolik procent připadlo na záhyby přehyb? 5. Jak těžká je dřevěná kostka tvaru pravidelného čtyřstěnu s hranou 10 cm, je-li hustota dřeva 750kg/m3? 6. Kolik cm2 je potřeba na pravidelný čtyřstěn s hranou 20cm? 7. Střecha rotundy má tvar rotačního kužele, jehož výška v je 210cm, průměr podstavy kužele je 9m. Kolik krytiny je potřeba na novou střechu, zanedbáme-li odpad? 8. Kornoutek byl vytvořen z půlkruhu o poloměru 10 cm. Jaká je hloubka kornoutku? 9. Jsou dány válec a kužel o shodné výšce v i podstavě o poloměru r. Víme, že plášť válce a plášť kužele mají stejný obsah. Jaká je výška v a poloměr r? (řešte obecně nebo pro r=10cm) 10. Vypočítej, kolik procent tvoří odpad, jestliže z pravidelného jehlanu o hraně 100cm a výšce 60cm vysoustružíme kužel s co největším objemem.
1. Jak vysoký je komín tepelné elektrárny, je-li vidět jeho vrchol ze vzdálenosti d = 50 m od paty komína pod úhlem = 57 0 10? 2. Jak vysoký je komín tepelné elektrárny, je-li vidět jeho vrchol ze vzdálenosti d = 95 m od paty komína pod úhlem = 40 0? 3. Jak vysoká je petřínská věž, jestliže její vrchol vidíme ze vzdálenosti d = 37,5 m od paty věže pod úhlem = 58 0? 4. Jak vysoký je strom, který vidíme ze vzdálenosti 20 m pod úhlem 36 0 50? 5. Rotační kužel má výšku v = 16 cm a stranu s = 20 cm. Vypočítej velikost úhlu, který svírá strana kužele s rovinou podstavy. 6. Rotační kužel má stranu s = 15 cm a výšku v = 12 cm. Vypočítej velikost úhlu, který svírá strana kužele s rovinou podstavy. 7. Vrchol věže 20,5 m vysoké je vidět ze stanoviště S pod výškovým úhlem = 64 0. Jak daleko je stanoviště od paty věže? 8. Bývalá lanová dráha na Petřín stoupala průměrně pod úhlem 15 0 a spojovala hořejší a dolejší stanici s výškovým rozdílem 106 m. Jak dlouhá byla lanová dráha? 9. Značka na horské železniční trati ukazuje, že následuje 840 m trati se stoupáním 16 0 / 00. a) V jakém úhlu stoupá trať? b) O kolik metrů vystoupí? 10. Vypočítej výšku rovnoramenného trojúhelníku ABC, jehož rameno BC délky 94 mm svírá se základnou AB úhel = 65 0. 11. V obdélníku svírá úhlopříčka u = AC se stranou a = AB úhel. Vyjádři sin, cos, tg pomocí délek úhlopříčky u, strany a a strany b = BC.
12. V pravoúhlém trojúhelníku je délka odvěsny a = 18 cm a délka přepony c = 27 cm. Vypočítej hodnotu sin a pomocí tabulek urči, které velikosti ostrého úhlu odpovídá. 13. V rovnoramenném trojúhelníku ABC vyjádři sin, cos, tg pomocí strany a, výšky v a poloviny základny x. C v a A B x 14. Vypočítej spotřebu špejlí na úhlopříčky draka klasického tvaru (čtyřúhelník s kolmými úhlopříčkami, podle delší z nich souměrný ), je-li délka jeho kratší strany 30 cm a kratší úhlopříčka dělí úhel sousedních stran na 45 0 a 65 0 30. Počítej s 5 % rezervy. 15. Vypočítej poloměr kružnice vepsané pravidelnému pětiúhelníku se stranou a = 7 cm. 16. Vypočítej poloměr kružnice opsané pravidelnému osmiúhelníku se stranou a = 5 cm. 17. Vypočítej obsah vyšrafovaného obrazce; = 312 0 40, AB = 8 cm A B
18. Vypočítej obsah vyšrafovaného obrazce; = 63 0 10, XY = 6 cm X Y 19. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C měří těžnice t a 6 cm a těžnice t b 9 cm. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC a jeho obsah. 20. Turista viděl vrchol věže kostela z jiného místa pod úhlem o velikosti 15 0. Když se ke kostelu přiblížil o 40 m, viděl vrchol jeho věže pod dvojnásobným úhlem. Jak vysoká je věž kostela a jak daleko od kostela byl turista původně? 21. V pravoúhlém trojúhelníku je dána výška k přeponě. Výška měří 8 cm. Délka odvěsny je 40 cm. Vypočítej velikost jeho vnitřních úhlů a jeho obsah. 22. Rovnoramenný trojúhelník má základnu 14 cm a úhel při základně 69 0 30. Vypočítej délku jeho ramene 23. Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku má poloměr 10 cm. Jedna odvěsna měří 18,2 cm. Vypočítej velikosti vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku. 24. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je ostrý úhel = 35 0 a k němu přilehlá odvěsna b = 7,5 cm. Vypočítej přilehlou odvěsnu a. 25. Vypočítej úhel při základně rovnoramenného trojúhelníka ABC, AB = AC, jestliže platí: BC = a = 6 cm, v a = 10 cm
26. Kosočtverec má stranu a = 17,6 cm a úhel = 64 0. Vypočítej délku úhlopříček a obsah kosočtverce. 27. V lichoběžníku ABCD ( AB CD ) je AB = a = 10 cm, = 54 0 40, = 44 0 20 a výška v = 5 cm. Vypočítej obvod a obsah lichoběžníka. Výsledky zaokrouhli na 1 desetinné místo. 28. Vypočítej obsah pravoúhlého lichoběžníku ABCD a lichoběžník sestroj; AB CD, = 90 0, a = 8 cm, c = 3 cm, = 45 0. 29. Vypočítej obsah rovnoramenného lichoběžníku ABCD; AB CD, a = 66 mm, c = 46 mm, = 75 0. Lichoběžník sestroj. 30. Vypočítej úhel, který svírají tečny t 1,t 2 vedené z bodu M ke kružnici k = ( S; 84 mm ), je-li MS = 12,6 cm 31. Urči nejmenší možné rozměry čtvercové desky, má-li být z ní vyříznut pravidelný osmiúhelník, jehož strana má délku 12 cm. Kolik procent činí odpad? 32. Tětiva MN v kružnici, příslušná ke středovému úhlu MSN = = 132 0, má od středu S kružnice vzdálenost v = 82 mm. Vypočítej poloměr kružnice. 33. Jak velký středový úhel přísluší v kružnici o poloměru 10 cm tětivě dlouhé 64 mm? 34. Chlapec táhne saně silou F = 6 N, která svírá s vodorovným směrem úhel 30 0. Jakou velikost má složka síly ve směru pohybu? 35. Řeka má přímý tok, je široká 115 m a rychlost proudu je 2,7. Motorový člun pluje kolmo ke směru proudu rychlostí 4,5 ( ve stojaté vodě ). a) Jakou velikost má úhel, který bude svírat dráha výsledného pohybu člunu se směrem proudu? b) Jakou skutečnou rychlostí pluje člun? c) Jakou vzdálenost mezi břehy skutečně urazí? m s m s
36. Na přímé trati jsou kolejnice ve stejné výši, v oblouku je vždy vnější kolejnice výše než vnitřní. Největší přípustný rozdíl je 150 mm. O kolik stupňů se odchýlí od svislé osy železniční vůz, projíždí-li takovou zatáčkou? Rozchod kolejnic je 1 435 mm. 37. Vahadlo rovnoramenných vah délky 30 cm se vychýlilo z rovnovážné polohy o 4,2 0. O kolik centimetrů poklesl koncový bod vahadla? 38. Akvárium má tvar kvádru s obdélníkovou podstavou o rozměrech 30 cm a 40 cm. Tělesová úhlopříčka svírá s rovinou dna úhel o velikosti 42 0. Vypočítej hloubku akvária. 39. Vypočítej objem kvádru ABCDA BĆ D s obdélníkovou podstavou; AB = a = 8 cm; AC = u = 17 cm. Tělesová úhlopříčka AC svírá s rovinou podstavy úhel 60 0.
Příklad 1. Jak vysoko je uchycený stožár, je-li lano dlouhé 12,9 m a vzdálenost kolíku lana od paty stožáru je 9,3 m. Udělejte náčrt. Příklad 2. V kruhovém zaskleném ciferníku o poloměru 22 cm vypadla velká ručička délky 10,6 cm a zůstala ležet uvnitř ve vodorovné poloze. Dotkne se malá hodinová ručička 9 cm dlouhá spadlé ručičky? Příklad 3. Čtverec má úhlopříčku dlouhou 18,2 cm. Vypočítejte obvod čtverce. Příklad 4. Žebřík délky 5 m je opřen o zeď tak, že pata žebříku je od zdi vzdálena 1,4 m. Jak vysoko nad zemí je druhý konec žebříku? Příklad 5. Která z následujících trojic čísel může představovat délky stran pravoúhlého trojúhelníku a) 4; 6; 10 b) 6; 10; 12 c) 8; 10; 12 d) 6; 8; 10 Příklad 6. Obsah rovnostranného trojúhelníku, který má obvod 72 cm, je: a) 288 cm 2 b) 498,8 cm 2 c) 124,7 cm 2 d) 166,3 cm 2 Příklad 7. Je dána úhlopříčka obdélníku (15 cm) a délka strany (10 cm). Vypočítej jeho obsah. Příklad 8. Vypočítej úhlopříčku televize, jestliže znáš rozměry obrazovky (56 x 42 cm). Příklad 9. Vypočítej odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku, znáš-li zbývající dvě strany: a) 12,3dm a 11 dm b) 47,68 cm a 26,09 cm c) 8 dm a 50 cm