VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ DOC. ING. JAROSLAV NAVRÁTIL, CSC. VYBRANÉ STATĚ Z BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ I MODUL M01 STUDIJNÍ OPORA PŘEDMĚTU CL53 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 Jaroslav Navráil, Brno 2007-2 64 -
Obsah OBSAH 1 Úvod...5 1.1 Cíl...5 1.2 Požadované znalosi...5 1.3 Doba pořbná k sudiu...5 1.4 Klíčová slova...5 1.5 Použiá rminologi...6 1.6 Modiký návod na prái s xm...6 2 Konsruk ilivé na rologiké působní bonu...7 3 Rologiké vlasnosi bonu... 10 3.1 Fyzikální podsaa dovarování a smršťování bonu... 10 3.2 Modul pružnosi... 12 3.3 Složky přvořní bonu... 13 3.4 Výpoč přvořní bonu při konsanním napěí... 14 3.5 Výpoč přvořní bonu při proměnlivém napěí... 15 3.6 Někré rologiké modly... 17 3.6.1 Tori zpožděné pružnosi... 17 3.6.2 Tori sárnuí... 18 3.6.3 Kombinované ori... 19 3.7 Příklady výpoču dovarování, konrolní oázky... 22 4 Saiká analýza posupně budovanýh bonovýh a přdpjaýh konsrukí... 30 4.1 Nhomognia konsrukí... 30 4.2 Řšní rologikýh účinků na konsruk v uzavřné formě... 32 4.3 Moda časové diskriza... 41 4.4 Zjdnodušné mody řšní rologikýh účinků na konsruk... 44 4.5 Časová analýza přdpjaýh bonovýh konsrukí... 46 4.5.1 Saiká analýza konsruk, saiký modl... 46 4.5.2 Modlování změn konfigura konsruk... 48 4.5.3 Analýza rologikýh účinků na konsruki... 48 4.5.4 Posup výpoču... 49 4.6 Příklad výpoču modou časové diskriza, konrolní oázky... 50 5 Závěr... 61 5.1 Shrnuí... 61 5.2 Sudijní pramny... 61 5.2.1 Sznam použié liraury... 61 5.2.2 Sznam doplňkové sudijní liraury... 62 5.2.3 Odkazy na další sudijní zdroj a pramny... 63 5.3 Označní někrýh vličin... 63 5.3.1 Lainská písmna... 63 5.3.2 Řká písmna... 64-3 64 -
Úvod 1 Úvod 1.1 Cíl Tno x j sudijní oporou přdměu CL53 Vybrané saě z bonovýh konsrukí I. Primárním ílm j návod k sudiu rologikýh vlasnosí bonu a saiké analýzy posupně budovanýh bonovýh a přdpjaýh konsrukí s použiím níž uvdné sudijní liraury. Řšné příklady a úkoly by měly umožni proviční čási získanýh znalosí. V éo sudijní opoř jsou vysvělny vlasnosi bonu zaížného dlouhodobě působíím zaížním, zjména pak dovarování, smršťování a sárnuí bonu. Dál jsou popsány základní prinipy hování bonovýh prvků a konsrukí s ohldm na rologiké působní bonu a mody pro řšní účinků dovarování a smršťování bonu na posupně budované bonové a přdpjaé konsruk včně saiké analýzy. Najd zd rovněž odkazy na sudijní mariály. 1.2 Požadované znalosi Přdkládaný x přdpokládá základní znalosi čnář z oblasí: mamaika, fyzika, savbní mhanika, pružnos, plasiia, savbní mariály, prvky bonovýh konsrukí moduly CM 1 až CM 4 a bonové konsruk moduly CS 1 až CS 4 a přdpjaý bon. Pokud sudn nmá dosačné znalosi přdhozí láky, bud s jn ěžko orinova v řšné problmai. 1.3 Doba pořbná k sudiu Doba pořbná k sudiu j individuální a závisí na shopnosh a průpravě sudna v přdhozím sudiu. Vyhází z rozsahu přdměu v sudijním programu s prznční formou sudia 52 hodin. Odhadujm, ž pořbná doba pro nasudování ori j 30 hodin a doba pořbná pro zpraování příkladu j 10 hodin, lkm dy asi 40 hodin. 1.4 Klíčová slova Bon, rologi, dovarování, smršťování, konsruk, analýza, posupná monáž, moda časové diskriza. - 5 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 1.5 Použiá rminologi Použiá rminologi a označní vličin jsou uvdny v kapiol 5.3 éo sudijní opory. Angliké kvivalny jsou vsměs uvdny v [26], kapiola 13, srana 172 až 176. Jdnolivé rmíny jsou vysvělny rovněž v xu. 1.6 Modiký návod na prái s xm Tx j rozděln do pěi kapiol. V kapiol 1 j úvod, v kapiol 2 jsou popsány hlavní rysy konsrukí ilivýh na rologiké působní bonu. Kapiola 3 popisuj modul pružnosi a rologiké vlasnosi bonu, jjih fyzikální podsau, složky přvořní bonu a výpoč dovarování a smršťování bonu při konsanním i při proměnlivém napěí. Dál jsou vyjmnovány někré rologiké modly s vysvělním ori zpožděné pružnosi, ori sárnuí a někrýh kombinovanýh orií. V kapiol 4 pohopí prinip saiké analýzy posupně budovanýh konsrukí, nalzn vysvělní, o o j nhomognia konsrukí a jak lz řši rologiké účinky na konsruk v uzavřné formě. J popsána aké moda časové diskriza a zjdnodušné mody řšní rologikýh účinků na konsruk. V závěru kapioly jsou vysvělny zásady a posup výpoču při provádění časově závislé analýzy bonovýh konsrukí. Kapioly 3 a 4 obsahují řšné příklady k proviční výpoču dovarování a smršťování, příklad výpoču modou časové diskriza a konrolní oázky. Nalzn zd i odkazy na iovanou lirauru. Použiá liraura pokrývá požadovaný rozsah orikýh znalosí a obsahuj někré řšné příklady k proviční. V kapiol 5 j shrnuí probrané láky, označní vličin a jsou zd uvdny ia sudijníh zdrojů a pramnů, kré j možné použí pro prakiké projkování, analýzu a posouzní konsrukí. Tx j řba sudova posupně vždy njprv orikou čás a poé aplikova oriké znalosi na prakiké příklady. Pokud nní příslušná čás jasná, j řba začí sudova znovu a npokračova v sudiu nové láky. - 6 64 -
Průvod přdměm 2 Konsruk ilivé na rologiké působní bonu Jdním z hlavníh rysů modrníh nosnýh konsrukí j jjih posupná výsavba monáž či bonáž, při kré konsruk prohází množsvím výrobníh sádií, v nihž dohází k změnám saikého působní konsruk. Časo bývá njdřív zbudován hlavní nosný prvk vořn např. visuými kably nbo závěsy, věšadly, nosníky nbo oblouky, krý poom voří podpůrný sysém pro osaní čási konsruk nbo příčného řzu, viz Obr. 2.1. Obr. 2.1 Posupně budované konsruk, s svolním Prof. J. Sráského U ěho konsrukí s časo s výhodou kombinují prvky lačné či ažné s ohýbanými, dy nosné prvky různého ypu. Vznikají ak složié nosné sousavy zavěšné, visué, obloukové či vzpinadlové, viz Obr. 2.2. Pro nosné prvky jsou používány různé druhy mariálu odlišné kvaliy a v případě bonu i odlišného sáří, viz Obr. 2.2. Kombinaí hybridníh sysémů z oli, prfabrikovaného a monoliikého bonu mohou modrní savbní konsruk dosáhnou značnýh konomikýh úspor. Při návrhu akovýh sysémů s s výhodou využívají vlasnosi jdnolivýh mariálů. Běhm výsavby prohází konsruk různými saikými sysémy. Mění s okrajové podmínky, jsou bonovány nbo monovány nové nosné prvky, kré jsou dodačně přdpínány, přičmž jsou odsraňovány jjih dočasné podpory. V mnoha konsrukíh s kombinují nosné bonové prvky s různým sářím bonu, kré jsou posupně zaěžovány. Filozofi navrhování ěho konsrukí - 7 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 naví vyhází z akivního ovlivňování rozložní napěí přdpěím. Výzuž působí na konsruki silově, přičmž do přvážné čási nosnýh prvků vnáší laková napěí. Příklady ěho konsrukí uvádí např. [20], [22]. Obr. 2.2 Saiky a mariálově hybridní konsruk, s svolním Prof. J. Sráského Tyo spifiké rysy způsobují vyšší ilivos konsrukí na rologiké působní bonu. Rologiké vlasnosi bonu mohou výrazným způsobm ovlivni použilnos konsruk. Například při výpoču dformaí s v praxi časo skávám s skučnosí, ž průhyby přdpjaýh mosů od dlouhodobýh zaížní jsou věší nž hodnoy průhybů přdpokládané projkm, viz Obr. 2.3. V někrýh případh, zjména u konsrukí lmo bonovanýh, dohází k průhybům nadměrným, kré omzují či vylučují provozushopnos konsruk a kré s v čas nusalují [17]. Také únosnos konsruk můž bý ovlivněna rdisribuí vniřníh sil způsobnou dovarováním a smršťováním. Proo modly pro analýzu posupně budovanýh přdpjaýh konsrukí musí o njpřsněji popsa rologiké vlasnosi bonu a zohldni jjih dopad na dlouhodobé hování konsrukí i na jjih mzní únosnos, viz např. [27]. Poněkud spiálním případm jsou rkonsruk xisujííh nosnýh bonovýh konsrukí. Při rkonsruki bývají nosné prvky či lé sysémy zsilovány např. dobonováním vrsv monoliikého bonu, lpním dodačné vý- - 8 64 -
Průvod přdměm zuž či přdpínáním. V důsldku oho nabývá dovarování a smršťování opě na významu a jjih účinky na konsruki j řba řádně vyšři. Obr. 2.3 Průhyb mosu Parros Frry California vzrosl až na 640 mm v důsldku nízkého modulu pružnosi a zvýšného dovarování bonu Konrolní oázky Jaké jsou hlavní rysy modrníh nosnýh konsrukí z hldiska posupné výsavby, ypů nosnýh prvků a mariálů? Jaké mohou bý důsldky rologikého působní bonu na hování konsrukí? - 9 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 3 Rologiké vlasnosi bonu 1 Bon j radiční savbní lákou, jhož vlasnosi byly přdměm zkoumání mnoha gnraí savbníh a mariálovýh inžnýrů a jsou podrobně popsány např. v obsáhlém a ulném díl Nvilla [19]. 3.1 Fyzikální podsaa dovarování a smršťování bonu Dovarování a smršťování jsou njdůlžiějšími rologikými vlasnosmi bonu, při krýh dohází k objmovým změnám bonu. Podsaa dovarování bonu j zřjmá z hování mnového glu. Tn obsahuj vodu hmiky vázanou, dál vodu v mikropórh a vodu kapilární. Dlouhodobým působním napěí j voda z mikropórů vylačována do kapilár, odkud s vypařuj. Napěí j ak posupně přnášno z viskózního média na jho pružný skl, přičmž s ralizuj přvořní od dovarování. Vlikos přvořní od dovarování j závislá na dlouhodobě působíím napěí v bonu, čas zaížní, na vlasnosh mnu, plniva a množsví záměsové vody, na rozměrh prvku a na vlhkosníh a ploníh poměrh okolního prosřdí. K smršťování opakm j nabývání bonu dohází, když s vypařuj hmiky volná voda z kapilár mnového glu. Vyvářní vodníh mnisků v kapiláráh j doprovázno vznikm povrhovýh ahovýh napěí kapilární napěí. Too napěí vyváří lak na pvnou fázi skl, jhož dforma s projvuj jako smršťování. Smršťování bonu dy nzávisí na om, zda j bon zaížn či nikoliv, al na vlhkosníh a ploníh podmínkáh v okolním prosřdí, na sáří a složní bonu a na dimnzíh konsrukčního prvku. Kromě výš popsaného smršťování vysyháním zavrdlého bonu s v lirauř spiálně označují další jvy souvisjíí s smršťováním. Jd o smršťování sdnuím črsvého bonu vzniká přibližně okolo počáku uhnuí, kré nasává odvodm přbyčné vody. Sdnuí provází objmová konrak rovna přibližně 1% objmu mnu, kré j bráněno výzuží, vlkými zrny kamniva či vlhčím bonm. Tím vzniká napěí a rhliny v črsvém bonu. Dalším jvm j plasiké smršťování, kré má podobný účink a j způsobno zráou vody z povrhu bonu v důsldku jho vysušní věrm či ploou. Po počáku uhnuí pokračuj v bonu hydraační pros, při čmž s spořbovává voda. Pokud nní bon řádně ošřován a nní zabzpčn ransfr vody do bonu z okolí bon j vzduhoěsně izolován, dojd k samovysušování bonu a k odbírání vody z kapilár mnového glu. To j doprovázno zv. auognním smršťováním. Proož hydraa bonu pokračuj jšě dlouho po počáku uhnuí, i když v zmnšné míř, j i auognní smršťování dlouhodobý pros a nabývá časo významnýh hodno. Pro bony 1 Rologi j obná vědní disiplína, krá zkoumá přvářní pvnýh lák a kapalin v závislosi na čas. - 10 64 -
Průvod přdměm běžnýh pvnosí 40-60 MPa s vodním součinilm w/ 0,45 můž dosáhnou poměrné přvořní od auognního smršťování hodno okolo 0,1, pro vysokopvnosní bony svodním součinilm w/ < 0,40 dosahuj poměrné přvořní od auognního smršťování hodno 0,35, ož j srovnalné s vlikosí smršťování od vysyhání. Nbzpčí auognního smršťování spočívá v om, ž zjména v saršíh normovýh přdpish nní zahrnuo v funkíh popisujííh smršťování, proož čás auognního smršťování proběhla přd odformováním zkušbníh vzorků, a dy přd počákm měřní. Rologiké vlasnosi jsou dy vlasnosmi mariálu a jjih podsaa s odvozuj z mikrosrukury bonu a z hování jho čási a složk. Jako akové jsou ovlivněny mj. lokální ploou a vlhkosí v daném mísě. Tyo vličiny s v čas mění jsou nsaionární a pro jjih přsnou analýzu j řba použí komplikované nlinární posupy. Vsupní vličiny pro yo výpočy jsou naví obížně zjisilné. Analýza bonové konsruk jako lku rspkujíí rologiké jvy na úrovni mariálovýh vlasnosí j proo příliš složiá a v praxi nralizovalná. V výjimčnýh případh bývají prováděny výpočy čásí konsruk, a o zjména s ohldm na vývoj hydraačního pla diafragmaa vlkýh mosů, čási přhradníh hrází apod.. průřz vlhkos smršění průměrná hodnoa Obr. 3.1 Průběh vlhkosi a smršťování po výš příčného řzu Pro analýzu lé konsruk proo běžně používám zjdnodušní, při krém uvažujm vlasnosi příčného řzu jako lku, ovlivňované ploou a vlhkosí okolního prosřdí. Uvažujm dy průměrné hodnoy dovarování a smršťování po příčném řzu, Obr. 3.1. Tako pojaé rologiké vlasnosi njsou vlasnosmi pouz mariálu, al aké gomri příčného řzu. V dalším xu s budm zabýva pouz rologikým působním bonu v závislosi na vlasnosh příčného řzu jako lku. - 11 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 3.2 Modul pružnosi Modul pružnosi j základní vličinou udávajíí uhos bonu. Závisí na řadě paramrů, zjména na složní, pvnosi a objmové hmonosi bonu a na ypu kamniva. Zjišťuj s xprimnálně s využiím Hookova zákona, přičmž výsldk zkoušky vlmi závisí na způsobu a dél zaěžování, kré j dfinováno v různýh přdpish různě. Vzhldm k omu, ž zkouška modulu pružnosi j náročnější nž zkouška pvnosi bonu v laku, udávají normy časo vzor pro modul pružnosi v závislosi na pvnosi bonu, případně na jho objmové hmonosi. Tako získaný modul pružnosi s však od rálné hodnoy můž významně liši, a o podl ypu vzor až o ±20%. Vliv ypu kamniva na modul pružnosi zohldňuj alspoň zjdnodušným způsobm pouz CEB-FIP, 1990 [5]. Věšina norm prauj s smluvní hodnoou, zv. sčnovým modulm pružnosi bonu E m, krý získám z sklonu přímky mzi počákm praovního diagramu = 0 a bodm, krý rprznuj přibližně mz úměrnosi bonu. Např. v EN 1992-1-1 [10] j o bod = 0,4f, ACI 318M-05 [1] udává = 0,45f. Počáční čnový modul pružnosi bonu E s příliš od sčnového nliší, např. norma EN 1992-1-1 udává E = 1,05E m. V důsldku hydraačního prosu ros s sářím bonu jho pvnos a modul pružnosi. Ryhlos ohoo prosu závisí na mnoha paramrh, zjména na ypu a řídě mnu, na ypu a množsví přísad, vodním součinili a dál na ploě okolního prosřdí. Ryhlos hydraa bývá časo popisována rovnií Arrhnia, krá udává oriké sáří bonu, při krém by zrání dosáhlo sjné úrovně při rfrnční ploě 293 K jako skučné sáří při skučné ploě. Pomoí éo rovni lz dokáza, ž zvýšním ploy bonu o 12 až 13 K s zdvojnásobuj ryhlos zrání bonu. 1,2 1 E/E28 0,8 0,6 0,4 0,2 pomalu uhnouí normálně uhnouí ryhl uhnouí 0 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 sáří bonu [dny] Obr. 3.2 Vývoj modulu pružnosi v čas podl CEB-FIP, 1990-12 64 -
Průvod přdměm Z hldiska prakikého použií jsou vhodnější zjdnodušné vzahy pro sárnuí bonu, kré uvádějí všhny modrní normy. Na Obr. 3.2 j zobrazna závislos modulu pružnosi bonu E s pomalu, normálně a ryhl uhnouím mnm na jho sáří podl CEB-FIP, 1990 [5]. Podobný průběh má vývoj pvnosi bonu. Z logarimikého měříka vodorovné osy j zřjmé, ž nárůs modulu pružnosi mladého bonu j vlmi ryhlý po 28 dnh nabývá ví nž 80% končné hodnoy a posupně s snižuj. Uryhlní sárnuí např. zvýšním ploy bonu lz v ěho zjdnodušnýh vzoríh zohldni náhradním zvěšným sářím bonu. 3.3 Složky přvořní bonu Rozdělní poměrného přvořní dál přvořní na jdnolivé složky j vzhldm k njisoám popisovanýh jvů vlmi problmaiké a názory řady auorů s v omo ohldu různí. Někrá přvořní bývají uváděna jako součási jinýh složk přvořní, někrá bývají zandbána. Clkové přvořní jdnoos zaížného bonového prvku v čas lz vyjádři například jako souč násldujííh složk přvořní 1 n d n,d d T s n d n,d d j okamžié pružné vrané poměrné přvořní bonu, T j okamžié npružné nvrané poměrné přvořní bonu, j zpožděné pružné poměrné přvořní bonu, j zpožděné npružné poměrné přvořní bonu, s, j zpožděné npružné poměrné přvořní bonu, ralizujíí s zpožděně, al v krákém časovém inrvalu po zaížní, j poměrné přvořní bonu od ploníh změn, j poměrné přvořní od smršťování bonu, Souč pružné a npružné n složky okamžiého přvořní j nzávislou proměnnou praovního diagramu pro krákodobé zaížní. Pokud j napěí v bonu mnší nž přibližně 40 % pvnosi, lz považova okamžiou npružnou složku přvořní za nulovou. V éo oblasi plaí Hookův zákon a jdinou nzávislou proměnnou praovního diagramu zůsává pružné přvořní vyjádřné jako 2, E kd j napěí působíí v bonu a E j modul pružnosi bonu. Modul pružnosi však závisí njn na sáří bonu, al aké na dél časového inrvalu, v němž ralizovaná přvořní považujm za okamžiá. Porovnávám-li dy způsoby výpoču rologikýh účinků podl různýh přdpisů nbo srovnávám-li výpočy s měřním, musím ak čini vždy v vzahu k správně určnému modulu pružnosi. - 13 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 Souč všh složk zpožděnýh přvořní j označován jako přvořní od dovarování bonu. Podobně jako přvořní okamžiá pružná i npružná jsou přvořní od dovarování vyvolána působním napěí. Označujm j proo spolčným názvm přvořní mhaniká m. Z výš uvdného plyn, ž plaí vzah m n d n, d 3 Naopak přvořní od smršťování a ploníh změn njsou bzprosřdně způsobna napěím. Proo jjih souč nazývám nmhanikým přvořním nm T s 4 Vzhldm k adiivnosi obou ěho složk přvořní nčiní jjih výpoč u volného volně s smršťujíího prvku poíž. U prvků upnuýh v konsruki však můž smršťování i ploní přvořní vyvola napjaos, krá poom vd k dovarování bonu. d 3.4 Výpoč přvořní bonu při konsanním napěí Přdpokládjm, ž v čas od vybonování začalo na volně s přvářjíí bonový prvk působi jdnoosé napěí. Too napěí způsobí okamžié přvořní v čas a zpožděné přvořní v časovém inrvalu <,>. Vzhldm k njisoám s určním délky časového inrvalu, za krý s považují přvořní za okamžiá, j časo mhaniké přvořní vyjadřováno vlku, přičmž j používán vzah m 5, J,, kd J, j funk poddajnosi. Vzhldm k omu, ž napěí v bonu způsobná dlouhodobým sálým zaížním s u věšiny konsrukí pohybují v oblasi planosi Hookova zákona, nbudm s v případě řšní účinků dlouhodobě působííh zaížní nlinární čásí praovního diagramu dál zabýva. Proo můžm okamžié npružné přvořní uvažova pro sálá zaížní rovno nul. Při uvážní 3 lz psá funki poddajnosi v varu 6 J,, a lz využí linariy mzi složkami přvořní, a. Konsanou úměrnosi j v omo případě pro daný časový inrval <,> kofiin dovarování,. Plaí dy vzah 7,,. Nahradím-li okamžié pružné přvořní napěím podl vzahu 2, lz přvořní od dovarování vyjádři pomoí míry dovarování C, 8, C,. - 14 64 -
Průvod přdměm Všhny výš uvdné vličiny, dy funk poddajnosi, kofiin i míra dovarování s běžně používají v odborné lirauř a v normovýh přdpish. Porovnáním 6, 7 a 8 získám vzájmný vzah mzi ěmio vličinami 1, 1 9 J, C,. E E 3.5 Výpoč přvořní bonu při proměnlivém napěí Prinip linariy dovarování popsaný v kap. 3.4 umožňuj použí prinip suprpozi při výpoču přvořní bonu od napěí proměnlivého v čas. Přdpokládjm njprv, ž s napěí mění pouz skokm v diskréníh časovýh okamžiíh časovýh uzlh. Clkové poměrné přvořní od napěí lz pak vypočía jako souč poměrnýh přvořní způsobnýh jdnolivými přírůsky napěí. Suprpozi účinků j zřjmá z Obr. 3.3. hisori napěí m 0 0 1 1 2 E 0 0 E 1 0, E 0 1 1 0 1 2, 1 0, 2 0, sárnuí bonu 2 1 0 0 1 Obr. 3.3 Prinip suprpozi přvořní jdnoos namáhaného lmnu - 15 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 V čas 0 začn v bonu působi napěí vlikosi 0, kré způsobí přírůsk okamžiého přvořní 0. Běhm časového inrvalu < 0, 1 > s působním ohoo napěí vyvin zpožděné přvořní 0 1, 0. Přírůsk napěí 1 aplikovaný v časovém uzlu 1 způsobí přírůsk okamžiého přvořní 1 a v průběhu časového inrvalu < 1, 2 > přírůsk zpožděného přvořní 1 2, 1. K lkovému přvořní j však řba za no inrval připočís aké přírůsk zpožděného přvořní 0 2, 1 od napěí 0. Pro lkové mhaniké přvořní lz dy psá m 0 1 10,,, 2 0 1 2 0 2 1 kd 0 2, 0 = 0 1, 0 + 0 2, 1. Poznamnjm, ž v důsldku sárnuí bonu dohází k růsu modulu pružnosi a pvnosi bonu v čas. Proo E 2 >E 1 >E 0. Aplikujm-li prinip suprpozi pro přírůsky napěí v diskréníh čash 0, 1, 2,... n, pak s využiím vzahu 2 a 7 lz vyjádři lkové mhaniké přvořní jako n. E m i 11 1, i i0 i Jak plyn z ohoo vzor, závisí mhaniké přvořní v čas na všh přírůsíh napěí v čash i <. Jinými slovy závisí na lé přdhozí hisorii zaížní. To činí výpoč dovarování časově náročným a klad zvýšné nároky na paměť počíač v případě srojového výpoču. Na prinipu časové diskriza jsou založny někré numriké mody výpoču, o nihž bud pojdnáno v kapiol ýkajíí s saiké analýzy posupně budovanýh přdpjaýh konsrukí. Přdpokládjm nyní spojiý průběh napěí v čas. Poom lz přírůsk napěí za časový okamžik d vyjádři jako d 12 d d a sumační symbol v vzahu 11 lz nahradi ingračním. Vzor 11 přjd v ingrální rovnii d 1, E d E E 0 0 m 0 13 1, d 0 Ingrál na pravé sraně rovni j v lirauř mnohdy nazýván dědičný, proož posihuj lou hisorii zaížní bonu. Přvořní od dovarování dy závisí na přdhozíh přírůsíh napěí v bonu. V případě prvků upnuýh v konsruki však siuai naví komplikuj závislos přírůsků pružného přvořní a dy i napěí na vlikosi dosavadního přvořní od dovarování aké od smršťování, změn plo a jinýh zaížní. Clkové přvořní podl rovni 1 j oiž omzno uhosí upnuí prvku v konsruki, přičmž přvořní. - 16 64 -
Průvod přdměm pružné a přvořní od dovarování jsou rovnií 1 vzájmně svázány. Řšní rovni 13 j proo komplikované a jjího zjdnodušní můžm dosáhnou pouz použiím spiálního varu funk,, např. podl ori sárnuí, viz kap. 3.6.2. To j však na újmu obnosi řšní. 3.6 Někré rologiké modly Analyiké vyjádřní funkí J,, φ, a C, a funk smršťování bylo v minulosi přdměm zkoumání mnoha vědkýh ýmů. Pro úspěšné řšní j řba zohldni všhny rozhodujíí fakory, kré ovlivňují rologiké vlasnosi bonu. Snaha po maximálním zjdnodušní a vlký rozpyl výsldků xprimnů vdly k odlišnosm v řšní. Tak s salo, ž jdn fyzikální jv j popsán v lirauř funkmi xponniálními, logarimikými, moninnými, hyprbolikými nbo jjih kombinami. Také v současné době pokračuj snaha o výsižné vyjádřní ohoo jvu. J využíváno modrníh mod mamaiké saisiky, jimiž s zpraovávají rozsáhlé soubory xprimnálníh výsldků, přičmž základní var modlu j zvoln ak, aby rspkoval fyzikální podsau jvu. Různé ori funk dovarování, kré byly posupně vyvořny j možné rozděli do ří skupin. Jd o orii zpožděné pružnosi někdy označovaná jako ori násldnosi, orii sárnuí a kombinované ori. Tori zpožděné pružnosi a ori sárnuí jsou důlžié zjména z hldiska hisorikého. Naví dfinují základní složky dovarování, kré jsou dál využívány v kombinovanýh oriíh. S ohldm na přsnos njsou pro prakiké použií příliš vhodné, ačkoliv s doposud v někrýh normáh používají, např. ČSN 73 6207 [8]. 3.6.1 Tori zpožděné pružnosi Tori zpožděné pružnosi ori násldnosi, hory of dlayd lasiiy j hisoriky njsarší orií Bolzmann, 1876. Funk pro vyjádřní kofiinu dovarování j v varu B 14, 1 kd φ j hodnoa kofiinu dovarování pro, B j konsana. Obě vličiny jsou závislé na vlasnosh bonu. Přdpokládá s dy, ž sáří bonu při zaížní novlivňuj končnou hodnou dovarování. Z Obr. 3.4 j zřjmé, ž funk odpovídajíí různým časům zaížní jsou pouz vzájmně posunué v směru osy. Vlikos přvořní od dovarování j závislá pouz na dél zaížní -. Po odížní dohází v čas blížíímu s nkončnu k úplné návranosi dforma. Dovarování, s dy rdukuj na zpožděné pružné přvořní d,. Proo nní ao ori vhodná pro bon zaížný v sáří mnším nž jdn rok. - 17 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 2 0 1 2 1 1 2 1 2 0 1 2 Obr. 3.4 Dovarování podl ori zpožděné pružnosi 3.6.2 Tori sárnuí V 30. lh 20. solí použil Dishingr kofiin dovarování v varu 15,, kd x B x 1 pro x=, x=. Konsany φ i B jsou opě závislé na vlasnosh bonu. Dishingr původně navrhoval B=1, později bylo používáno B=1,6 až 2,0. Funk φ, odpovídajíí různým časům zaížní jsou opě vzájmně posunué, nokrá v směru svislé osy, viz Obr. 3.5. Sáří bonu při zaížní dy ovlivňuj končnou hodnou dovarování. Tori však podhodnouj dovarování sarého bonu. Dalším ndosakm j, ž s zandbává vraná čás přvořní. Dovarování s ak rdukuj pouz na zpožděné npružné přvořní n,d,. 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Obr. 3.5 Dovarování podl ori sárnuí Pro svou jdnoduhos byla ori sárnuí ra-of-rp hory vlmi oblíbna a j doposud používána v planýh čskýh normovýh přdpish. Jd přdvším o ČSN 73 6207 [8] s úpravou kofiinu dovarování podl Mörsh 16 x 1 x a o zjdnodušnou funki podl ČSN 73 1201 [7] v varu - 18 64 -
Průvod přdměm 0. 07 x 17 x 1. Pro analýzu mosníh konsrukí sřdníh a vlkýh rozpěí však nlz použií Mörshovy funk doporuči, přsož j uváděna výš iovanou normou. Vhodnější j v omo případě použí někrou z kombinovanýh orií. 3.6.3 Kombinované ori Chyby ori sárnuí a ori zpožděné pružnosi byly odsraněny použiím kombinovanýh orií modlů, kré zohldňují sáří bonu při zaížní i rvrzibiliu čási dovarování. Modrní kombinované ori dovarování popisují mhaniké přvořní buď vlku, pomoí funk poddajnosi, nbo udávají přdpis pro kofiin dovarování. Podl varu funk pro kofiin dovarování lz ori rozděli na součinové a součové modly. Součinové modly používají kofiin dovarování v varu 18, f f 0, kd f 0 j monoónně klsajíí funk a f - j monoónně rosouí funk. Dovarování j dy určno jako součin základního kofiinu dovarování, krý závisí na sáří bonu při zaížní a funk popisujíí průběh dovarování v čas. Součinový var j použi v modlh ACI Commi 209 [2], CEB FIP 1990 [5], EN 1992-1-1 [11] a zpřsněném modlu podl přílohy č. 4 ČSN 73 1201 [7]. Součové modly vyjadřují lkové dovarování jako souč jdnolivýh jho složk, zjména pak zpožděné pružnosi a zpožděného nvraného přvořní 19, f f f, d f f kd f d - vyjadřuj zpožděnou pružnos a [ f f - f f ] odpovídá zpožděnému nvranému přvořní. Součový var kofiinu dovarování s používá v přdpish DIN 1045 [11], CEB-FIP 1978 [6]. V dalším s omzím pouz na naznační varů základníh modlů doporučovanýh významnými mzinárodními organizami, z nihž v věšině případů vyházjí národní normové přdpisy. Podrobný popis ěho rlaivně složiýh modlů nní účlm ohoo učbního xu a j možné jj naléz v iované lirauř. ACI Commi 209 [2] uvádí pro funki dovarování poměrně jdnoduhý vzah 0,6 1 20 J, 1 Cu 0, 6, E 10-19 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 kd C u j součinil závislý na čas a na okolním prosřdí. Modul pružnosi j odvozn z válové pvnosi a objmové hmonosi bonu. Přdpokládá s, ž složka d j zahrnua v okamžié lasiké dformai. Proo má modul pružnosi rlaivně mnší hodnou. Modl CEB-FIP 1990 [5] j modrní komplxní modl dovarování a smršťování bonu doporučovaný v éměř nzměněné formě rovněž v EN 1992-1-1 [12]. Zohldňuj mimo jiné vliv zvýšné ploy a vysokýh napěí na nlinariu dovarování. Pro kofiin dovarování s uvádí vzah 21, 0 H, T 0, 3 Součinil φ 0 a β H,T jsou závislé na sáří bonu při zaížní, pvnosi bonu, vlhkosi a ploě okolního prosřdí a dalšíh vlasnosh bonu.. Modl EN 1992-2 [13] j njnovější z modlů dovarování a smršťování bonu, krý s objvil v národníh či nadnárodníh normáh. Paří k modrním komplxním modlům. J určn pro vysokopvnosní bony o pvnosi vyšší nž C 50/60 vyráběné z mnů řídy R. Modl umožňuj zohldni použií či npoužií mikroplniva z křmičiého úlu, ož nbylo možné v modlu EN 1992-1-1 [10]. Tím bylo v EN 1992-1-1 u vysokopvnosníh bonů bz mikroplniva podněna vlikos dovarování. Dovarování a smršťování jsou rozdělny na adiivní složky. K základnímu dovarování lz přičís dovarování při vysyhání. Podobně smršťování ssává z auognního smršťování a smršťování od vysyhání. Modl j použilný pro vlhkos okolního prosřdí do 80%. Modl umožňuj aproximai funk dovarování i smršťování z naměřnýh hodno poměrnýh přvořní a xrapolai ěho funkí v čas. Modl CEB-FIP 1978 [6] v součovém varu pohází z kon sdmdsáýh l, přso j i v současné praxi vlmi časo používán. Součinil dovarování j dfinován vzahm 22,, a d d f kd první čln přdsavuj složku přvořní d z vzahu 1, druhý čln zpožděné pružné přvořní a ří čln zpožděné npružné přvořní. Vzhldm k omu, ž zpožděné přvořní vznikajíí vlmi brzy po zaížní j zahrnuo v součinili dovarování, vyházjí hodnoy modulů pružnosi poměrně dosi vysoké. f f Z hldiska výpoču j řba upozorni, ž funk dovarování φ, podl modlů CEB-FIP jsou vzažny k poměrnému lasikému přvořní, kré by působíí napěí vyvodilo v bonu sarém 28 dnů. Funk poddajnosi j dy v varu - 20 64 -
Průvod přdměm 1 1 23 J, CEB,, E E 28 kd E j čnový modul pružnosi v čas a E 28 j čnový modul pružnosi v sáří bonu 28 dnů. Proo s při výpoču dovarování podl vzor 11 obdobně 7 musí funk dovarování modifikova podl vzahu 24 E i, i CEB, i. E 28 Modly BP, BP-KX a B3, viz Bažan a Bawja [4] popisují mhaniké přvořní vlku, pomoí funk poddajnosi. Výhodou ohoo přísupu j, ž odpadají problémy s určním délky časového inrvalu, za krý s přvořní považují za okamžiá. Dovarování j rozdělno na několik adiivníh složk. K základnímu dovarování lz přičís další složky dovarování při vysyhání. Dalším rozdílm od modlů ACI či CEB-FIP j, ž yo modly nmají končnou asympoikou hodnou dovarování. Modly BP a BP-KX používají pro základní dovarování moninnou funki. Základní dovarování modlu B3 již obsahuj ři složky rprznujíí jak komponny viskolasiké zpožděné pružné s sárnuím a bz sárnuí, ak komponnu vazkou zpožděná npružná. Modl B3 lz psá v varu 25 1, J, C0, C,, E d, a kd E a j mpiriký paramr nazývaný asympoiký modul pružnosi liminí čnový modul pro nzávislý na sáří bonu. C 0, j základní dovarování, ož j dovarování při konsanní vlhkosi, C d,, j dovarování při vysyhání, j sáří bonu, v krém zjišťujm přvořní, j sáří bonu v okamžiku zaížní a j sáří bonu v okamžiku změny vlhkosi. Modl obsahuj rozšířní pro dovarování za vysokýh plo, za mnohokrá opakovaného yklikého zaížní a ykliké vlhkosi. B3 byl prvním modlm, krý umožňuj doposud pravděpodobně njkvalinější aproximai funk dovarování z naměřnýh hodno poměrnýh přvořní, jjí xrapolai v čas i xrapolai z laboraorníh vzorků na skučnou konsruki, viz [4], [16]. Jisou nvýhodou modlu s můž zdá jho rlaivní složios. Uvědomím-li si však skučnos, ž analýza modrníh konsrukí j prováděna s pomoí výpoční hniky a příslušného sofwar, nní složios modlu vlkou přkážkou. Při srovnání jdnolivýh modlů s xprimny j zřjmé, ž přs vlký pokrok v éo oblasi j rozpyl výsldků sál příliš vliký. Problmaiký j už přdpoklad průměrné hodnoy dovarování a smršťování po příčném řzu, dál pak sanovní hodnoy modulu pružnosi a hodno kofiinu dovarování z složní bonu, případně z jho pvnosi. J zřjmé, ž výběr ypu modlu dovarování j pro přsnos výsldku vlmi důlžiý. Pro konkréní modl j poom rozhodujíí pčlivý rozbor jdnolivýh paramrů ovlivňujííh dovarování a smršťování. Při analýz jdinčnýh konsrukí ilivýh na rologiké jvy j dál vlmi vhodné sníži njisoy spojné s rologikým působním - 21 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 bonu upřsněním použiýh funkí podl výsldků laboraorníh sů a ověři j měřním na savbě. 3.7 Příklady výpoču dovarování, konrolní oázky V éo kapiol nalzn prakiký výpoč dovarování bonu s vlivm hisori zaížní, úkoly k proviční ori a konrolní oázky. Doba pořbná k proviční láky by nměla bý dlší nž 4 hodiny. Úkol 3.1 Odvoď vzájmný vzah mzi vličinami: funk poddajnosi, kofiin dovarování a míra dovarování. Úkol 3.2 Grafiky znázorně prinip suprpozi přvořní jdnoos namáhaného lmnu a odvoď vzor pro lkové mhaniké přvořní. Úkol 3.3 Dokaž, ž v případě ori sárnuí nní možné rspkova vliv hisori zaížní na dovarování bonu. Řšní Výsldk řšní úkolu 3.1 j uvdn v kapiol 3.4, vzor 9. Výsldk řšní úkolu 3.2 j uvdn v kapiol 3.5 na Obr. 3.3. Výsldné vzor jsou vzor 11 a 13. Řšní úkolu 3.3 spočívá v vyčíslní přírůsku poměrného přvořní v časovém inrvalu < 1, 2 > od dovarování jdnoos namáhaného lmnu zaížného v čas 0 přírůskm napěí o vlikosi 0 a v čas 1 přírůskm napěí 1, viz Obr. 3.3. Přvořní od dovarování v čas 1 0 26,, a v čas 2 1 1 0 0 1 0 27 0 1 2 2,0 2,1 0 2,0 1 2,1 28 Přírůsk poměrného přvořní v časovém inrvalu < 1, 2 > od dovarování s získá odčním rovni 26 od rovni 27 2,1 0 2,0 1,0 1 2,1 Zavdm-li pro funki dovarování spiální var pro orii sárnuí podl vzor 15 do rovni 28, získám rovnii - 22 64 -
Průvod přdměm 2 1 0 2 0 1 0 1 2 1, 2,1 0 2 1 1 2 1 29, 2 1 0 1 2 1 Souč přírůsků okamžiého přvořní 0 + 1 udává lkové okamžiého poměrné přvořní v čas 1. Z oho vyplývá, ž běhm časového inrvalu < 1, 2 > závisí zpožděné přvořní od dovarování pouz na lkové hodnoě okamžiého poměrné přvořní, nikoliv na jho přírůsíh a dy na hisorii zaížní. V případě ori sárnuí dy nní možné rspkova vliv hisori zaížní na dovarování bonu. Příklad 3.1 Vypočě poměrné přvořní od dovarování bonu řídy C60/75 osově namáhaného prvku o průřzové ploš A =0,04 m 2, krý j zaížn silou 3P aplikovanou posupně v dvou kroíh dl Obr. 3.6 ak, ž: v sáří bonu 0 j prvk zaížn silou 2P a v sáří 1 silou P hisori zaížní 1, v sáří bonu 0 j prvk zaížn silou P a v sáří 1 silou 2P hisori zaížní 2. Srovnj přírůsky poměrného přvořní od dovarování bonu za časový inrval < 1, 2 > pro modly dovarování dl norm [8] a [13]. Uvažuj P=250 kn, 0 = 4 dny, 1 = 1000 dnů, 2 = 36 500 dnů a mn řídy R. Hisori 1: 2P + P = 3P Hisori 2: P + 2P = 3P Čas: 0 1 Obr. 3.6 Příklad výpoču dovarování s vlivm hisori zaížní - 23 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 Řšní Úkolm j urči poměrné přvořní od dovarování bonu, proo s nbudm dál zabýva smršťováním prvku. Pro bon řídy C60/75 j harakrisiká hodnoa válové pvnosi bonu v laku f k = 60 MPa. Tao hodnoa s uvádí v sáří bonu 28 dní. Sřdní hodnoa 28 dnní válové pvnosi bonu v laku f m = f k + 8 = 68 MPa. Sčnový modul pružnosi E m určím z ab. 3.1 EN 1992-1-1 [12] pomoí vzor E m = 22[f m / 10] 0,3, přičmž f m j v MPa. Vsupní údaj črvně a z nih určná základní daa úlohy jsou uvdna v Tab. 3-1 Pro výpoč dalšíh pořbnýh vličin uvdm pouz použié vzor, přičmž numriký výpoč provdm v abul Tab. 3-2, viz níž. Sřdní hodnou válové pvnosi bonu v laku v daném sáří j pro EN 1992-2 [13] možné sanovi podl 3.1.2 6 EN 1992-1-1 [12] pomoí součinil β 1/ 2 28 β xps 1, kd kofiin s závisí na druhu mnu, pro mn řídy R j s=0,2. f m = β f m. P [kn] 250 2P [kn] 500 A [m 2 ] 0,04 obvod průřzu vysavný vzduhu u [m] 0,8 vysyhajíí obvod h 0 Podl 3.1.2 5 EN 1992-1-1 [12] plaí vzah f k = f m 8 [MPa] pro 3 < < 28 dní, rsp. f k = f k pro 28 dní Podl 3.1.3 3 [12] dál plaí E m = f m / f m 0,3 E m 100 mm f k [MPa] 60 f m [MPa] 68 mn řídy rlaivní vlhkos vzduhu RH 60 % E m v 28 dnh [GPa] 39,09987 s druh mnu 0,2 křmičiý úl ANO Tab. 3-1 Vsupní daa úlohy Vzhldm k omu, ž součinil dovarování, φ, 0 s vzahuj k čnovému modulu E, vypočm jj jako 1,05 E m, viz 3.1.4 2 [12]. R - 24 64 -
Průvod přdměm V Tab. 3-5 j výpoč provdn pro jdnolivé časové inrvaly vždy po sloupíh. V snaz umožni čiali konrolu při vlasním numrikém výsloup 1 2 3 4 řádk 0 1 2 1 sáří bonu [dny] 4 1000 36500 2 0,720 1,181 1,215 3 f m [MPa] 48,928 80,322 82,597 4 f k [MPa] 40,928 60,000 60,000 5 E m [GPa] 35,423 41,103 41,449 6 E [GPa] 37,195 43,158 43,521 Tab. 3-2 Výpoč základníh pvnosníh a dformačníh harakrisik bonu Článk 3.1.4 4 [12] uvádí, ž pokud lakové napěí v bonu přsoupí hodnou 0,45 f k, pak s má uvažova nlinární dovarování. Konrolu dosažného lakové napěí v bonu provdm výpočm v Tab. 3-3 pro hisorii zaížní 1 a Tab. 3-4 hisori zaížní 2. V ěho abulkáh vypočm rovněž přírůsk pružného přvořní pomoí vzor 2. Porovnáním údajů na řádíh 4 a 1 vždy v sjnýh sloupíh abulk vyplývá, ž nní řba uvažova nlinární dovarování. sloup 1 2 3 4 řádk 0 1 2 1 0,45f k [MPa] 18,418 27 27 2 přírůsk síly [kn] 500 250 0 3 [MPa] 12,5 6,25 0 4 [MPa] 12,5 18,75 18,75 5 *10 3 0,33607 0,144816 0 Tab. 3-3 Výpoč napěí a pružného přvořní v bonu, hisori zaížní 1 sloup 1 2 3 4 řádk 0 1 2 1 0,45f k [MPa] 18,418 27 27 2 přírůsk síly [kn] 250 500 0 3 [MPa] 6,25 12,5 0 4 [MPa] 6,25 18,75 18,75 5 *10 3 0,168035 0,289633 0 Tab. 3-4 Výpoč napěí a pružného přvořní v bonu, hisori zaížní 2 Dál j řba vypočía součinil dovarování. Výpoč provdm v Tab. 3-5 včně výpoču poměrného přvořní od smršťování, i když hodnoy smršťování bzprosřdně pro naš zadání úlohy npořbujm. - 25 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 poču uvádím vlké množsví dsinnýh mís. Tako vysoký poč nní při prakikém výpoču odůvodněn. Vzor pro součinil β, f m a E m jsou uvdny výš. Další vzor lz naléz v příloz B EN 1992-2 [13], pro úplnos j však zd uvdm. Hodnoa součinil základního dovarování bonu s určí z vzor 30, 31 32 b b0 b, kd pro bon s mikroplnivm z křmičiého úlu 3,6 b0, f 0, 37 m f m b 0,37xp 2,8, fk pro bon bz mikroplniva z křmičiého úlu 33 1, 4, 34 35 b0 f m b 0,4xp 3,1. fk Přvořní od smršťování vysyháním s vypoč jako ε s d K f kd:kf k = 18 k Kf k = 30 0,21 f k 72 xp 0,046 f 75 RH s k β 2 dh0 pro f k 55 MPa pro f k > 55 MPa. d = 0,007 pro bon s mikroplnivm z křmičiého úlu, d = 0,021 pro bon bz mikroplniva z křmičiého úlu. Dovarování při vysyhání j vyjádřno pomoí smršťování od vysyhání za sjný časový inrval. Součinil dovarování při vysyhání j možné vyjádři pomoí násldujíí rovni s s 36, d d 0 d d, kd d0 = 1000 pro bon s mikroplnivm z křmičiého úlu a d0 = 3200 pro bon bz mikroplniva z křmičiého úlu. s 10 6-26 64 -
Průvod přdměm časový inrval 2, 0 1, 0 2, 1 sáří bonu při zaížní 4 dny 4 dny 1000 dní vyšřované sáří bonu 36500 dní 1000 dní 36500 dní sáří bonu při začáku smršťování s 3 dny 3 dny 3 dny sárnuí bonu 1,214655627 1,181203222 1,214655627 0,719534890 0,719534890 1,181203222 f m 82,59658 MPa 80,32182 MPa 82,59658 MPa f m 48,92837 MPa 48,92837 MPa 80,32182 MPa E m 35,42345 GPa 35,42345 GPa 41,10293 GPa základní dovarování b0 0,853424322 0,853424322 0,710418222 b 3,629416083 3,629416083 15,70688711 b, 0,837513021 0,765401298 0,655752406 přvořní od smršťování vysyháním Kf k 17,4 17,4 17,4 d 0,007 0,007 0,007 d s -3,396405E-04-3,179672E-04-3,396405E-04 d s -4,792844E-06-4,792844E-06-3,179672E-04 dovarování od vysyhání d0 1000 1000 1000 d, 0,334847664 0,313174402 0,021673262 součinil dovarování v inrvalu,, = b,+ d, vzažno k E28 1,172360685 1,078575700 0,677425668 E/E28 0,905973631 0,905973631 1,05122913, vzažno k E 1,062127867 0,977161143 0,712129596 přvořní od auognního smršťování s a -1,120000E-04-1,119987E-04-1,120000E-04 lkové přvořní od smršťování s, s -4,516405E-04-4,299659E-04-4,516405E-04 Tab. 3-5 Výpoč dovarování a smršťování Pro úplnos uvdm i vzahy pro výpoč přvořní od auognního smršťování. Pro < 28 dní: 37 když fm 0,1 s a = 0, f k - 27 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 38 když fm 0,1 s f a = f k 20 2,2 f k 0,2 10 f k m 6, kd a s j auognní smršťování, kré proběhlo mzi počákm uhnuí bonu a časm. Hodnou pvnosi f m j možné sanovi podl 3.1.26 EN 1992-1-1. Pro 28 dní:. a fk 20 2,8 1,1xp / 96 10 s 6 39 Zpožděné poměrné přvořní od napěí, 0, zn. souč základního dovarování a dovarování při vysyhání, j možné podl EN 1992-2 [13] vypočía z násldujíího vzahu 40,, b d, E E, S ohldm na o, ž v jmnovali j čný modul pružnosi v sáří bonu 28 dní, j, vzažno k E28 a udíž j řba provés přpoč součinil dovarování podl 24. Hodnoy součinil dovarování, vzažné k E jsm pro přhldnos přpsali do řádků 1 abulk Tab. 3-6 a Tab. 3-7. V ěho abulkáh vypočm pro obě hisori zaížní njprv lkové poměrné přvořní od dovarování bonu v čash 1 a 2 řádky 2 a 3 vždy zvlášť pro každý přírůsk pružného poměrného přvořní podl vzor 7, viz éž 26 a 27. Na řádíh 3 dy musím provés vždy dva výpočy pro přírůsk pružného poměrného přvořní čash 0 a 1 a hodnoy sčís sloup 5. Přírůsk poměrného přvořní od dovarování bonu za časový inrval < 1, 2 > poom určím jako rozdíl lkovýh poměrnýh přvořní od dovarování řádk 3 minus řádk 2 v sloupi 5. Výpoč jsm mohli provés rovněž přímo pomoí vzor 28. Srovnáním hodno na řádku 4, sloup 5 obou abulk Tab. 3-6 a Tab. 3-7 zjisím, ž přírůsk poměrného přvořní od dovarování bonu za časový inrval < 1, 2 > s v případě modlu dl EN 1992-2 [13] pro obě hisori zaížní vlmi liší, přsož od času 1 působí v obou případh již sjné síly. Z vzor 29 j naopak zřjmé, ž podl normy ČSN 73 6207 [8] by byly pro obě hisori zaížní yo hodnoy oožné. Modl dl ČSN 73 6207 dy nrspkuj vliv hisori zaížní na dovarování bonu! - 28 64 -
Průvod přdměm sloup 1 2 3 4 5 řádk inrval 2, 0 1, 0 2, 1 lkm 1, vzažno k E 1,062128 0,977161 0,71213 2 1 *10 3 0,328395 0,328395 3 2 *10 3 0,356949 0,103128 0,460077 4 2, 1 *10 3 0,131683 Tab. 3-6 Výpoč přírůsku poměrného přvořní od dovarování bonu za časový inrval < 1, 2 >, hisori zaížní 1 sloup 1 2 3 4 5 řádk inrval 2, 0 1, 0 2, 1 lkm 1, vzažno k E 1,062128 0,977161 0,71213 2 1 *10 3 0,164197 0,164197 3 2 *10 3 0,178475 0,206256 0,384731 4 2, 1 *10 3 0,220534 Tab. 3-7 Výpoč přírůsku poměrného přvořní od dovarování bonu za časový inrval < 1, 2 >, hisori zaížní 2 Konrolní oázky Co j modul pružnosi bonu a jak s mění s sářím bonu? Jaká j fyzikální podsaa dovarování a smršťování bonu? Jak s vypočíá přvořní od dovarování bonu při konsanním a proměnlivém dlouhodobě působíím napěí? Vysvěl rozdíly mzi orií zpožděné pružnosi a orií sárnuí. Jaké zná kombinované ori? - 29 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 4 Saiká analýza posupně budovanýh bonovýh a přdpjaýh konsrukí 4.1 Nhomognia konsrukí V důsldku dovarování a smršťování můž dojí k zvěšování dformaí konsruk a k přrozdělní napěí mzi jdnolivými nosnými prvky příčného řzu či lé konsruk. Tyo účinky s projvují v různé míř u různýh druhů konsrukí, mariálů a výrobníh posupů. Vzhldm k rlaivní složiosi rologikýh jvů byla v minulosi snaha kagorizova řšné úlohy a pro y poom hlda přijalná zjdnodušná řšní. Při dalším výkladu s pokusím njn poda přhld o yph úloh iovanýh v lirauř, al dál uo kagorizai rozvinou, zobni někré dřív publikované oriké závěry dns již považované za výhodiskové prinipy a dá doporuční pro obná řšní zkoumaného problému. Při úvaháh o účiníh dovarování na konsruk s zjména v sarší odborné lirauř časo objvuj pojm "homognní konsruk". Konsruk j označována jako homognní, má-li z hldiska dovarování v všh svýh mísh sjné vlasnosi. Přsněji lz homognní konsruki dfinova jako konsruki, krá dovaruj v každém svém bodě sjně ryhl. Pojm lz vysvěli na jdnoduhém příkladě. Uvažujm nosný prvk složný z dvou vrsv z různýh bonů namáhanýh lakm. Přvořní na syku vrsv nhť jsou kompaibilní a dforma prvku jako lku nhť njsou omzny vnějšími vazbami. Pro zjdnodušní budm uvažova pouz dovarování prvku. Pokud obě vrsvy dovarují sjně ryhl, mění s pouz dforma prvku jako lku. Dovarují-li různě ryhl, dohází k přrozdělní napěí mzi nimi. V prvním případě jd podl dfini o homognní konsruki, v druhém případě jd o konsruki nhomognní. Tyo naš úvahy jsou v souladu s vrzním zv. první věy Collonniho 1941. Ta říká, ž j-li homognní konsruk zaížna sálým, v čas nměnným zaížním, mění s pouz dforma konsruk, napjaos zůsává konsanní. V případě "nhomognní konsruk" j dy v jisé čási v jisém bodě konsruk ryhlos dovarování jiná nž v osaníh čásh. Vzhldm k rozdílným ryhlosm dovarování mají různé čási konsruk ndni přvář s různě. Na syíh ěho čásí vrsv j bráněno "volné" dformai, akž dohází k přrozdělní napěí. Příčin nsjné ryhlosi dovarování můž bý lá řada, například: Rozdílná hisori napěí, krá vyplývá věšinou z změn saikého působní v průběhu monáž, z změn zaížní a poklsů podpor. Rozdílné sáří bonu různýh čásí konsruk. Kombina bonu s olí, popř. s jinými druhy mariálu rovněž na bon s rhlinami lz nazíra jako na zvlášní mariál. - 30 64 -
Průvod přdměm Dlouhodobě působíí rozdílné ploy nad 30 C různýh čásí konsruk. Rozdílné vysyhání různýh čásí konsruk dané rozdílnou vlhkosí jjih okolního prosřdí, či jjih rozdílnými dimnzmi. g R R R 0 M 0 M 0 0 Obr. 4.1 Rdisribu vniřníh sil vyvolaná poklsm podpory Tyo příčiny nsjné ryhlosi dovarování můžm označi jako zdroj nhomogni konsruk. O hisorii napěí jako zdroji rdisribu napěí pojdnává v mírně pozměněné formě aké druhá Collonniho věa: j-li homognní konsruk zaížna v čas konsanním či proměnlivým zaěžovaím pohybm např. pokls podpor..., mění s napjaos konsruk. Na změny saikého sysému a poklsy podpor dy nní nahlížno jako na vlasnos konsruk, prakiký důsldk věy ovšm zůsává sjný. Výš uvdné zdroj nhomogni s v omo smyslu dají považova za rozšířní druhé Colonniho věy. Jako příklad změny napjaosi konsruk v čas uvdm rdisribui vniřníh sil vyvolanou poklsm podpory spojiého nosníku na Obr. 4.1. Pokls podpory v čas 0 způsobí mimo jiné snížní příslušné rak a přírůsk nadpodporového momnu. Po poklsu s přdpokládá fixa dforma podpora dál už nklsá a v důsldku rlaxa dojd k posupnému snižování vnsnýh impulsů. O om, zda daný impuls vymizí zla nbo jn čásčně rozhoduj kapaia dovarování hodnoa kofiinu dovarování φ,, 0, krá s snižuj mj. s zvyšujíím s sářím bonu při zaížní 0. V případě dosačné ka- - 31 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 paiy dovarování 2 rsp. rlaxa by rak vniřní podpory nabyla původní hodnoy a přírůsk ohybového momnu nad podporou by vymizl. Z rozboru výš uvdnýh nhomogni j zřjmé, ž v skučnosi jsou všhny konsruk nhomognní. Z Collonniho vě zřjmá snaha homognizova problém vyplývala v minulosi z faku, ž analýza nhomognní konsruk j v analyiky uzavřné formě prakiky nprovdilná. Pouz v někrýh případh, za určiýh omzujííh přdpokladů např. ori sárnuí, lz řši problém v uzavřné formě přibližnými modami. V obném případě j řba použí modrní numriké mody řšní. V násldujííh kapioláh naznačím někré z používanýh mod řšní rologikýh účinků. Jjih podrobný popis nlz uvés pro omzný rozsah ohoo xu. Ačkoliv s v dnšní praxi používají přdvším obné numriké mody, nlz důlžios přibližnýh mody řšní podňova. Důvody jsou nasnadě. Přdvším nám jjih znalos umožní lpší porozumění problému, ož vyúsí v shopnos odhadnou rnd dlouhodobého hování konsruk. Tyo mody naví mohou poslouži jako srovnávaí či orinační výpočy nbo j lz použí v případě ndosaku vhodného sofwar. 4.2 Řšní rologikýh účinků na konsruk v uzavřné formě Jak j uvdno v kap. 3, k rologikým účinkům ovlivňujíím dlouhodobé hování přdpjaé bonové konsruk lz počía dovarování, smršťování a sárnuí bonu. Jd o jvy vlmi složié působíí v vzájmné inraki. Řšní v analyiky uzavřné formě j možné jn za určiýh omzujííh přdpokladů. Základním přdpokladm řšní j zandbání vzájmné inrak dovarování, smršťování a sárnuí bonu. Tyo ři jvy budm dy véo kapiol řši oddělně a jjih účinky budm sčía. Jak již bylo konsaováno v kap. 3.3, nzávisí smršťování bonu na hisorii zaížní a jho účinky na konsruki lz řši jako běžné dformační zaížní, kré lz suprponova. Sárnuí bonu spočívá v změně růsu modulu pružnosi v čas a na konsruki s projví zvyšováním uhosi řšnýh prvků konsruk. Pro zjdnodušní výpoču s v případě hldání analyikého řšní uvažuj modul pružnosi konsanní a sárnuí s ak zandbává. Njsložiější čásí časové analýzy konsruk ak zůsává analýza účinků dovarování. Podsaou řšní účinků dovarování bonu j řšní ingrální rovni 13. Použijm-li pro řšní ingrai pr-pars, získám var 2 Někré modly nmají končnou asympoikou hodnou dovarování v čas nkončno, viz kap. 3.6.3. - 32 64 -
Průvod přdměm - 33 64-41 0 0 0 m 0 E, E 1, 1 E d E, E 1 d d 0 a po dosazní horní a dolní mz do primiivní funk a úpravě 42 d E E d d E m, 1 0. Za přdpokladu E=kons a po provdní naznačné driva lz 42 upravi na var 43 d d d E E m 0, 1. Uvažm dál přdpoklad ori sárnuí 15. Poom 44 d d d d. Závislos φ na j jdnoznačná, spojiá a sál rosouí. V 43 proo lz zaměni ingrační proměnná za proměnnou φ. Bz změny mzí ak výraz přjd v 45 1 0 d E E m. Drivováním podl φ s získá difrniální rovni 46 1 d d E d d m. Z obížně řšilné ingrální rovni 13 jsm ak získali difrniální rovnii 46 za pomoi přdpokladu ori sárnuí a konsanního modulu pružnosi bonu v čas. Tuo difrniální rovnii řším dál pro dané okrajové podmínky. V příkladě z Obr. 4.1 jd například o případ konsanní dforma m =kons. Proo pro ryhlos mhanikého přvořní plaí 47 0 d d m. Z rovni 46 a 47 poom vyplývá 48 d d, 49 d d. Rovnii 49 lz ingrova
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 d 50 d. 0 0 Po ingrai získám vzah 51 ln ln 0 0 a po odlogarimování a úpraváh 52 0 0. Napěí v bonu s dy mění podl klsajíí xponniální funk 52. Podl sjné funk dohází k snižování vnsnýh impulsů v příkladě podl Obr. 4.1. Jak bylo už naznačno v závěru přdhozí kapioly, ačkoliv j získané řšní omzné řadou zjdnodušujííh přdpokladů, umožňuj odhadnou rnd dlouhodobého hování konsruk a urči přibližně rdisribui vniřníh sil a napěí. Výš uvdné řšní však lz aplikova i na jiné prakiké úlohy. Na Obr. 4.2 j ukázka konsruk, v kré jsou původně prosé nosníky uložné za sbou zmonoliněny, čímž s vyvoří spojiý nosník. V praxi by zřjmě šlo o zmonolinění ví nž dvou polí a spojní sousdníh nosníků by bylo vořno příčníky. I přs přijaá zjdnodušní nám umožní zvolná úloha vysvěli prinip řšní rdisribu vniřníh sil vyvolané změnou nosné sousavy. Na Obr. 4.2 a j znázorněn průběh ohybovýh momnů v fázi, kdy na prosé nosníky působí sálé zaížní g. V okamžiku zmonolinění 0 dohází k spojní obou prosýh nosníků například jjih přdpnuím účinky přdpěí zd nřším, akž při přnosu dalšíh zaížní působí nosník již jako spojiý. Zmonoliněním s však nzměnilo působní sálého zaížní g, proo zůsává průběh momnů M g i po spojní sjný jako na prosýh nosnííh, viz Obr. 4.2 b. V důsldku dovarování bonu však dohází v čas k rdisribui vniřníh sil a průběh lkovýh ohybovýh momnů M od zaížní g a od účinků dovarování s posupně blíží průběhu momnů od zaížní g na spojiém nosníku, viz Obr. 4.2. Too vrzní si dokážm opě pomoí rovni 52. Označm M g,pod ohybový momn, krý by nad podporou spojiého nosníku vyvolalo působní sálého zaížní g. V skučnosi no momn nad podporou spojiého nosníku ěsně po spojní prosýh nosníků npůsobí, j nulový. Okamžik zmonolinění si lz dy přdsavi jako impuls, krým na spojiém nosníku vynulujm nadpodporový momn M g,pod. Tno impuls s bud, obdobně jako v přdhozím příkladě, zmnšova podl rovni 52. Podl éo úvahy lz ssavi násldujíí rovnii 53 M pod 0 M g, pod M g, pod. V čas spojní prosýh nosníků j dy lkový ohybový momn nad podporou spojiého nosníku M pod 0 vynulován vnsným impulsm. Tn klsá podl xponniální funk. Po úpravě 53 získám rovnii 54 M pod 0 M g, pod 1. - 34 64 -
Průvod přdměm V čas s hodnoa xponniální funk blíží nulové hodnoě závisí opě na kapaiě dovarování viz výš a nad podporou spojiého nosníku s dy bud lkový ohybový momn od zaížní g a od účinků dovarování blíži hodnoě M g,pod. Příkladm limina účinků dovarování j konsruk na Obr. 4.3. Jd o konsruki o řh políh budovanou posupně jako dva prosé nosníky s přvislým konm. V čas 0 s přvislé kon nosníků spojí, čímž vznikn finální saiké shéma konsruk spojiý nosník o řh políh. Z přdhozího j zřjmé, ž účinkm dovarování bonu s v případě jho dosačné kapaiy změní rozdělní ohybovýh momnů z fáz prosýh nosníku s přvislými koni na Obr. 4.3 a na průběh odpovídajíí spojiému nosníku na Obr. 4.3 1. To j ovšm npříjmné z hldiska dimnzování, proož při uvdní konsruk do provozu krá po zmonolinění, kdy jšě nproběhn prakiky žádná rdisg Mg a prosé nosníky Mg b okamžik zmonolinění 0 M přrozdělní momnů v 8 Obr. 4.2 Rdisribu vniřníh sil vyvolaná změnou nosné sousavy Z přdhozíh příkladů j zřjmé, ž dovarování bonu působí na konsruki ak, aby s v čas blížilo rozdělní vniřníh sil průběhu odpovídajíímu finálnímu saikému shémau konsruk. S výš nabyými znalosmi dokážm dy odhadnou, zda a jakým způsobm bud v konsruki probíha rdisribu vniřníh sil. Rozsah míra rdisribu pak závisí na čas a na kapaiě dovarování bonu. To lz využí k rduki či liminai účinků dovarování vhodným návrhm monážního posupu. - 35 64 -
Vybrané saě z bonovýh konsrukí I, Modul M01 ribu od dovarování, s budou účinky plného proměnného zaížní určné na spojiém nosníku přičía k momnům na prosýh nosnííh a v čas k momnům na spojiém nosníku. Na yo xrémní účinky musím konsruki nadimnzova. Pokud však vyvodím v nosníku průběh momnů jako na spojiém nosníku jšě přd uvdním do provozu, pak dosáhnm významné úspory při dimnzování, proož nám posačí dimnzova na průběh vniřníh sil na spojiém nosníku. g M g a prosé nosníky s přvislými koni M g 0 b okamžik zmonolinění 0 M g 8 1 přrozdělní momnů v 8 M M g 0 M 2 pokls podpěr po zmonolinění 0 ndohází k přrozdělní momnů 8 Obr. 4.3 Omzní rdisribu vniřníh sil - 36 64 -