Matematické základy teorie a aplikací nelineárních dynamických systémů

Transkript

1 Maemaiké základy eorie a aplikaí nelineárníh dynamikýh sysémů / Kvaliaivní vlasnosi dynamikýh sysémů Tao prezenae je spolufinanována Evropským soiálním fondem a sáním rozpočem České republiky. 1

2 Vlasnosi na omezeném časovém inervalu Eisene řešení Jednoznačnos řešení Prodloužení řešeni Spojiá závislos řešení na počáečníh podmínkáh a pravé sraně Tao prezenae je spolufinanována Evropským soiálním fondem a sáním rozpočem České republiky.

3 Úvod f budeme zkouma základní vlasnosi rovnie keré z ní dělají vhodný maemaiký model reálnýh sysémů při eperimeneh s fyzikálními sysémy řeba s kyvadlem začneme z nějakého počáečního savu v čase a očekáváme že se sysém bude pohybova a jeho sav bude definován v aspoň nejbližší budounosi sysém je deerminisiký akže aké očekáváme že pokud budeme eperimen přesně opakova sysém se bude hova sejně a jeho budouí savy budou sejné hování sysému můžeme ako predikova když zv. počáeční problém f bude mí jediné řešení abyhom zajisili eiseni a jednoznačnos řešení musíme rohu omezi pravou sranu 3

4 Úvod podsaným fakorem pro planos nějakého maemaikého modelu je spojiá závislos na daeh problému model by měl bý akový aby malá hyba v daeh nezpůsobila veliké hyby v řešení daa problému jsou a var a paramery funke na pravé sraně f řešení by mělo bý spojiě závislé na ěho daeh ukážeme že za jisýh podmínek je a rohu budeme zkouma ilivos 4

5 Nerovnos Bellmana-Gronwalla Lemma Bellman-Gronwall: Nehť :[ a b] R jsou spojié nezáporné funke. Jesliže spojiá funke y :[ a b] R splňuje pro [ a b] pak aké na sejném inervalu d s y y s s e ds a pokud je konsanní pak pokud je naví ješě konsanní pak d a y e y y s s ds a a y e 5

6 ODE a její řešení Obyčejná difereniální rovnie v ODE = ordinary differenial equaion R n f ODE řešení ve smyslu Caraheodoryho je spojiě diferenovaelná funke času f d CAR 6

7 Řešielnos pokud f je spojiá je řešení spojiě diferenovaelné pokud je spojiá v ale jen po čáseh spojiá v pak je řešení pak řešení může bý po jen čáseh spojiě diferenovaelné předhozí je vhodné pro popis časově proměnnýh sysémů se skokovými změnami paramerů Příklad: 3 rovnie má dvě řešení: 3 3 jelikož je pravá srana spojiá asi o pro jednoznačnos nesačí pro eiseni řešení spojios sačí o ale nebudeme dokazova omezíme se na jednodušší verzi 7

8 Lokální eisene a jednoznačnos VĚTA: Lokální eisene a jednoznačnos Nehť f je spojiá v a po čáseh spojiá v a nehť plaí Lipshizova podmínka f f y k y y B r kde B r : r n R je kruh s poloměrem a sředem. r [ ] Pak akové že má rovnie ODE právě jedno řešení CAR na inervalu. 1 [ ] 8

9 Peanova věa o eiseni řešení Nehť funke f je spojiá v množině D y a y y b Označme M maimum funke f na množině D a Pak eisuje na inervalu řešení y akové že h h y y b h: min a M aspoň jedno Peanova věa zaručuje eiseni řešení ale nikoli jeho jednoznačnos. 9

10 Globální eisene a jednoznačnos Příklad Uvažme sysém 1 f funke je lokálně L.. je edy L. na každé kompakní podmnožině 1 1 jediné řešení eisuje na R R [1 1 pro opusí každou kompakní množinu jak další podmínka zaručí možnos neomezeného prodloužení? 1

11 Globální eisene a jednoznačnos VĚTA: Globální eisene a jednoznačnos Nehť f je po úseíh spojiá v a splňuje f f y L y f h n y R [ 1] Pak má rovnie ODE právě jedno řešení CAR na časovém inervalu [ 1] 11

12 Příklad skalární sysém 3 f pravá srana není globálně L. proože jakobián není globálně omezený přeso má rovnie pro pp. jediné řešení f 3 sign 1 keré je dobře definované 1

13 Spojiá závislos na počáečníh podmínkáh Nehť je dán sysém ODE s funkí f splňujíí hypoézu f f y k y y f h T T n n y R [ 1 ] Nehť Pak. y. jsou dvě jeho řešení vzházejíí z pp. Tn : R y y. y. j. řešení je spojiou funkí počáečníh podmínek 13

14 Spojiá závislos na počáečníh podmínkáh Důkaz: Jesliže jsou y obě řešeními ODE pak y y f f y d můžeme edy použí BG lemma. Podle ní plaí k T y y e y k y d T [ T] Tedy pro dané sačí vzí KT T e 14

15 Závislos na p. p. na nekonečném inervalu spojiá závislos na pp. plaí jen na omezenýh inervaleh na nekonečnýh inervaleh vůbe ne - měli jsme mnoho příkladů řeba LJAPUNOVSKÁ STABILITA = sp. záv. na p. p. na nekonečném in. 15

16 Vlasnosi v neomezeném čase - sabilia Ljapunovská a asympoiká sabilia Meoda přibližné linearizae Meoda Ljapunovské funke Prinip LaSalle Sabilia perurbovanýh sysémů Tao prezenae je spolufinanována Evropským soiálním fondem a sáním rozpočem České republiky. 16

17 Hisorie sudium sabiliy dynamikýh sysémů má bohaou hisorii podílelo se na ní mnoho významnýh maemaiků fyziků a asronomů zájem přiahoval problém sabiliy n ěles sabilia sluneční sousavy Torrielli : prinip nejmenší elkové energie: Sysém ěles je ve sabilním rovnovážném savu když je ve savu lokálně minimální energie. Laplae a Lagrange 18. sol.: konzervaivního sysému je sav s nulovou kineikou a minimální poeniální energií sab. rovnovážný další: plaí i pro disipaivní energie klesá podél rajekorie Ale absrakní definie sabiliy až Lyapunov 189 : definuje funke vhodné k popisu energie a definuje o znamená klesání podél rajekorie konzervaivní = zahovává energii kineikou+poeniální disipaivní = energie klesá 17

18 Lyapunovská sabilia DEFINICE Lyapunovská sabilia Ekvilibrium = je Lyapunovsky sabilní jesliže & : kde je řešení začínajíí z v čase. neformálně: čím blížeji řešení začne ím blížeji zůsane přičemž se lze přibližova neomezeně. Jedná se vlasně o spojiou závislos na počáečníh podmín. v neomezeném čase 18

19 Sejnoměrná sabilia DEFINICE Sejnoměrná sabilia Ekvilibrium = je sejnoměrně sabilní jesliže v předhozí definii nezávisí na. sejnoměrně sabilní e. se s rosouím časem nesává posupně méně sabilní zejména okolí nuné k udržení rajekorií uvniř okolí nejde s rosouím časem k nule. 19

20 Asympoiká sabilia DEFINICE Asympoiká sabilia Ekvilibrium = je asympoiky sabilní jesliže je Lyapunovovsky sabilní a je arakor j. : lim Definie dvě různé podmínky. To se může zdá přehnané ale není: konvergujíí rajekorie nezaručují sabiliu. Druhé podmíne se někdy říká kvaziasympoiká sabilia

21 Sejnoměrná asympoiká sabilia DEFINICE Sejnoměrná asympoiká sabilia Ekvilibrium = je sejnoměrně asympoiky sabilní jesliže je Lyapunovsky sabilní a rajekorie konvergují k sejnoměrně j. eisuje a funke n aková že : R R R B : lim a 1

22 Příklad sysém 1 má řešení 1 1 řešení konverguje k pro všehna ale s rosouím sále pomaleji edy je asympoiky sabilní ale ne sejnoměrně

23 Globální asympoiká sabilia DEFINICE Globální asympoiká sabilia Ekvilibrium = je globálně asympoiky sabilní jesliže je sejnoměrně Lyapunovsky sabilní a n R : lim DEFINICE Globální sejnoměrná asympoiká sabilia Ekvilibrium = je globálně sejnoměrně asympoiky sabilní když je globálně asympoiky sabilní a konvergene rajekorií do počáku je sejnoměrná v čase j. n eisuje funke : R R R aková že lim a 3

24 Eponeniální sabilia DEFINICE Ekvilibrium = je [globálně] eponeniálně sabilní jesliže m me B : konsana je ryhlos konvergene h [ ]R eponeniální sabilia je obeně silnější než asympoiká sabilia m harakerizuje překývnuí - i pro lin. sys. s výhradně reálnými póly!!! Av 1 A R 1 1 v Av 1 v C v C v C 1 v e 1 C v e 1 e 1 e. n 1 v1 v C C1 1 4

25 Příklad řešení sysému konverguje k ale pomaleji než eponeniálně a jen pro > e. je sabilní asympoiky ale ne eponeniálně Jiný příklad: d d 3 3 d 3 d 1 1 Meoda separae proměnnýh 5

26 První Lyapunovova meoda Určuje lokální sabiliu e. pomoí linearizae v omo e. Pro auonomní sysém s e. kde f je v omo bodě spojiě diferenovaelná zavedeme odhylku a sysém nahradíme lineární rovnií kde f f1 f f1 1 n f A fn fn fn 1 n je Jaobiho maie v bodě. Značíme ji aké J nebo Df. y Ay y 6

27 Lokální sabilia z přibližné linearizae Jesliže mají všehna v.č. maie A záporné reálné čási pak je e. lokálně asympoiky sabilní. Jesliže aspoň jedno v.č. maie A má kladnou reálnou čás pak e. není Lyapunovsky sabilní. Jesliže jedno nebo víe v.č. má nulovou reálnou čás a všehna osaní v.č. mají zápornou r.č. sabiliu nelze z linearizae urči. 7

28 Druhá přímá Lyapunovova meoda Umožňuje urči sabiliu bez inegrae rovnie Inspirována disipaivním sysémem kde e. je sabilní pokud při pohybu po rajekorii se akumulovaná energie snižuje a v e. je minimální pro obenější sysémy se používají zobenělé energie zv. Lyapunovovy funke umožňuje urči i globální sabiliu Řeší i případy na mezi sabiliy PL 8

29 Přímá Lyapunovova meoda pro auonomní s. PŘEDPOKLADY Uvažme nejprve auonomní sysém f n kde funke f D R je lokálně Lipshizovské zobrazení oblasi : n DEFINICE Reálná funke V : R n R spojiá na D je na D poziivně defininí když: a poziivně semidefininí když - - a V V D {} V V D {} negaivně defininí když je am poziivně defininí negaivně semidefininí když je am poziivně semidefininí V D R 9

30 Kvadraiká forma Kvadraiká forma příklad skalární funke u keré snadno zjisíme znaménko defininosi definie P je symeriká maie T V P p forma je poziivně semidefininí v.č. maie P jsou kladná nezáporná hlavní minory P jsou kladné nezáporné negaiviu zjisíme zkoumáním n n i1 j1 V ij i j 3

31 Příklad Uvažme V a a 4 a a 1 1 T 1 3 a P 1 a 3 hlavní minory P jsou a a a a 5 31

32 Lyapunovova funke DEFINICE Reálná spojiě diferenovaelná funke Lyapunovova jesliže V : D R je je poziivně defininí na D obsahujíí počáek V její derivae podél rajekorií sysému je na D negaivně semidefininí 3

33 Derivae podél rajekorií sysému zv. Lieova derivae V podél f n n V V V fi i i1 i i1 1 n ao derivae závisí na rovniíh sysému plaí: éž směrová derivae podél vekorového pole f i f1 V V V f V f f n f f i i d V V d 33

34 Lyapunovova věa n D R V : D R je spojiě diferenovaelná funke aková že V V D {} V D Nehť je e. sysému a je oblas obsahujíí. Nehť a Pak V D {} je Lyapunovsky sabilní. Pokud naví pak je asympoiky sabilní. Slovy: Počáek je asympoiky sabilní jesliže eisuje spojiě diferenovaelná poziivně defininí funke Lyapunovova V aková že V je negaivně semidefininí defininí. 34

35 Jak nají Lyapunovu funki Lyapunova meoda poskyuje posačujíí podmínku sabiliy Pokud máme vhodnou funki ověření je snadné ale není známa žádní sysemaiká meoda jak L. funki nají. Někdy můžeme na základě fyzikální analogie nají funki energie jindy musíme posupova meodou pokusu a omylu Pro inspirai následuje pár příkladů 35

36 Globální aspeky Pokud je e. globálně asympoiky sabilní pak už sysém nemůže mí další e. sporem. Takže pro sysémy s víe různými e. nemá smysl globální asympoikou sabiliu zkouma. Např. u normálního kyvadla. Podmínka naví: radiální neohraničenos Ljap. Fe. j. Ljap. fe. rose do nekonečna ve všeh směreh 36

37 Prinip La Salle Definie. MnožinaD se nazývá invarianní směrem dopředu jesliže každá rajekorie začínajíí vd v ní navždy zůsane. Věa Prinip La Salle. Jesliže eisuje lokálně globálně definovaná radiálně neohraničená Ljapunovova funke V a jediná invarianní podmnožina množiny { dv/d =} je množina {} poom je příslušný sysém lokálně globálně asympoiky sabilní. Je zřejmé že prinip LaSalle je lépe využielný než klasiká Ljapunovská přímá meoda. 37

38 Prinip La Salle: příklad d 1 d d d V dv d d 1 1 d Nají silnou Ljapunovskou funki není snadné 38

39 Věa o eponeniální sabiliě Ljap. fe 39 V f V V V f f Věa. Sysém je eponeniálně sabilní na oblasi ehdy a jen ehdy jesliže eisují Ljapunovská fe V a kladné konsany akové že plaí m je z definie ep. sab. - překývnuí : } / { [ m r R D D n V V 1 3 d V V V 3 Důkaz: Jen ehdy viz Khalil sr. 16. Tehdy : sačí jen první dvě nerovnie z nihž plyne že: a edy: } { r R D n na ož lze použí Bellman-Gronwall Lemma BHL keré dává ep 3 V V a edy ep 3 1

40 Lineární auonomní sysém Pro lineární auonomní sysém Najdeme vždy Lyapunovovu funki ve varu kvadraiké formy T Uvažme V P P reálná symeriká maie Derivae podle rajekorie T T T T T T T V P P A P PA A P PA T A P PA Q Položíme Lyapunovova maiová rovnie a dosaneme T V Q Věa. Mají-li všehna vlasní čísla maie A záporné reálné čási poom pro každou symerikou p.d. maii Q má L.m.r. právě jedno řešení keré je p.d. Prakiky: Volíme p.d. Q a vypočeme P a určíme defininos Je-li P p.d.: asympoiká sabilia. Není-li: nesabilia Možno využí nejrůznejší sofware A 4

41 Eponeniální sabilia a PL Věa. Sysém f f je eponeniálně sabilní na oblasi n D { R r} pro někeré r> ehdy a jen ehdy jesliže jeho f přibližná linearizae A f A f je eponeniálně sabilní. Důkaz: Později na základě Věy o zanikajíí poruše. f f Věa. Sysém je eponeniálně sabilní na oblasi n D { R r} pro někeré r> jesliže jeho přibližná linearizae je eponeniálně sabilní j. má všehna vlasní č. v levé koml. polor. Důkaz: Díky negaiviě reálnýh čásí v.č. eisuje řešení Ljap. re a ím i kvadraiká Ljap. fe akže lze použí přísl. věu harakerizujíí ep. sab. přes kvadraikou Ljap. fi. 41

42 Sabilia perurbovanýh sysémů f g Uvažujme sysém n kde f g :[ D R jsou po čáseh spojié v a lokálně Lipsh. v na [ D kde D je oblas obsahujíí počáek =. nominální sysém f plus perurbae g neurčiý sysém am spadá s f je známá nominální pravá srana sysému s f= ~ f ~ g f f 4

43 g f Nehť kde poom je počáek = eponeniálně sabilním ekv. perurbovaného sysému. Naví pokud předpoklady plaí globálně pak je počáek globálně eponeniálně sab. ekvilibriem éhož sysému. Sabilia perurbovanýh sysémů 43 g V f V V V f f Věa. Nehť je nominální sysém eponeniálně sabilní j. eisují Ljapunovská fe V a kladné konsany akové že plaí D [ 4 3 Tzv. zanikajíi poruha: lokálně plaí např. vždy když g= pro každé a g je sejnoměrně lok. Lipsh. a edy nebo má sejnoměrně omezený Jakobián: g g g g g ma * * * L L g g j.

44 Sabilia perurbovanýh sysémů 44 g g f V f V V V f f Důkaz Věy o zanikajíí poruše. Nehť je nominální sysém eponeniálně sabilní j. eisují Ljapunovská fe V a kladné konsany akové že plaí Pro sysém edy plaí s využiím ] [ g V g f V V a jelikož máme dle věy o ep. sabiliě dokázano.

45 Eponeniální sabilia a PL Věa. Sysém f f je eponeniálně sabilní na oblasi n D { R r} pro někeré r> ehdy a jen ehdy jesliže jeho f přibližná linearizae A f A f je eponeniálně sabilní. Důkaz: Jen ehdy plyne y předházejíí Věy o zanikajíí poruše: A f g kde g splňuje všehny pořebné podmínky neboť g A f o g A f akže v dosaečně malém okolí ekv. vše pořebné plaí. Tehdy plyne analogikým způsobem v opačném směru!!! 45

46 Nezanikajíí poruha f f Věa. Nehť je nominální sysém eponeniálně sabilní j. eisují Ljapunovská fe V a kladné konsany akové že plaí [ D V V V 1 V f 3 4 Nehť g kde je vhodné číslo poom pro sysém f g plaí že eisuje určié konečné T> akové že b T Kromě oho : T ubývá eponeniálně. 46