Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Gradovaný řetězec úloh Téma: Komolý kužel Autor: Kubešová Naděžda Klíčové pojmy: Komolý kužel, podtavy, plášť Úloha 1 (úroveň 1) Předpokládané znaloti: vzorec pro objem rotačního komolého kužele Vědro má tvar rotačního komolého kužele o průměrech podtav d 1 = 180 mm a d 2 = 360 mm. Výška vědra je v = 340 mm. Kolik l vody zhruba pojme? d 1 = 180 mm, = 90 mm = 0,9 dm d 1 = 360 mm, = 180 mm = 1,8 dm v = 340 mm = 3,4 dm V =? Převod na dm je vhodný proto, že 1 dm 3 = 1 l. Vzorec pro výpočet objemu komolého kužele je. Po doazení dm 3. Odpověď: Vědro pojme 20,2 l vody. Úloha 2 (úroveň 2) Předpokládané znaloti: Pythagorova věta, vzorec pro objem rotačního komolého kužele, vzorec pro výpočet obahu pláště rotačního komolého kužele Rotační komolý kužel má podtavy o poloměrech = 6 cm a = 3 cm. Vypočítejte jeho objem, rovná-li e jeho plášť oučtu obahů obou podtav. = 6 cm = 3 cm S pl = S 1 +S 2 V =? 1
Obah pláště, kde je trana kužele. cm - Výšku tělea vypočteme pomocí Pythagorovy věty: v = 4 cm Vzorec pro výpočet objemu rotačního komolého kužele je. cm 3 Odpověď: Objem komolého kužele je cm 3. Poznámka: (Úroveň 3) Úlohu je možné řešit i použitím určitého integrálu. Nejprve je třeba vypočítat výšku kužele potupem uvedeným v předchozím řešení. Kužel vznikne rotací úečky AB kolem oy x v kartézké outavě ouřadnic, viz obr. Je třeba vypočítat rovnici přímky AB, jejíž čátí úečka AB je. Souřadnice bodu A jou [0;3], bodu B[4;6]. Doazením ouřadnic bodu A do rovnice přímky y = kx + q dotáváme q = 3. Po doazení ouřadnic bodu B: 6 = k.4 + 3,. Hledaná rovnice přímky je. Objem rotačního tělea lze vypočítat jako. Pro náš konkrétní příklad je dolní mez a = 0, horní mez b = 4. Takže [ ] [ ]. Odpověď: Objem komolého kužele je cm 3. Úloha 3 (úroveň 2) Předpokládané znaloti: výpočet hmotnoti z objemu a hutoty, vzorec pro objem rotačního komolého kužele Komín tvaru dutého rotačního komolého kužele má výšku 32 m, dolní průměry 3,2 m a 2 m, horní průměry 1,7 m a 1,2 m. Jaká je jeho celková hmotnot, je-li hutota zdiva ρ = 1600 kg.m -3? 2
Hmotnot komínu budeme počítat podle známého vzorce m = V. ρ. Proto je třeba nejprve vypočítat objem zdiva komínu. Tento objem budeme počítat podle vzorce pro výpočet rotačního komolého kužele. Objem zdiva určíme jako rozdíl objemu celého plného komínu a díry v něm, viz šrafovaná čát obr. v = 32 m d 1 = 3,2 m, = 1,6 m d 1 = 2 m, r 1 = 1 m d 2 = 1,7 m, = 0,85 m d 2 = 1,2 m, r 2 = 0,6 m ρ = 1600 kg.m -3 m =? V = V 1 V 2 [ ] [ ] m 3 m = V. ρ = 89,89.1600 = 143 826,3 kg = 144 t Odpověď: Hmotnot komínu je přibližně 144 t. Úloha 4 (úroveň 3) Předpokládané znaloti: Pythagorova věta, podobnot trojúhelníků, obah kruhové výeče, vzorec pro výpočet obahu pláště rotačního komolého kužele Vypočtěte obah lampového tínítka tvaru rotačního komolého kužele průměry podtav 32 cm a 12 cm a výškou 24 cm. Jaký je úhel výeče mezikruží, z něhož tínítko vzniklo? d 1 = 32 cm, = 16 cm d 2 = 12 cm, = 6 cm v = 24 cm S =? α =? Stínítko tvoří plášť komolého rotačního kužele, jehož obah e vypočte podle vzorce, kde je trana kužele. Stranu kužele vypočteme z Pythagorovy věty z pravoúhlého trojúhelníku EBC, viz obr. 3
F D r C r v A E r - r B cm cm 2 Obah výeče mezikruží vypočteme jako rozdíl obahů dvou kruhových výečí e tejným úhlem. Obah kruhové výeče určíme podle vzorce, kde α je úhel kruhové výeče. Z obr. je patrné, že poloměr větší kruhové výeče je r +, poloměr menší výeče je r. Obah výeče mezikruží, která tvoří tínítko lampy, je (1) Dotali jme jednu rovnici e dvěma neznámými r a α. Proto neznámou r vyjádříme z podobnoti trojúhelníků ABF a EBC (tyto trojúhelníky jou podobné podle věty uu o podobnoti trojúhelníků): doadíme do (1) [ ] Z této rovnice vyjádříme α: Odpověď: Obah lampového tínítka je 1797 cm 2, úhel výeče mezikruží, z něhož tínítko vzniklo, je 138 o 30. 4
Metodická poznámka: Výpočty objemů a povrchů těle jou důležitou čátí geometrie v protoru tereometrie. S výpočtem objemu, event. povrchu, e čato etkáváme v praktických úlohách úloha 1 a 3, kde je výpočet objemu využit k výpočtu hmotnoti. Opět je třeba prohlubovat protorovou předtavivot, neboť žák zpravidla muí do vzorce některou veličinu dopočítat. K tomu je třeba najít rovinný útvar, ze kterého je to možné. Použitá literatura: [1] VEJSADA, František a TALAFOUS, František. Sbírka úloh z matematiky pro gymnaia. 2. vyd. Praha: SPN, 1973, 137. ISBN 14-265-73. [2] POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: tereometrie. 1. vyd. Praha: Prometheu, 1995, 223. Učebnice pro třední školy (Prometheu). ISBN 80-719-6004-7. Obrazový materiál: Dílo autorky (použit program CorelDRAW 12) Autor: PaedDr. Naděžda Kubešová, kubeova@gop.piledu.cz 5