3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

Transkript

1 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou polohu přímky a kružnice; jak popsat kulovou plochu a kouli v prostoru; jak určit vzájemnou polohu bodu a kulové plochy, resp. bodu a koule; jakými metodami určit vzájemnou polohu přímky nebo roviny a kulové plochy. Klíčová slova této kapitoly: středová rovnice, obecná rovnice, parametrická rovnice, kružnice, kruh, kulová plocha, koule, vzájemná poloha. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,0 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Kružnice v rovině. Kružnice se středem v bodě S [ s, s ] = a poloměrem r je dána rovnicí 1 Jedná se o tzv. středovou rovnici kružnice. Obecnou rovnicí kružnice je ( ) ( ) 1 x s + y s = r. x y ax by c = 0, ovšem jen tehdy, jestliže se dá převést na středovou rovnici kružnice (s reálným poloměrem). Parametrickou rovnicí kružnice je vyjádření x= s1 + rcost, y = s1 + rsin t, kde reálný parametr t probíhá hodnoty 0 t < π. Kruh v rovině. Kruh v rovině je analyticky vyjádřen nerovnicí ( ) ( ) 1 x s + y s r nebo , x y ax by c kde význam jednotlivých veličin a komentář je obdobný jako u kružnice. Vzájemná poloha bodu a kružnice, resp. kruhu. Bod je prvkem kružnice, resp. kruhu, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici, resp. nerovnici tohoto útvaru. Vzájemná poloha přímky a kružnice. Nechť je dána kružnice ( S; ) k r a přímka p: ax+ by+ c= 0. Mohou nastat tři případy: 1. Přímka p je sečnou kružnice k d( S, p) < r;. Přímka p je tečnou kružnice k d( S, p) = r; 3. Přímka p je nesečnou kružnice k d( S, p) > r. Je zřejmé, že vzájemnou polohu přímky a kružnice vyšetříme nejjednodušeji pomocí vzdálenosti d( S, p ) středu kružnice S = [ s1, s] od přímky p. Druhou možností, jak zjistit polohu přímky a kružnice, je nalézt průnik obou útvarů jako řešení soustavy jejich rovnic.

3 Rovnice kulové plochy v prostoru. Kulová plocha v prostoru je analogií kružnice v rovině. Kulová plocha se středem v bodě S = s, s, s a poloměrem r je dána rovnicí [ ] 1 3 ( ) ( ) ( ) 1 3 x s + y s + z s = r. Jedná se o tzv. středovou rovnici kulové plochy. Obecná rovnice kulové plochy má tvar = 0, x y z ax by cz d ovšem jen tehdy, jestliže se dá převést na středovou rovnici kulové plochy (s reálným poloměrem). Koule v prostoru. Koule v prostoru je analogií kruhu v rovině. Analyticky je koule vyjádřena nerovnicí ( ) ( ) ( ) 1 3 x s + y s + z s r nebo , x y z ax by cz d kde význam jednotlivých veličin a komentář je obdobný jako u kulové plochy. Vzájemná poloha bodu a kulové plochy, resp. koule. Bod je prvkem kulové plochy, resp. koule, jestliže jeho souřadnice vyhovují rovnici, resp. nerovnici tohoto útvaru. Vzájemná poloha přímky a kulové plochy. Nechť je dána kulová plocha ( S; r) ϕ a přímka p: r = a+ tu, t R. Mohou nastat tři případy: 1. Přímka p je sečnou kulové plochy ϕ d( S, p) < r;. Přímka p je tečnou kulové plochy ϕ d( S, p) = r; 3. Přímka p je nesečnou kulové plochy ϕ d( S, p) > r. Veličina d( S, p ) představuje vzdálenost středu kulové plochy S [ s, s, s ] = od přímky p. 1 3 Vypočítat vzdálenost bodu od přímky v prostoru není sice obtížné, je ale třeba znát příslušný vzorec (viz kapitolu Analytická geometrie přímky ). Pokud ho neznáme, můžeme jako obvykle u tohoto typu úloh, použít průniku obou útvarů. Postup řešení pomocí průniku spočívá v dosazení za souřadnice x, y, z z parametrického vyjádření přímky p. do rovnice kulové plochy ϕ. Tím dostaneme kvadratickou rovnici pro reálný parametr t, která může mít, jak víme, dvě řešení (sečna), jedno řešení (tečna) nebo žádné řešení (nesečna).

4 Vzájemná poloha roviny a kulové plochy. Jedná se o velmi přesnou analogii vzájemné polohy přímky a kružnice. Nechť je dána kulová plocha ϕ ( S; r) a rovina ρ : ax + by + cz + d = 0. Mohou nastat tři případy: d S, ρ < r; 1. Rovina ρ je sečnou kulové plochy ϕ ( ). Rovina ρ je tečnou ke kulové ploše ϕ d( S, ) 3. Rovina ρ je nesečnou kulové plochy ϕ d( S, ) ρ = r ; ρ > r. as1+ bs + cs3+ d Veličina d ( S, ρ ) = představuje vzdálenost středu kružnice S=[ s 1, s, s 3] od a + b + c roviny ρ. Druhou možností, zde méně vhodnou, jak zjistit polohu roviny a kulové plochy, je nalézt průnik obou útvarů jako řešení soustavy jejich rovnic a určit vzájemnou polohu podle počtu nalezených společných bodů: bodů sečna, 1 bod tečna, 0 bodů nesečna. Shrnutí kapitoly: Kružnici v rovině popisujeme středovou nebo obecnou rovnicí. Je ovšem také možné popsat kružnici i další útvary parametrickou rovnicí. Kruh v rovině popisujeme nerovnicí, kterou dostaneme ze středové nebo obecné rovnice kružnice změnou znaménka = na znaménko. Bod je prvkem kružnice, resp. kruhu, pokud splňuje její rovnici, resp. jeho nerovnici. Přímka může být sečnou, tečnou nebo nesečnou kružnice. Nejjednodušeji o tom rozhodneme určením vzdálenosti přímky od středu kružnice nebo také výpočtem průniku obou útvarů. Kulovou plochu v prostoru popisujeme středovou nebo obecnou rovnicí. Kouli v rovině popisujeme nerovnicí, kterou dostaneme ze středové nebo obecné rovnice kulové plochy změnou znaménka = na znaménko. Bod je prvkem kulové plochy, resp. koule, pokud splňuje její rovnici, resp. nerovnici. Přímka nebo rovina může být sečnou, tečnou nebo nesečnou kulové plochy. Nejjednodušeji o tom rozhodneme určením vzdálenosti přímky či roviny od středu kulové plochy nebo také výpočtem průniku obou útvarů.

5 Otázky: Jaké znáte způsoby popisu kružnice v rovině? Formulujte středovou, obecnou a parametrickou rovnici kružnice. Jaké znáte způsoby popisu kruhu v rovině? Jaký je vztah mezi popisem kružnice a kruhu? Jakou vzájemnou polohu mohou mít bod a kružnice, resp. bod a kruh? Jak ji určíme? Jakou vzájemnou polohu mohou mít přímka a kružnice? Jak ji nejsnadněji určíme? Jaké znáte způsoby popisu kulové plochy v prostoru? Formulujte středovou a obecnou rovnici kulové plochy. Jaké znáte způsoby popisu koule v rovině? Jaký je vztah mezi popisem kulové plochy a koule? Jakou vzájemnou polohu mohou mít bod a kulová plocha, resp. bod a koule? Jak ji určíme? Jakou vzájemnou polohu mohou mít přímka nebo rovina a kulová plocha? Jakými metodami ji určíme? Příklad 1. Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kružnice: a) x y = 9 ;.b) x y 9 e) x + y + x 4y+ 1= 0. + = ; c) ( x ) ( y ) = 0;d) = 0; x y x y Příklad. Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k : a) k:( x ) ( y ) b) k: ( x 1) ( y ) c) k: ( x 1) ( y ) = 9, p: x 1 = 0 ; + + =, p: x y = 0 ; =, p: x+ y 6 = 0. Příklad 3. Rozhodněte, zda se jedná o rovnici kulové plochy: a) x + y + z + x 4z+ 1= 0; b) c) = 0 ; x y z x y z = 0. x y z x y z

6 Příklad 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a kulové plochy ϕ : = = =, ( x ) y ( z ) = = =, ( x ) y ( z ) a) p: x t, y t, z t b) p: x 4 t, y t, z 3t Příklad 5. ϕ: = 5; ϕ: = 5. Určete vzájemnou polohu roviny ρ a kulové plochy ϕ : a) ρ : x y z =, ( x ) ( y ) ( z ) z+ =, ( x ) ( y ) ( z ) b) ρ : y 1 0 c) ρ : x 1y z 3 0 ϕ: = 3; ϕ: = 0,01; =, :( x 1) ( y 1) ( z ) ϕ + + =. 9 Řešení příkladů: 1a) ne; 1b) ano, S = [0, 0], r = 3 ; 1c) ano, S = [, 1], r = ; 1d) ne; 1e) ano, S = [ 1, ], r =. a) sečna; b) tečna; c) nesečna. 3a) ano, S = [ 1, 0, ], r = ; 3b) ne; 3c) ano, 4a) sečna; 4b) tečna. 5a) tečna; 5b) sečna; 5c) tečna. 1 1 S= 1, 4,, r =. Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]

7