. FYZIKÁLNÍ ZÁKLADY ŠÍŘENÍ TEPLA. Veličiny, symboly, jednotky Teplota, teplotní rozdíl ϑ... teplota Θ... termodynamická teplota = ϑ - ϑ... teplotní rozdíl Θ = Θ - Θ... teplotní rozdíl C... stupeň Celsia K... kelvin C, K C, K Teplota i teplotní rozdíl jsou skalární veličiny. Teplotní pole je pole skalární. Vztahy mezi teplotami : Teplo C + 73.5 = K Q... teplo J... joule Teplo je forma energie. Vztahy mezi jednotkami : jednotka J Wh cal kpm erg J.778 0-4 0.39 0.0 0 7 Wh 3600 860 367. 3.6 0 0 cal 4.86.63 0-3 0.47 4.86 0 7 kpm 9.807.74 0-3.343 9.807 0 7 erg 0-7.778 0 -.389 0-8.00 0-8 Tepelná kapacita ( akumulované teplo ) Q = m c ( J ; kg, J kg - K -, K ) m... hmotnost tělesa c... měrná tepelná kapacita (měrné teplo)... teplotní rozdíl Měrná tepelná kapacita c... měrná tepelná kapacita ( J kg - K - )
Vztahy mezi jednotkami : jednotka J kg - K - kj kg - K - cal kg - K - kcal kg - K - J kg - K - 0-3 0.389 0.389 0-3 kj kg - K - 0 3 38.9 0.389 cal kg - K - 4.86 4.86 0-3 0-3 kcal kg - K - 486 4.86 0 3 Tepelný výkon Tepelný výkon je teplo za jednotku času. Je to skalár. P... tepelný výkon W... watt Hustota tepelného toku Hustota tepelného toku je tepelný výkon na jednotkovou plochu. Je to vektor - má směr daný normálou na uvažovaný plošný element da. q... hustota tepelného toku ( W m - ) q = dp / da Příklad : Kolik kcal / hod je 0 W? 0 (W) = 0 (J/s) = 0 3600 / 486 (kcal/hod) = 8.6 (kcal/hod) Příklad : Kolik cal odpovídá hodnota 5 Wh? 5 (Wh) = 5/3600 (W/s) = 5/3600 cal/4.86 = 4300 (cal) Příklad 3 : Jaký bude měrný odpor hliníku v Ω m, je-li v Ω mm /m roven hodnotě 0.03? ( 3 0-8 Ω m) Příklad 4 : Jaká bude proudová hustota v A/m, je-li v A/mm rovna hodnotě 5? Příklad 5 : Kolika kpm odpovídá hodnota 3 cal? ( 5 0 6 A/m ) (.78 kpm)
.. Vztah mezi tepelnou a mechanickou energií Pro praxi je dobré si uvědomit, jak poměrně značná mechanická práce přísluší tepelné energii o velikosti jedné kilokalorie. Dokumentovat to budou následující příklady : Příklad : Kolik cementu by bylo možné naložit na m vysoké nákladní auto pomocí energie potřebné pro ohřev litru vody o 0 C? Účinnost nakládání je η = a) 00 % b) 50 % Potřebná tepelná energie : Q = m c = 4.86 0 3 0 = 8.37 0 4 J Energie potřebná pro nakládání : W = m g h / η g... tíhové zrychlení h... výška nakládání η... účinnost nakládání Z rovnosti Q = W určíme hmotnost nákladu : a) m = Q η / ( g h ) = 8.37 0 4 / ( 9.806 ) = 4.67 0 3 kg b) m = 8.37 0 4 0.5 / ( 9.806 ) =.34 0 3 kg Z výsledků je patrné, že energie potřebná k uvaření několika šálků čaje by stačila pro naložení několika desítek centů cementu na auto nebo vagón. Příklad : Kolikrát je energeticky náročnější litr teplé vody z vodovodu než litr vody studené? Obě vody se čerpají ze stejného zdroje o teplotě ϑ = 0 C do výše h = 00 m. Voda studená se odebírá v místě spotřeby přímo, voda teplá se ohřívá v místě spotřeby na ϑ = 70 C. Účinnost čerpání čerpadlem s elektromotorem uvažujeme ve vztahu na prvotní energii η č = 0.5 ( η elektrárny = 0.3 ; η motoru s čerpadlem = 0.5 ). Ohřev uvažujeme uhlím s účinností η o = 0.5. Energie potřebná pro studenou vodu ( vztaženo na litr ): W s = m g h / η č = 9.806 00 / 0.5 = 6538 J Energie potřebná pro teplou vodu ( vztaženo na litr ): W t = m g h / η č + m c ( ϑ - ϑ ) / η o W t = 9.806 00 / 0.5 + 4.86 0 3 (70-0) / 0.5 = 6 538 + 50 30 = 508 858 J n = W t / W s = 508 858 / 6 538 = 77.8 Voda teplá je téměř 78x energeticky náročnější než voda studená.
Příklad 3 : Jaký příkon by musel mít přímotopný elektrický průtokový ohřívač, aby z vodovodního kohoutku o průměru 0 mm vytékala voda teplá ϑ = 60 C rychlostí v = m/s? Voda se ohřívá z teploty ϑ = 0 C. Účinnost ohřevu je 97 %. Kolik zářivek o příkonu 40 W by mohlo tímto příkonem svítit? ( 33.5 kw, 838 zářivek ) Příklad 4 : Kolikrát více energie potřebujeme na ohřátí 0 litrů vody o 0 C, než na zdvižení těchto 0 litrů vody do výše 0m? Účinnost ohřevu i účinnost zdvíhání uvažujte 00 %. ( 47 krát více ) Příklad 5 : O kolik C se ohřeje voda ve vodopádu vysokém 00 metrů, jestliže se celá její energie polohy změní v teplo? Z jaké výšky by musela padat voda 0 C teplá, aby se uvařila? ( 0.47 C, 4 69 m ) Příklad 6 : Do vany si napustíme 00 litrů vody teplé 37 C, která se ohřívala z 0 C. Jak vysoko bychom museli tuto vodu vynést, aby energie polohy vody se rovnala energii potřebné pro její ohřev? Účinnost ohřevu η o se rovná účinnosti zdvíhání η z. ( 57 m ) Příklad 7 : O kolik C ohřeje energie kwh 0 litrů vody při účinnosti ohřevu 90 %? Kolik lidí 80 kg těžkých se energií kwh dopraví výtahem z přízemí do pátého patra (3 m) při účinnosti výtahu 60 %? ( 38.7 C, 0 lidí ).. Oteplovací a ochlazovací děj Závislost teploty na čase ohřevu vyjadřuje oteplovací křivka : t = ( e τ ) max
[ C] τ max 63, % max t [ s ] Závislost teploty na čase ochlazování vyjadřuje ochlazovací křivka : t = e τ max [ C] max τ t [ s ] Příklad : Za jak dlouho se ohřeje voda z 0 C na 00 C, ochladí-li se při ochlazování ze 40 C na 30 C za 0 minut? Ochlazovací děj probíhá mezi teplotami 00 C a 0 C, časová konstanta oteplování je rovna časové konstantě ochlazování. Ukončený děj uvažujte za dobu tří časových konstant.
Oteplovací křivka : Ochlazovací křivka : [ C] τ [ C] max max t [ s ] t t τ t [ s ] Na ochlazovací křivce známe dva body, které musí vyhovovat její rovnici: = e max t τ bod : bod : t τ = e ( ) max t τ = e ( ) max Podělením rovnice ( ) rovnicí ( ) dostaneme rovnici o jedné neznámé : t t τ t e = max = e τ t e τ max Tuto rovnici zlogaritmujeme a vypočteme z ní neznámou : ln = t t τ kde = ϑ - ϑ 0 = 40-0 = 0 C = ϑ - ϑ 0 = 30-0 = 0 C t - t = 0 min = 600 sec t t τ = = 865.6 sec ln 3 τ = 3 865.6 = 596.9 sec
. Přenos tepla vedením Teplo se šíří třemi způsoby buď samostatnými nebo, čistěji, jejich různými kombinacemi :. vedením ( kondukcí ). prouděním ( konvekcí ) 3. zářením (radiací ) Pro přenos tepla vedením si definujeme součinitel tepelné vodivosti λ jako materiálovou konstantu charakterizující schopnost dané látky předávat teplo vedením ( tato schopnost je přímo úměrná velikosti tohoto součinitele).jednotkou součinitele tepelné vodivosti je W m - K - a jeho hodnoty pro různé materiály jsou uvedeny v tabulce : Pro vedení tepla platí vztah : P = q ds = λ gradθds S který pro homogenní teplotní vztah přejde do tvaru : S P = λ l S Řešení některých konkrétních případů vedení tepla si ukážeme v následujících příkladech. Příklad - Rovinná stěna : Určete tepelný výkon procházející stěnou o tloušťce l = 50 mm a ploše S = m. Teplota na vnějším povrchu stěny je ϑ = 00 C, na vnitřním povrchu ϑ = 90 C. Stěna je : a) ocelová, λ = 40 W. m -. K - b) betonová, λ =, W. m -. K - c) diatomitová, λ = 0, W. m -. K - S P = λ ( W ; W.m -.K -, m, m, K ) l a) P = 40.. ( 00-90 ) = 8 000 W 0,05 b) P =,.. ( 00-90 ) = 0 W 0,05 c) P = 0,.. ( 00-90 ) = W 0,05
Příklad - Složená rovinná stěna : Určete tepelný tok přes stěnu kotle. Stěna je pokryta vrstvou sazí tloušťky l = mm, λ =0,08 W.m -.K - a ze strany vody je kotelní kámen tloušťky l 3 = mm, λ 3 =0,8 W.m -.K -. Stěna kotle má tloušťku l = mm, λ =50 W.m -.K -. Teplota stěny na straně vody je ϑ 4 =06 C, na straně ohřevu ϑ =685 C. Určete hustotu tepelného toku q, teploty na rozhraní vrstev, střední teploty vrstev. Stěna kotle má plochu S=0 m. Hustota tepelného toku : ϑ ϑ q = 4 l l l + + 3 λ λ λ 3 = 685 06 0,00 0,0 + + 0,08 50 0,00 0,8 = 3 430 W. m - Teploty na rozhraní : saze - kotel vodní kámen - kotel ϑ = ϑ - q. ϑ 3 = ϑ 4 + q. Střední teploty vrstev : l λ = 685-3 430. 0,00 = 9, C 0, 08 l 3 λ = 06 + 3 430. 0,00 = 84,58 C 0, 8 3 saze stěna kotle kotelní kámen ϑ + ϑ 685 + 9, ϑ S = = = 488,56 C ϑ + ϑ3 9, + 84,58 ϑ SK = = = 88,35 C ϑ3 + ϑ4 84,58 + 06 ϑ KK = = = 45,9 C Tepelný tok : P = q. S = 3 430. 0 = 3,43. 0 5 W Příklad 3 - Složená rovinná stěna, λ závislé na teplotě : Určete ztráty tepla dvouvrstvou stěnou ohřívací pece. Základní šamotová vrstva o tloušťce l S = 30 mm, λ S0 = 0,97 W.m -.K -, ξ S = 0,00058 je izolována pórovitým šamotem o tloušťce l iz = 5 mm, λ izo = 0,3 W.m -.K -, ξ iz = 0,000. Na vnitřní straně zdiva je teplota ϑ = 930 C, na vnější straně izolace je teplota ϑ 3 = 70 C. Platí λ = λ o + ξ ϑ stř, kde ϑ stř je střední teplota vrstvy.
) Odhadneme teplotu na rozhraní vrstev - např. ϑ 0 = 500 C ) Vypočteme střední teplotu vrstev : šamot : ϑ + ϑ 0 930 + 500 ϑ = 75 si = C izolace : ϑ + ϑ 3 500 + 70 ϑ = 85 izi = C 3) Vypočteme tepelnou vodivost při dané střední teplotě vrstvy : šamot : λ si = λ S0 + ξ S ϑ si = 0,97 + 0,00058 75 =,386 W.m -.K - izolace : λ izi = λ iz0 + ξ iz ϑ izi = 0,3 + 0,000 85 = 0,87 W.m -.K - 4) Vypočteme hustotu tepelného toku : l q = i i= λ i 930 70 = 0,3 0,5 +,386 0,87 = 57,7 W m - 5) Vypočteme teplotu na rozhraní : ϑ I = ϑ - q. l S λ = 930-57,7. 0,3, 386 S = 678 C Jelikož se vypočtená teplota na rozhraní ϑ I = 678 C liší podstatně od teploty odhadnuté ϑ 0 = 500 C, zopakujeme postup, 5, se vstupní teplotou na rozhraní vrstev ϑ I =678 C. Jednotlivé hodnoty zapíšeme do tabulky. Veličina J J S J iz l S l iz q J Krok C C C W.m -.K - W.m -.K - W.m - C I 500 75 85,386 0,87 57,7 678 II 678 804 374,437 0,305 60, 673 III 673 80,5 37,5,436 0,304 597, 674 Příklad 4 - Válcová stěna Určete hustotu tepelného toku q ( W m - ) stěnou žáruvzdorné ocelové trubky o rozměrech d = 3 mm, d = 4 mm. Součinitel tepelné vodivosti materiálu, z něhož je trubka vyrobena λ = 4 W.m -.K -. Teplota vnější stěny trubky ϑ = 580 C, teplota vnitřní stěny trubky ϑ = 450 C.
Pro složenou válcovou stěnu platí pro přestup tepla vedením vztah : q = n i= π d ln λ d i i+ i ( W.m - ; K, W.m -.K -, m ) Pro jednovrstvou stěnu a hodnoty našeho zadání : ( 580 450) π q = = 405 4 ln 4 3 W.m -.3 Přenos tepla prouděním Zavedeme si součinitel přestupu tepla α s jednotkou W m - K -, který určuje, jak velký tepelný tok ( výkon ) protéká jednotkovou plochou při teplotním rozdílu C. Přestup tepla tímto způsobem se uplatňuje při přestupu z nějaké pevné plochy do okolního prostředí nebo naopak ( obvykle v kombinaci se sáláním ). Šíření tepla prouděním patří k nejobtížnějším výpočtovým problémům v tepelné technice. Zabývá se jím mnoho odborné literatury. V důležitých případech je nejlépe, určímeli si součinitel přestupu tepla α sami měřením na modelu co nejvíce odpovídajícím našemu případu při použití uvedených vztahů v nichž se α vyskytuje. Při přestupu tepla prouděním platí Newtonův zákon : P = α S ( W ; W m - K -, m, K ) Příklad - Šíření tepla čistým prouděním : Určete tepelné ztráty svislou stěnou o ploše S = m. Teplota stěny ϑ = 60 C, teplota okolí ϑ = 0 C. a) přirozenou konvekcí α = 4 ( ) 0,3, v 0 = 0 m s - b) ofukováním α = 5,8 + 3,95 v 0, v 0 = 5 m s - v 0 je rychlost proudění média u stěny
a) P = α S = 4 ( ) 0,3 S = = 4 ( 60-0 ) 0,3 ( 60-0 ) = 33,6 W b) P = α S = (5,8 + 3,95 v 0 ) S = = ( 5,8 + 3,95 5 ) ( 60-0 ) = 77,5 W Příklad : Určete graficky průběh teploty ve stěně místnosti. Vnitřní teplota je ϑ = 0 C, venkovní teplota ϑ 5 = -0 C. Vnitřní zeď je cihlová tloušťky s = 0,36 m, součinitel tepelné vodivosti λ = 0,464 W m - K -, dále je vrstva betonu tloušťky s = 0,3 m, součinitel tepelné vodivosti λ =,0 W m - K -. Součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu je α = 7,4 W m - K -, součinitel přestupu tepla venkovního povrchu je α = 5,8 W m - K -. ) Nakreslíme si v měřítku řez složenou stěnou, kterou prostupuje tepelný tok. ) Na svislé ose si vyznačíme vnitřní a venkovní teplotu. 3) Na úrovni vnitřní teploty si vpravo od stěny zvolíme pól P. 4) Vypočítáme si jednotkové tepelné odpory příslušné danému způsobu šíření tepla a daným parametrům. 5) Na svislou polopřímku v libovolném bodě mezi pólem P a složenou stěnou budeme od úrovně vnitřní teploty směrem k úrovni venkovní teploty postupně v měřítku nanášet jednotkové tepelné odpory : - proudění na vnitřní straně složené stěny - vedení vrstvou cihel - vedení vrstvou betonu - proudění na venkovní straně složené stěny 6) Spojíme pól P s konci takto vynesených tepelných odporů. 7) V místě, kde nám spojnice pólu s koncovým bodem posledního tepelného odporu protne úroveň venkovní teploty, zkonstruujeme polopřímku svislým směrem. 8) Průsečíky spojnic pólu s koncovými body jednotkových tepelných odporů s takto zkonstruovanou polopřímkou nám udávají teploty na rozhraní jednotlivých vrstev : - na vnitřní straně složené stěny - na rozhraní dvou vrstev složené stěny - na vnější straně složené stěny 9) Vyneseme tyto teploty do patřičných míst složené stěny. 0) Spojením těchto teplot dostaneme požadované grafické znázornění průběhu teplot.
Výpočet jednotkových tepelných odporů : - proudění u vnitřního povrchu složené stěny R = = = 0,0575 W - K q α 7,4 - vedení tepla cihlovou vrstvou s 0,36 R = = = 0,776 W - K q λ 0,464 - vedení tepla betonovou stěnou s 0,3 R = = = 0,8 W - K q3 λ,0 - proudění u vnějšího povrchu složené stěny R = = = 0,7 W - K q4 α 5,8 Grafická konstrukce : 5 0 5 ϑ ϑ α λ λ α Rq P 0 5 Rq 0-5 -0-5 ϑ3 ϑ4 Rq3-0 -5 ϑ5 s s Rq4
.4 Přenos tepla sáláním Každé těleso, jehož teplota je vyšší než 0 K, vyzařuje svým povrchem tepelnou energii. Je to elektromagnetické vlnění, které se řídí zákony geometrické optiky. Zákony, jimiž se řídí šíření tepla sáláním : a) Zákon Stefan-Boltzmannův : P č = σ č Θ 4 ( W m - ; W m - (K/00) -4, K ) Stefan-Boltzmannova konstanta σ č = 5,6697 W m - (K/00) -4 b) Zákon Planckův : M λč = f ( Θ, λ ) = c = 3,73 0-6 W m c =,438 0 - m K c) Zákon Wienův : λ m = 89 Θ c c λ 5 eλ Θ ( µm ; K ) ( W m -4 ; m, K ) d) Tepelný výkon předávaný si dvěma rovnoběžnými, stejně velkými plochami. Každá s plochou A, z nichž jedna má teplotu Θ a emisivitu ε a druhá teplotu Θ a emisivitu ε : P = A σ Θ 4 č + 00 ε ε Θ 4 00 ( W ) e) Dvě plochy, z nichž A zcela prostorově obklopuje menší A : P = ε + A A A σ č ( ε 4 Θ 00 ) 4 Θ 00 ( W )
Příklad : Určete P č, λ m, M λmč absolutně černého tělesa o ploše S = 300 cm a teplotě ϑ = 00 C Tepelný tok ( výkon ) : P č = σ č Θ 4 S = 00 + 73.5 4 5.6697 300.0 = 8000 W 00 Vlnová délka, na níž je maximum spektrální hustoty intenzity vyzařování : λ m = 89 / Θ = 89 / ( 00 + 73.5 ) =.96 µm 4 Spektrální hustota intenzity vyzařování na vlnové délce.96 µm : M λmč = c c 5 λ m e m Θ λ 3.73 0 6 =.438 0.0.96 0 6 5 e.96 0 6 473.5 = 8.9 0 0 W m -3 Příklad : Určete tepelný výkon sálající z tělesa o ploše A = cm, teplotě ϑ = 000 C, emisivitě ε = 0.9 na těleso o ploše A = 0 cm, teplotě ϑ = 0 C, emisivitě ε = 0.9. Druhé těleso zcela prostorově obklopuje první. P = + ε A A A σ č ( ε 4 4 Θ Θ 00 00 ) 4 4 0 4 5.67 73 73 P = = 3.5 00 00 + 0.9 0 0.9 W