9.. Další vlastnosti kombinačních čísel Předpoklady: 97, 98 Kombinační čísla udávají počet kombinací bez opakování = neuspořádaných k-tic sestavených z n prvků bez opakování. n! Platí: = - počet možností jak vybrat z n prvků k bez ohledu na pořadí (jde jen k k! ( n k )! o to, které prvky jsme vybrali a nezáleží na tom, v jakém pořadí jsme výběr provedli) Př. : Urči dosazením hodnoty kombinačních čísel:,,. Své výsledky n kombinatoricky zdůvodni. n! n! = = =! ( n )!! n! Kolika způsoby můžeme z n prvků vybrat žádný? Jedním, nevybereme nic. ( ) ( n ) n! n n! = = = n! ( n )!!! Kolika způsoby můžeme z n prvků vybrat jeden? Kterýkoliv n prvků si můžeme nechat n možností n! n! = = = n n! ( n n)! n!! Kolika způsoby můžeme z n prvků vybrat všech n? Jedním, vybereme všechny. n Další pravidlo už známe. n n Platí: = k n k. Kombinatorické zdůvodnění je snadné: Když vybíráme k prvků do kombinace zbude v množině n k prvků, které tvoří také kombinaci, ale n k -člennou k-prvkových kombinací z n prvků bez opakování je stejně jako n k prvkových (vznikají společně). Poslední kombinatorické pravidlo je nejsložitější: Pro všechna celá nezáporná čísla n, k, k < n, platí: n n + + = k k + k +.
Důkaz předchozí věty je snadný například na tomto konkrétním příkladě: B7 má n = 9 studentů a n + -ního matikáře Krynického. Kolika způsoby je možné z množiny B7+Krynický vybrat k + = lidí? Vytváříme kombinace desetičlenné kombinace bez opakování z prvků celkem n + = k + možností Vytvořené kombinace můžeme rozdělit do dvou skupin: 9 kombinace bez Krynického: je jich n = (vybíráme lidí ze 9 studentů k + B7) 9 kombinace bez Krynického: je jich = (vybíráme 9 lidí ze 9 studentů 9 k B7 a přidáváme k nim Krynického) 9 9 Vypsané dvě skupiny tvoří dohromady všech kombinace platí: = + a tedy 9 n n + + = k k + k +. Př. : (BONUS) Dokaž vztah čísla. n n + + = k k + k + dosazením do definice kombinačního n n! n! + = + = k k + k! n k! k +! n k +! ( ) ( ) ( [ ]) n! n! = + = k! n k n k! k + k! n k! ( )( ) ( ) ( ) n! n! k + + n k = + = = k! ( n k )! n k k + k! ( n k )! ( n k )( k + ) n! k! ( n k )! n + ( n k )( k + ) ( n + ) n! ( k + ) k! ( n k )( n k )! ( n + )! n + ( k + )! ( n k )! k = = = = = + Všechny předchozí vzorce se používají při úpravách výrazů, které obsahují kombinační čísla: Př. : Vyjádři jedním kombinačním číslem: a) + 9
b) + 9 6 7 8 9 c) + + + + a) + 9 použijeme vzorec n n + + = : k k + k + + = 9 b) + 9 n n + na vzorec: + = nemáme správná kombinační čísla, místo k k + k + potřebovali, naštěstí platí vztah n n = a tedy = k n k 6 + = + = 9 9 bychom 6 7 8 9 c) + + + + n n + na vzorec: + = nemáme na začátku výrazu správná kombinační čísla, místo k k + k + 6 bychom potřebovali 6, naštěstí platí vztah 6 = a tedy = = n 6 6 7 8 9 6 6 7 8 9 + + + + = 6 + + + + = 7 7 8 9 8 8 9 9 9 = + + + = + + = + = 6 6 6 6 Díky vzorcům, které pro kombinační čísla platí, můžeme sestavovat zajímavé obrazce
Př. : Opiš následující obrazec a vedle něj ho zapiš ještě jednou s tím, že místo kombinačních čísel zapíšeš jejich hodnoty. Př. : Dopiš do pravého trojúhelníku s hodnotami kombinačních čísel další řádku. Svůj výsledek zkontroluj dopsáním další řádky do trojúhelníku s kombinačními čísly. 6 Obrazci, který jsme sestavovali se říká Pascalův trojúhleník (podle známého fyzika a matematika B. Pascala). Protože je celý sestavený z kombinačních čísel, dají se na něm demonstrovat vztahy, které pro ně platí.
Př. 6: Demonstruj na Pascalově trojúhelníku platnost vztahů pro kombinační čísla: n n a) n n + = b) + = k n k k k + k + n n a) = Pascalův trojúhelník je souměrný podle svislé osy (kombinační čísla k n k stejné nečerné barvy mají stejnou hodnotu) 6 n n + b) + = kombinační čísla, která nejsou na bočních stranách trojúhelníka k k + k + získáme jako součet kombinačních čísel nad nimi + + + 6 + Vzorce, které jsme probrali v první části hodiny, se mohou hodit při řešení některých rovnic nebo nerovnic. Pedagogická poznámka: Rovnice s kombinačními čísly jsou zařazeny až na konec hodiny, protože nejsou důležité z hlediska další probírané látky a tak není nutné, aby je stihli vypočítat všichni.
Př. 7: x x x + Vyřeš rovnici + = 7. 6 7 Problém: Při řešení předchozích rovnic s kombinačními čísli jsme kombinační čísla rozepisovali do tvaru, který umožňoval řešení klasickými metodami při použití v tomto případě hrozí velké mocniny x. zkusíme dostat rovnici do tvaru ( ) = ( ) : x x x + + = 7 6 7 x + x + = 7 přepíšeme kombinační čísla na faktoriály 6 7 ( x + )! ( x + )! = 7 6! x + 6! 7! x + 7! ( ) ( ) = ( x ) ( ) ( )( ) ( x ) x +! x + x +! 7 6!! 7 6!! = x + x = 9 Př. 8: Napiš sedmý řádek Pascalova trojúhelníka. Sedmý řádek je sestavený z kombinačních čísel, která mají nahoře šestku 6 6 6 6 6 6 6 6 po dosazení: 6 6 Př. 9: Vyřeš rovnici x x x + + =. x x Stejný postup jako v předchozím příkladu: x x x + + = x x x + x + =, použijeme vzorec n n x + x + = = x k n k x x + x + = tato rovnost platí vždy pokud je kombinační číslo definováno x x K = x N; x { } 6
Př. : Petáková: strana /cvičení b) c) d) f) strana /cvičení a) b) c) d) strana /cvičení a) b) Shrnutí: Vlastnosti kombinačních čísel je možné snadno odvodit z Pascalova trojúhelníka. 7