Funkce kotangens

Transkript

1 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tg α = b = přilehlá, b přilehlá cotg α = a = protilehlá. Definici kotangens všechna R nemůže vycházet z pravoúhlého trojúhelníku. cos Máme definovány funkce sin a cos pro všechna R a vzorec cotg = sin použijeme jej jako definiční vztah: cos Funkcí kotangens se nazývá funkce daná vztahem cotg =. Tuto funkci sin značíme cotg. Poznámka: Většina světa používá pro funkci kotangens označení cot. Př. : Urči definiční obor funkce y = cotg. cos Vyjdeme z definičního vztahu cotg =. Ve vztahu se dělí nesmíme dělit nulou, sin další problémové operace se v ní nevyskytují, obě funkce sin i cos jsou definovány pro všechna R. Kdy je sin = 0? Hodnota funkce y = sin je dána jako y-ová souřadnice bodu na jednotkové kružnici.

2 sin() - S cos() cos() T sin() R - Z obrázku je vidět, bod T bude mít nulovou y-vou souřadnici, pokud bude ležet na ose. T - S T R - V intervalu 0;π ) jde o čísla = 0 a = π. Pokud zohledníme, že funkce y = sin je periodická s nejmenší periodou π. Jde o dvě množiny čísel: { 0 + k π } a { π + k π }. 0 Stejně jako v předchozí kapitole jsou jednotlivá vyřazená čísla rovnoměrně rozmístěna po ose a jsou od sebe vzdálena o násobky π. Všechna vyřazená čísla bychom získali tak, že bychom se z bodu 0 posouvali o násobky π. { 0 + k π } + { π + k π } = { kπ}. Funkce kotangens je definována pro všechna čísla R { kπ}

3 Př. : Nakresli do jednoho obrázku grafy funkcí y = sin a y = cos. Pomocí nakreslených grafu odhadni tvar grafu funkce y = cotg. - V bodech, ve kterých graf funkce y = sin protíná osu, nebude mít funkce y = cotg žádnou hodnotu (nulou nelze dělit). - cos Funkce y = cotg je definována jako y = cotg = podíl dvou funkcí. Modrou křivku sin budeme v grafu dělit zelenou. π V bodě = je hodnota funkce y = cotg rovna 0 0 =. V intervalu 0; dělíme hodnoty cos, nejdříve velmi malými čísly, poté čísly, která se zvětšují k jedničce. Pro blížící se 0 budeme dělit velmi malými čísly. Pro

4 blížící se k 0 se hodnoty budou blížit nekonečnu, pro blížící se k π se hodnoty budou blížit k nule. - Zkoumáme interval ; π. Dělíme hodnoty cos (záporná čísla), nejdříve čísly blízkými, poté čísly, která se zmenšují. Pro blížící se π budeme dělit velmi malými kladnými čísly. Získané hodnoty budou vždy menší než hodnoty sin (jsou to záporná čísla, jejich absolutní hodnota naopak poroste), pro menší čísla se budou lišit více. Pro blížící se k π se hodnoty budou blížit mínus nekonečnu. - V intervalu π; π nejdříve dělíme hodnoty cos blížící se - zápornými čísly, která se zmenšují od nuly k. Hodnoty podílu se na začátku intervalu blíží k 4

5 nekonečnu, pak se postupně zmenšují, až se dostanou k nule. Průběh funkce je podobný jako v intervalu 0;. - π V intervalu ; π dělíme kladnou hodnotu cos záporným číslem sin, výsledek tedy bude záporný. Hodnoty cos se zvětšují od 0 k. Hodnota sin se zvětšuje od k nule. Hodnota podílu se na začátku intervalu blíží k nule, pak postupně klesá k mínus nekonečnu. Průběh funkce je podobný jako v intervalu ; π. - Hodnoty v dalších intervalech můžeme zkopírovat z již nakreslené části grafu, protože funkce y = sin a y = cos jsou periodické s nejmenší periodou π a výsledek jejich dělení se musí opakovat se stejnou periodou. 5

6 - Př. : V tabulce hodnot goniometrických funkcí doplň hodnoty pro kotangens. Úhel [ ] π π π π Úhel [rad] π 4 π 5 6 π π sin ( ) 0 cos ( ) tg( ) cotg ( ) 0 - Úhel [ ] Úhel [rad] π 6 π 5 4 π 4 π π 5 π 7 4 π 6 π π sin ( ) 0 cos ( ) - tg( ) 0 cotg ( )

7 Př. 4: Zakresli hodnoty spočtené v tabulce do odhadnutého grafu funkce y = cotg a ověř tak správnost odhadu. - Tabulkové hodnoty potvrzují odhadnutý tvar grafu. Př. 5: Z grafu funkce y = cotg urči její vlastnosti. D ( f ) = R { 0 + kπ} Periodická s nejmenší periodou π. H ( f ) R Lichá. = Není omezená nemá maimum ani minimum. Klesající v intervalu ( 0;π ), dále pak v intervalu ( π; ) ( 0 + kπ ; π + kπ ). Kladné hodnoty v intervalech 0 + k π; + k π. Záporné hodnoty v intervalech + k π ; π + k π. Př. 6: Dokaž pomocí její definice, že funkce y = cotg je lichá. Potřebujeme cotg ( ) cotg ( ) cos( ) cotg ( ) = sin ( ) =. Použijeme vlastnosti goniometrických funkcí: sin = sin, sinus je lichý: ( ) ( ) cosinus je sudý: cos ( ) cos ( ) =. π,, tedy ve všech intervalech 7

8 ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos cotg ( ) = = = cotg sin sin ( ) Př. 7: Najdi zobrazení hodnot funkce y = cotg v jednotkové kružnici. cos Definice: cotg =. sin Upravíme výraz tak, abychom mohli použít poměr stran u podobných trojúhelníků: cotg cos =. sin Zelený trojúhelník už známe, červený trojúhelník musí být podobný zelenému a jeho kratší 0; sestrojíme (svislá) odvěsna musí mít délku trojúhelník získáme, když v bodě [ ] vodorovnou přímku a necháme ji protnout s koncovým ramenem úhlu. Vodorovná odvěsna má délku cotg. cotg() sin() - S cos() T R - 8

9 Př. 8: Pomocí znázornění funkce y = cotg na jednotkové kružnici zdůvodni, proč je v intervalu 0; funkce cotg y = klesající. cotg() T - S R - Z obrázku je zřejmé, že při zvětšování úhlu se zmenšuje hodnota cotg. V tomto okamžiku můžeme s klidem prohlásit naše grafy za správné. Graf funkce vypadá takto: y = cotg

10 Správnost grafu můžeme ověřit i pomocí počítačového programu: Nakresleny jsou grafy funkcí y = cotg, y = sin, y = cos Nebo dynamickým modelem jednotkové kružnice. Př. 9: Vytvoř tabulku se dvěma sloupci, ve které porovnáš vlastnosti funkcí y = tg a y = cotg. y = tg y = cotg π D ( f ) = R + kπ periodická s nejmenší periodou π H f R D ( f ) = R { 0 + kπ } periodická s nejmenší periodou π H f = R ( ) = ( ) není omezená není omezená 0

11 nemá maimum ani minimum lichá π π rostoucí v intervalu + kπ; + kπ nemá maimum ani minimum lichá klesající v intervalu ( 0 + kπ ; π + kπ ) Př. 0: Petáková: strana 4/cvičení 8 g, g 5, g 7 cos Shrnutí: Funkce kotangens je definována jako podíl y = cotg =. Má nejmenší sin periodu π a definiční obor D ( f ) = R { 0 + kπ}.