Proceedings of International Scientific Conference of FME Session 4: Automation Control and Applied Informatics Paper 45 Robustnost regulátorů PI a PID VÍTEČKOVÁ, Miluše Doc. Ing., CSc., katedra ATŘ, FS VŠB-Technická univerzita Ostrava,7. listopadu 5, 708 33 Ostrava-Poruba, e-mail: miluse.viteckova@vsb.cz, Abstrakt: Příspěvek je věnován ověření robustnosti analogových regulátorů PI a PID seřízených metodou inverze dynamiky pro regulované soustavy proporcionální aperiodické s dopravním zpožděním. Jsou sledována tři různá kritéria kvality regulačního pochodu při změnách parametrů regulované soustavy až o ± 50%. Je ukázáno, že oba typy regulátorů PI a PID seřízených metodou inverze dynamiky vykazují dostatečně vysokou robustnost. Klíčová slova: robustnost, metoda inverze dynamiky, dopravní zpoždění Úvod Syntéza regulačních obvodů s dopravním zpožděním patří mezi náročné problémy aplikované teorie automatického řízení. Jedním z přístupů, který efektivně řeší problém regulace soustav i s dominantním dopravním zpožděním, je metoda inverze dynamiky (Vítečková 998, Vítečková 999). Příspěvek je věnován ověření robustnosti standardních lineárních regulátorů PI a PID seřízených metodou inverze dynamiky pro regulované soustavy s dopravním zpožděním. 2 Metoda inverze dynamiky Pro ověření robustnosti PI a PID regulátorů seřízených metodou inverze dynamiky byly vybrány dvě regulované soustavy proporcionální aperiodické s dopravním zpožděním. V tab. jsou uvedeny přenosy regulovaných soustav G S a odpovídajících doporučených regulátorů G R, kde k je zesílení regulované soustavy, T i setrvačné časové konstanty, T di dopravní zpoždění, i řád regulované soustavy (i =, 2), k P zesílení regulátoru, T I integrační časová konstanta, T D derivační časová konstanta. Tab. Type G R (s) (s) PI 2 PID k P k P + TI s + + TDs TI s G S k T d e T s + ( T s + ) 2 s k T d 2 2 Vztahy pro výpočet stavitelných parametrů regulátorů metodou inverze dynamiky jsou (Vítečková 998, Vítečková 999): * PI regulátor: * koti kp = k, * T I = T () e s
PID regulátor: * I * kot kp = k, * T I = 2T2, * D * 0,25TI T =. (2) V uvedených vztazích je k o zesílení otevřeného regulačního obvodu, které zajistí požadovaný relativní překmit κ přechodové charakteristiky uzavřeného regulačního obvodu při skokové změně polohy žádané veličiny nebo poruchové veličiny působící na výstupu regulované soustavy. Toto zesílení je dáno vztahem k o =, (3) βt di ve kterém koeficient β je dán tab. 2. Tab. 2. κ 0 0,05 0,0 0,5 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 β 2,78,944,720,56,437,337,248,72,04,045 0,992 3 Ověření robustnosti Pro ověření robustnosti regulačního obvodu byla použita dvě integrální kritéria: absolutní regulační plocha t max I = e( t) dt 0 a ITAE t max I 2 = t e( t) dt, 0 (4) (5) kde e je regulační odchylka, t max doba ustálení, pro kterou platí e ( t max ) 0. (6) Rovněž jako kritérium byl použit výchozí požadavek na požadovaný relativní překmit κ. Pro vlastní ověření robustnosti regulačního obvodu byly zvoleny dvě konkrétní regulované soustavy s dominantním dopravním zpožděním s nominálními přenosy (viz tab. ) G a G S S 0s ( s) = e, Tˆ = s, Tˆ s s + d = 0 (7) 0s ( s) = e, T 2 ˆ2 = s, Tˆ d 2 = 0s. (8) ( s + ) kde znak označuje nominální hodnotu. Byly uvažovány změny nominálních hodnot parametrů pochody s κ = 0 a κ = 0,, tj. Tˆ i a di Tˆ o ± 50% pro regulační
Ti = γtˆ i ; γ = 0,5; 0,75; ;,25;, 5 ; (9) Tdi = δtˆ di ; δ = 0,5; 0,75; ;,25;, 5. (0) Ověřování vlivu změn parametrů T i a T di na integrální kritéria (4), (5) a překmit bylo provedeno pomocí simulačního programu SIPRO (Farana 996). Jako nezávisle proměnná byla zvolena δ, protože její změny měly na sledovaná kritéria zásadní vliv. PI regulátor a) Požadovaný relativní překmit κ = 0 (obr. ) Doba ustálení t max = 300 s. Obr. a, c ukazují, že pro hodnoty δ, γ hodnota integrálního kritéria (4) je přibližně konstantní a překmit nulový. Z obr. b vyplývá, že při seřízení regulátoru typu PI na mezní aperiodický pochod ( κ = 0 ) je současně přibližně minimalizováno integrální kritérium ITAE. abs. r. pl. 34 32 30 28 gama = 0,5 gama = 0,75,25,5 26 24 22 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,2,3,4,5,6 Obr. a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PI a kapa = 0 700 ITAE 650 600 550 500 450 gama=0.5 gama =.25.5 400 350 300 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,,2,3,4,5,6 Obr. b. ITAE s regulátorem PI a kapa = 0
h,4,2,,08,06,04 gama = 0,5 gama = 0,75,25,5,02 0,98 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. c. Maximální hodnota přechodové charakteristiky s PI regulátorem a kapa = 0 b) Požadovaný relativní překmit κ = 0, (obr. 2) Doba ustálení t max = 300 s. Obr. 2a ukazuje, že hodnota integrálního kritéria (4) pro δ, γ 0, 5 přibližně kvadraticky roste. Na obr. 2b kritérium ITAE nabývá pro 0,5 γ, 5 v rozmezí 0,7 δ 0, 8 minima. Lze proto usuzovat, že při požadovaném relativním překmitu κ = 0, lze současně přibližně minimalizovat hodnotu kritéria ITAE, pokud pro určení zesílení regulátoru k P bude uvažována zvýšená hodnota dopravního zpoždění v rozmezí (,25,43) Td. Z průběhů na obr. 2c vyplývá, že pro δ < 0, 7 regulační pochod je prakticky aperiodický bez překmitu. abs. r. pl. 45 40 35 30 gama = 0,5 gama = 0,75,25 gama =,5 25 20 5 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 2a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PI a kapa = 0,
ITAE 600 400 200 000 800 600 gama = 0,5 gama.25,5 400 200 0 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 2b. ITAE s regulátorem PI a kapa = 0, h,5,4,3,2.25.5, 0,9 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 2c. Maximální hodnota přechodové chatakteristiky s PI regulátorem a kapa = 0, PID regulátor a) Požadovaný relativní překmit κ = 0 (obr. 3) Doba ustálení t max = 300 s. Z obr. 3 a 3c vyplývají podobné závěry jako v případě PI regulátoru při relativním překmitu κ = 0. Pouze minimum hodnoty kritéria ITAE je více závislé na obou hodnotách δ i γ.
abs. r. pl. 35 34 33 32 3 30 29 gama =.25.5 28 27 26 25 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 3a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PID a kapa = 0 ITAE 800 750 700 650 600 550.25.5 500 450 400 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 3b. ITAE s regulátorem PID a kapa = 0 h,2,,08,06,04 gama=0,5 gama=0,75 gama= gama=,25 gama=,5,02 0,98 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 3c. Maximální hodnota přechodové charakteristiky s PID regulátorem a kapa = 0
b) Požadovaný relativní překmit κ = 0, (obr. 4) Doba ustálení t max = 300 s. Rovněž i v tomto případě z obr. 4 lze učinit podobné závěry jako v případě PI regulátoru při κ = 0,. Z obr. 4b vyplývá, že minimum hodnoty kritéria ITAE vystupuje pro 0,5 γ, 5 přibližně v rozmezí 0,6 δ 0, 7, tj. pokud je žádoucí minimalizovat kritérium ITAE, je vhodné pro výpočet zesílení regulátoru k P použít zvýšenou hodnotu dopravního zpoždění v rozmezí (,43,67) Td 2. abs. r. pl. 45 40 35 30.25.5 25 20 5 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 4a. Absolutní regulační plocha s regulátorem PID a s kapa = 0, ITAE 800 600 400 200 000 800.25.5 600 400 200 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 4b. ITAE s regulátorem PID a kapa = 0,
h,5,4,3,2,.25.5 0,9 4 Závěr 0,4 0,6 0,8,2,4,6 Obr. 4c. Maximální hodnota přechodové charakteristiky s PID regulátorem a kapa = 0, Jako nejnepříznivější se ukázala současná změna časové konstanty i dopravního zpoždění o +50%, což se předpokládalo. Všechny průběhy na obr. 4 ukazují, že seřízení analogových regulátorů typu PI a PID metodou inverze dynamiky zajišťuje poměrně dostatečnou robustnost regulačních obvodů. Je to velmi důležité především z praktického hlediska. Proto lze očekávat, že seřizování regulačních obvodů metodou inverze dynamiky najde své uplatnění v technické praxi. Příspěvek vznikl za podpory projektů MSM 27230002 a GAČR 02/00/086. Literatura FARANA, R.: Univerzální simulační program SIPRO 3.4. Uživatelská příručka FS VŠB-TU Ostrava, 996. VÍTEČKOVÁ, M.: Seřízení regulátorů metodou inverze dynamiky. Skripta FS VŠB-TU Ostrava, 998. VÍTEČKOVÁ, M.: Seřízení číslicových i analogových regulátorů pro regulované soustavy s dopravním zpožděním. Automatizace r. 42, č. 2, únor 999, str. 06-.