Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem, býti studentem určitého ročníku, mít stejný datum narození a samozřejmě i vysloveně matematicky formulované vztahy jako býti větší než, býti podmnožinou, býti dělitelem atd. Přejděme k definici pojmu binární relace. Definice. Za binární relaci mezi množinami A a B budeme považovat každou podmnožinu kartézského součinu množin A B. Binární relací na množině A budeme rozumět každou podmnožinu kartézského součinu množin A A. Relace mezi množinami A a B může být i prázdná podmnožina nebo množina A B. Skutečnost, že dva prvky a, b jsou v relaci R A B, tj. (a, b) R budem obvykle vyjadřovat zápisem a R b. V dalším budeme místo slovo binární vynechávat a místo binární relace budeme říkat krátce jen relace. Poznamenejme také, že každé zobrazení f množiny A do množiny B je relace. Dvojice prvků a A a b B jsou v relaci f, právě tehdy, když je f(a) = b. Zobrazení je speciální případ relace. Aby relace R byla zobrazení musí platit: je li a R b a a R c, potom je nutně b = c. S relacemi můžeme provádět veškeré operace, které umíme dělat s množinami. Zavádíme i pojem podrelace. Relace S je podrelací relace R, je lis R. Jsou li R a S relace mezi A a B, pak jsou relacemi mezi A a B i množiny R S a R S. Doplnkěm relace R je relace (A B) \ R. Naříklad pro relace býti menší, býti menší nebo rovno a býti rovno na množině R platí, že býti menší je podrelací býti menší nebo rovno a býti menší nebo rovno je sjednocením relací býti menší a rovno. Ke každé relaci R mezi množinami A a B můžeme definovat inverzní relaci R 1 mezi množinami B a A takto: b R 1 a, právě tehdy, když je a R b. Uvědomme si, že z toho že relace R je zobrazení, neplyne, že relace R musí také být zobrazení. Uvažujme například zobrazení S z množiny všech reálných čísel R do R definované a S b b = a 2. Relace S 1 není zobrazení, protože je například dvojice (1, 1) a ( 1, 1) jsou obě v relaci S 1. Lze a je účelné definovat i skládání relací. Je li R A B a S B C definujeme relaci R S mezi množnami A a C takto: a R S c, právě tehdy, když existuje prvek b B takový, že je a R b a b S c. Skládaní relací je asociativní, tj. je li R A B, S B C a T C D, pak je R (S T ) = (R S) T. Skládání relací ale není komutativní, tj. nemusí platit rovnost R S = S R i když je složení v obou případech definováno. Například pokud relace R je býti sourozencem (bratrem nebo sestrou) a relace S je býti potomkem (synem nebo dcerou), je relace R S rovna R a relace S R je býti synovcem nebo neteří. Samozřejmě pokud pro všechna a, b platí: a R b b R a a a S b b S a, je R S = S R. Vidíme, že je asi vhodné zkoumat i další vlastnosti relací na množinách a jejich vztahy.

2 Vlastnosti relací na množině Definice. Řekneme, že relace R na množině A je 1) reflexivní, jestliže pro všechna a A platí: a R a; 2) symetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b, pak je b R a; 3) antisymetrická, jestliže pro všechna a, b A platí: je li a R b a b R a, pak je a = b; 4) tranzitivní, jestliže pro všechna a, b, c A platí: je li a R b a b R c, pak je nutně a R c. Uveďme si některé příklady. Relace na množině R všech reálných čísel je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická a není symetrická. Relace < na množině R není reflexivní, není symetrická a je tranzitivní a antisymetrická. Relace = na množině R je reflexivní, symetrická, tranzitivní i antisymetrická. Definujeme li na množině R relaci R předpisem x R y, právě tehdy, je li x y 1, pak máme reflexivní a symetrickou relaci, která není tranzitivní. Je li R relace na množině A, pak lze přirozeným způsobem definovat relaci na kartézském součinu A n = A A předpisem (a 1, a 2,..., a n ) R n (b 1, b 2,..., b n ), právě tehdy, když je a i R b i, pro všechna i {1, 2,..., n}. Takto definovaná relace se nazývá kartézskou mocninou relace R nebo relací indukovanou relací R. Často se pro relaci na množině a relaci indukovanou touto relací na kartézské mocnině množiny používá tentýž symbol. Ukažte, že se výše uvedené vlastnosti relací zachovávají při kartézském umocňování relací. Ekvivalence Definice. Řekneme, že relace R na množině A je ekvivalence, je li reflexivní, symetrická a tranzitivní. Ekvivalence představují velmi významný příklad relací a jsou studovány nejen v matematice, ale i všech ostatních vědách. Každá ekvivalence na množině A rozdělí množinu A na systém disjunktních podmnožin, které nazýváme třídy ekvivalence. Je li R evivalence na množině A, pak pro každý prvek a A určuje jednoznačně podmnožinu A[a] = {x A; a R x} množiny A. Přitom dva prvky a, b A určují tutéž podmnožinu, tj. je A[a] = A[b], právě tehdy, je li a R b. Je zcela evidentní, že {A[a]; a A} = A a A[a] A[b] = pro a b. Platí také opačné tvrzení. Je li množina A sjednocením disjunktních podmnožin, tj. A = {A i ; i I} a A i A j = pro i j, pak relace R definovaná předpisem a R b právě tehdy, existuje li i I, takové, že a A i a b A i je ekvivalence na množině A. Na každé množině A je možno definovat dvě triviální ekvivalence. První je identita definovaná vztahem id A = {(a, a); a A}, při které nejsou žádné dva různé prvky ekvivalentní. Druhá triviální relace je relace A A, která dává všechny prvky do jedné třídy, tedy každé dva prvky množiny A jsou ekvivalentní. Uveďme si nějaké netriviální příklady ekvivalencí. Na množině Z = {0, ±1, ±2, ±3,... } všech celých čísel definujme relaci R předpisem: m R n právě tehdy, když je číslo m n sudé, tj. m n {0, ±2, ±4 ± 6,... }. Ukažte, že tato relace je skutečně reflexivní, symetrická a tranzitivní. Obdobně lze definovat pro každé přirozené číslo p na množině Z ekvivalenci R(p) předpisem: m R(p) n právě tehdy, když je číslo m n je násobkem čísla p, tj. m n = t p pro nějaké číslo t Z. Dále budeme relace R(p) označovat symbolem p a budeme říkat, že celá čísla m a n jsou ekvivalentní modulo p, je li m p n. Nechť M je konečná množina. Na množině P (M) všech podmnožin množiny M definujme relaci R takto: pro A M, B M je A R B právě tehdy, když mají obě podmnožiny

A a B stejný počet prvků. Ukažte, že takto definovaná relace je ekvivalence na množině P (M). Nechť M je množina všech výrokových formulí vytvořených z nějaké množiny výroků. Na této množině definujme relaci R takto: řekneme, že formule α a β jsou v relaci R právě tehdy, je li formule α β tautologií. Opět snadno ověříte, že má daná relace vlastnosti ekvivalence. Uspořádání Další velmi významný příklad relací jsou tzv. relace uspořádání, nazývané též někde částečné uspořádání. Definice. Řekneme, že relace R na množině A je uspořádání (částečné uspořádání), je li R reflexivní, antisymetrická a tranzitivní relace. Množinu A na které je definována relace uspořádání pak nazýváme uspořádanou množinou. Relace uspořádání budeme obvykle značit symboly nebo. Symbolem a < b resp. a > b budeme označovat skutečnost, že a b a a b resp. a b a a b. Relace < a > již nejsou relace uspořádání. Přesto se někdy se tyto relace nazývají ostré uspořádání. Říkáme, že dva prvky a a b z uspořádaná množiny (A, ) jsou srovnatelné, jestliže je a b nebo b a a že jsou nesrovnatelné, jestliže není ani a b ani b a. Uspořádaná množina (A, ) se nazývá úplně uspořádanou množinou, nebo řetězcem, jestliže každé dva její dva prvky jsou srovnatelné, tj. je a b nebo b a. Ověřte si, že inverzní relace k uspořádání je také uspořádání. Jako příklady úplně uspořádaných množin lze uvést množinu R všech reálných čísel, množinu Z všech celých čísel a množinu N všech přirozených čísel vzhledem ke známému přirozenému uspořádání. Jako příklad uspořádané množiny, která není úplně uspořádáná, můžeme uvést množinu uspořádanou množinu (P (M), ) všech podmnožin (včetně prázdné podmnožiny ) nějaké alespoň dvouprvkové množiny M, kde A B (pro A, B P (M)) znamená, že každý prvek z množiny A je nutně i prvkem množiny B. Jsou li a a b dva různé prvky z M, pak jednoprvkové podmnožiny {a} a {b} množiny M jsou dva nesrovnatelné prvky v uspořádané množině (P (M), ). Dalším příkladem uspořádané množiny, která není úplně uspořádanou množinou, je množina všech přirozených čísel N na které je definován relace R na základě dělitelnosti čísel, tj. m R n právě tehdy, když existuje číslo t N tak, že je n = m t. Ověřte, že takto definovaná relace je skutečně reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Je zřejmé, že je li (A, ) uspořádaná množina, pak (A n, ), kde na A n je relace indukovaná uspořádáním na A, je opět uspořádanou množinou. Je li (A, ) úplně uspořádaná množina, pak ale (A n, ) nemusí být úplně uspořádanou množinou a také jí není pokud množina A má alespoň dva prvky. Když ale například na množině A A definujeme relaci R předpisem (a 1, a 2 ) R (b 1, b 2 ), právě tehdy, jesliže je a 1 < b 1 nebo je a 1 = b 1 a zároveň a 2 b 2, pak relace R je úplné uspořádání. Ověřte si to. Takto definované relaci se říká lexikografické uspořádání. Pojem lexikografického uspořádání ještě zobecníme. Inspirujeme se při tom obecně známým postupem při kterém vytváříme různé abecedně řazené seznamy. Mějme konečnou uspořádanou množina (A, ), kterou můžeme nazývat abeceda. Označme S(A) množinu všech konečných posloupností prvků z A, tj. S(A) = A A 2 A 3 = A i. Prvky této množinu můžeme nazývat slova i N nad abecedou A). A na této množině budeme definovat tzv. lexikografické uspořádání. 3

4 Definice. Nechť (A, ) je konečná uspořádaná množina. Lexikografickým uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) nazveme relaci definovanou takto: (x 1, x 2,..., x r ) (y 1, y 2,..., y s ), právě tehdy,když nastává jedna z následujících dvou možností: existuje k r takové, že je x i = y i pro všechna i < k a je x k < y k nebo je r s a je x i = y i pro všechna i r. Věta. Lexikografické uspořádáním (které je indukováno uspořádáním ) na S(A) je uspořádání. Pokud je navíc (A, ) úplně uspořádaná množina, je i lexikografické uspořádání úplným uspořádáním na množině S(A). Ukažme si alespoň jeden příklad. Nechť A = {a, b, c, d,..., z} je množina všech 26 písmen mezinárodní abecedy, která je abecedně uspořádána, tj. je a < b < c < z. V lexikograficky uspořádané množině slov S(A) pak platí: hora horakova, hora vlk, horak horal apod. Pokud bychom chtěli rozlišovat příjmení a jméno a chtěli, aby v lexikografickém uspořádání platilo, že hora milan horak jan (uvědomme si, že je horakjan horamilan), musíme do abecedy přidat ještě jeden znak, např a rozšířit definici relace < na množině A = {a, b, c, d,..., z} { } takto: < a < b < c < z. Potom bude v S(A) platit hora milan horak jan. Uveďme si ještě několik pojmů, které jsou pro studium uspořádaných množin důležité. Definice. Nechť (A, ) je uspořádaná množina. Řekneme, že 1) prvek a je minimálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x < a; 2) prvek a je maximálním prvkem uspořádané množiny A, jestliže v A neexistuje žádný prvek x, x > a; 3) prvek a je nejmenším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je a x pro každý prvek x A; 4) prvek a je největším prvkem uspořádané množiny A, jestliže je x a pro každý prvek x A; 5) prvek a je pokrýván prvkem b (nebo, že prvek b pokrývá prvek a), jestliže je a < b a neexistuje prvek x A takový, že a < x a x < b. Nejmenší prvek uspořádané množiny budeme obvykle zančit symbolem 0 a největší prvek symbolem 1. Je zřejmé, že nejmenší prvek množiny je minimálním prvkem a největší prvek je maximálním prvkem. Samozřejmě existují uspořádané množiny, které nemají ani minimální ani maximální prvky, např. množina R všech reálných čísel. Na druhou stranu každá konečná uspořádaná množina má alespoň jeden maximální a alespoň jeden minimální prvek. Skutečnost, že prvkek a je pokrýván prvkem b budeme vyjadřovat symbolem a b. Relaci budeme nazývat pokrýváním. Uspořádané konečné množiny, a to zejména ty, které nemají moc prvků, si pro větší názornost můžeme zobrazovat v tzv. diagramech uspořádaných množin. Na těchto diagramech budeme obvykle prvky zobrazovat jako kolečka (dutá nebo plná) a dále budeme znázorňovat pouze relaci pokrytí a vždy platí, že prvek a je pokrýván prvkem b, právě tehdy, když je prvek b zobrazen nad prvkem a oba prvky jsou spojeny usečkou. Z tranzitivity relace uspořádání plyne, že x < y poznáme na diagramu tak, že prvek y je zobrazen nad prvkem x a prvky jsou spojeny čarou, která se skládá z jedné či více úseček. Na Obr. 1 jsou uvedeny příklady diagramů uspořádaných množin.

5 Obr. 1: Diagramy uspořádaných množin Svazy V této části si uvedeme základní informace o uspořádaných množinách, které mají další speciální vlastnosti a které budeme nazývat svazy. Nechť (A, ) je uspořádaná množina a M A podmnožina množiny A. Řekneme, že prvek c A je supremum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je m c a prvek c je nejmenší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je m x pro všechny prvky m M, pak je c x. Duálně definujeme, že prvek c A je infimum podmnožiny M v uspořádané množině (A, ), jestliže pro všechny prvky m M je c m a prvek c je největnší ze všech prvků s touto vlastností, tj. jestliže pro nějaký prvek x A je x m pro všechny prvky m M, pak je x m. Skutečnost, že prvek m je supremum nebo infimum množiny M označujeme symbolem c = sup M resp. c = inf M. Nyní si již můžeme říci, které uspořádané množiny budem nazývat svazy. Definice. Řekneme, že neprázdná uspořádaná množina (L, ) je svaz, jestliže pro každé dva prvky a, b L existuje sup {a, b} a inf {a, b} v (L, ). Za podsvaz svazu (L, ) budeme považovat každou neprázdnou podmnožinu P množiny L, která má tu vlastnost, že s každými dvěma prvky obsahuje i jejich supremumu a infimum, tj. platí, že sup {a, b} P a inf {a, b} P pro každé a, b P. Poznámka. Lze poměrně velmi snadno ukázat, že pokud existuje supremum (nebo infimum) každé dvouprvkové podmnožiny, pake existuje supremum (nebo infimum) i pro každou konečnou podmnožinu. Důsledkem toho je, že každý konečný svaz má největší a nejmenší prvek. Je evidentní, že každý podsvaz P svazu (L, ) je svazem vyhledem ke stejné relaci uspořádání. Triviálními případy podsvazu jsou celý svaz P = L a jednoprvkové podsvazy P = {a} pro libovolný prvek a L. Dále je ihned zřejmé, že pokud jsou prvky a a b srovnatelné v uspořádané množině (A, ), pak je vždy existuje infimum i supremum pomnožiny {a, b}. Navíc platí, že každá dvě tvrzení ze tří tvrzení a b, inf {a, b} = a a sup {a, b} = b jsou navzájem ekvivalentní. Věta. Nechť je uspořádaná množina (L, ) svaz. Pro každé dva prvky a, b L označme inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b. Potom pro každé tři prvky a, b, c L platí: (1) a a = a, a a = a; (2) a b = b a, a b = b a; (3) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) a (a b) = a, a (a b) = a. Naopak nechť jsou na množině L definovány dvě binární operace a, které splňují zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4). Na množině L definujme relaci vztahem a b, právě tehdy, když je a b = a. Takto definovaná relace je uspořádáním na L a (L, ) je svaz, ve kterém platí: inf {a, b} = a b a sup {a, b} = a b.

6 Poznámka. Binární operace se nazývá průsek, binární operace se nazývá spojení. Zákony uvedené v bodech (1), (2), (3) a (4) se postupně nazývají idempotentní, komutativní, asociativní a absorbční. Na Obr. 2 jsou uvedeny diagramy všech možných svazů na jednoprvkové, dvouprvkové, tříprvkové a čtyřprvkové množině (dva svazy). Obr. 2: Svazy na maximálně čtyřprvkové množině Je velmi snadné ukázat, že v každém svazu (L,, ) platí následující vztahy: a a b, a b a, a b a c d implikuje a c b d a a c b d, a b a c b implikuje a c b a a b a a c implikuje a b c, a (b c) (a b) (a c), (a b) (a c) (a (b c). V některých svazech platí i některé další identity či vztahy. Příkladem takových svazů jsou. tzv. distributivní svazy a komplementární svazy. Uveďme si definici a ukažme některé zajímavé vlastnosti. Definice. Řekneme, že svaz (L,, ) je distributivní, jestliže pro libovolné tři prvky a, b, c L platí: a (b c) = (a b) (a c) a (a b) (a c) = (a (b c). Poznámka. Identity, které musí splňovat distributivní svazy se nazývají distributivní zákony. Je možno ukázat (pokuste se o to) že platí li v nějakém svazu jeden z distributivních zákonů, pak v něm platí i druhý. jsou možné i jiné ekvivalentní definice. Ukažme si dvě vlastnosti distributivních svazů, které by mohly být považovány i definici distributivních svazů. Připomeňme, že podsvazem svazu (L,, ) se rozumí každá neprázdná podmnožina M L pro kterou platí: jsou li a, b M, pak i a b M a a b M. Je zřejmé, že v tomto případě je (M,, ) opět svaz. Věta. Následující tvrzení jsou pro svaz (L,, ) ekvivalentní: a) (L,, ) je distributivní svaz; b) pro každé tři prvky a, b, c L platí: je li a b = a c a a b = a c, pak je b = c; c) svaz (L,, ) neobsahuje jako podsvaz ani jeden ze svazů uvedených na Obr. 3. Obr. 3: Nedistributivní svazy

Nejmenší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 0 a největší prvek svazu (pokud existuje) budeme značit 1. Svaz (L,, ) s největším a nejmenším prvkem budeme dále obvykle označovat (L,,, 0, 1). Definice. Řekneme, že svaz (L,,, 0, 1) je komplementární, jestliže ke každému prvku a L existuje prvek a L takový, že je a a = 0 a a a = 1. Distributivní a komplementární svaz, který má alespoň dva prvky, budeme nazývat Booleovou algebrou. Poznámka. Zobrazení a a je unární operace na množině L a proto budeme svazy s největším a nejmenším prvkem obvykle značit (L,,, 0, 1, ). Je zřejmé, že 0 = 1, 1 = 0 a (a ) = a. Pokud je komplementární svaz distributivní (tedy Booleova algebra), platí v něm i tzv. de Morganovy zákony, tj. pro každé dva prvky a, b L je (a b) = a b a (a b) = a b. Poznámka. Jsou li L 1, L 2,..., L n svazy, pak jejich kartézský součin L 1 L 2 L n je opět svaz. Pro operace průsek a spojení v tomto svazu platí, že (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ), (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n mají nejmenší prvky 0 1, 0 2,... 0 n, případně největší prvky 1 1, 1 2,... 1 n. nebo jsou komplementární, potom také svaz L 1 L 2 L n má nejmenší prvek 0 = (0 1, 0 2,... 0 n ), případně největší prvek = (1 1, 1 2,... 1 n ). Pokud svazy L 1, L 2,..., L n jsou komplementární resp. distributivní, potom je i svaz L 1 L 2 L n komplementární resp. distributivní. Speciálně z toho plyne, že kartézský součin Booleových algeber je opět Booleova algebra. Příklady k procvičení 1) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z všech celých čísel definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y = 2 a x S y právě tehdy, je li x y = 2? 2) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z definované vztahy x R y právě tehdy, je li x y {0, 2, 4,... } (tj. x y je sudé číslo) a x S y právě tehdy, je li x y = {0, 2, 4,... } (tj. x y je liché číslo? 3) Jaké vlastnosti mají relace R a S na množině Z Z definované vztahy (a, b) R (c, d) právě tehdy, když a c a b d a (a, b) S (c, d) právě tehdy, když a + b c + d? Jaký je mezi nimi vztah? 4) Na množině M = {(x, y); x Z, y Z, y 0} definujeme relaci R předpisem (m, n) R (p, q)právě tehdy, je li m q = n p. Jaké vlastnosti má a co popisuje tato relace? 5) Jaké vztahy platí mezi relacemi mod(3), mod(5) a mod(15)? 6) Určete průnik relací mod(6), mod(8) a mod(10)? 7) Na následujícím obrázku Obr. 4 jsou zobrazeny diagramy uspořádaných množin A, B, C a D. Které z těchto uspořádaných množin jsou svazy? Které ze svazů jsou distributivní a které komplementární? Výsledky 1) Relace R je pouze symetrická, relace S je symetrická a reflexivní. 2) Relace R je reflexivní, symetrická a tranzitivní (tj. je ekvivalence), relace S je pouze symetrická. 3) Relace R je uspořádání, relace S je reflexivní a tranzitivní. 7

8 A B C D Obr. 4: Uspořádané množiny A, B, C, D 4) Relace R je ekvivalence na množině M a (m, n) R (p, q) popisuje rovnost dvou racionálních čísel m n a p q. 5) mod(3) mod(5) = mod(15). 6) mod(6) mod(8) mod(10) = mod(60). 7) Uspořádané množiny A, C a D jsou svazy, B svaz není. Distributivní svazy jsou svazy A a C. Komplementární svaz je pouze svaz D.