Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza www.kme.zcu.cz/kmet/exm 1
Obsah prezentace 1. Úvod a motivace 2. Data v časové a frekvenční oblasti 3. Fourierova analýza teoreticky 4. Fourierova analýza prakticky 5. Závěr 2
Cíle přednášky Uvedení studenta do problematiky číslicového zpracování signálů Seznámení se základy Fourierovy analýzy signálů Praktická realizace Fourierovy analýzy Některé obrázky v této prezentaci jsou převzaty z jiných zdrojů (Balda M.: Statistická mechanika, ZČU v Plzni. Tůma J.: Zpracování signálů z mechanických systémů užitím FFT, Sdělovací technika, 1997. Materiály Bruel & Kjaer ) 3
1 Úvod a motivace V experimentální mechanice se pracuje s naměřenými daty, které mají specifickou formu Děje v reálném světě jsou spojité, ale záznam z měření zpracovatelný na počítači je ve většině případů diskrétní Je nutné s diskrétními (tzv. navzorkovanými) daty umět pracovat a je nutné umět provádět jejich analýzu Navzorkovaný signál je v počítači reprezentován většinou ve formě vektoru (případně matice) čísel Formát čísla (integer, real, mantisa) je rovněž důležitým parametrem zpracování Analýza naměřených dat nám umožní 4
2 Data v časové a ve frekvenční oblasti 5
Data v časové oblasti vzorkování Při experimentálním měření a zpracování výsledných signálů je prvním velmi důležitým pojmem tzv. vzorkovací frekvence (počet vzorků diskrétního signálu za jednu sekundu) Zejména je nutné, aby diskrétní signál nebyl podvzorkovaný Dle typu následné analýzy mohou být na signál kladeny další podmínky Příklad: Funkce y(t) = sin(2 ft) s frekvencí f = 1 Hz a různými vzorkovacími frekvencemi f v = 100, 10, 4, 3 Hz 6
Data v časové oblasti vzorkování 7
Data v časové oblasti vzorkování 8
Data v časové oblasti vzorkování 9
Data v časové oblasti vzorkování 10
Data v časové oblasti Data v časové oblasti má smysl v některých případech zpracovat pomocí nástrojů matematické statistiky Průměr, střední hodnota, rozptyl, směrodatná odchylka, momenty atd. Existují další specializované algoritmy vhodné pro konkrétní analýzy z hlediska mechaniky Například metoda stékání deště apod. Velmi často pracují s histogramy četnosti Samostatnou kapitolou jsou různé filtry, které ovšem už pracují také s daty ve frekvenční oblasti 11
Data v časové oblasti průměrování Jedním ze základních nástrojů používaných na data v časové oblasti je tzv. průměrování Lze použít matematický nástroj nazvaný klouzavý průměr, který umožní vyhladit zpracovávaný signál a částečně ho zbavit například určitého šumu, je možné vylepšit vážením Je ovšem nutné věnovat pozornost tomu, aby nedošlo ke ztrátě reálné informace, která z povahy měřeného jevu má být v signálu obsažena Příklad: Zašuměná funkce y(t) = sin(2 1t) + 0.3*sin(2 5t) + šum, použití neváženého pětibodového klouzavého průměru 12
Data v časové oblasti průměrování 13
Data v časové oblasti průměrování 14
Data v časové oblasti průměrování 15
3 Fourierova analýza - teoreticky Analýza časových signálů pomocí jejich převedení do frekvenční oblasti Fourierova řada aproximace periodických funkcí/signálů pomocí váženého součtu harmonických funkcí Definice Fourierovy transformace (X( ) obraz, x(t) originál): 16
3 Fourierova analýza Přímá vs. zpětná Fourierova transformace Různé varianty FT: Spojitá Fourierova transformace Fourierova transformace signálu s diskrétním časem Diskrétní Fourierova transformace přirozená varianta pro signály zpracovávané pomocí počítače Rychlá Fourierova transformace rychlý algoritmus pro Fourierovu transformaci diskrétních signálů 17
3 Fourierova analýza Diracův impuls (t) důležitá funkce pro Fourierovu transformaci, Vlastnosti 18
3 Fourierova analýza Pro spojitou funkci f(t 0 ) platí Diracův hřeben a vzorkování 19
3 Fourierova analýza Jestliže je originál periodická funkce x(t) = x(t+t) s periodou T, potom obraz X( ) nabývá nenulových hodnot jen pro úhlové frekvence X(2 k/t), kde k =, -2, -1, 0, 1, 2, Fourierova transformace Diracova impulsu 20
3 Fourierova analýza Fourierova transformace harmonických funkcí 21
3 Fourierova analýza 22
3 Fourierova analýza Vzorkovací teorém aby nedocházelo ke zkreslení Fourierova obrazu při FT originálu, musí být vzorkovací frekvence alespoň dvojnásobkem nejvyšší frekvence obsažené v signálu originálu Diskrétní Fourierova transformace (h originál, H obraz, N je počet vzorků, T je perioda vzorkování) Souvislost obrazů při DFT a spojité FT, a koeficientů F. řady c n originálu 23
4 Fourierova analýza prakticky V experimentální mechanice je důležitá schopnost analyzovat frekvenční spektrum změřeného signálu Frekvenční spektrum signálu (intuitivní nerigorózní vysvětlení) soubor frekvencí obsažených v původním signálu množina frekvencí harmonických funkcí, na které lze změřený signál rozložit Nejvhodnější nástroj rychlá varianta diskrétní Fourierovy transformace (FFT) Praktická realizace Konkrétní možnosti analyzátoru nebo software používaného při měření MATLAB funkce fft 24
4 Fourierova analýza prakticky function myfft(h,t) % Jedna z variant L = length(h); Fs = 1/(t(2)-t(1)); NFFT = 2^nextpow2(h); H = fft(h,nfft)/l; f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2); stem(f,2*abs(h(1:nfft/2)),'r') title('jednostranne spektrum funkce h(t)') xlabel('f [Hz]') ylabel(' H(f) ') 25
4 Fourierova analýza prakticky sinus s frekvencí 1 Hz 26
4 Fourierova analýza prakticky sinus s frekvencí 1 Hz, necelistvý počet period 27
4 Fourierova analýza prakticky Použití časových oken eliminace efektu necelistvých period ve zpracovávaném signálu 28
4 Fourierova analýza prakticky harmonický signál s frekvencemi 5, 20 a 43 Hz 29
5 Závěr Vždy je nutné si stanovit, co je cílem při zpracování konkrétního změřeného signálu Je velmi důležité mít představu o fyzikálních (mechanických) dějích, které charakterizují měřený jev Fourierova analýza je velmi mocný nástroj pro porozumění studovanému signálu a pro vyhodnocení různých důležitých vlastností zkoumaného problému 30