PARAMETER IDENTIFICATION OF CHABOCHE NONLINEAR KINEMATIC HARDENING MODEL STANOVENÍ KONSTANT CHABOCHEOVA NELINEÁRNÍHO KINEMATICKÉHO MODELU ZPEVNĚNÍ Radim HALAMA 1, Hana ROBOVSKÁ 2, Linda VOLKOVÁ 2, Tomáš SKOČOVSKÝ 2, David STACHA 2, Miroslav ŠVRČEK 2, Aleš VICHEREK 2, This paper deals with parameter estimation of Chaboche cyclic plasticity model by nonlinear least square method. Identification of model parameters is presented using material data of BS11 rail steel from Peng- Ponter [Int J Sol Struct 31 (1994) p.807]. The first guess of model's parameters and properties of fitting function is briefly described for three basic curves: static strain curve, cyclic strain curve and large hysteresis loop. Assumed version of the Chaboche model has only two parts of kinematic tensor (vector). For all that resulting stress-strain response of this plasticity model coresponds very well with the input data. The paper is not concerned with calibration of the Chaboche model to describe ratchetting effect. The original function of MathCad 11 and own procedures written in Visual Basic for Application of MS Excel were used to perform presented solutions. Keywords Úvod Nonlinear Least Square Method, Cyclic Plasticity, Chaboche Model. Stále častěji se v technické praxi oběvuje požadavek numerické analýzy konstrukcí nebo součástí s ohledem na nízkocyklovou únavu. Není tedy divu, že se objevují v komerčních programech založených na nejčastěji používané numerické metodě v oblasti mechaniky, metodě konečných prvků (MKP), nové materiálové modely pro přesnější popis chování konstrukčních materiálů v elastoplastické oblasti. Pro houževnaté materiály je v odborných publikacích oblíbený model Chabocheův [1]. Při jeho použití je však nutné věnovat velkou pozornost určování materiálových parametrů. Chabocheův model patří do skupiny makroskopických modelů plasticity. K jeho použití u daného materiálu je tedy nejprve zapotřebí získat experimentální data. Jednou z možností pro nalezení parametrů Chabocheova modelu zpevnění je použití nelineární metody nejmenších čtverců. V dalších kapitolách je stručně popsán postup řešení, jestliže se vychází ze statické deformační křivky, cyklické deformační křivky a nebo jediné hysterezní smyčky. Podrobně je rozvedena volba počátečních parametrů pro všechny tyto tři případy. Prezentovaný způsob řešení je ukázán na experimentálních datech kolejnicové oceli BS11 převzatých z literatury [2]. 1 Ing. Radim HALAMA, Ph.D.: katedra pružnosti a pevnosti, FS VŠB-TU Ostrava, Třída 17. listopadu 15, Ostrava, 708 33, ČR, tel.: +420 597323495, fax: +420 596916490, e-mail: radim.halama@vsb.cz. 2 Bc. Hana ROBOVSKÁ, Bc. Linda VOLKOVÁ, Bc. Tomáš SKOČOVSKÝ, Bc. David STACHA, Bc. Miroslav ŠVRČEK, Bc. Aleš VICHEREK: diplomanti oboru Aplikovaná mechanika, FS VŠB-TU Ostrava, Třída 17. listopadu 15, ČR, 708 33, ČR, tel.: +420 597323495, fax: +420 596916490, e-mail: sn281@vsb.cz.
Inkrementální teorie plasticity V MKP se nejčastěji používá pro řešení elastoplastických úloh inkrementální teorie plasticity. V odborných publikacích souvisejících s touto problematikou bývá zvykem používat tenzorovou notaci. Protože je však cílem tohoto článku sestavit jednoduchý návod pro použití Chabocheova modelu v technické praxi, bude dále používána pouze notace maticová. Pro všechny další vztahy bude vektor deformace a vektor napětí uvažován v inženýrské podobě { }={ x, y, z, xy, yz, xz } T, resp. { }={ x, y, z, xy, yz, xz } T. Podobně jako v případě jednoosého namáhání se v inkrementální teorii plasticity uvažuje, že celková deformace je složena z elastické a plastické složky { }={ e } { p }, (1) jestliže pro elastickou složku deformace se předpokládá platnost Hookeova zákona { }=[ D]{ e }, (2) kde [ D] je matice elastických konstant. V případě houževnatých materiálů se dále uvažuje nejčastěji podmínka plasticity Von Mises, kterou lze psát například takto f = 3 2 {s} {a } T [M 1 ] {s} {a } Y 2 =0, (3) kde {s} je deviátor vektoru napětí, {a} je deviátor kinematického vektoru, [M 1 ] je matice s nenulovými prvky pouze na diagonále [M 1 ]=diag [1,1,1,2,2,2] a Y je izotropní proměnná. Pomocí veličin {a} (kinematické zpevnění) a Y (izotropní zpevnění) lze popsat reálné zpevňování materiálu, podrobněji viz [3]. Směr přírůstku plastické deformace definuje tzv. pravidlo plasticity (flow rule), pro uvažované houževnaté materiály nejčastěji ve formě {d ε p }= 3 2 1]{ { }} dp[m f, (4) kde přírůstek akumulované ekvivalentní plastické deformace dp= 2 3 {d ε p} T [M 2 ]{d ε p } (5) odpovídá při jednoosém namáhání absolutní hodnotě přírůstku axiální plastické deformace dp= d ε px a další pomocnou matici lze definovat [M 2 ]=diag [1,1, 1,1 /2,1/2, 1/2]. Chabocheův kinematický model zpevnění Izotropní zpevnění se většinou používá v případě monotónního namáhání nebo v kombinaci s kinematickým zpevněním pro zachycení efektu cyklického zpevňování či změkčování při namáhání cyklickém. S ohledem na použití v nízkocyklové únavě, kdy jsou často brány stabilizované napěťově-deformační charakteristiky v polovině životnosti, bude v dalším textu uvažováno pouze kinematické zpevnění, tzn. izotropní proměnná Y =konst.= Y. Již v roce 1979 publikoval Chaboche [4] svou verzi nelineárního kinematického pravidla zpevnění pro evoluci kinematického vektoru {a}. Navrhl složení kinematického vektoru z M částí M {a}= {a i }, (6) i =1
kde pro každou část platí diferenciální rovnice {da i }= 2 3 C i [M 2 ]{d ε p } i {a i }dp, (7) ve které C i a i jsou materiálové konstanty. Jejich určení závisí na tom, která napěťovědeformační charakteristika řešeného materiálu je k dispozici. Parametr M ovlivňuje deformačně-napěťovou odezvu jen málo (lze s ním však ovlivnit míru ratchettingu), proto se na počátku většinou volí nulový. S výhodou lze při určování využít plné integrovatelnosti Chabocheova matematického modelu v případě proporcionálního namáhání. S ohledem na zjednodušení dalších úvah bude dále uvažován případ se dvěma kinematickými částmi (M=2), přičemž bude platit 2 =0 (nelze tedy simulovat ratchetting). Pro případ jednoosého monotónního namáhání lze potom snadno analyticky odvodit vztah x = Y C 1 1 e px C 2 px, (8) který definuje napěťově-deformační odezvu Chabocheova modelu [3]. Při požadavku modelování cyklického namáhání je možné vycházet z cyklické deformační křivky, která udává závislost amplitudy napětí na amplitudě (plastické) deformace při jednoosém namáhání. V takovém případě lze opět jednoduchou úvahou [2] získat relaci a = Y C 1 tgh ap C 2 ap, (9) kde tgh(x) značí hyperbolický tangens x. Druhou možností u cyklického namáhání je, vyjít z jediné stabilizované hysterezní smyčky. Tento přístup byl navržen v článku [5] a vede k získání výrazu definujícího horní větev hysterezní smyčky v diagramu napětí-plastická deformace x = Y C 1 1 2 e px pl C 2 px, (10) kde pl je poloviční šířka hysterezní smyčky (amplituda plastické deformace). Nelineární regrese Žádnou z funkcí (8) až (10) nelze snadno substitucí převést na lineární funkci, proto se jako nejjednodušší řešení nabízí nelineární metoda nejmenších čtverců. Jelikož při úvaze dvou částí kinematického vektoru napětí (M=2) jsou optimalizovány pouze čtyři parametry Y,C 1,, C 2, lze použít Gauss-Newtonovu metodu řešení nelineární regrese (viz [1]). Jesliže je uvažováno M>2, lze doporučit Levenberg-Marquardtovu metodu [6]. V obou případech je zapotřebí nalézt vhodný počáteční odhad parametrů. Vyšetřováním limitních vlastností funkcí (8) až (10) lze dojít k následnému postupu volby počátečních parametrů: Statická deformační křivka (8), resp. cyklická deformační křivka (9) 1. Nejprve je nutné převést deformační křivku na závislost napětí plastická deformace (nikoliv celková) užitím aditivního a Hookeova zákona. 2. Potom se zvolí parametr Y tak, aby tato hodnota přibližně odpovídala okamžiku vzniku plastické deformace (obr.1a). 3. Konstanta C 2 je dána směrnicí tečny v bodě na konci dané křivky, stačí tedy provést přímkovou interpolaci posledních dvou bodů ze sady experimentálních dat.
4. Konstanta C 1 je dána směrnicí tečny v bodě, kde je plastická deformace nulová, stačí tedy provést přímkovou interpolaci prvních dvou bodů ze sady experimentálních dat (uvažujíli se jen body s nenulovou plastickou deformací a bod odpovídající hodnotě Y ) 5. Poměr C 1 lze odečíst ze vzdálenosti zakótované na obr.1a, odtud následně získat. σ x (σ a ) C 1 C 2 a) C 1 Y σ x ε px (ε ap ) [1] C 2 b) 2 C 1 2C 1 2 Y Obr. 1 - Počáteční volba parametrů a) ze statické (cyklické) deformační křivky, Hysterezní smyčka (10) ε px - (-ε pl ) [1] b) z horní větve hysterezní smyčky 1. Nejprve se převede v sadě experimentálních dat celková deformace na plastickou užitím aditivního a Hookeova zákona. 2. Odečte se hodnota 2 Y tak, aby přibližně odpovídala okamžiku vzniku plastické deformace (obr.1b). 3. Konstanta C 2 je dána směrnicí tečny v bodě na konci křivky, stačí tedy provést přímkovou interpolaci posledních dvou bodů ze sady experimentálních dat.
4. Dvojnásobek parametru C 1 udává směrnici tečny v bodě, kde je plastická deformace nulová, stačí opět provést přímkovou interpolaci prvních dvou bodů ze sady experimentálních dat (uvažují-li se jen body s nenulovou plastickou deformací a bod odpovídající hodnotě Y ) 5. Poměr 2 C 1 lze odečíst ze vzdálenosti zakótované na obr.1b, odtud následně získat. Ukázkový případ Postup identifikace konstant Chabocheova modelu s dvěma kinematickými částmi bude prezentován na experimentálních datech z článku [2]. Použita byla Levenberg-Marquardtova metoda implementovaná v programu MathCad 11, přesněji funkce genfit, která umožňuje fit křivky pomocí libovolné funkce. Stejných výsledků bylo dosaženo také pomocí Gauss- Newtonovy metody naprogramované v tabulkovém procesoru MS Excel pomocí jazyka VBA pro případ monotónní křivky. Tabulka 1 obsahuje hodnoty parametrů Chabocheova modelu stanovené z počáteční volby a ze samotné aproximace metodou nejmenších čtverců. Napěťově-deformační odezva takto naladěného Chabocheova modelu pro všechny tři případy je vidět na obr. 2. Je nutné upozornit na odlišný modul pružnosti u hysterezní smyčky, který je častým jevem v cyklické plasticitě kovů (viz tab.1). Tabulka 1 soupis materiálových konstant Chabocheova modelu pro řešené případy DEFORMAČNÍ KŘIVKA PARAMETR ZÍSKANÉ HODNOTY POČÁTEČNÍ ODHAD σ Y 295 295 1. STATICKÁ (MONOTÓNNÍ) E=250000MPa C 1 γ 1 [1] 295860 1735 321310 1503 C 2 12763 9661 σ Y 237 260 2. CYKLICKÁ C 1 81026 153755 E=250000MPa γ 1 [1] 364 576 C 2 13064 8811 σ Y 146 146 3. HYSTEREZNÍ SMYČKA E=180000MPa C 1 γ 1 [1] 419856 1462 452774 1290 C 2 22659 8557
a) b) σ x σ a ε x [1] ε a [1] c) σ x ε x [1] Obr. 2 - Napěťově-deformační odezva Chabocheova modelu před a po aproximaci a) statická deformační křivka, b) cyklická deformační křivka, c) hysterezní smyčka Pro srovnání je na obr. 2 čárkovaně vykreslena také odezva modelu při použití konstant z počáteční volby. Při použití Chabocheova modelu s třemi částmi kinematického vektoru lze dosáhnout lepších výsledků, počáteční volba je však komplikovanější. Je zřejmé, že vyjde-li se u regrese z široké hysterezní smyčky, nemusí příliš dobře model zachovávat cyklickou deformační křivku a naopak. Na obr. 3 je vidět napěťově-deformační odezva Chabocheova modelu, naladěného na cyklickou deformační křivku (obr. 2b), při simulování hysterezní smyčky z obr.2c. Opět je patrná odlišnost modulu pružnosti v tahu určeného z hysterezní smyčky a z cyklické (statické) deformační křivky pro uvažovaný materiál.
σ x Obr. 3 - zachycení hysterezní smyčky při naladění na cyklickou deformační křivku Závěr V příspěvku byly prezentovány základní možnosti pro naladění nejjednodušší verze Chabocheova kinematického nelineárního modelu zpevnění pro monotónní a cyklické namáhání. Postup identifikace konstant je stručně popsán u tří případů, statické deformační křivky, cyklické deformační křivky a hysterezní smyčky. V praxi je nejvýhodnější vycházet ze statické deformační křivky při monotónním namáhání a z cyklické deformační křivky při namáhání cyklickém. Při požadavku dobrého popisu jak statické, tak cyklické deformační křivky je vhodné použít kombinovaný model zpevnění, podobně jako při potřebě zachycení efektu cyklického zpevňování či změkčování. Článek se nezabývá laděním modelu pro ratchetting. V tomto ohledu lze odkázat na disertační práci jednoho z autorů příspěvku [3]. Článek byl vytvořen v rámci grantového projektu FRVŠ 252/2007/F1/a. Literatura ε x [1] [1] Chaboche, J. L.; Lemaitre, J. Mechanics of Solid Materials. Cambridge University Press, Cambridge, 1990. ISBN: 0-521-47758-1. [2] Peng, X.; Ponter, A.R.S. An Experimental and Theoretical Investigation of the Response of BS11 Steel to Cyclic Loading. International Journal of Solids and Structures, 1994, Vol. 31, p. 807-822. [3] Halama, R. Řešení elastoplastické napjatosti v bodovém styku dvou zakřivených těles pomocí MKP. Disertační práce v oboru Aplikovaná mechanika. FS VŠB-TU Ostrava, 2005. 130 s. [4] Chaboche, J.L.; Dang Van, K.; Cordier, G. Modelization of The Strain Memory Effect on The Cyclic Hardening of 316 Stainless Steel, In: 5th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology, Division L11/3, Berlin, 13.-17. August 1979, Ed. Jaeger A and Boley B A. Berlin: Bundesanstalt fűr Materialprűfung, p.1-10. [5] Bari, S.; Hassan, T. Anatomy of Coupled Constitutive Models for Ratcheting Simulations. International Journal of Plasticity, 2000, Vol. 16, p. 381-409. [6] Jančo, R. Numerická analýza pružně-plastických úloh s uvažováním vplyvu teploty. Dizertačná práca v oboru Aplikovaná mechanika. SjF STU Bratislava, 2002. 150 s.