APLIKACE FIGARCH A EWMA MODELŮ NA BURZOVNÍ INDEXY PX A BUX

APLIKACE FIGARCH A EWMA MODELŮ NA BURZOVNÍ INDEXY PX A BUX Zdeněk Šolc * Úvod U finančních časových řad lze pozorova jev, kdy i velmi vzdálené náhodné veličiny mohou bý relaivně silně závislé. Too chování sochasického procesu, generujícího danou finanční časovou řadu, je možné modelova pomocí zobecněných modelů ARIMA, zv. modely ARFIMA, keré nemají žádné omezení na řád diferencování d pro dosažení sacionariy. U ěcho modelů je charakerisické, že hodnoy auokorelační funkce klesají s rosoucím zpožděním hyperbolicky narozdíl od exponenciálního poklesu u sacionárních procesů ARMA. Tuo řídu s dlouhou paměí frakcionálně inegrovaných procesů navrhl Granger (980) a lze je zapsa ve varu (Trešl, 999) d d y B y, kde je proces bílého šumu a d je frakcionální paramer nabývající v omo případě libovolné reálné hodnoy. Frakcionální diferenci poom B. vyjádříme jako d d Pomocí modelů ARFIMA se modeluje podmíněná sřední hodnoa, ovšem např. v práci Mandelbroa (963) bylo prozkoumáno, že výnosy akiv v průběhu času nejsou nezávislé a dané procesy výnosů mají sklon projevi se v dočasných šocích do volailiy, což je předměem zájmů prvoních modelů podmíněného rozpylu ARCH, resp. GARCH. Analogií modelování dlouhodobých závislosí v podmíněné sřední hodnoě jsou řídy inegrovaných GARCH modelů (IGARCH) pro modelování podmíněného rozpylu, j. proces inegrovaný v rozpylu, přičemž pro popis dlouhé paměi v auokorelaci výnosů finančních akiv se použije frakcionálně inegrovaný model GARCH (FIGARCH). Tyo modely mají za cíl flexibilněji popsa proces podmíněného rozpylu umožňující lépe vysvěli závislosi ve finančních časových řadách, což má za následek dosahování přesnějších výsledků u kalkulace Value a Risk míry rizika, v jejíž kalkulaci má zásadní posavení modelování rozpylu, resp. kovariancí. Cílem ohoo článku není poda vyčerpávající přehled modelů podmíněné heeroskedasiciy, nýbrž se zabýva oázkou, zdali je při sanovení míry Value a Risk možné opusi rigidní doporučení meodologie RiskMerics při výběru modelu podmíněného rozpylu EWMA a s ohledem na charaker časové řady použí např. model s dlouhou paměí. * Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakula informaiky a saisiky (xsoz04@vse.cz). 5

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0. Model FIGARCH Model FIGARCH kombinuje frakcionálně inegrovaný proces pro sřední hodnou s procesem GARCH pro podmíněný rozpyl. Při popisu FIGARCH procesu vyjdeme z vhodného zápisu pro podmíněně heeroskedasický proces náhodné složky u ve varu kde u, () h je iid proces s nulovou sřední hodnoou a jednokovým rozpylem. h značí příslušnou nezápornou měřielnou funkci s informační množinou do času (-), j. h h. U modelů podmíněné heeroskedasiciy jde edy o modelování funkce h. Pokud není splněna podmínka sacionariy v kovariancích (viz Baillie e al., 996), poom je proces GARCH (p,q) inegrovaný v rozpylu a označuje se jako IGARCH (p,q), kerý lze obecně zapsa ve varu L Lu Lu h, () kde L je operáor zpoždění. Z modelu () lze následně získa požadovaný model FIGARCH nahrazením Lfrakcionální diferencí L d s binomickým rozvojem (Hosking, 98), kde 0 d je možné zapsa ve varu. Výsledný model FIGARCH (p,d,q) pro proces d L L u L v u, (3) kde v u h. Pro sledování efeku šoku v podobě u promíajícího se do podmíněného rozpylu h j se formule (3) následně upravuje (Baillie e al., 996) do varu ARCH ( ). Použiím Serlingovy formule lze poé pro velké j vrdi, že eno efek hyperbolicky klesá v případě rosoucího j. Odhad paramerů è, d,,,,,, T modelu FIGARCH (p,d,q) p q se při předpokladu podmíněné normaliy procesu u provádí meodou maximální věrohodnosi. Obecně lze model finanční časové řady zapsa ve varu kde x,î y î u G x,, (4) G je deerminisická čás modelu mající obecně var dvakrá diferencovaelné nelineární funkce s paramery î. Za předpokladu exisence funkce husoy T T pravděpodobnosi f, ø s vekorem ø î, è T pro nezávislý proces, získáme maximalizací věrohodnosní funkce (viz Baillie e al., 996) konzisenní 6

AOP 9(4), 0, ISSN 057-3043 a asympoicky normální odhady paramerů modelu. Jelikož v praxi není u finančních časových řad předpoklad normaliy reálný, využívá se pro odhad paramerů aké meoda kvazi-maximální věrohodnosi, poskyující při splnění podmínek (Bollerslev, 99) rovněž konzisenní a asympoicky normální odhady paramerů.. Value a Risk a model EWMA Value a Risk (VaR) jako míru rizika daného insrumenu či porfolia definujeme jako maximální poencionální zráu z finančního insrumenu, kerá nasane s danou pravděpodobnosí za daný časový horizon. Nechť Z je zráa nasávající za časový horizon s pravděpodobnosí %, kde 0,. Poom se Value a Risk vyjádří jako kvanil zráy v hodnoě daného insrumenu Z Z q, VaR, inf q Z q Z. (5) Při kvanifikaci Value a Risk je důležiý předpoklad ýkající se změn hodno daného insrumenu. I když dle empirických výzkumů, např. v práci Mandelbroa (963) bylo prokázáno, že rozdělení změn hodno insrumenu je více špičaé (zv. lepokurické) a má lusší konce, pracuje se z důvodu zjednodušení u relaivně nejběžnější meody výpoču Value a Risk, u varianční-kovarianční meody, se silným předpokladem normaliy rozdělení. Meodologie RiskMerics modeluje podmíněný rozpyl h pomocí modelu EWMA (Exponenially Weighed Moving Average). Teno přísup modelování podmíněného rozpylu je založen na myšlence, že nejnovějšímu pozorování je přiřazena nejvěší váha. Označíme-li 0 jako zv. lumící fakor reprezenující relaivní váhy u daného pozorování, j. značí míru klesání důležiosi pozorování při posupování zpáky v čase, můžeme vyjádři podmíněný rozpyl dle modelu EWMA v čase jako (RiskMerics, 996) h y h, (6), kdy RiskMerics doporučuje voli pro jednodenní pozorování λ = 0,94. Formule pro výpoče Value a Risk pomocí varianční-kovarianční meody má poom podobu (Jorion, 997) VaR q h W, (7),relaivní kde W je počáeční invesovaná hodnoa do daného insrumenu. Pokud předpokládáme Sudenovo -rozdělení s supni volnosi, keré lépe reflekuje charaker výnosů finanční časové řady, ransformuje se formule (7) do podoby V omo článku se nebudeme zabýva porfoliem, a udíž ani problemaikou modelování kovariancí. S předpokladem normaliy se pracuje i u meody Mone Carlo. 7

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0 VaR,relaivní q h W S. (8) 3. Aplikace modelů FIGARCH a EWMA 3. Odhad paramerů modelů Daa jsou denní časové řady hisorických cen indexů PX a BUX v období od 6. 9. 004 do 4.. 0, edy o T 67 pozorování. Dané časové řady jsou na 5% hladině významnosi esovány pomocí rozšířeného Dickeyova-Fullerova esu (ADF es). Výsledky ADF esu ukazuje abulka. Tabulka Výsledky ADF esu pro řady BUX a PX PX BUX esová saisika ADF esu -,778 -,9 kriická hodnoa při 5% hl.v. -,864 -,864 Na 5% hladině významnosi není pomocí ADF esu zamínua nulová hypoéza nesacionariy sledovaných časových řad hisorických cen. Dané časové řady jsou převedeny na první diference logarimů, j. pracujeme s logarimickou mírou výnosu ve varu y log P, logp,,, 66. Obrázek ukazuje průběh ako ransformovaných časových řad, keré jsou již dle ADF esu shledány jako sacionární. Obrázek Vývoj logarimických měr výnosů sledovaných burzovních indexů 0.0 BUX_reurn PX_reurn PX_reurn 0.05 0.00-0.05-0.0-0.5 0 50 300 450 600 750 900 050 00 350 500 8

AOP 9(4), 0, ISSN 057-3043 Na 5% hladině významnosi je pomocí Jarqueova-Beraova esu esována nulová hypoéza normaliy rozdělení nesysemaické složky, dle Pormoneau esu nulová hypoéza nepříomnosi auokorelace nesysemaické složky a pomocí ARCH esu nulová hypoéza podmíněné homoskedasiciy nesysemaické složky. Výsledky esování pro obě řady jsou uvedeny v abulce. Tabulka Výsledky esování reziduí BUX PX Pormoneau es Chi^(40)= 03,5 [0,00]** Chi^(40)= 3,59 [0,00]** Jarqueův-Beraův es Chi^() = 89,59 [0,00]** Chi^() = 09,3 [0,00]** ARCH es F(,64)= 9,83 [0,00]** F(,64)= 49,7 [0,00]** V obou případech jsou na dané hladině významnosi všechny nulové hypoézy zamínuy, a lze edy konsaova, že je vhodné použí model podmíněné heeroskedasiciy. Jelikož je analyzován model s dlouhou paměí FIGARCH, je před odhadem příslušných paramerů modelů zobrazena auokorelační funkce procesu volailiy a provedena R/S analýza, v omo případě upravenou pro deekci dlouhé paměi v procesu volailiy. Obrázek Auokorelační funkce procesu volailiy indexu PX a BUX.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0..0 ACF-r:bux_reurn ACF-r:bux_reurn ACF-r:PXreurn ACF-r:PXreurn 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 5 0 5 0 5 30 35 40 0 5 0 5 0 5 30 35 40 Z hyperbolického poklesu auokorelačních funkcí lze odhadova příomnos dlouhé paměi v procesech volailiy. Výsledek R/S analýzy je uveden v abulce 3. 9

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0 Tabulka 3 Výsledky R/S analýzy pro proces volailiy PX BUX odhad Hursova exponenu 0,5639 0,403 U indexu PX vychází odhad Hursova exponenu v inervalu 0,5 H ˆ, což značí persisenci procesu volailiy, a lze edy usuzova na příomnos dlouhé paměi ve volailiě. V případě indexu BUX je odhad Hursova exponenu v inervalu 0 H ˆ 0,5, což značí na anipersisenní proces volailiy vyznačující se sřídáním kladných a záporných hodno, a edy exisenci sřední paměi v procesu volailiy. Model FIGARCH by edy mohl bý vhodným násrojem pro modelování podmíněného rozpylu. Paramery modelu FIGARCH jsou odhadovány meodou kvazi-maximální věrohodnosi při předpokladu Sudenova -rozdělení s supni volnosi 3. Odhady paramerů modelů za předpokladu Sudenova -rozdělení ukazuje abulka 4. Tabulka 4 Odhady paramerů pro řadu burzovního indexu PX paramer GARCH (,) FIGARCH (,d,) ω 4,77e-006 0,05 (,44e-006) (0,0) β 0,849 0,664 (0,09) (0,077) 0,37 0,088 (0,0) (0,067) d - 0,687 (0,08) Saisická významnos jednolivých paramerů modelu je esována na 5% hladině významnosi, přičemž je zjišěno, že paramer je saisicky nevýznamný, a udíž není do modelu zahrnu. Úplný model FIGARCH pro burzovní index PX lze zapsa ve varu 3 Pro úplnos je odhadován i model GARCH (,). 30

3 AOP 9(4), 0, ISSN 057-3043 (9) resp. rovnice pro podmíněný rozpyl má v případě modelu GARCH (,) var 6 0,849 0,37 0,77 4 h u h. (0) Obrázek 3 porovnává rozdělení sandardizovaných reziduí indexu PX, kdy lze pozorova, že model FIGARCH lépe vysihuje vyšší špičaos rozdělení než model GARCH. U obou modelů byla pomocí Jarqueova-Beraova esu prokázána nenormalia sandardizovaných reziduí. Obrázek 3 Rozdělení sandardizovaných reziduí modelu FIGARCH a GARCH 0,687 0,664 0,664 0,05 ~,66,, 00 log u L L h h f h u u P P y 0,, r:px_reurn N (s = 0,998) SdRes_PX Densiy

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0 Sejně posupujeme i pro index BUX, kdy výsledky jsou znázorněny v abulce 5. Tabulka 5 Odhady paramerů modelů pro index BUX paramer GARCH (,) FIGARCH (,d,) ω 6,87e-006 0,068 (,48e-006) (0,039) β 0,870 0,65 (0,0) (0,8) 0,09 0,33 (0,08) (0,095) d - 0,55 (0,6) I v omo případě není paramer z důvodu jeho saisické nevýznamnosi do modelu FIGARCH zahrnu. Výsledná rovnice charakerizující podmíněný rozpyl má var h 0,65 L L 0,55 u, () 0,068 0,65 h resp. v případě modelu GARCH (,) h. () 6 6,87 0 0,09u 0,870 h Z hodno odhadů paramerů modelu GARCH (,) vyplývá, že souče odhadů paramerů a je 0,985 resp. 0,979, což je hodnoa velmi blízká jedné, a lze edy uvažova o modelu IGARCH (,). Hodnoa parameru u modelů GARCH je malá a hodnoa velká, což znamená, že efek šoků promíající se do podmíněného rozpylu se zrácí velmi pomalu. Velikos dopadu šoku u do podmíněného rozpylu h je poom 0,4 j 0,85 j-, resp. 0, 0,87 j-. Rovněž u indexu BUX je dle odhadnuých modelů volailiy znázorněno rozdělení sandardizovaných reziduí. I u indexu BUX byla dle Jarqueova-Beraova esu prokázána nenormalia rozdělení sandardizovaných reziduí. V omo případě naopak model GARCH lépe vysihuje vyšší špičaos rozdělení než model FIGARCH. 3

AOP 9(4), 0, ISSN 057-3043 Obrázek 4 Rozdělení sandardizovaných reziduí modelu FIGARCH a GARCH Densiy r:bux_reurn N (s = 0,999) SdRes_BUX 3. Výpoče Value a Risk Value a Risk je kalkulován na denní bázi pro 95% a 99% inerval spolehlivosi. Při výpoču VaR uvažujeme dlouhou pozici, kdy držielé dlouhé pozici se obávají poklesu cen a sledují levé spekrum rozdělení cen. S ohledem na analýzu v čási 4. pracujeme s levými kvanily q Sudenova -rozdělení, edy nabývá hodno 0,05 a 0,0. Vhodnos, resp. přesnos jednolivých modelů volailiy pro propoče Value a Risk kvanifikujeme pomocí Kupiecova esu (Kupiec, 995). Buď x poče výnosů/zrá x převyšující kalkulovaný VaR a T je poče pozorování. Pak označme fˆ jako T odhadnuou pravděpodobnos překročení VaR. Tesování validiy modelu je ekvivalenní k esování nulové hypoézy H 0 : f oproi alernaivní hypoéze H : f, kde značí zvolenou pravděpodobnos. Tesová saisika Kupiecova esu nabývá podoby T x T x x ln ˆ ˆ x f f ~ LR KUP ln. (3) Výsledky Kupiecova esu validiy modelů FIGARCH, GARCH a EWMA jsou uvedeny v abulce 6. 33

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0 Tabulka 6 Tesování modelů pomocí Kupiecova esu PX BUX α kvanil model f LR esová saisika výsup esu 0,05 FIGARCH 0,03998 3,6876 VHODNÝ 0,05 GARCH 0,04,809 VHODNÝ 0,05 EWMA 0,04859 0,069 VHODNÝ 0,0 FIGARCH 0,00984 0,004 VHODNÝ 0,0 GARCH 0,0093 0,05 VHODNÝ 0,0 EWMA 0,007 0,877 VHODNÝ 0,05 FIGARCH 0,05474 0,74573 VHODNÝ 0,05 GARCH 0,05597,7489 VHODNÝ 0,05 EWMA 0,0650 4,33 NEVHODNÝ 0,0 FIGARCH 0,00677,9399 VHODNÝ 0,0 GARCH 0,00800 0,70887 VHODNÝ 0,0 EWMA 0,0093 0,05 VHODNÝ Dle výsledků Kupiecova esu vyplývá, že při výpoču Value a Risk jsou modely FIGARCH a GARCH vhodnými násroji pro modelování podmíněného rozpylu. U indexu BUX byla zamínua při kalkulaci 95 % VaR nulová hypoéza validiy modelu EWMA, což může signalizova závěr o ne příliš vhodném přísupu modelování volailiy dle rigidní meody RiskMerics, ale naopak podporuje flexibilnější ekonomerický přísup. Na ideji měření času prvního překročení VaR je založen Kupiecův TUFF es (Kupiec, 995) s esovou saisikou ln LR TUFF ~ (), jehož výsledky jsou uvedeny v abulce 7. 34

AOP 9(4), 0, ISSN 057-3043 Tabulka 7 Tesování modelů pomocí Kupiecova TUFF esu PX BUX α kvanil model LR TUFF esová saisika výsup esu 0,05 FIGARCH 0,07978 VHODNÝ 0,05 GARCH 0,07978 VHODNÝ 0,05 EWMA 0,07978 VHODNÝ 0,0 FIGARCH 0,07978 VHODNÝ 0,0 GARCH 0,07978 VHODNÝ 0,0 EWMA 0,07978 VHODNÝ 0,05 FIGARCH 0,9434 VHODNÝ 0,05 GARCH 0,9434 VHODNÝ 0,05 EWMA 0,9434 VHODNÝ 0,0 FIGARCH 6,05 NEVHODNÝ 0,0 GARCH 6,05 NEVHODNÝ 0,0 EWMA 0,9434 VHODNÝ Dle Kupiecova TUFF esu byly při výpoču 99% VaR indexu BUX odmínuy modely FIGARCH a GARCH, naopak ve všech případech byl jako vhodný shledán model EWMA. Ovšem eno es má nízkou sílu v idenifikaci španých modelů pro VaR, a edy jeho závěrům auor nepřikládá velkou váhu. Uvažováním pravděpodobnosi nasání událosi překročení VaR v čase podmíněné (ne)překročením v čase (-) je založen Chrisoffersenův es (Chrisoffersen, 996). Tesová saisika Chrisoffersenova esu má var n 0 0 00 + n 0 n 0 + n n0 n0 n0 LR LR CHR CHR= ln ~ (), (4) n 00 n 0 n 0 n 0 0 kde,, 0 jsou příslušné pravděpodobnosi a n ij podmíněné marginální čenosi výskyů překročení VaR. Výsledky ohoo esu validiy modelů jsou uvedeny v abulce 8. 35

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0 Tabulka 8 Tesování modelů pomocí Chrisoffersenova esu PX BUX α kvanil model LR esová saisika výsup esu 0,05 FIGARCH 0,774 VHODNÝ 0,05 GARCH,64 VHODNÝ 0,05 EWMA 7,8970 NEVHODNÝ 0,0 FIGARCH 0,00000 VHODNÝ 0,0 GARCH 0,00000 VHODNÝ 0,0 EWMA,69834 VHODNÝ 0,05 FIGARCH 0,0304 VHODNÝ 0,05 GARCH 4,688 VHODNÝ 0,05 EWMA 0,700 VHODNÝ 0,0 FIGARCH 3,50699 VHODNÝ 0,0 GARCH,86384 VHODNÝ 0,0 EWMA,33467 VHODNÝ Pomocí Chrisoffersenova esu byla kromě validiy modelů volailiy (s výjimkou modelu EWMA) prokázána i skuečnos, že se v časových řadách výnosů nevyskyují clusery. Závěr V omo článku byly popsány frakcionálně inegrovaný model GARCH, kerý může bý použielný pro modelování podmíněné heeroskedasiciy v případě jiného než exponenciálního poklesu auokorelační funkce a model EWMA. Jako možný násroj pro přesnější modelování volailiy byly oba modely zasazeny do meodologie Value a Risk. Pomocí esování podmíněné heeroskedasiciy na denních daech logarimických měr výnosů burzovních indexů PX a BUX je povrzena oprávněnos použií modelů podmíněné heeroskedasiciy. Následná R/S analýza prokázala exisenci dlouhé paměi v procesu volailiy (u indexu PX), a edy jisou vhodnos modelu FIGARCH. Všechny odhady paramerů modelů jsou v souladu s danou eorií. Odhady parameru frakcionální diference jsou saisicky významné, přičemž odhad není celočíselný, a edy poskyuje informaci o rychlosi promínuí šoků do volailiy. Lze konsaova, že pokud nasane šok např. v podobě věšího či menšího výnosu než je výnos očekávaný, bude eno efek projevující se do podmíněného rozpylu v čase hyperbolicky klesa a je velmi perzisenní. Z ohoo důvodu se auor domnívá, že frakcionálně inegrovaný model volailiy může slouži jako vhodný násroj pro sledování dlouhodobých závislosí v časových řadách výnosů, zaímco pro krákodobé závislosi je dosačující např. model GARCH. 36

AOP 9(4), 0, ISSN 057-3043 Dle esu normaliy je povrzen eoreický poznaek odlišného rozdělení, přičemž byla zjišěna věší špičaos a záporné zešikmení rozdělení sandardizovaných reziduí oproi rozdělení normálnímu. Tudíž je jednak z hlediska dosažených hodno momenů, ak i dosupnosi sofwaru (GiveWin, OxMerics) shledán jako vhodnější pro následný výpoče Value a Risk předpoklad Sudenova -rozdělení výnosů. Value a Risk pro jednolivé burzovní indexy je kalkulován na denní bázi se zvolenou 95% a 99% pravděpodobnosí, přičemž je uvažována dlouhá pozice držby indexů. Vhodnos analyzovaných modelů volailiy pro výpoče VaR auor kvanifikuje pomocí saisických esů Kupiecův, TUFF a Chrisoffersenův es. Na základě ěcho esů auor shledává model FIGARCH jako vhodný násroj pro modelování podmíněného rozpylu, zejména v siuaci prokázání dlouhé paměi v procesech volailiy. Na základě éo analýzy vybraných modelů podmíněné heeroskedasiciy auor konsauje jako nedosačující pouze přijmou meodiku RiskMerics s modelem EWMA, ale doporučuje provés důkladnou analýzu časových řad (např. R/S analýza) s následným odhadem paramerů u věší škály modelů. A eprve na základě prozkoumání charakerisik časových řad a provedení backesingu zvoli vhodný model volailiy pro výpoče VaR. Ovšem na druhou sranu ani backesing neposkyuje jednoznačnou odpověď pro výběr vhodného modelu, a o ať už z důvodu slabé síly esu nebo rozdílných doporučení o validiě modelu. Avšak je více než zřejmé, že díky charakeru finančních časových řad je nedosaečné při kalkulaci VaR uvažova konsanní volailiu v podobě směrodané odchylky, nýbrž je nuné použí např. zmíněné auoregresní modely volailiy či model sochasické volailiy. Pro další výzkum vedoucí k zpřesnění sanovování Value a Risk např. při výpočech kapiálových požadavků v rámci Basel III, keré mají zásadní význam mj. pro úvěrovou poliiku bank, by bylo vhodné zabýva se i přísupy opírající se o vícerozměrné modely podmíněné heeroskedasiciy (např. vícerozměrné modely EWMA či GARCH ypu vech, BEKK apod.), a o především u modelování rozpylu evropských burzovních indexů, kde lze očekáva, že dochází k efeku rozlévání volailiy mezi jednolivými akciovými rhy. Lieraura BAILLIE, R. T.; BOLLERSLEV, T.; MIKKELSON, H. O. 996. Fracionally inegraed generalized auoregressive condiional heeroskedasiciy. Journal of Economerics. 996, vol. 74, s. 3 30. BOLLERSLEV, T.; WOOLBRIDGE, J. M. 99. Quasi-maximum Likelihood Esimaion and Inference in Dynamic Models wih Time-varying Covariances. Economeric Reviews. 99, vol., s. 43 7. CHRISTOFFERSEN, P. F. 998. Evaluaing Inerval Forecass. Inernaional Economic Review. 998, vol. 39, s. 84 86. GRANGER, C. W. J. 980. Long Memory Relaionships and he Aggregaion of Dynamic Models. Journal of Economerics. 980, vol. 4, s. 7 38. HOSKING, J. R. M. 98. Fracional Differencing. Biomerika. 98, vol. 68, s. 65 76. JORION, P. 997. Value a Risk.. vyd. 997. ISBN 0-7863-0848-6. J. P. MORGAN. 996. RiskMerics Technical Documen. New York : J.P. Morgan, 996. www.jpmorgan.com. 37

ACTA OECONOMICA PRAGENSIA 4/0 KUPIEC, P. 995. Techniques for verifying he accuracy of risk measuremen models. Journal of Derivaives. 995, vol., s. 74 84. MANDELBROT, B. 963. The Variaion of Cerain Speculaive Prices. Journal of Business. 963, vol. 36, s. 394 49. TREŠL, J. 999. Saisické meody a kapiálové rhy.. vyd. 999. ISBN 80-7079-9-0. APPLICATION OF FIGARCH AND EWMA MODELS ON STOCK INDICES PX AND BUX Absrac: Volailiy of he fi nancial ime series belongs o he crucial esimaed parameers in fi nance (e.g. in risk managemen, derivaive pricing). I is well known, ha volailiy varies in ime, so ha new approaches of volailiy modeling have appeared. In his paper wo models of he condiional heeroskedasiciy fracionally inegraed GARCH (FIGARCH) and EWMA are presened. These models are illusraed on he daily hisorical reurns of sock index PX and index BUX. Sandard ess of normaliy, auocorrelaion and condiional heeroskedasiciy are applied o hese log-reurn ime series and before esimaing he models, which confi rm a usabiliy of he condiional heeroskedasiciy models. Empirical resuls of he Rescale Range analysis (R/S) indicae a long memory in he volailiy process of PX index and he fi rs 40 auocorrelaions of he square log-reurns show heir hyperbolic decay. The volailiy models are esimaed by quasi-maximum likelihood mehod wih Suden`s -disribuion and used o he calculaion of he -day 95% and 99% Value a Risk values. Finally, he validiy of he models is verifi ed by Kupiec`s es, TUFF and Chrisoffersen`s es. These ess demonsrae, ha he FIGARCH model is a suiable alernaive o he EWMA model in he Value a Risk calculaion. Keywords: PX and BUX indices, fracionally inegraed process, FIGARCH, Value a Risk, EWMA JEL Classificaion: C, C5, C58. 38