Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Martina Čechvalová. Speciální problémy regrese v ekonomii a financích

Transkript

1 Univerzia Karlova v Praze Maemaicko-fyzikální fakula BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Marina Čechvalová Speciální problémy regrese v ekonomii a financích Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jika Zichová, Dr. Sudijní program: Maemaika Finanční maemaika

2 Ráda bych poděkovala vedoucí mé bakalářské práce, RNDr. Jice Zichové, Dr., za její cenné připomínky a podněy k éo práci a za čas srávený na konzulacích. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsala samosaně a výhradně s použiím ciovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 6.8. Marina Čechvalová

3 Obsah ÚVOD KLASICKÝ MODEL LINEÁRNÍ REGRESE ZÁKLADNÍ POJMY MEODA NEJMENŠÍCH ČVERCŮ VLASNOSI ODHADU MEODOU NEJMENŠÍCH ČVERCŮ KOEFICIEN DEERMINACE NORMÁLNÍ MODEL....6 ESOVÁNÍ HYPOÉZ esování normaliy esy hypoéz o paramerech Předpovědi EKONOMERICKÁ ZOBECNĚNÍ LINEÁRNÍ REGRESE ZOBECNĚNÝ MODEL LINEÁRNÍ REGRESE HEEROSKEDASICIA Deekce heeroskedasiciy Důsledky a řešení heeroskedasiciy AUOKORELOVANOS REZIDUÍ Deekce auokorelovanosi reziduí Důsledky a řešení auokorelovanosi reziduí....4 DYNAMICKÉ MODELY Lineární regresní model s auokorelovanými rezidui Model rozložených časových zpoždění Náhodné regresory MULIKOLINEARIA ANALÝZA DA KLASICKÁ REGRESE VYŠEŘENÍ HEEROSKEDASICIY AUOKORELOVANOS REZIDUÍ MULIKOLINEARIA ZÁVĚR POUŽIÁ LIERAURA A ZDROJE... 35

4 Název práce: Speciální problémy regrese v ekonomii a financích Auor: Marina Čechvalová Kaedra(úsav): Kaedra pravděpodobnosi a maemaické saisiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jika Zichová, Dr. vedoucího: zichova@karlin.mff.cuni.cz Absrak: Práce se zabývá speciálními problémy regrese v analýze ekonomických a finančních da a jejich následným řešením. Nejprve je zaveden klasický model lineární regrese, jeho paramery jsou odhadnuy meodou nejmenších čverců (OLS odhad). K posouzení míry kompaibiliy modelu s použiými day se využívají saisické esy hypoéz o odhadnuých paramerech a koeficien deerminace. V zobecněném modelu lineární regrese mohou bý vlivem heeroskedasiciy a auokorelovanosi reziduí změněny vlasnosi OLS odhadu paramerů. V éo siuaci je vhodné původní model ransformova do podoby lépe odpovídající skuečnosi. Na konkréním příkladu jsou pak demonsrovány odhady paramerů modelu jak v případě klasické regrese bez porušení předpokladu normaliy reziduí, ak i s ohledem na heeroskedasiciu da a auokorelovanos reziduí. Klíčová slova: klasický model lineární regrese, zobecněný model lineární regrese, heeroskedasicia, auokorelovanos reziduí. ile: Special Regression Problems in Economics and Finance Auhor: Marina Čechvalová Deparmen: Deparmen of Probabiliy and Mahemaical Saisics Supervisor: RNDr. Jika Zichová, Dr. Supervisor s address: zichova@karlin.mff.cuni.cz Absrac: he presen paper is concerned wih special regression problems in economic and financial daa analysis and heir subsequen solving. A firs, a classical model of linear regression is esablished; is parameers are esimaed by ordinary leas squares mehod (OLS). o examine he degree of compaibiliy beween he model and used daa, we apply saisical hypohesis esing ogeher wih he coefficien of deerminaion. In a generalized model of linear regression, he properies of he OLS esimae can be influenced by heeroskedasiciy and he auocorrelaion of residuals. In ha case, i is convenien o ransform he original model ino a model which beer corresponds o realiy. Parameer esimaions are demonsraed on a specific example for boh he classical regression model wihou assumpion of 3

5 residual normaliy being disurbed and he model considering daa heeroskedasiciy and auocorrelaion of residuals. Keywords: classical model of linear regression, generalized model of linear regression, heeroskedasiciy, auocorrelaion of residuals. 4

6 Úvod Cílem práce je shrnou různá ekonomerická zobecnění modelu lineární regrese a demonsrova jejich chování s použiím vhodného sofwaru na reálných daech. V první čási práce (kapioly. a.) je zpracována eorie ýkající se klasické regrese a jejích ekonomerických zobecnění na základě monografie []. V druhé čási (kapiola 3.) jsou pak yo poznaky aplikovány na konkréní finanční daa s vyhodnocením výsledků v podobě komenovaných výsupů z ekonomerického sofwaru EViews 5. V dalším exu budeme používa následující značení: I jednoková maice α χ ( p) - α-kvanil χ - rozdělení o p supních volnosi α ( p) - α-kvanil Sudenova - rozdělení o p supních volnosi F α ( m, n) - α-kvanil Fisherova Snedecorova F - rozdělení o m a n supních volnosi 5

7 . Klasický model lineární regrese. Základní pojmy Regresní analýza slouží ke kvaniaivnímu popisu vzahu mezi ekonomickými a finančními veličinami. Vysvěluje změny hodno jedné proměnné (říkáme jí aké závisle proměnná) pomocí změn hodno jiných proměnných (regresorů). Na analýzu vzahu dvou proměnných x a y se časo používá korelační koeficien ρ = corr(x,y). Korelační koeficien měří sílu lineární závislosi mezi ěmio proměnnými. Hodnoy blízké jedné indikují náznak symerického lineárního vzahu, proo nelze jednoznačně říci, jesli změny v hodnoách x způsobí změny v hodnoách y nebo naopak. Naproi omu v modelu regresní analýzy jsou role proměnných asymerické, nelze je zaměni, proo jsou závěry regrese silnější než závěry korelační analýzy. Formálně lze lineární regresní model zapsa ve varu: (..) y = β + β x + K + β x + ε, = K,,, k k kde může bý index času, objeku, lokaliy ad. V případě časových řad je pak y hodnoa závisle proměnné v čase, x, K, xk jsou hodnoy regresorů x, K, x k pozorované v čase, β, K, β k jsou neznámé paramery modelu a ε je reziduální složka modelu. eno formální zápis se při konkréních aplikacích vhodně upravuje. Pro věší přehlednos se časo používá maicový zápis lineárního regresního modelu: y = X β + ε, (..) kde X = M x x x M K K K K x x x k k M k, β = β β, ε = M β k ε ε. (..3) M ε 6

8 Předpokládáme, že maice X má hodnos k +. Paramery β,, β K k lze inerpreova ako: jesliže se hodnoa vysvělující proměnné x i zvýší o jednoku, pak lze očekáva, že pokud jinak vše osaní zůsane neměnné, změní se hodnoa vysvělované proměnné y o hodnou β i. Reziduální složka modelu ε v sobě zahrnuje souhrn vlivů, keré v modelu nejsou explicině uvedeny, chyby v měření veličin, jevy s výrazně náhodným charakerem nebo nevhodnou volbu regresního vzahu (např. jednodušší lineární vzah míso nelineárního).. Meoda nejmenších čverců K odhadu vekoru paramerů β se nejčasěji používá meoda nejmenších čverců. Minimalizujeme souče čverců S = y x ij β j = ( y Xβ) ( y Xβ). (..) = j= Odhad paramerů β meodou nejmenších čverců (OLS odhad) lze zapsa v maicovém varu b = (X'X X'y. (..) Vypočenými OLS hodnoami nazýváme y ˆ = Xb, (..3) OLS rezidua (nepozorovaelné hodnoy reziduální složky ε odhadnué pomocí zkonsruovaného modelu) jsou ˆ= ε y - yˆ. (..4).3 Vlasnosi odhadu meodou nejmenších čverců K odvození vlasnosí OLS odhadu pořebujeme, aby model splňoval následující předpoklady: (A) E( ε ) =, =,,, (B) var( ε ) = σ < (homoskedasicia), =,,, (C) cov( ε, ) = pro s, =,,, s ε (D) cov( x, ε ) =, =,,, i =,,k. i 7

9 Kromě paramerů β obsahuje klasický model lineární regrese ješě neznámý paramer σ >, jehož OLS odhadem obvykle bývá s ˆ ε = ˆ ε ˆ ε = =. (.3.) ( k+ ) ( k+ ) Lze snadno ukáza, že varianční maice OLS odhadu b má var Σ = var( ) = ( bb b σ X X), (.3.) jejím OLS odhadem je pak S bb = s ( X X). (.3.3) Odhad se nazývá nesranný, jesliže jeho sřední hodnoa je rovna hodnoě odhadovaného parameru. V opačném případě je vychýlený a nenulový rozdíl sřední hodnoy a odhadovaného parameru se nazývá vychýlení. V klasickém modelu lineární regrese plaí: E(b) = β; (.3.4) E(s²) = σ²; (.3.5) E( S bb ) = Σ bb. (.3.6) OLS-odhad b v klasickém modelu lineární regrese je zároveň nejlepší nesranný lineární odhad ve smyslu minimalizace rozpylu. Odhad se nazývá konzisenní, jesliže při rosoucím rozsahu výběru konverguje v pravděpodobnosi ke skuečné hodnoě odhadovaného parameru. V klasickém modelu lineární regrese plaí: b je konzisenní odhad vekoru paramerů β, s² je konzisenní odhad parameru σ², Sbb je konzisenní odhad varianční maice Σ bb. V praxi se časo využívají zv. asympoické vlasnosi odhadu, j. vlasnosi, keré plaí limině pro rozsah výběru, např. asympoická normalia. Mají čisě eoreický charaker, neboť není možné dosáhnou nekonečného rozsahu výběru, ale liminími přechody se výrazně zjednoduší složié neasympoické vzahy, akže výsledky jsou jednodušší a lépe použielné. 8

10 .4 Koeficien deerminace K posouzení míry kompaibiliy modelu s použiými day se využívají různé saisické esy nebo, pokud nám sačí orienační odhad, koeficien deerminace. OLS meodika je založena na minimalizaci reziduálního souču čverců: RSS = ˆ = ( y yˆ ) = = ε. (.4.) Dalšími používanými ypy souču čverců jsou úplný souče čverců SS a vysvělený souče čverců ESS: kde y je průměr hodno SS = ESS = y,..., ( y y) = ( y y) = y., (.4.) ˆ, (.4.3) Lze ukáza, že plaí SS = ESS+ RSS, (.4.4) RSS závisí na měříku zvoleném pro hodnoy y, proo není vhodný jako míra adekvánosi modelu. eno problém se však eliminuje normováním RSS a zavedením koeficienu deerminace ESS RSS R = =. (.4.5) SS SS R je výběrovou verzí čverce korelačního koeficienu mezi y a ŷ, akže R. Model dobře popisuje daa, pokud R. Maximalizace koeficienu R odpovídá minimalizaci (..). Model se snaží vysvěli variabiliu proměnné y kolem její průměrné hodnoy y. Pokud pro vysvělení proměnné y nemáme žádnou další informaci ve formě regresorů, pak je ESS =, RSS = SS a případě je R =, ESS = SS, RSS =. R =. V ideálním Problémem však je, že po doplnění regresorů do modelu hodnoa nikdy neklesne. Pokud edy chceme maximalizova R, dospějeme k ěžce odhadnuelným modelům s velmi vysokým počem regresorů. Navíc, v ekonomerii jsou běžné modely s R > 9%, akže koeficien deerminace nám nepomůže při rozhodování mezi modely s podobně vysokými hodnoami R 9

11 R. Proo se v praxi někdy dává přednos korigovanému koeficienu deerminace (adjused R ) ( ) R = R. (.4.6) ( k+ ) ady je nárůs hodnoy R po přidání dalšího regresoru brzděn vyšším k, ale ani o není dosaečné a vede k modelům s vysokým počem regresorů. Navíc je pravděpodobnosní rozdělení saisické esování. R i R složié, a proo se nehodí na.5 Normální model Pokud v klasickém modelu lineární regrese přidáme k předpokladům (A) (D) předpoklad na normaliu reziduálních složek, j. ε ~ N ( σ, ), pak mluvíme o normálním modelu. I když je normalia nejjednodušším předpokladem na specifikaci rozdělení reziduální složky a lze ji zdůvodni cenrální liminí věou, může bý až příliš zjednodušující. Dá se však aké dobře saisicky esova. V normálním modelu plaí: b ~ N(, σ ( X X) ) β, ( k+ ) s ~ χ ( ( k+ ) ), σ OLS odhady b a s² jsou vzájemně nezávislé. Normalia bývá časo dosažena až asympoicky, proo se esy hypoéz plané pouze za předpokladu normaliy používají na daa s věším rozsahem. Maximálně věrohodný odhad (ML odhad) se odvozuje pomocí logarimické věrohodnosní funkce normálního modelu: log L β = log f ε, β, (.5.) f f(,β) kde ( ε, β)= = ( ) ( ) ε je sdružená husoa reziduí. ML odhad paramerů β je shodný s OLS odhadem: ˆβ = ( X X) X y = b, (.5.) ML odhad parameru σ² je: ˆ ε = ˆ ε ˆ ε ( k+ ) ˆ σ. (.5.3) = = = s

12 ML-odhad ˆ σ je asympoicky nesranný a asympoicky shodný s OLS odhadem (.3.), ML odhady jsou za snadno splnielných předpokladů konzisenní..6 esování hypoéz es hypoézy H : θ = θ, kde θ je neznámý paramer ve saisickém modelu a θ dané číslo, se provádí jedním ze ří způsobů: () pomocí kriického oboru porovnáním velikosi esové saisiky s kvanilem jejího pravděpodobnosního rozdělení na zvolené hladině α; () pomocí inervalu spolehlivosi zkonsruujeme inerval spolehlivosi pro θ na hladině - α; zamíáme/nezamíáme nulovou hypoézu na hladině α, pokud θ neleží/leží v omo inervalu; () pomocí p-hodnoy p-hodnoa je maximální hladina významnosi, při keré bychom ješě příslušnou nulovou hypoézu nezamíli; čím je p-hodnoa menší, ím je nulová hypoéza méně přijaelná. Nulovou hypoézu zamíáme na hladině α, pokud je p-hodnoa α..6. esování normaliy K ověření normaliy modelu se využívají různé saisické esy (Shapirův Wilkův es, -es, es Jarque Bera, ). Pro normální rozdělení náhodné veličiny X jsou kromě prvních dvou momenů, j. sřední hodnoy a rozpylu, charakerisické i další vlasnosi: ( X µ ) E šikmos γ = 3 σ hodno jsou podobné špičaos γ 3 ( X µ ) 4 E = 4 =, edy čenosi menších a věších 3 =, edy normální rozdělení je σ mesokurické, ve finanční praxi jsou však časější lepokurická rozdělení da, kerá mají koeficien špičaosi kladný; ao rozdělení mají zv. ěžké konce.

13 V praxi lze využí výběrové koeficieny: x - výběrový koeficien šikmosi = x ˆ γ, (.6.) = ˆ σ x - výběrový koeficien špičaosi = x ˆ γ 3. (.6.) = ˆ σ 3 4 V regresním modelu aplikujeme esy normaliy na OLS-rezidua εˆ, např. es normaliy Jarque Bera: - esová saisika: - nulová hypoéza: : ~ N( σ ) ˆ γ = ˆ γ W +, (.6.3) 6 4 H ε,, - esová saisika má za planosi nulové hypoézy asympoicky χ. rozdělení ( ) Kriický obor na hladině α je W ( ) χ. α Při zjišění nenormaliy da ji můžeme přijmou jakou odůvodněnou a použí jiný model, ransformova proměnné i celý model nebo například modelova odlehlá pozorování pomocí kvaliaivních proměnných a reziduální složky budou mí normální rozdělení. Kvaliaivní vysvělující proměnné (kaegoriální proměnné) se využívají na numerickou reprezenaci kvaliaivních vlasnosí da. U regresních modelů lze využí kaegoriální proměnné například při rozdělení populace do skupin, přičemž každou skupinu mohou regresory ovlivňova různým způsobem. Pracuje se s nimi sejně jako s osaními regresory. Jako dummies se označují proměnné, jenž lze do modelu zapoji jako lineární kombinaci vhodných binárních proměnných nabývajících hodno,. Používají se například pro modelování kaegoriálních proměnných, odlehlých pozorování nebo pro odlišení nového modelu..6. esy hypoéz o paramerech V normálním modelu lze esova různé hypoézy pro jednolivé paramery i pro více paramerů najednou. Pro individuální esování se nejčasěji provádí esy významnosi regresních paramerů, keré esují, jesli i-ý regresor β i do modelu skuečně paří.

14 K omuo se využívá zv. -poměr vořící levou sranu kriického oboru na hladině α: bi je OLS odhad pro b s i b i β i, α / ( ( k ) ), i =,, k, (.6.4) + sb je směrodaná odchylka ohoo odhadu. i abulka ukazuje α/ kvanily pro -poměry a jejich chování vůči - α/ kvanilům rozdělení N(,): Hladina významnosi α α / (4) α / (4) u α / pro N(,) %,3,68,64 5%,78,,96 % 4,6,7,58 abulka.6. Vidíme, že významné regresory by měly mí hodnou -poměru přibližně a více. Při velkém poču da -poměr rychle rose (kvůli klesající směrodané odchylce ve jmenovaeli), proo je výhodné v akovém případě pracova na hladině významnosi % a méně. Při souhrnném esování více paramerů se před koeficienem deerminace upřednosňuje F-es, časo s nulovou hypoézou ve varu H β β = K = β. Pokud uo hypoézu nelze zamínou, žádný : = k = z regresorů není schopen vysvěli změny vysvělované proměnné. Někdy se pak mluví o esu významnosi modelu jako celku..6.3 Předpovědi Předpovědí v rámci modelu lineární regrese rozumíme odhad hodnoy vysvělované proměnné y * pro dané hodnoy x *, K, x * vysvělujících k proměnných. Hvězdička v y * může kromě budoucí hodnoy y znamena aké další hodnou y při hodnoách x *, K, x * mimo výběrový soubor, jež byl použi pro odhad modelu. k Cipra,.: Finanční ekonomerie. Ekopress, Praha, 8, sr. 6 3

15 Předpovědi lze různě klasifikova, mj. na bodovou předpověď (bodový odhad y*) a na inervalovou předpověď (inervalový odhad neboli inerval spolehlivosi pro y*). Bodová předpověď pro hodnou y β + β x * + K + β * + * (.6.5) * = k xk ε v odhadnuém modelu lineární regrese je y* b + b x * + K + k k x * = b *, (.6.6) kde x * (, x *, K, x *). = k ˆ = k x ao předpověď je nejlepším nesranným odhadem (ve smyslu minimalizace odhadnué směrodané odchylky), pokud jsou splněny předpoklady: E ε * =, (E) ( ) ε σ, (F) var( *) = < (G) cov( ε, ε*) = pro =,,. V asympoicky normálním modelu lze zkonsruova inervalový odhad pro y * na hladině - α, kerý má var: ( y * ( ( k+ ) ). s, yˆ * + ( ( k ) ). ) ˆ / e α / + s e α, (.6.7) kde s e je odhad směrodané odchylky reziduí y * yˆ * : a s je dáno vzahem (.3.). ( X' X) x*' s e = s + x*' (.6.8) 4

16 . Ekonomerická zobecnění lineární regrese. Zobecněný model lineární regrese Zobecněný model lineární regrese zobecňuje předpoklady (B) a (C) (maicově var( ε ) = σ I ) do varu (B*) a (C*) ( ) σ varε = Ω, kde Ω je poziivně defininí maice, j. rozpyl reziduální složky nemusí bý konsanní a reziduální složky nemusí bý navzájem nekorelované. V omo případě je nejlepším nesranným odhadem paramerů β zv. Aikenův odhad: s varianční maicí varu - ( X' Ω X) X' Ω y ~ b= (..) - ( XΩ X) Nesranným odhadem parameru σ > je ~ ' ~ ~ ε Ω ε s = ( k+ ) Σ ~ ~ = σ '. (..) bb kde ~ ε značí rezidua. edy nesranným odhadem rozpylové maice je ( X Ω ) S ~ ~ ~ = ' X b, (..3) b s. (..4) Avšak Ω je neznámá maice a nelze odhadnou všechny její paramery, proože jich je mnohem více (řádově ) než je poče pozorování ( ), akže rozumný odhad dosáváme jen ve speciálních případech. omuo odhadu se říká přípusný Aikenův odhad a jeho definicí je - ( X' ˆ X) X' ˆ Ω Ω y kde Ωˆ je konzisenní odhad maice Ω. b =, (..5) Lze ukáza, že v zobecněném modelu zůsává OLS odhad b nesranným odhadem paramerů β, ale není obecně nejlepší mezi nesrannými lineárními odhady. OLS odhad s není obecně nesranným odhadem parameru σ². 5

17 . Heeroskedasicia O heeroskedasiciě se mluví v případě porušení předpokladu homoskedasiciy (B), j. jesliže reziduální složky nemají konsanní rozpyl. Pro modelování finančních časových řad je heeroskedasicia ypická. O heeroskedasiciě mluvíme v případě, kdy var( ε ) = σ Ω = σ diag{ k, K, k }, >, j. reziduální složky ε mají nekonsanní rozpyl hodnoami k a jsou vzájemně nekorelované. σ k, K,k >, (..) σ k s neznámými kladnými.. Deekce heeroskedasiciy Jedním z nejpoužívanějších saisických esů heeroskedasiciy bez pořeby znalosí předběžných informací o jejím pravděpodobném varu je Whieův es. es spočívá v ověření homoskedasiciy jako nulové hypoézy, např. v modelu y = β + βx+ β x + ε, = K,,. (..) V omo případě Whieův es vyvoří pomocný model pro OLS rezidua ˆ ε = α + α x + α x + α x + α x + α x x + u, (..3) za předpokladu normálně rozdělené reziduální složky u. Chceme zjisi, zda se rozpyl původních chyb ε sysemaicky mění v závislosi na všech regresorech původního modelu. Pomocný model musí nuně obsahova konsanu α, neboť čverce OLS reziduí mají kladnou sřední hodnou. V pomocném modelu (..3) provedeme souhrnný F-es lineárních omezení H α = α = α = α = α. (..4) : = Obecně příslušný kriický obor na hladině významnosi α je ( k+ ) RRSS URSS. F α ( m, ( k+ )), (..5) m URSS kde k + je poče paramerů v modelu ypu (..3), m je poče nulových paramerů v hypoéze H ypu (..4), RRSS je reziduální souče čverců za planosi H, URSS je reziduální souče čverců v modelu ypu (..3). edy, v našem případě je příslušný kriický obor varu 6 RRSS URSS. F α (5, 6). (..6) 5 URSS 6

18 Alernaivně lze použí χ es, při němž sačí v modelu (..3) naléz koeficien deerminace R². Příslušný kriický obor pro (..4) na hladině významnosi α je pak obecně v našem případě ( ( k+ ) ) R ( m) χ α, (..7) χ α ( 6). R (5). (..8) Poznámka Není-li splněna podmínka normaliy asympoicky. u, plaí uvedené esy pouze.. Důsledky a řešení heeroskedasiciy Ignorování heeroskedasiciy v klasickém OLS modelu způsobí: - OLS odhad b zůsává nesranným a konzisenním odhadem paramerů β, ale není obecně nejlepší mezi jejich nesrannými lineárními odhady; - OLS odhad s² není obecně nesranným odhadem σ²; - sandardní posup k výpoču varianční maice odhadu b může vés k chybným závěrům; - při odhadování pomocí (.3.3) je chyba odhadnuého parameru β obvykle nadhodnocena, chyba odhadnuých paramerů β,..., β k zase podhodnocena. Pokud známe příčiny heeroskedasiciy, keré lze modelově zvládnou, je její řešení jednoduché, např. pro heeroskedasiciu varu z var( ε ) = σ, =,...,, (..9) kde z jsou pozorovaelné hodnoy. V éo siuaci je vhodné původní model (..) ransformova do varu y x xk = β + β + K + β k + u, =, K,, (..) z z z z kde nyní ε var( u ) var = = σ, =, K,, (..) z akže ransformovaný model (..) je homoskedasický, a edy opimálně odhadnuelný pomocí OLS odhadu. eno OLS odhad má úzkou souvislos s zv. váženým LS odhadem v původním modelu. 7

19 Pro modelování heeroskedasiciy lze (..9) nahradi obecnějším předpisem var(ε ) = h( z γ ), =, K,, (..) = k kde h je známá funkce, z (, z, K, z ) je vekor pozorovaných proměnných, keré mají vliv na variabiliu modelu, a γ je neznámý vekor paramerů. Přiom rozlišujeme: - adiivní heeroskedasiciu: h( z γ ) = z γ; (..3) - muliplikaivní heeroskedasiciu: h( z γ ) = z γ e. (..4) V praxi ale obvykle příčiny heeroskedasiciy neznáme. Přesože exisují velmi sofisikované procedury pro řešení, vzhledem k numerické náročnosi ěcho meod a absenci příslušného sofwaru se dává přednos jednodušším modelům, např. aplikaci logarimické či jiné ransformace na proměnné ak, aby došlo k redukci jejich velikosi včeně redukce případných exremálních hodno, keré mohou způsobova heeroskedasiciu. Ve finanční ekonomerii je v modelu s heeroskedasiciou časo používán odhad rozpylové maice OLS odhadu b: W S bb = ( ) X X ˆ ε x. x. ( X ), ( + ) = X (..5) k kde k je poče regresorů a x. je -ý řádek maice X. eno Whieův odhad je robusní (necilivý) vůči heeroskedasiciě a konzisenní..3 Auokorelovanos reziduí K porušení předpokladu (C) nekorelovanosi reziduí dochází časo ak, že regresní model je kvanifikovaný pomocí da ve varu časových řad a vykazuje zv. auokorelovanos reziduí, kdy reziduální složka ε je korelovaná se svými zpožděnými a budoucími hodnoami ε,. Pro veličiny s časovým + k k uspořádáním je korelovanos poměrně obvyklá. Ignorováním auokorelovanosi bychom se dosali k neeficiennímu odhadu příslušného modelu lineární regrese a pokazily by se např. i předpovědi modelu. Definici a popis eficience odhadu lze nají například v []. 8

20 .3. Deekce auokorelovanosi reziduí Nejjednodušší yp auokorelovanosi spočívá v modelování reziduální složky ε pomocí zv. auoregresního modelu prvního řádu AR(): ε ϕε + u, (.3.) = kde ϕ je paramer (- < ϕ < ) a u je zv. bílý šum posloupnos navzájem nekorelovaných veličin s nulovou sřední hodnoou a konsanním kladným rozpylem. Velmi důležiou roli hraje znaménko parameru ϕ, proože ϕ > (poziivní auokorelovanos) indikuje servačnos ve znaménku sousedních hodno ε, zaímco ϕ < (negaivní auokorelovanos) naopak znamená časé změny ve znaménkách sousedních hodno ε. Model AR() lze idenifikova na základě Durbinova-Wasonova esu (D-W esu) auokorelovanosi reziduí, kerý je v základní podobě schopen esova pouze auokorelaci prvního řádu s nulovou hypoézou H : ϕ. esová saisika má var DW = = ( ˆ ε ˆ ε ) = ˆ ε =, (.3.) kde εˆ jsou OLS rezidua. Při poziivní auokorelovanosi jsou diference v čiaeli relaivně malé, při negaivní relaivně velké. Jednoduchými úpravami lze odvodi aproximaci DW ( ˆ), ϕ (.3.3) kde ˆ ε ˆ ε = ˆ ϕ =. (.3.4) ˆ ε = Pro ři význačné hodnoy odhadnuého korelačního koeficienu ao aproximace dává: - pro ϕˆ = (sousední rezidua jsou nekorelovaná) je DW, - pro ϕˆ = (sousední rezidua jsou exrémně poziivně korelovaná) je DW, - pro ϕˆ = - (sousední rezidua jsou exrémně negaivně korelovaná) je DW 4. 9

21 Za předpokladu normaliy bílého šumu kriické hodnoy d L (dolní) a u má esová saisika DW dvě d U (horní), keré závisí pouze na poču pozorování a na poču regresorů k a nezávisí na konkréním varu regresní maice X. Použií ěcho kriických hodno ale vyžaduje, aby model obsahoval konsanu α, aby reziduální složka měla normální rozdělení a aby regresory byly nenáhodné. D-W es se obvykle využívá na indikaci možnosi exisence auokorelovaných reziduí. Kriické hodnoy lze nají ve saisických abulkách nebo se určují simulacemi, zjednodušeně však např. DW zhruba pod hodnoou,5 při více než 5 pozorováních a menším poču regresorů znamená poziivní auokorelovanos, ale např. pro DW v inervalu ( d L, d U ) je es neprůkazný. Ekonomerické sofwarové produky nabízejí především Breuschův- Godfreyův es auokorelovanosi reziduí, kerý vychází z modelu AR(p), p ε = λε + λε + K+ λ ε + u. (.3.5) esujeme H λ λ =... = λ proi H λ nebo λ nebo nebo λ. : = p = : p p p (.3.6) Na koeficien deerminace R² se aplikuje χ es, příslušný kriický obor na hladině α je χ α ( p). R ( p). (.3.7) Problémem u ohoo esu je volba řádu p. Jednoduché doporučení spočívá ve volbě odpovídající frekvenci da, j. např. p = pro měsíční pozorování ad.. Ale, je-li model saisicky adekvání, neměla by bý nalezena žádná významná auokorelovanos při jakékoli volbě p..3. Důsledky a řešení auokorelovanosi reziduí Důsledky ignorování auokorelovanosi reziduí jsou podobné jako v případě heeroskedasiciy: - OLS odhad b zůsává za příslušných předpokladů nesranným a konzisenním odhadem paramerů β, není ale obecně nejlepší mezi nesrannými lineárními odhady paramerů β, - nelze použí sandardní posup pro výpoče varianční maice odhadu b, ale k získání jejího konzisenního odhadu lze jako zobecnění Whieova odhadu (..5) použí Neweyův Wesův odhad (heeroskedasiciy and auoregression consisen covariances); konkréní var ohoo odhadu viz [], sr.,

22 - speciálně, v případě poziivní auokorelovanosi reziduí bývají podhodnoceny sandardní OLS odhady směrodaných odchylek odhadnuých paramerů a sandardní OLS odhad směrodané odchylky reziduální složky. Jakmile je povrzen určiý yp auokorelovanosi reziduí, lze použí odhady pro zobecněný model lineární regrese. Původně byla rozšířena zv. Cochranova-Orcuova meoda, a o zvlášť pokud D-W es povrdil auokorelovanos reziduí prvního řádu, j. y = β + βx + K+ β x + ε, ε = ϕε + u. (.3.8) k k ao meoda vychází z zv. Koyckovy ransformace, při níž se v čase odečíá od regresní rovnice (.3.8) přepis éo rovnice pro čas - vynásobený konsanou ϕ. Kdyby hodnoa parameru ϕ byla známa, pak bychom pomocí Koyckovy ransformace dosali klasický model lineární regrese: y = β * + β x * + K + β x * + u, (.3.9) * k k kde y = y ϕy, β * = ( ϕ ) β, x * = x ϕx, K, x * = x ϕx. *, k k, k Na om je založena Cochranova-Orcuova meoda, probíhající v následujících krocích:. Odhadnou se OLS rezidua εˆ v modelu (.3.8).. Získá se odhad ϕˆ parameru ϕ podle (.3.4). 3. Provede se OLS odhad modelu (.3.9), v němž se paramer ϕ nahradí odhadem ϕˆ. 4. Proceduru je možné ukonči v kroku 3., věšinou se ale pokračuje dál ieračně, opakovaně procházíme kroky.-3. a proceduru ukončíme na základě vhodného ukončovacího pravidla, např. když hodnoa ϕ mezi dvěma ieračními cykly klesne pod předem sanovenou hodnou. Cochranova-Orcuova meoda a další příbuzné meody mají u nevýhodu, že kladou velmi silná omezení na srukuru modelu, j. na vzahy mezi jeho paramery. Pokud se v reálných úlohách esuje planos akovýcho omezení, saisické esy jejich planos obvykle zamíají. Proo jsou preferovány dynamické modely.

23 .4 Dynamické modely Všechny doposud uvažované modely byly saické popisovaly pouze současné vzahy mezi proměnnými, kdy změna jedné nebo více vysvělujících proměnných v čase vyvolá okamžiou změnu vysvělované proměnné ve sejném čase. V praxi však hodnoa y časo závisí aké na předchozích hodnoách y, y, K a x, x, K. V dynamických modelech a v modelech časových řad se pracuje aké s operáory pro časové posuny a diference: - operáor časového posunu B zpozdí veličinu o jednu časovou j jednoku: By y, B y = y, j >. (.4.) = j - diferenční operáor provede první diferenci: d d d y = y y = ( B) y, y = y y, d >. (.4.) - sezónní diferenční operáor s pro délku sezóny s provede sezónní diferenci: s y = y y = B ) y. (.4.3) s s ( Důvodem pro zavádění časových zpoždění může bý např. pomalá reakce na změny (např. z nedůvěry k novým zprávám ohledně rhu) nebo přehnaná reakce na změny. Dynamický model může vypada například ako: y = β + β x + β x + β x + β y + ε. (.4.4) 3, 4 Pro dynamické modely jsou důležié yo řídy modelů: () lineární regresní model s auokorelovanými rezidui neobsahuje zpožděné proměnné, obsahuje zpoždění v reziduální složce; () model rozložených časových zpoždění obsahuje zpožděné vysvělující proměnné, ale ne zpožděnou vysvělovanou proměnnou; speciálním případem je polynomický model rozložených časových zpoždění; (3) auoregresní model rozložených časových zpoždění obsahuje zpožděnou vysvělovanou proměnnou. eoreickým východiskem dynamických modelů bývá lineární model s náhodnými regresory..4. Lineární regresní model s auokorelovanými rezidui Lineární regresní model s auokorelovanými rezidui je zobecněným modelem lineární regrese, jehož reziduální složkou je sacionární ARMA

24 proces. ARMA procesy jsou základním násrojem moderní analýzy časových řad, a o zejména pro snadné modelováni ruinních forem korelovanosi v časových řadách lineárními prosředky a snadné rozšíření na nesacionární případ. Definici a vlasnosi lze nají podrobně v []..4. Model rozložených časových zpoždění Model rozložených časových zpoždění (disribued lag model, DL model) obsahuje zpožděné vysvělující proměnné, ale neobsahuje zpožděnou vysvělovanou proměnnou. Pro jednoduchos se můžeme omezi na model s jedinou vysvělující proměnnou x, kerý navíc splňuje předpoklady klasického modelu lineární regrese: y i= = α + β x ε. (.4.6) i i + Vliv vysvělující proměnné je rozložen do velkého poču minulých časových období. Přiom lze rozliši: - okamžiý vliv změny vysvělující proměnné, kerý je určen paramerem β ; - kumulovaný vliv až do zpoždění τ určený konečným součem paramerů β ( τ ) = τ i= βi ; (.4.7) - dlouhodobý vliv (long-run effec) určený nekonečným součem paramerů: = = i β, (.4.8) β i kerý odráží vliv vysvělující proměnné po jejím přechodu do rovnovážného savu. V dynamickém modelu se počíají další charakerisiky, např. β i i= mediánové zpoždění = nejmenší q* akové, že, 5 β a sřední zpoždění = i= i= i 3 q* i= i (.4.9) i. βi. (.4.) β

25 Model ve varu (.4.6) ale naráží na řadu problémů, proo se doporučuje pracova např. s geomerickým modelem rozložených časových zpoždění y i= i = α + β ( λ ) λ x ε, <λ <, (.4.) i + kerý využívá konečný poče paramerů a dlouhodobý vliv je zde zřejmě roven přímo parameru β. Jednodušší přísup ke konsrukci modelu (.4.) je prosřednicvím zv. modelu čásečného přizpůsobení (parial adjusmen model). Máme požadovanou úroveň vysvělované proměnné y : y * = α + β. + ε (.4.) x a přizpůsobovací rovnici y y = λ )( y * y ), <λ <, (.4.3) ( Dosazením (.4.) do (.4.3) dosaneme y α ( λ) + β ( λ ) x + λy + η, kde η = λ) ε. (.4.4) = ( Složka η je nyní nekorelovaná v čase, udíž OLS odhad modelu (.4.4) je konzisenní..4.3 Náhodné regresory Uvažujme klasický model lineární regrese (..) s explicině deklarovanou náhodnosí regresorů. Pak řada předchozích výsledků ýkajících se OLS odhadu plaí jen podmíněně při fixovaných hodnoách regresorů. Jesliže edy předpoklady (A) - (C) nahradíme předpoklady pak např. zůsává E ( ε X) = ; var( ε X) = σ I, (.4.5) E ( b X) = β; var( 4 = X b X) σ ( X ). (.4.6) Použiím silnějšího předpokladu vzájemné nezávislosi X a ε dokonce (při současné planosi (A) (C)) plaí E ( b) = β; var( b) = σ E{( X X) }. (.4.7) Prakické použií náhodných regresorů je spojeno s řadou problémů, podsané zlepšení však nasane přechodem k asympoice při splnění předpokladů: (A) p lim X X = V, kde V je regulární maice, (.4.8) (A) p lim X ε =, (.4.9) přičemž p lim značí konvergenci v pravděpodobnosi, viz [].

26 (A) je vlasně předpokladem sabiliy, variabilia vysvělujících proměnných musí bý dosaečná, ne však přílišná. (A) je podmínka orogonaliy a předsavuje asympoickou nekorelovanos regresorů s reziduální složkou. Regresory splňující (A) případně (D) se označují jako exogenní. Jesliže v lineárním regresním modelu s náhodnými regresory plaí i předpoklady (A) a (A), pak kromě jiného () OLS odhad b je konzisenní odhad paramerů β, () OLS odhad s² podle (.3.) je konzisenní odhad parameru σ², (3). b má asympoicky rozdělení N(β, σ² V ). Pokud předpoklady (A) a (A) nejsou splněny, příslušné OLS odhady nemusí bý konzisenní..5 Mulikolinearia Předpoklad h(x) = k + v modelu (..3) s nenáhodnými regresory souvisí s jevem označovaným jako mulikolinearia. V někerých případech v praxi mohou bý sloupce regresní maice X lineárně závislé. aková siuace se označuje jako perfekní mulikolinearia. Časější je ale případ (éměř) mulikolineariy, když jsou sloupce maice X (éměř) lineárně závislé maice X X má deerminan blízký nule, akže ji lze jen ěžko numericky inverova (j. X je španě podmíněná). Nejjednodušším indikáorem mulikolineariy je velká absoluní hodnoa výběrového korelačního koeficienu mezi dvěma regresory. Korelovanos mezi vysvělovanou proměnnou a regresorem se v žádném případě za mulikolineariu nepovažuje. Mezi jednoduchá orienační kriéria pro rozpoznání mulikolineariy paří posouzení velikosi nediagonálních prvků výběrové korelační maice regresorů nebo velikosi výběrového koeficienu mnohonásobné korelace vždy mezi jedním a zbývajícími regresory. Kromě oho byly aké navrženy saisické esy mulikolineariy, např. es založený na výběrovém koeficienu mnohonásobné korelace nebo es založený na výběrovém parciálním korelačním koeficienu. O výběrovém koeficienu mnohonásobné korelace a o výběrovém parciálním korelačním koeficienu podrobněji pojednává např. []. Pro modely s mulikolineariou jsou doporučovány např. yo posupy: - ignorování mulikolineariy, někdy může bý oiž regresní model adekvání i v případě mulikolineariy; 5

27 - vynechání vysvělujících proměnných způsobujících mulikolineariu, eno posup však může někdy naruši finančně-ekonomickou inerpreaci modelu; - ransformace někerých vysvělujících proměnných, např. cenrování odečením výběrového průměru, normování, přechod k diferencím; - rozšíření daového souboru; - použií apriorní informace, např. že paramery modelu jsou váhy, j. sčíají se na jedničku; - použií meody hlavních komponen viz např. skripa [3]. 6

28 3. Analýza da 3. Klasická regrese Příklad v éo kapiole se ýká měnových kurzů, konkréně kurzu české koruny k euru v roli vysvělované proměnné a kurzů české koruny k americkému dolaru, briské libře, ruskému rublu a japonskému jenu v roli vysvělujících proměnných. Použiá daa jsou denní kurzy koruny k různým měnám, jak je uváděla Česká národní banka v čase od 4.. do.7.. Po oesování různých varian modelu byly vybrány 4 měny, keré mají výraznější vliv na kurz eura. Přiom bylo nuné hodnoy da upravi ak, aby se vzahovaly na sejnou jednoku např. uvádí se cena dolaru, eura, ale rublů, jenů. x x x 3 x 4 V modelu byly použiy yo 4 vysvělující proměnné: cena amerického dolaru v korunách českých (DOLLAR), cena briské libry v korunách (POUND), cena rublu v korunách (RUBL), cena jenu v korunách (YEN) Poče pozorování ve výběrovém souboru je 9. V abulce 3.. vidíme příslušný počíačový výsup pro eno model ze sofwaru EViews 5. Ve sloupci Coefficien jsou odhady regresních paramerů, přičemž c ( ) = b, c() = b ad. Následují odhadnué směrodané odchylky s,..., b s b 5 a hodnoy - poměru (viz (.6.4)). V posledním sloupci jsou p hodnoy pro es významnosi jednolivých paramerů. Z hlediska saisických vlasnosí můžeme ako odhadnuý model považova za přijaelný. es Jarque Bera (obr. 3..) použiý na esování normaliy reziduí má p-hodnou 59%, edy normaliu zamíáme až od hladiny éměř 6%. Normaliu reziduí povrzuje i hisogram na obr Oba koeficieny deerminace (.4.5) i (.4.6) jsou dosaečně vysoké éměř 7%, čili vybrané měnové kurzy ovlivňují chování kurzu eura ze 7%, zbyek voří různé náhodné vlivy, např. poliická siuace. Věšina regresorů je na základě -poměru s p-hodnoou pod 5% významná, s výjimkou proměnné YEN s p-hodnoou 7%, což se dalo aké očekáva. Významnos modelu jako celku byla esována pomocí F-esu v programu NCSS. p-hodnoa pro F-es je,%, edy model je saisicky významný. 7

29 Dependen Variable: EUR Mehod: Leas Squares Sample (adjused): /4/ 7// Included observaions: 9 afer adjusmens EUR = C() + C()*DOLLAR + C(3)*POUND + C(4)*RUBL + C(5)*YEN Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C() C() C(3) C(4) C(5) R-squared.6987 S.E. of regression.7788 Adjused R-squared.6838 abulka 3.. Klasická regrese Series: Residuals Sample /4/ 7// Observaions 9 Mean 4.8e-5 Median Maximum Minimum Sd. Dev..767 Skewness.4837 Kurosis Jarque-Bera.49 Probabiliy Obr. 3.. Normalia reziduí dle EViews 3, Hisogramof Residuals of eur,5 Coun 5, 7,5, -,6 -,4 -,,,4 Residuals of eur Obr Normalia reziduí dle NCSS 8

30 Na základě ohoo modelu lze usoudi, že hodnoa eura je přímo úměrná hodnoě dolaru a libry, nepřímo úměrná hodnoě rublu, u jenu nemůžeme zamínou hypoézu, že euro neovlivňuje. V menším modelu se 3 regresory dolarem, librou a rublem jsou však výsledky analogické, jen hodnoa koeficienu deerminace je o deseinu procena nižší. 3. Vyšeření heeroskedasiciy K esování homoskedasiciy jako nulové hypoézy byl použi Whieův es z odsavce.., založený na modelu (..3) pro 4 regresory, kerý zahrnuje i bilineární členy ypu dolar*rubl. abulka 3.. ukazuje výsledek Whieova esu heeroskedasiciy pro eno model s využiím EViews. F-es (..5) i χ - es (..7) zamíají homoskedasiciu na hladině významnosi %, edy rezidua nemají sejný rozpyl. éměř všechny regresory jsou na hladině 5% významné, na hladině % se jako nevýznamný ukazuje pouze bilineární člen DOLLAR*YEN, model jako celek je edy významný. Whie Heeroskedasiciy es: F-saisic Probabiliy.38 Obs*R-squared 4.58 Probabiliy. es Equaion: Dependen Variable: RESID^ Mehod: Leas Squares Sample: /4/ 7// Included observaions: 9 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C DOLLAR DOLLAR^ DOLLAR*POUND DOLLAR*RUBL DOLLAR*YEN POUND POUND^ POUND*RUBL POUND*YEN RUBL

31 RUBL^ RUBL*YEN YEN YEN^ R-squared.347 F-saisic S.E. of regression.36 Prob(F-saisic).38 abulka 3.. Whieův es heeroskedasiciy se zahrnuými bilineárními členy 3.3 Auokorelovanos reziduí Na obr je znázorněn výsup z EViews 5 pro korelogram reziduí. Klesající auokorelační funkce a parciální auokorelační funkce useknuá v bodě indikují pro modelování reziduální složky ε model AR() (viz []). Obr ACF a PACF vekoru reziduí dle EViews 5 O poměrně silné poziivní auokorelovanosi mezi ε a ε svědčí aké abulka 3.3., kde je s pomocí EViews 5 znovu odhadnu model pro vývoj kurzu eura vůči různým svěovým měnám. enokrá je v abulce 3.3. uvedena i Durbin Wasonova saisika (DW =,445) a směrodané odchylky odhadnuých paramerů byly získány pomocí Neweyova Wesova odhadu. 3

32 DW saisika s hodnoou podsaně nižší než svědčí o silné poziivní auokorelovanosi. V abulce 3.3. je pak proveden Breuschův Godfreyův es (.3.5) auokorelovanosi reziduí pro řád p = auoregresního modelu. eno es vykazuje rovněž silnou auokorelovanos reziduí ve formě F-esu iχ esu, v obou případech zamíáme nekorelovanos na hladině %. Dependen Variable: EUR Mehod: Leas Squares Sample (adjused): /4/ 7// Included observaions: 9 afer adjusmens Newey-Wes HAC Sandard Errors & Covariance (lag runcaion=4) EUR = C() + C()*DOLLAR + C(3)*POUND + C(4)*RUBL + C(5)*YEN Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C() C() C(3) C(4) C(5) R-squared.6987 Durbin-Wason sa S.E. of regression.7788 ab Výsup EViews 5 pro model kurzu eura včeně Neweyova Wesova odhadu směrodaných odchylek odhadnuých paramerů Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM es: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared Probabiliy. ab Výsup EViews 5 pro Breuschův Godfreyův es auokorelovanosi reziduí ( p= ) Regrese provedená na rezidua (abulka 3.3.3) aké povrzuje poziivní auokorelovanos. Koeficien ϕ v modelu (.3.) byl odhadnu hodnoou.77, kerá je významná na hladině %, což rovněž odpovídá předpokladu poziivní auokorelovanosi ( ϕ ). Vysoká p hodnoa u absoluního členu c znamená, že zamíáme jeho nulovos až od hladiny 8%, čímž se povrzuje předpoklad nulovosi sřední hodnoy reziduí. 3

33 Dependen Variable: REZIDUA Mehod: Leas Squares Sample (adjused): /6/ 7// Included observaions: 7 afer adjusmens Convergence achieved afer 3 ieraions Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C REZIDUAPOS R-squared.6688 F-saisic Durbin-Wason sa.987 Prob(F-saisic). ab Výsup EViews 5 pro regresi na rezidua Vzhledem k uvedené analýze je nuné při modelování kurzu eura zohledni auokorelovanos reziduí, proo byla v abulce provedena Cochranova Orcuova meoda v modelu s AR() rezidui dle (.3.8). Adekvános ohoo modelu pro uvažovaná daa povrzuje jak hodnoa Durbinovy Wasonovy saisiky (DW =,5) nelišící se příliš od, ak i výsledek Breuschova Godfreyova esu uvedený v abulce 3.3.5, kerý na hladině 5% nezamíá nekorelovanos reziduí. Dependen Variable: EUR Mehod: Leas Squares Dae: 7// ime: :5 Sample (adjused): /4/ 7// Included observaions: 9 afer adjusmens EUR = C() + C()*DOLLAR + C(3)*POUND + C(4)*RUBL + C(5)*YEN + REZIDUA Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C() C() C(3) E C(4) C(5) R-squared Durbin-Wason sa.5766 S.E. of regression.74 ab Výsup EViews 5 pro model kurzu eura s AR() rezidui Cochranova Orcuova meoda 3

34 Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM es: F-saisic Probabiliy.94 Obs*R-squared.9599 Probabiliy.8589 ab Výsup EViews 5 pro Breuschův Godfreyův es auokorelovanosi reziduí (p = ) 3.4 Mulikolinearia V abulce 3.4. vidíme výběrovou korelační maici regresorů, kerá indikuje mulikolineariu mezi jednolivými regresory. oo se dalo očekáva, jelikož měnové kurzy se nevyvíjejí nezávisle, úzce souvisejí s celkovou ekonomickou siuací. Korelační koeficien je vysoký ve všech případech, akže esovaná daa vykazují mulikolineariu, avšak regresní model je dosaečně adekvání i v případě jejího ignorování. DOLLAR POUND RUBL YEN DOLLAR POUND RUBL YEN ab Výsup EViews 5 pro korelační maici regresorů 3.5 Závěr Regresní analýza vybraných finančních časových řad přinesla následující výsledky:. Vývoj kurzu koruna euro je ovlivňován vývojem kurzů koruny vůči osaním měnám, nejméně výrazný je vliv kurzu koruna jen.. Prokázalo se, že rozpyl reziduální složky modelu nelze považova za konsanní. 3. Prokázala se poziivní auokorelovanos reziduí, kerou lze popsa AR() modelem. 33

35 4. Prokázala se mulikolinearia mezi jednolivými regresory, kerá ale nemá vliv na adekvános modelu. Lze edy říci, že daa vykazují charakerisické vlasnosi finančních časových řad. 34

36 Použiá lieraura a zdroje [] Anděl, J.: Základy maemaické saisiky. Mafyzpress, Praha, 5. [] Cipra,.: Finanční ekonomerie. Ekopress, Praha, 8. [3] Zichová, J.: Plánování experimenů a predikční vícerozměrná analýza. Karolinum, Praha, 7. hp:// ane_form.jsp 35