SROVNÁNÍ VOLATILITY AKCIOVÝCH INDEXŮ PX A FTSE 100

Transkript

1 SROVNÁNÍ VOLATILITY AKCIOVÝCH INDEXŮ PX A FTSE 100 Adam Borovička * Úvod Volailia slovo, keré slyšíme dnes a denně. Valí se na nás z elevizních obrazovek, hlasových přijímačů, išěných médií, vkrádá se nám do rozhovoru s kamarády v resauraci, na obchodních jednáních s klieny či parnery. Proč je oo cizí slovo v dnešní době ak v kurzu? Odpověď zní ekonomická krize! To ona nás naučila vnímání pojmu, za kerým se zprosředkovaně skrývá nesabilia, časá vychýlenos od průměrných hodno, nesálos. Jak příznačné pojmy pro realiu, ve keré se říí zavedené bankovní domy, nejvěší ekonomiky svěa padají do recese, cenrální banky vkládají do oběhu obrovské sumy peněžních prosředků, deseiísíce společnosí krachují, občané přicházejí o práci. Volailia označuje míru kolísání hodnoy akiva, popř. jeho výnosové míry. Volailiu můžeme chápa jako míru rizika spojenou s invesicí do určiého akiva 1. Nadměrně zvýšená volailia se plně v nedávných měsících projevila na finančních rzích srmým poklesem cen akciových iulů, aké dluhopisů a někerých komodi. Výprodeje zejména akcií epochálních rozměrů odsoudily prosředí finančních rhů do hluboké krize, z keré se pomalými kroky vzpamaovávají. Cíl příspěvku je spařován v modelování akciových indexů PX a FTSE 100. Při modelování a analýze mnoha ekonomických, zejména pak finančních časových řad, hraje zcela nezanedbaelnou roli výše popsaný jev, volailia. Takové časové řady ypicky vykazují sřídavá období relaivního klidu a poměrně vysoké variabiliy a volailiy (Hušek, 007). V éo siuaci vsupují do popředí právě modely volailiy. Zkoumané modely se edy nebudou zabýva úrovní časových řad, nýbrž jejich variabiliou. Hovoříme o skupině modelů, keré charakerizují zv. podmíněnou heeroskedasiciu (Arl a kol., 007). Zameření modelů umožňuje zachyi měnící se podmínky nejisoy v ržním prosředí. Jejich prakická aplikace je široká, velmi dobře mohou poslouži při opimalizaci porfolia či inervalových předpovědí v časových řadách (Arl a kol., 007). * Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakula informaiky a saisiky (adam.borovicka@vse.cz). 1 Porál hp://cs.wikipedia.org,

2 AOP 19(), 011, ISSN Seznámení s burzovním rhem v Praze a Londýně 1.1 Burza cenných papírů Praha Zahájení obchodování na parkeu pražské burzy se dauje k 6. dubnu Burza cenných papírů Praha je právní formou akciová společnos. Přísup do burzovního obchodního sysému mají pouze licencovaní obchodníci, keří jsou členy burzy, udíž BCPP je založena na členském principu. Burza v Praze je elekronickou, kde funguje auomaizovaný obchodní sysém, kerý je založen na auomaickém zpracování objednávek, kdy jednoliví členové burzy jsou on-line připojeni na cenrální počíač a vydávají jednolivé nákupní a prodejní příkazy. Můžeme rozliši několik druhů obchodů, nás však budou zajíma hlavně obchody s účasí vůrců rhu v Sysému pro podporu rhu akcií a dluhopisů. V současnosi je v omo sysému obchodováno 15 akciových emisí. K obchodování v sysému SPAD se využívá elekronizovaný obchodní sysém řízený cenou (sysém řízený kvóami), kerý využívá služeb marke makerů, keří neusále kóují nákupní a prodejní kursy. Jelikož fungují v akivní roli, obchodují na vlasní úče a riziko, mají schopnos vyrovnáva nesoulad mezi nabídkou a popávkou, čímž udržují likvidiu na rhu. Dalo by se edy očekáva, že vliv hodno kursu z minulého období na akuální savy bude spíše silnější. Oficiálním indexem pražské burzy cenných papírů je index PX. První výpoče ohoo indexu se uskuečnil Sal se násupcem indexů PX50 a PX-D a převzal hisorické hodnoy nejsaršího indexu pražské burzy PX50. V indexu jsou uvedeny nejsilnější společnosi obchodované na pražské burze v sysému SPAD. Index PX je počíán z cen vážený ržní kapializací. Nezohledňuje dividendové výnosy akciových iulů (Veselá, 005). Báze indexu je vořena v dnešní době (ke dni ) panáci akciovými iuly, každý zaujímá jinou relaivní váhu (podíl) na indexu. Jelikož se báze časo mění, nebudeme uvádě komplení přehled podílů jednolivých iulů. Vysačíme si s vyjádřením, že přibližně čyři pěiny indexu voří společnosi ČEZ, Erse Bank, Komerční banka a Telefónica O. 1. London Sock Exchange Hisorie londýnské burzy sahá až do 17. soleí. London Sock Exchange (LSE) dal vzniknou rok Burza v Londýně se může pyšni nejvěším mezinárodním zasoupením invesičních insrumenů společnosí z více než šedesái zemí svěa. Z hlediska ržní hodnoy koovaných společnosí drží burza evropský primá, v celosvěovém měříku se pravidelně umísťuje na předních mísech. Zcela bezkonkurenční posavení zaujímá díky svým vysoce likvidním rhům a využívání velmi sofisikovaných finančních echnologií. Porfolio obchodovaných invesičních insrumenů je velice široké, jsou obchodovány akcie, dluhopisy, depoziní svrzenky, opční lisy, opce či invesiční cerifikáy 4. Obchodování na LSE je založeno na členském principu (Musílek, Porál Porál hp://en.wikipedia.org, Porál

3 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA / ). Hlavní rh londýnské burzy využívá obchodní sysém řízený příkazy v elekronické podobě (sysém cenrální objednávkové knihy) 5, kde působí počíač, kerý páruje nákupní a prodejní signály, přičemž kurs je sanoven několikrá za den. Teno sysém mi spíše připadá jako generáor oddělených celků, kde se voří kursy akciových emisí, udíž závislos sousedních hodno bude slabšího charakeru. Akciový index FTSE 100 je nejpoužívanějším indikáorem akciového rhu ve Velké Briánii. Počáek měření daujeme k , kdy se jeho výchozí hodnoa sanovila na hranici 1000 bodů 6. Index je vořen jedním sem nejvěších briských firem, jejichž emise jsou posuzovány z hlediska ržní kapializace a likvidiy 7. Konsrukce indexu je obdobná jako u indexu PX na pražské burze. Báze FTSE 100 je proměnlivá, nejvěší společnosi figurující v širším indexu FTSE 50 mohou při splnění konkréní výše ržní kapializace posoupi do báze FTSE 100 a nahradi ak někeré dosavadní firmy v omo indexu 8.. Modely volailiy 9 Modely volailiy vycházejí z reálného předpokladu, že podmíněné rozpyly jsou v čase proměnlivé. Maemaicky si sledovaný model vyjádříme podle vzahu X 1X 1, (1) kde 1 a { } je podmíněně heeroskedasický proces s podmíněnou sřední hodnoou E( 1) 0 a podmíněným rozpylem D( 1) E( 1) h, kde je relevanní minulá informace až do času 1. Tyo požadavky splňuje 1 model procesu { } ve varu () 1/ eh, kde veličiny procesu { e } jsou nezávislé s nulovou sřední hodnoou a jednokovým rozpylem. Jesliže je rozdělení náhodné veličiny e za podmínky informace, kerá je k dispozici v čase 1, normované normální, oiž e ~ N 1(0,1), pak je rozdělení náhodné veličiny X za podmínky informace, kerá je k dispozici v čase 1, normální s podmíněným rozpylem měnícím se v závislosi na čase, j. X ~ N 1(0, h). Na základě Jensenovy nerovnosi (Arl a kol., 007) vrdíme, že špičaos nepodmíněného rozdělení ε je věší nebo rovna špičaosi normovaného normálního rozdělení. Různá formulace vývoje podmíněného rozpylu h v čase dává vzniknou několika modelům volailiy, lineráního či nelineárního charakeru. 5 Porál Porál hp://en.wikipedia.org, Porál Porál hp://en.wikipedia.org, Celá ao kapiola vychází z publikace Arl a kol., 007. Pokud bude použi jiný zdroj, bude v kapiole ciován. 68

4 AOP 19(), 011, ISSN Lineární modely volailiy Nejdříve se podíváme na modely, keré byly poprvé popsány v první polovině 80. le minulého soleí Roberem F. Englem. Pro lineární modely volailiy je charakerisické, že podmíněný rozpyl je lineární funkcí veličin,,...,. 1 q.1.1 Model ARCH(q) Obecný model ARCH vykazuje podmíněný rozpyl ve formě h (3) 1 1 q q. Podmínky 0 a i 0 pro i1,,..., q zaručují kladný podmíněný rozpyl. Model lze éž vyjádři v auoregresním varu. Po úpravách dosáváme kde v h. (4) 1 1 q q v, Nepodmíněný rozpyl procesu{ } má var D( ), 1 1 q (5) což znamená, že je konsanní v čase a proces { } je nepodmíněně homoskedasický. Model ARCH umožňuje zachyi shluky volailiy v časové řadě, sejně ak vyšší špičaos pravděpodobnosního rozdělení než je špičaos rozdělení normálního (Arl a kol., 007 či Hušek, 007)..1. Model GARCH(p,q) Mnohdy se sekáváme při modelování časových řad pomocí modelů ARCH(q) s velmi vysokým paramerem q, což má za následek odhadování velkého množsví paramerů. V roce 1986 Tim P. Bollerslev navrhl řešení rozšířením sávajícího modelu o zpožděný rozpyl. Podmíněný rozpyl obecného modelu GARCH(p,q) pak vyjadřujeme vzahem q p ii ihi i1 i1 h. (6) Kladný podmíněný rozpyl zaručují podmínky 0, i 0 pro i 1,,..., q a i0 pro i 1,,..., p. 69

5 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 Model GARCH(p,q) aké můžeme zapsa ve varu m p i i i ivi v i1 i1 ( ), (7) kde v h a mmax{ p, q}. Nepodmíněný rozpyl vykazuje konsanní vývoj v čase, proces { e } je nepodmíněně homoskedasický. Opě lze dokáza věší špičaos rozdělení náhodné veličiny ε, než vykazuje normální rozdělení.. Nelineární modely volailiy Při analýze finančních časových řad můžeme přijí do syku s různými asymerickými efeky. Za nejdůležiejší asi považujeme zv. pákový efe, kerý reflekuje nesejnoměrný projev kladných a záporných šoků do podmíněného rozpylu. Linerání modely nejsou s o zohledňova eno či jiný projev asymeričnosi, proože podmíněný rozpyl v nich závisí pouze na čverci šoků, udíž kladné i záporné šoky mají oožný efek. Jelikož věšina nelineárních modelů volailiy usiluje o zachycení různých efeků kladných a záporných šoků, mohou bý modely velmi podobné, proo byla v 90. leech minulého soleí vymyšlena meoda, kerá jednolivé modely porovnává. Meoda je založena na kosrukci funkce NIC, kerá určuje, jak se nová informace promíá do volailiy. Jinými slovy ukazuje vzah mezi šokem ε a podmíněným rozpylem h +1 za předpokladu konsanních všech minulých a příomných informací. Konkréně například v modelu GARCH(1,1) má funkce NIC var NIC ( h h ) h. (8) c 1 1 c NIC je kvadraická funkce se sředem v bodě ε = 0. V praxi se volí h rovno nepodmíněnému rozpylu procesu { }, edy...1 Model EGARCH(p,q) Model EGARCH byl vůbec prvním, kerý dokázal zachyi asymerický šok. Nejdříve se podíváme na model EGARCH(1,1), kde podmíněný rozpyl, vlasně jeho přirozený logarimus, vykazuje var ln( h ) g( e ) ln( h ), (9) kde ge e e E e ( ) ( ) Jelikož model popisuje vzah mezi logarimem podmíněného rozpylu a minulými šoky, neklademe žádná omezení na paramery α 1, β 1, γ 1, kerá by zajišťovala nezápornos podmíněného rozpylu. Z vlasnosí procesu { e } vyplývá, že proces { ge ( )} má nulovou sřední hodnou a není auokorelovaný. 70

6 AOP 19(), 011, ISSN Pro analýzu asymerie ve vzahu podmíněného rozpylu a šoků vyjádříme funkci g(e ) ve varu ge ( ) ( 1 1) eie ( 0) ( 1 1) eie ( 0) 1E( e 1 ), (10) kde I(A) je funkce, kerá nabývá hodno 1, jesliže jev A nasane a hodnoy 0, pokud jev A nenasane. Souče paramerů (α 1 + γ 1 ) ukazuje vliv kladných šoků na logarimus podmíněného rozpylu, vliv záporných šoků pak zobrazuje rozdíl paramerů (α 1 γ 1 ). Funkce NIC modelu EGARCH (1,1) má formu NIC ( h ) 1 kde A exp( / ). 1 A A 1 1 exp( ) pro 0, 1 1 exp( ) pro 0, (11) Nakonec ješě vyjádříme obecný model EGARCH(p,q) pomocí operáoru zpoždění ve varu [1 ( B)]ln( h) [1 ( B)] g( e 1), i kde ( B) ib, p i1 q ( B) ib i1 i a ge ( ) e [ e E( e )] Model GJR-GARCH(p,q) Forma obecného modelu GJR-GARCH(p,q) čisě závisí na podobě modelu GARCH(p,q). Tedy, model GARCH(1,1) lze upravi do varu h [1 I( 0)] I( 0) h, (1) kerý budeme označova právě jako model GJR-GARCH(1,1). Podmíněný rozpyl vykazuje nezáporných hodno, pokud 0, ( 1 1)/ 0 a 1 0. Model je sacionární v kovariancích, pokud plaí ( 1 1)/

7 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 Funkci NIC modelu GJR-GARCH(1,1) pak píšeme ve varu NIC( h ) A 1 1 pro 0, pro 0, (13) kde A 1. Pro model sacionární v kovariancích je podmíněný rozpyl /[1 ( )/ ] Konsrukce modelu volailiy Při výsavbě modelu musíme analyzova sacionariu sledovaných časových řad, provádíme esy podmíněné heeroskedasiciy a normaliy, dále esujeme hypoézu podmíněné heerskodesiciy nelineárního ypu. Po odhadnuí paramerů zvoleného modelu podmíněné heeroskedasiciy se ověřuje jeho vhodnos diagnosickými esy (esy auokorelace, heeroskedasiciy či normaliy). Pro další pořeby se model dále může modifikova. Konečná verze modelu pak slouží pro popisné nebo predikční účely. Sacionariu časových řad budeme diagnosikova pomocí grafi ckých násrojů, výběrové auokorelační funkce (ACF), výběrové parciální auokorelační funkce (PACF) a esů Dickeye a Fullera. Pro analýzu podmíněné heeroskedasiciy lineráního ypu využijeme ARCH es, při zkoumání podmíněné heeroskedasiciy nelineárního charakeru pak SB, PSB a NSB esy. Tesování auokorelace budeme provádě pomocí Pormaneau esu. Jarqeův-Berův es normaliy pak poslouží pro sledování charakeru rozdělení sledované veličiny (Arl a kol., 007 nebo Hušek, 007)..3.1 Sacionaria časových řad Posouzení grafu časové řady či analýzu varu výběrové auokorelační či parciální auokorelační funkce můžeme zařadi mezi subjekivní meody idenifikace sacionariy časové řady. Velmi jednoduchou meodou je právě posouzení grafu časové řady. Pokud odečeme z nákresu evidenní příomnos rendu, předpokládáme nesacionariu sledované časové řady. Podobně analyzujeme průběh výběrové auokorelační funkce, kde sledujeme, jesli klesá alespoň přibližně lineární empem, což ukazuje opě na nesacionariu časové řady. Výběrová parciální auokoreačaní funkce pak mimo jiné umožňuje sledova korelaci mezi dvěma vybranými náhodnými veličinami očišěnou od vlivu osaních veličin. Konečně se dosáváme k čisě analyickým saisickým násrojům. Při sledování sacionariy časové řady budeme uvažova základní model X 1X 1, (14) 7

8 AOP 19(), 011, ISSN kde je koeficien Φ 1 auokorelace 1. řádu. Teno proces se sane nesacionárním, pokud plaí ρ = 1 (zv. jednokový kořen). Na esování (nulové) hypoézy, že ρ = 1, resp. časová řada je nesacionární, exisuje několik esů, např. esy Dickeye a Fullera, popř. jejich rozšířené verze (Arl a kol., 007 či Hušek, 007)..3. Tesy auokorelace Příomná auokorelace v modelu negaivně dopadá na opimální vlasnosi odhadnuých regresních koeficienů. Odhady věšinou zůsavají nesranné a konzisenní, ale zrácejí vydanos. Běžné esovací posupy či spočené inervaly spolehlivosi související s daným modelem nelze považova za spolehlivé. K esování příomnosi auokorelace nesysemaické (náhodné) složky využijeme Pormaneau es. Tesuje se hypoéza H 0 : ρ 1 = ρ =... = 0 proi hypoéze H 1 : non H 0, kde ρ k pro k = 1,,..., K jsou auokorelace nesysemaické složky modelu pro zpoždění k. Tesové kriérium sanovujeme vzahem K ˆ k, k 1 Q T (15) keré má pro vysoké hodnoy T a K přibližně rozdělení χ s (K p q) supni volnosi. Porovnáním hodnoy esového kriéria (15) s příslušnými kvanily rozdělení χ (K p q) lze esova hypoézu o neauokorelovanosi náhodné složky. Pro malé rozsahy výběrů se saisika (15) modifikuje..3.3 Tesy normaliy Ke komplení diagnóze modelu je určiě pořebné aké oesova rozdělení náhodné složky. Normalia nesysemaické složky je důležiá zejména pro esování paramerů modelu, pro esování auokorelací či pro konsrukci inervalových předpovědí. Jarqeův-Berův es normaliy by měl slouži právě k omuo účelu. Je založen na myšlence současného esování šikmosi a špičaosi. Předpokládáme, že řeí normovaný momen (šikmos) normálního rozdělení je 0 a čvrý normovaný momen (špičaos) normálního rozdělení je 3. Tesové kriérium vyjádříme vzahem JB = SK + KU, (16) kde SK je esové kriérium pro esování šikmosi rozdělení T SK 6 1/ mˆ mˆ 3 3/ (17) a KU je esové kriérium pro esování špičaosi rozdělení T KU 4 1/ mˆ mˆ 4 3, (18) 73

9 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 T j ( aˆ a) aˆ 1 1 kde mˆ j a a T T, j,3,4. T Pokud bude plai nulová hypoéza zasupující normaliu nesysemaické složky modelu, mají saisiky SK a KU asympoicky normované normální rozdělení N(0, 1). Saisika JB má rozdělení χ (). K zamínuí nulové hypoézy aké může vés skuečnos, že veličiny nesysemaické složky nemají konsanní rozpyl..3.4 Tesy podmíněné heeroskedasiciy lineárního ypu Jev heeroskedasiciy zkoumáme a zjišťujeme sejně jako u auokorelace z důvodů negaivních dopadů na výsledný model. Odhady regresních koeficienů zrácejí někeré opimální vlasnosi, zejména vydanos, saisické esy mohou podáva falešné informace. Konkréně k idenifikaci podmíněné heeroskedasiciy lineárního ypu využijeme ARCH es, kerý lze aké inerpreova jako es auokorelace čverce nesysemaické složky. Podmíněný rozpyl h modelu ARCH(q) je konsanní, jesliže jsou paramery odpovídající veličinám,..., 1 q rovny nule. Jako nulová hypoéza bude figurova hypoéza podmíněné homoskedasiciy, oiž H 0 : α 1 = α =... = α q = 0. Alernaivní hypoézou je, že alespoň jeden paramer je různý od nuly, j. H 1 : non H 0. Tes bychom pak mohli zapsa v následujících krocích: 1. Odhadnou se paramery lineárního či nelineárního úrovňového modelu a získají se rezidua ˆ a reziduální souče čverců ESS 0.. Konsruuje se regresní model ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 qq u, na jehož základě se získá reziduální souče čverců ESS 1 a index deerminace R. 3. Tesové kriérium LM ve varu TR má za předpokladu planosi nulové hypoézy asympoické rozdělení χ (q). 4. F-verze ohoo esového kriéria pro malé výběry má podobu ( ESS0 ESS1)/ q FLM, její rozdělení lze za předpokladu planosi nulové ESS1 /( T q 1) hypoézy aproximova rozdělením F(q, T q 1)..3.5 Tesy podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu Při zjišťování příomnosi podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu můžeme využí dva způsoby. V rámci prvního nejprve zvolíme lineární model volailiy a odhadneme jeho paramery. Poé zkoumáme, jesli je model vhodný či by bylo lepší vzhledem k daovým asymeriím použí spíše model nelineární. Druhý přísup je analogií ověřování podmíněné heeroskedasiciy lineárního ypu. Přímo se oiž esuje 74

10 AOP 19(), 011, ISSN hypoéza podmíněné homoskedasiciy proi hypoéze podmíněné heeroskedasiciy nelineárního charakeru. K esování podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu využijeme SB, NSB a PSB esy. SB es se používá pro objasnění, zda kladné a záporné výnosy bez ohledu na jejich výši mají jiný vliv na podmíněnou heeroskedasiciu. NSB a PSB esy pak ověřujeme, jesli vliv záporných či kladných výnosů na podmíněný rozpyl závisí aké na jejich výši (Arl a kol., 007 nebo Hušek, 007). Nejdříve si musíme zavés někeré proměnné. D 1 bude umělá proměnná, kerá nabude hodnoy 1, jesliže ˆ 1 je záporné nebo hodnoy 0 v jiném případě. Další pomocnou proměnnou bude D 1 1 D. U SB esu vycházíme z modelu 1 ˆ 0 1wˆ 1 u, (19) kde ˆ je čverec rezidua lineárního nebo nelineárního úrovňového modelu a wˆ 1 D 1. Tesovanou hypoézou je H0 : 1 0 a alernaivní hypoézou se sává H : 0. Tesovým kriériem je saisika. 1 1 Pokud v modelu (19) w ˆ ˆ 1 D 1 1, pak se es nazývá NSB es. Jesliže plaí v modelu (19), že wˆ ˆ 1 D 1 1, poom se jedná o PSB es. Rozdělení saisiky je ve všech řech zmíněných esech asympoicky normované normální. Uvedené esy můžeme nakonec slouči. Pak budeme posupova podle schémau: 1. Odhadnou se paramery lineárního či nelineárního úrovňového modelu a získají se rezidua ˆ a reziduální souče čverců ESS 0.. Konsruuje se regresní model ˆ ˆ ˆ 0 1D 1 D 11 3D 11 u, na jehož základě se získá reziduální souče čverců EES 1 a index deerminace R. Tesovanou hypoézou je H0 : 1 3 0, kerá poukazuje na nepříomnos asymerie uvažovaného ypu v časové řadě. Alernaivní hypoéza pak vykazuje podobu H 1 : non H 0 3. Tesové kriérium LM ve varu TR má za předpokladu planosi nulové hypoézy asympoicky rozdělení χ (3). ( ESS0 ESS1)/3 4. F-verze ohoo kriéria pro malé výběry vykazuje var FLM, ESS1 /( T 4) T kde ESS 0 je reziduální souče čverců ˆ, její rozdělení lze za předpokladu planosi nulové hypoézy aproximova rozdělením F(3, T 4) Odhad paramerů modelu volailiy O něco podrobněji se zasavíme u odhadových echnik paramerů modelu volailiy. Základní model výnosů finančních časových řad můžeme rozděli na dvě čási. Jedna čás reprezenuje model úrovně časové řady lineárního či nelineárního charakeru, druhá 75

11 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 pak lineární nebo nelineární model volailiy časové řady. Popsaný model zapíšeme ve formě X G( X, ), (0) kde X (1, X 1,, Xp) ', G( X, ) je skeleon lineárního či nelineárního auoregresního modelu s paramery, kerý je minimálně dvakrá spojiě derivovaelnou funkcí vzhledem k ěmo paramerům a { } je proces s nulovou podmíněnou sřední hodnoou a podmíněným rozpylem h ypu lineárního nebo nelineárního modelu GARCH s paramery. Pak vekor paramerů výše zmíněného modelu je ( ', ')'. Pro odhad paramerů modelu využijeme meodu maximální věrohodnosi. Pokud má e normované normální rozdělení, logarimus věrohodnosní funkce pro časovou řadu o rozsahu T pozorování píšeme ve varu T L( ) l ( ), (1) 1 kde l ( ) 1/ln 1/ln h s / h. Maximálně věrohodný odhad získáme maximalizací logarimu věrohodnosní funkce. Teno odhad řeší rovnici T l ( ) 0. 1 Proože je ao podmínka nelineární v paramerech, používá se k získání maximálně věrohodného odhadu ieraivní opimalizační procedura (Arl a kol., 007 nebo Hušek, 007). Zmíněná meoda dává za předpokladu správně zvoleného podmíněného pravděpodobnosního rozdělení odhady paramerů konzisenní a asympoicky normální. Problémem je však předpoklad podmíněné normaliy procesu { } u finančních časových řad. Mnohdy se bere v úvahu, že rozdělení veličiny e je Sudenovo. Paramery modelu mohou bý odhadnuy maximalizací logarimu věrohodnosní funkce odpovídající omuo rozdělení. V praxi posupujeme odlišně, jelikož není zcela jednoduché správně rozdělení urči, vycházíme sále z předpokladu normaliy rozdělení. Odhady jsou sále konzisenní a asympoicky normální. Teno přísup označujeme jako quasi meoda maximální věrohodnosi (Arl a kol., 007 či Hušek, 007). 3. Modelování volailiy akciových indexů PX a FTSE 100 Po podpůrné eoreicky zaměřené čási přecházíme na prakickou aplikaci. Nejprve předsavíme napozorovaná daa ýkající se vývoje hodno akciových indexů PX a FTSE Pro co možná časově nejkomplexnější pohled na volailiu jsou finanční časové 10 Porál

12 AOP 19(), 011, ISSN řady přibližně 8,5 roku dlouhé, konkréně od do Jedná se o řady vysokofrekvenční, používáme denní údaje referující o závěrečné ceně příslušného akciového indexu. Záměrně zvolená délka časové řady zahrnuje vliv ekonomické konjunkury, následný drivý hospodářský pokles s lehkým oživením v závěru období. Zvolení délky časového období ovlivňuje výsledné modely. Veškeré provedené esy, výpočy byly zpracovány v programu PcGive Sacionaria časových řad Věšina ekonomických časových řad (např. HDP, mzdy, invesice) jsou nesacionární. Sledované veličiny mají oiž endenci vrace se k určié hodnoě či opisova rend. V ěcho případech se nesacionární časové řady původních pozorování ransformují na sacionární zpravidla pomocí prvních či vyšších diferencí, popř. logarimováním či jinou eliminací rendu Sacionaria časové řady závěrečných hodno indexu PX Při pohledu na níže zobrazený graf (obrázek 1) jednoznačně regisrujeme ve vývoji akciového indexu na pražské burze rendy, keré signalizují nesacionariu časové řady. Obrázek 1 Vývoj akciového indexu PX 000 PX Index PX Pramen: Výsup z programu PcGive. Výběrová auokorelační funkce (ACF) a výběrová parciální auokorelační funkce (PACF) aké povrzuje nesacionariu sledované vysokofrekvenční finanční časové řady, sejně ak provedený rozšířený es Dickeye a Fullera, kerý neprokazuje na hladině významnosi 5 % hypoézu, že analyzovaná časová řada je sacionární. 11 Sofwarový produk PcGive poskyuje veškeré zázemí pro ekonomerické modelování s velmi sofisikovaným a přívěivým uživaelským prosředím. Viz porál

13 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA / Sacionaria časové řady závěrečných hodno indexu FTSE 100 Sejné esy a analýzy provedeme i s časovou řadou ýkající se závěrečných cen akciového indexu FTSE 100. Nejdříve se opě podíváme na grafické znázornění vývoje ěcho hodno (viz obrázek ). Obrázek Vývoj akciového indexu FTSE 100 FTSE Index FTSE Pramen: Výsup z programu PcGive. Sejně jako u předchozí finanční časové řady idenifikujeme nesacionariu časové řady indexu FTSE 100. Nesacionaria časové řady je aké povrzena vývojem funkcí ACF a PACF, ke sejnému závěru dochází es jednokové kořene (es Dickeye a Fullera) Sacionarizace časových řad Při analýze finančních časových řad se vychází z předpokladu logarimicko-normálního rozdělení, hodnoy akciových indexů oiž nemohou bý záporné. Pro dosažení sacionariy da ransformujeme řady logarimováním. Bohužel i ako upravené časové řady jsou věšinou nesacionární, udíž využíváme ješě diferencování. Diferenci logarimů je možné inerpreova jako logarimus výnosů (Arl a kol., 007). Pro sacionarizaci časové řady závěrečných cen akciového indexu PX edy využijeme diferenci logarimů, kerou vypočíáme vzahem PX ln( PX ) ln r ln( PX) ln( PX 1), () ln( PX ) kde PX, resp. PX -1 jsou závěrečné ceny indexu PX v čase, resp. -1. Sejnou ransformaci na diference logarimů provedeme u akciového indexu FTSE 100: FTSE _ 100 ln( FTSE _100 ) ln r ln( FTSE _100 ) ln( FTSE _100 1), (3) ln( FTSE _100 )

14 AOP 19(), 011, ISSN kde FTSE_100, resp. FTSE_100-1 jsou závěrečné ceny indexu FTSE 100 v čase, resp. -1. Pokud provedeme příslušné grafické analýzy a esy z předcházející kapioly na upravená daa, obě časové řady budou vykazova požadovanou sacionariu. 3. Tesy auokorelace, podmíněné heeroskedasiciy a normaliy Než se pusíme do samoných odhadů konkréních modelů volailiy, musíme příslušná ransformovaná daa prověři z hlediska auokorelace, podmíněné heeroskedasiciy a normaliy rozdělení Tesy logarimů výnosů akciového indexu PX Tabulka 1 Tesy auokorelace, normaliy a podmíněné heeroskedasiciy logarimů výnosů indexu PX Pormaneau(37): Chi^(37) = 10,78 [0,0000]** Asympoic es: Chi^() = [0,0000]** Normaliy es: Chi^() = 781,9 [0,0000]** ARCH 1-1 es: F(1,103) = 37,17 [0,0000]** Pramen: Výsup z programu PcGive. Pormaneau es povrzuje skuečnos, že se vyskyuje v časové řadě auokorelace. V případě pořeby by edy bylo vhodné přida do budoucího modelu volailiy zpožděné hodnoy logarimů výnosů. Jarqeův-Berův es normaliy (Asympoic es) poukazuje na nenormální rozdělení. Too sdělení nakonec povrzuje i šikmos, kerá nabývá hodnoy -0,4. Tes ARCH idenifikuje podmíněnou heeroskedasiciu ve sledované časové řadě. 3.. Tesy logarimů výnosů akciového indexu FTSE 100 Tabulka Tesy auokorelace, normaliy a podmíněné heeroskedasiciy logarimů výnosů indexu FTSE 100 Pormaneau(37): Chi^(37) = 175,51 [0,0000]** Asympoic es: Chi^() = 408, [0,0000]** Normaliy es: Chi^() = 1301,8 [0,0000]** ARCH 1-1 es: F(1,103) = 11,88 [0,0000]** Pramen: Výsup z programu PcGive. Auokorelaci v časové řadě povrzuje Pormaneau es. Jarqeův-Berův es zjišťuje, že ani ao řada není normálně rozdělena, což nakonec opě povrzuje ukazael šikmosi o hodnoě -0,17. ARCH es idenifikuje v časové řadě podmíněnou heeroskedasiciu. 79

15 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA / Tesy podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu logarimů výnosů indexu PX Jelikož sledujeme denní finanční časové řady, máme důvodné podezření, že bychom se mohli seka s asymerickými efeky. Podíváme se udíž na možnou exisenci již zmíněného zv. pákového efeku. Nejprve provedeme SB es, kerý na hladině významnosi 5 % prokazuje, že kladné a záporné výnosy bez ohledu na jejich výši mají rozdílný vliv na podmíněnou heeroskedasiciu. Tabulka 3 Společný SB, PSB, NSB es logarimů výnosů indexu PX Coefficien T-prob Consan 0, ,700 DLPXD- -0, ,515 DLPXD-_1DLPX_1-0, ,000 DLPXD+_1DLPX_1 0, ,000 F(3,10) = 76,93 [0,000]** Pramen: Výsup z programu PcGive. Společný SB, PSB, NSB es povrzuje asymerii. Podle dílčích -esů nebyl prokázán odlišný vliv kladných a záporných výnosů. Na druhé sraně je z esu parné, že podmíněná heeroskedasicia závisí na výši kladných a záporných výnosů. Jelikož odhad parameru u proměnné charakerizující vliv výše záporného výnosu je záporný a v absoluní hodnoě vyšší než odhad parameru u proměnné charakerizující vliv výše kladných výnosů, úroveň záporných výnosů se do podmíněné heeroskedasiciy promíá o něco výrazněji než úroveň výnosů kladných Tesy podmíněné heeroskedasiciy nelineárního ypu logarimů výnosů indexu FTSE 100 Nejdříve provedeme SB es, kerý nám podá odpověď na oázku, jesli kladné a záporné výnosy bez ohledu na jejich výši mají jiný vliv na podmíněnou heeroskedasiciu. Odpověď je negaivní, es neindikuje příomnos asymerického efeku na hladině významnosi 5 %. Jak ukazuje abulka 4, společný SB, PSB, NSB es však asymerii povrzuje. Podle dílčích -esů nebyl prokázán odlišný vliv kladných a záporných výnosů, avšak podmíněná heeroskedasicia závisí na výši kladných a záporných výnosů. Odhad parameru u proměnné charakerizující vliv výše záporného výnosu je záporný a v absoluní hodnoě vyšší než odhad parameru u proměnné charakerizující vliv výše kladných výnosů, udíž úroveň záporných výnosů se do podmíněné heeroskedasiciy promíá o něco silněji než úroveň výnosů kladných. 80

16 AOP 19(), 011, ISSN Tabulka 4 Společný SB, PSB, NSB es logarimů výnosů indexu FTSE 100 Coefficien T-prob Consan 0, ,001 DLFTSE_100D- -0, ,184 DLFTSE_100D-_1DLFTSE_100_1-0, ,000 DLFTSE_100D+_1DLFTSE_100_1 0, ,00 F(3,135) = 30,5 [0,000]** Pramen: Výsup z programu PcGive. Na základě provedených esů časové řady logarimů výnosů není možné chápa jako realizaci bílého šumu 1. Spíše se přikláníme k názoru, že by je bylo možné modelova pomocí modelů volailiy. 3.3 Sanovení vhodného modelu Z hlediska výskyu asymerických efeků zvolíme vhodný model, kerý bude co nejpřesněji opisova zkoumanou variabiliu časových řad. Zaměříme se na modely EGARCH(p,q) a GJR-GARCH(p,q) u obou akciových indexů Modely volailiy pro akciový index PX Nejdříve se podíváme na závěry plynoucí z použií modelů EGARCH, keré zobrazuje abulka 5. Jedná se o modely EGARCH(1,1) s (ne)zahrnuím zpožděné hodnoy logarimů výnosů o jedno období (den) a alernaivním předpokladem (ne)normaliy rozdělení. Tabulka 5 Modely volailiy EGARCH pro akciový index PX Model Log-věrohodnosní funkce EGARCH(1,1) s normálním rozdělením 63,31477 EGARCH(1,1) s nenormálním rozdělením 658,4593 EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a 1 zpožděním 633,0605 EGARCH(1,1) s nenormálním rozdělením a 1 zpožděním 658,48169 Pramen: Výsup z programu PCGive. Při aplikaci výše zmíněných modelů vycházejí všechny -esy paramerů saisicky významné na hladině významnosi 0,05. Paramer α 1 u veličiny e 1 vychází 1 Proces bílého šumu je sochasický proces vořený řadou nekorelovaných náhodných veličin jednoho pravděpodobnosního rozdělení s nulovou sřední hodnoou a konsanním rozpylem. 81

17 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 záporný, což povrzuje příomnos asymerického efeku, kerý se projevuje v silnějším vlivu záporných hodno do podmíněné heeroskedasiciy než hodno kladných. Tao skuečnos je zobrazena aké v grafu 3 pomocí konsrukce funkce NIC. Obrázek 3 Funkce NIC modelu EGARCH(1,1) s 10 zpožděními pro akciový index PX NIC Pramen: Vlasní vyhoovení v MS EXCEL. Jelikož mnohdy dochází k porušení předpokladu e ~ N 1(0,1), použií modelu s nenormálním rozdělením, obvykle Sudenovým, nepřekvapuje. Diagnosické esy všech použiých modelů vykazují absenci podmíněné heeroskedasiciy, Jarqeův- Berův es však prokazuje nenormální rozdělení. Co je ale nejpodsanější, Pormaneau es diagnosikuje sále příomnou auokorelaci. Pojďme edy do modelů zahrnou více zpožděných hodno. Z průběhu auokorelační funkce ACF a PACF usuzujeme, že by bylo záhodno použí zpoždění o délce pě, osm či dese období. ξ Tabulka 6 Další variace modelů volailiy EGARCH pro akciový index PX Model Log-věrohodnosní funkce EGARCH(1,1) s 5 zpožděními 614,15035 EGARCH(1,1) s 8 zpožděními 616,686 EGARCH(1,1) s 10 zpožděními 613,40659 Pramen: Výsup z programu PCGive. Modely EGARCH(1,1) zahrnující vysvělované proměnné ve zpožděních až 5 či až 8 období sice vykazují vyšší hodnou logarimu věrohodnosní funkce než model s délkou zpoždění 10, ale aké sále zahrnují auokorelaci náhodné složky. Teprve při zahrnuí zpožděné proměnné o dese období zpě auokorelace mizí. 8

18 AOP 19(), 011, ISSN Pro úplnos doplňuji modely, jejichž paramery nejsou jednokové. Z éo oblasi model s nejvěším logarimem věrohodnosní funkce se saisicky významnými paramery je EGARCH(3,3) opě s délkou zpoždění 10, s hodnoou zlogarimované věrohodnosní funkce 65,536. Nejvěší hodnoa zlogarimované věrohodnosní funkce vychází ve skupině modelů EGARCH(1,1), avšak jsou zaíženy auokorelací. Proo ze skupiny všech pozorovaných EGARCH modelů se jeví jako nejlepší model pro modelování vývoje logarimů výnosů akciového indexu PX model EGARCH(3,3) s délkou zpoždění 10. Nyní přejdeme ke GJR-GARCH modelům, opě začneme abulkovým přehledem (viz abulka 7). Tabulka 7 Modely volailiy GJR-GARCH pro akciový index PX Model Log-věrohodnosní funkce GJR-GARCH(1,1) s normálním rozdělením 636,1847 GJR-GARCH(1,1) s nenormálním rozdělením 670,111 GJR-GARCH(1,1) s normálním rozdělením a 1 zpožděním 637,46667 GJR-GARCH(1,1) s nenormálním rozdělením a 1 zpožděním 669,95685 Pramen: Výsup z programu PCGive. Pro modely GJR-GARCH plaí obdobné závěry jako pro modely EGARCH. Opě se prokazuje asymerický vliv kladných a záporných šoků na podmíněnou heeroskedasiciu. Diagnosické esy modelů opě signalizují nenormální rozdělení nesysemaické složky a aké její auokorelaci. Tabulka 8 Další variace modelů volailiy GJR-GARCH s normálním rozdělením pro akciový index PX Model Log-věrohodnosní funkce GJR-GARCH(1,1) s 5 zpožděními 69,068 GJR-GARCH(1,1) s 8 zpožděními 6,46497 GJR-GARCH(1,1) s 10 zpožděními 618,37988 Pramen: Výsup z programu PCGive. GJR-GARCH(1,1) model vykazuje velmi ěsně při hladině významnosi 0,05 neauokorelovanos náhodné složky už při zahrnuí vysvělované proměnné zpožděné o 8 období. Při předpokladu nenormálního rozdělení dosáváme nejlepší hodnou zlogarimované věrohodnosní funkce ve výši 647,396 u modelu nevykazující auokorelaci náhodné složky GJR-GARCH(1,1) s délkou zpoždění 10. U modelů s nejednokovými paramery p a q dochází ke saisicky nevýznamným někerým paramerům. 83

19 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 Z modelů GJR-GARCH bychom jako nejvhodnější k modelování vývoje logarimů výnosů akciového indexu PX vybrali model GJR-GARCH(1,1) zahrnující zpožděné hodnoy vysvělované proměnné o 10 období, kerý z modelů nevykazující auokorelaci a operující s nenormálním rozdělením indikuje nejvěší hodnou zlogarimované věrohodnosní funkce. Z množiny probraných modelů EGARCH a GJR-GARCH jsme nakonec vybrali po jednom z každé skupiny. Jaký model edy nakonec zvoli pro zachycení vývoje logarimů výnos časové řady závěrečných cen akciového indexu PX? Pomocnou ruku nám podají dvě souhrnné abulky (9 a 10) preferovaných modelů. Tabulka 9 Věrohodnosní funkce a diagnosické esy modelu EGARCH(3,3) s 10 zpožděními pro akciový index PX Log-věrohodnosní funkce = 65,536 Pormaneau(37): Chi^(7) = 39,59 [0,0567] Asympoic es: Chi^() = 179,40 [0,0000]** Normaliy es: Chi^() = 99,711 [0,0000]** ARCH 1- es: F(4,071)= 0,304 [0,8766] Pramen: Výsup z programu PcGive. Tabulka 10 Věrohodnosní funkce a diagnosické esy modelu GJR-GARCH(1,1) s nenormálním rozdělením a 10 zpožděními pro akciový index PX Log-věrohodnosní funkce = 647,396 Pormaneau(37): Chi^(7) = 35,753 [0,108] Asympoic es: Chi^() = 8,41 [0,0000]** Normaliy es: Chi^() = 10,0 [0,0000]** ARCH 1- es: F(,078) = 0,89945 [0,4070] Pramen: Výsup z programu PcGive. Model EGARCH(3,3) s délkou zpoždění 10 vykazuje průkaznější homoskedasiciu, naopak model GJR-GARCH(1,1) se sejnou délkou zpoždění vysvělované veličiny disponuje o něco věší významnosí esu na absenci auokorelace. Podle logarimu věrohodnosní funkce lépe vysihuje modelovanou siuaci model GJR-GARCH(1,1). Rozhodujeme se edy pro model GJR-GARCH(1,1) s nenormálním rozdělením náhodné složky a zahrnuím desei zpoždění. 84

20 AOP 19(), 011, ISSN Modely volailiy pro akciový index FTSE 100 Jako v případě indexu PX i zde jsme analyzovali modely EGARCH viz abulku 11. Tabulka 11 Modely volailiy EGARCH pro akciový index FTSE 100 Model Log-věrohodnosní funkce EGARCH(1,1) s normálním rozdělením 6805,71461 EGARCH(1,1) s nenormálním rozdělením 6810,04048 EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a 1 zpožděním 6806,7063 EGARCH(1,1) s nenormálním rozdělením a 1 zpožděním 6810,55349 Pramen: Výsup z programu PCGive. Došli jsme k jedné podsané odlišnosi. Model EGARCH(1,1) bez zpožděných hodno nevykazuje auokorelaci reziduí, udíž nejsme nuceni do modelu zapoji zpožděné hodnoy vysvělované proměnné. Pro model se zpožděnou hodnoou o jedno období vychází logarimus věrohodnosní funkce akřka oožně, u AIC kriéria aké nacházíme podobné hodnoy. Při zanesení dalších zpožděných hodno dochází k posupnému snižování obou zmíněných ukazaelů. Pro modely znázorněné v abulce 11 plaí saisická významnos všech paramerů. Diagnosické esy povrzují homoskedasiciu a neauokorelovanos a nenormaliu rozdělení náhodné složky. Asymerický efek opě povrzen pomocí příslušných esů, funkce NIC je oho dokladem. Obrázek 4 Funkce NIC modelu EGARCH(1,1) pro akciový index FTSE 100 NIC Pramen: Vlasní vyhoovení v MS EXCEL. ξ 85

21 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 Pokud bychom vzali do úvahy modely EGARCH s paramery nerovnajícími se jedničce, pak idenifikujeme jako nejvhodnější model pro popis vývoje logarimů výnosů akciového indexu FTSE 100 EGARCH(8,8) s absencí jakékoliv zpožděné hodnoy s předpokladem normálního rozdělení. Teno model se sává s hodnoou logarimu věrohodnosní funkce 683,788 a s nejvěší průkaznosí homoskedasiciy víězem ze skupiny modelů volailiy EGARCH. Pokud bychom uvažovali nenormální rozdělení náhodně složky, došli bychom sice ke zvýšení zlogarimované věrohodnosní funkce o několik jednoek, někeré paramery modelu by ale vycházely saisicky nevýznamné. Pokud uděláme odhady různých modifikací modelů GJR-GARCH, vyjde nám jako nejlepší model pro popis volailiy GJR-GARCH(1,1) s nenormálním rozdělením a zahrnuím jedné zpožděné hodnoy. Zpožděnou hodnou nezavádíme kvůli alarmující indikaci auokorelace, ale jako elemen vylepšující logarimus odhadové věrohodnosní funkce. Osaní modely s věším počem paramerů vykazují někeré saisické esy paramerů nevýznamné či indikují nižší hodnoy zlogarimované věrohodnosní funkce. Oázkou zůsává, jaký model z nabídky zvoli. Opě si přehledně zobrazíme hlavní vlasnosi modelů. Tabulka 1 Věrohodnosní funkce a diagnosické esy modelu EGARCH(8,8) pro akciový index FTSE 100 Log-věrohodnosní funkce = 683,788 Pormaneau(37): Chi^(37) = 46,753 [0,1307] Asympoic es: Chi^() = 7,74 [0,0000]** Normaliy es: Chi^() = 1,61 [0,0000]** ARCH 1- es: F(9,105) = 1,611 [0,533] Pramen: Výsup z programu PcGive. Tabulka 13 Věrohodnosní funkce a diagnosické esy modelu GJR-GARCH(1,1) s nenormálním rozdělením a s 1 zpožděním pro akciový index FTSE 100 Log-věrohodnosní funkce = 683,788 Pormaneau(37): Chi^(37) = 46,753 [0,1307] Asympoic es: Chi^() = 7,74 [0,0000]** Normaliy es: Chi^() = 1,61 [0,0000]** ARCH 1- es: F(9,105) = 1,611 [0,533] Pramen: Výsup z programu PcGive. Model EGARCH(8,8) vykazuje o něco lepší hodnou logarimu věrohodnosní funkce, sejně ak lépe vychází es podmíněné heeroskedasiciy. Model GJR-GARCH (1,1) 86

22 AOP 19(), 011, ISSN sice vykazuje průkaznější neuokorelovanos náhodné složky, na druhé sraně nepříomnos podmíněné heeroskedasiciy ak přesvědčivá není. Nakonec i hodnoa zlogarimované věrohodnosní funkce nabývá nižších hodno, volba modelu i proo je jednoznačná, vybíráme model EGARCH(8,8). Závěr S přihlédnuím k výše popsaným principům fungování obchodních sysémů na sledovaných burzách je volba jako vhodného modelu volailiy akciového indexu PX GJR-GARCH(,) se zpožděnými hodnoami vysvělované proměnné až do délky dese období a s nenormálním rozdělením náhodné složky a modelu EGARCH(8,8) s normálním rozdělením pro akciový index FTSE 100 adekvání. Nakonec připomeňme, že byla prokázána příomnos asymerického efeku, konkréně pak věší vliv záporných výnosů do podmíněné heeroskedasiciy než hodno kladných. Zjišění nenormaliy nesysemaické složky nebylo překvapením. Zahrnuí předpokladu rozdělení Sudenova se ukázalo ve věšině případů jako vhodné. Jelikož se náhodná složka u časových řad zdála bý poněkud zešikmená, zakomponování určiého asymerického rozdělení by mohlo napomoci k věší důvěryhodnosi modelu volailiy. Během analýzy jsme museli éž řeši problemaiku auokorelace. Pro rozšíření obzorů v dané problemaice bychom mohli zkouma další ypy nelineárních modelů, např. IEGARCH či STGARCH. Výsledné modely můžeme velmi dobře využíva pro finanční analýzy či při konsrukci předpovědí. Lieraura ARLT, J.; ARLTOVÁ, M Ekonomické časové řady vlasnosi, meody modelování, příklady a aplikace. 1. vyd. Praha : Grada Publishing, s. ISBN ARLT, J.; ARLTOVÁ, M Finanční časové řady vlasnosi, meody modelování, příklady a aplikace. 1. vyd. Praha : Grada Publishing, s. ISBN HUŠEK, R Ekonomerická analýza. 1. vyd. Praha : Oeconomica, s. ISBN MUSÍLEK, P Finanční rhy: insrumeny, insiuce a managemen (II. díl). 1. přeprac. vyd. Praha : Vysoká škola ekonomická, s. ISBN Porál Báze indexu PX. [online, ]. Saisika/ Burzovni- Indexy/defaul.aspx/defaul.aspx?bi=1. Porál FTSE 100 Index FACTSHEET [online, ]. UK_Indices/Downloads/FTSE_100_Index_Facshee.pdf. Porál SETS on LSE [online, ]. ses.hm. Porál Daabanka Paria Online [online, ]. Porál PcGive [online, ]. pcgive/index.hml. Porál nance.cz Předsavujeme londýnskou burzu [online, ]. nance. cz/zpravy/fi nance/19896-predsavujeme-londynskou-burzu-lse-/. Porál hp://cs.wikipedia.org Volailia [online, ]. hp://cs.wikipedia.org /wiki/volailia. Porál hp://en.wikipedia.org FTSE 100 Index [online, ]. hp:// en.wikipedia.org/wiki/ FTSE_

23 ACTA OECONOMICA PRAGENSIA /011 Porál hp://en.wikipedia.org London Sock Exchange [online, ]. hp:// en.wikipedia. org/wiki/london_sock_exchange. VESELÁ, J Burzy a burzovní obchody výchozí exy ke sudiu. 1. vyd. Praha : VŠE, Nakladaelsví Oeconomica, s. ISBN COMPARISON OF VOLATILITY MODELS OF PX INDEX AND FTSE 100 INDEX Absrac: The aricle deals wih a ypical phenomenon of fi nancial ime series volailiy. These ime series usually embody inermien periods of relaive calm and quie high variabiliy. A volailiy modelling of ime series is made wih he help of special economeric volailiy models which characerize he so-called condiional heeroskedasiciy. The goal of his paper is o choose a suiable volailiy model for Prague PX Index and London FTSE 100. The pah o he aim is via a saionariy analysis of racked ime series of closing values of he menioned indexes, condiional heeroskedasiciy and auocorrelaion ess and an idenifi caion of probabiliy disribuion of he sudied quaniy. A profi ling of asymmeric effecs is also very imporan because hey deermine he linear or nonlinear characer of he resuling model. Keywords: volailiy, condiional heeroskedasiciy, EGARCH, GJR-GARCH, funcion NIC JEL Classificaion: C58 88