7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový element soustava sil F,F,F, je napjatost elementu určena 9 složkami napětí: 6 smykovými a normálovými (Obr. 7.): Obr. 7.: Napjatost v objemovém infinitezimálním elementu Při zachování podmínky rovnováhy vzhledem k těžišti elementu platí: (7.) a tedy pro určení napjatosti systému postačí 6 složek napětí z celkových 9. Lineární vztah mezi napětím a deformací vyjadřuje Hookův zákon v obecném tvaru: k, f ( t ) (7.).......... (7.) Polymerní látky se deformují lineárně elasticky jen při velice nízkých hodnotách deformace.
7. Vymezení důležitých pojmů Základní typy deformačního namáhání schematicky znázorňuje Obr. 7.. Obr. 7.: Způsoby deformačního namáhání Napěťový stav se často vyjadřuje pomocí invariant napětí a deformace, což jsou veličiny nezávislé na souřadném systému. Vyjádříme-li poměrné deformace: + + (7.4) + Pro invarianty deformace platí: Invarianty napětí: + + I (7.5) + + I (7.6) I V (7.7) V I + + (7.8) + + I (7.9) I + + (7.) Často je žádoucí určit, jak se složky napětí změní se změnou orientace souřadného systému. Zavedeme-li předpoklad, že složky napětí v jedné rovině jsou rovny nule, pak se napjatost systému zjednodušuje na dvojsou (rovinnou). Elementem vymezeným rozměry b a dx schématicky znázorněným na Obr. 7. vedeme řez pod úhlem (v našem případě 45 ). Smykové τ a normálové napětí v řezu určíme z rovnice rovnováhy sil:
Pro bilanci sil nejprve vyjádříme: Obr. 7.: Změna orientace souřadného systému F F τ dx τ a a τ a (7.) dx a a a (7.) Pro přehlednost znázorníme rozklad smykových a normálových napětí odděleně (Obr. 7.4) a pouze pro jeden kvadrant: Výpočet τ : Obr. 7.4: Rozložení smykových a normálových napětí dx cos dx +. b dx + cos. b τ (7.) / ( ) sin + cos (7.4) τ
Výpočet : τ Výpočet dx dx + cos. b cos dx. b (7.5) sin + sin + cos (7.6) π + : τ τ π + (7.7) Vyjádření π + : π sin + cos + sin + (7.8) Nyní budeme zjišťovat, zda existuje taková orientace souřadného systému, že smyková napětí vymizí: τ, m sin ( ) + cos (7.9) po úpravě: m cot g (7.) a normálová napětí dosáhnou extrémních hodnot: d d ( sin ) cos +.cos + cos (7.) po derivaci a úpravě: m cot g (7.) V soustavě existují plochy pod úhlem m a m + π /, kde jsou smyková napětí rovna nule a normálová napětí jsou extrémní. Tato napětí se pak označují jako hlavní,. 7. Vztah napětí-deformace pro jednosměrné protažení (stlačení) Pro jednosměrné protažení/stlačení izotropního elementu znázorněném na Obr. 7.5 platí:
Obr. 7.5: Jednosměrné protažení (a) a stlačení (b) izotropního tělesa Napětí ve směru osy protahování/stlačení: (7.) Napětí ve zbývajících směrech: (7.4) Deformace pro jednosměrné protažení: Deformace při jednosměrném stlačení: l l podélné prodloužení l (7.5) a a boční zkrácení a (7.6) b b boční zkrácení b (7.7) Poměr bočního zkrácení a podélného prodloužení při jednosměrném tahovém namáhání se nazývá Poissonův poměr: ν (7.8) Poměrná změna objemu pro malé deformace: V V + + (7.9) Vztah mezi napětím a deformací vyjádříme Hookovým zákonem pro jednosměrné protažení/stlačení: E (7.) Konstantou úměrnosti mezi napětím a deformací pro namáhání na tah/tlak je modul pružnosti v tahu (Youngův modul) E. Deformace v jednotlivých směrech vyjádříme:
(7.) E ν ν (7.) E Poměrnou změnu objemu lze následně vyjádřit: V V ν E ( ν ) ( ν ) (7.) a Poissonův poměr zapsat: ν V dv d (7.4) Hodnotě Poissonova poměru pro nestlačitelné látky (ν,5) se nejvíce blíží pryž hodnotou,499; další příklady materiálů jsou zachyceny v Tab. 7.. Tab. 7.: Hodnoty Poissonova poměru pro vybrané materiály Materiál ν Materiál ν diamant, LDPE,4 ocel,8 PS,8 zlato, PMMA, voda, PA-66,44 7. Vztah napětí-deformace pro všestranné stlačení vlivem hydrostatického tlaku Působení hydrostatického tlaku vyvolá všestranné stlačení tělesa, jak je schématicky znázorněno na Obr. 7.6. Obr. 7.6: Schematické znázornění deformace elementu vlivem všestranného stlačení (působením hydrostatického tlaku) Normálová napětí vyvolaná v jednotlivých směrech mají stejnou hodnotu: P (7.5)
Vzniklé normálové deformace mají zápornou hodnotu: > (7.6) Spojením vyjádření hydrostatického (negativního) tlaku: ( + + ) / P (7.7) a vyjádření objemové změny: V / V (7.8) získáme Hookův zákon ve tvaru: K ( V V ) (7.9) P / kde K je objemový modul pružnosti. 7.4 Vztah napětí-deformace pro smykové namáhání Obr. 7.7 Schematické vyjádření smykového namáhání Smyková síla působící na element vyvolá napětí: τ (7.4) a deformaci: ( u / x + u / x ) tg γ (7.4) Vztah mezi smykovým napětím a smykovou deformací vyjadřuje Hookův zákon ve tvaru: τ Gγ (7.4) kde G je modul pružnosti ve smyku. 7.5 Vztahy mezi moduly harakteristické elastické konstanty materiálu jsou Youngův modul pružnosti v tahu E, smykový modul pružnosti G, objemový modul pružnosti K a Poissonův poměr ν. Při znalosti hodnoty jednoho modulu a Poissonova poměru lze další moduly vypočítat, protože mezi nimi existuje vzájemný vztah. K plné definici lineárního elastického deformačního chování izotropního tělesa při dané teplotě tedy stačí znát hodnoty dvou charakteristických konstant ze čtyř.
7.5. Vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem objemové pružnosti K Pro vyjádření vztahu mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem objemové pružnosti K budeme kombinovat deformaci způsobenou tahem a všestranným stlačením. Při všestranném stlačení jsou normálové složky napětí všechny stejně velké a vyrovnávající působení všestranného tlaku P. Například složka napětí vyvolá deformace v jednotlivých směrech: / E P / E (7.4) ν / E Pν / E (7.44) Deformace vzniklé účinkem dalších složek napětí (, ) jsou stejné. Zavedením předpokladu malých deformací platí: ( P / E + Pν / E ) P / ( ν ) V / V + + E (7.45) a spojením s vyjádřením Hookova zákona pro všestranné stlačení (7.9) získáme vztah mezi modulem pružnosti v tahu a modulem objemové pružnosti: E K ( ν ) (7.46) 7.5. Vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku G Pro vyjádření vztahu mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku G budeme kombinovat deformaci způsobenou tahem a smykem, jak je schématicky znázorněno na Obr. 7.8. K tomuto účelu nám poslouží modelová situace, kdy na objemový element o jednotkových rozměrech, do něhož je vepsán stejný element pootočený o úhel 45, působí normálová síla F, vyvolávající napětí. Deformace, kterou vyvolá normálové napětí je schematicky znázorněna na Obr. 7.8. Obr. 7.8: Schématické vyjádření vztahu mezi moduly E a G Deformaci elementu vyjádříme prostřednictvím deformace úhlu úhlopříčky elementu:
tg + + ( π 4 / ) ( + )( ) + ν [ ( + ν )] / (7.47) pro malé deformace zároveň platí: ( / ) ( / ) ( / ) ( / ) π tg tg γ 4 + tg + (7.48) kde: úhel zkosu vepsaného elementu γ smyková deformace. Porovnáním (7.47) a (7.48) získáme vyjádření deformace: ( ν ) (7.49) γ + Dosazením za smykovou a normálovou deformaci dle Hookova zákona (smykové napětí působící na vepsaný element má poloviční hodnotu normálového napětí) pak získáme vztah mezi moduly: E G( + ν ) (7.5)