2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI

2. ZÁKLADY TEORIE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšném a akivním absolvování éo KAPITOLY Budee umě: orienova se v základním maemaickém aparáu pro eorii spolehlivosi, j. v poču pravděpodobnosi a maemaické saisice, popsa a urči základní vlasnosi náhodné veličiny, jako rozpyl náhodné veličiny, sřední hodnoa náhodné veličiny, sesavi hisogram čenosí náhodné veličiny, definova základní charakerisiky náhodné veličiny, mezi něž paří pravděpodobnos, husoa pravděpodobnosi, disribuční funkce, inenzia náhodné veličiny nebo charakerisiky polohy náhodné veličiny, Budee umě využí maemaické vzahy pro výpoče hodno charakerisik náhodné veličiny, orienova se v jejich vzájemných souvislosech. Požadavky na vozidla a jejich sysémy jsou obecně vyjádřeny jako jakosní paramery. Kromě požadavků na funkční vlasnosi musí mí vozidla a jejich sysémy schopnos vykonáva své funkce za daných provozních podmínek po sanovenou dobu. Vzniká ak požadavek na jejich spolehlivos. Maemaickým základem eorie spolehlivosi je poče pravděpodobnosi a maemaická saisika. Tyo násroje jsou pořebné k popisu a analýze náhodných jevů a procesů odpovídajících procesu poruch a obnov. Inherenní spolehlivos výrobku nebo sysému je zásadně ovlivněna volbou koncepce, funkčních principů a prosředků pro realizaci, edy rozhodnuími provedenými v prvních fázích živoa výrobku. V dalších eapách bývá zlepšení spolehlivosi obížné a nákladné, proo je nuné seznámi se alespoň se základy eorie spolehlivosi a vlasnosmi náhodných veličin. Průvodce sudiem Jak jsme se seznámili v předchozí kapiole, spolehlivos nelze měři žádným měřicím přísrojem. Pro popis spolehlivosi proo musíme využí kvaniaivních charakerisik, vycházejících z eorie pravděpodobnosi a maemaické saisiky. Není ovšem nuné se obáva sudia následujících kapiol. S ouo problemaikou se seznámíme pouze v míře nezbyně nuné, přehlednou formou, doplněnou mnoha příklady, na kerých uvidíme prakickou aplikaci na první pohled složiých maemaických vzahů. 23

2.1 Vlasnosi náhodné veličiny Čas ke sudiu: 3 hodiny Cíl Po prosudování ohoo odsavce budee umě: definova náhodný jev a pravděpodobnos jeho nasoupení v konexu dalších možných druhů jevů, popsa a znázorni sochasický charaker náhodné veličiny s využiím jejího rozpylu, urči a vypočía sřední hodnou náhodné veličiny, inerpreova, popsa posup a pravidla a sesavi hisogram čenosi náhodné veličiny. Výklad Experimenální sanovení živonosi a spolehlivosi se provádí zkouškami spolehlivosi. Při první z nich se zjišťuje délka echnického živoa, edy pouze jediný údaj, při druhé i další ukazaele spolehlivosi. Prakické provádění ěcho zkoušek je u vozidel spojeno se značnými obížemi. Doba zkoušení může bý velmi dlouhá, a ím i nákladná. Vzhledem k ceně vozidel (zejména železničních) je zkouška končící znehodnocením vozidla nemyslielná. Sanovení spolehlivosi z údajů o provozu vozidel je časo používaná meoda. Komplexní vedení záznamů o všech poruchách, jejich příčinách, o době provozu a údržby, jsou předpokladem pro získávání použielných údajů. Je proo nuné budova v provozu informační sysémy zaměřené na získávání údajů, keré je možné využí pro další práci v oblasi spolehlivosi. Náhodný jev Zákonios každého fyzikálního procesu je funkcí komplexu podmínek, při kerých pokus probíhá [Holub, 1992]. Ve spolehlivosi budeme pod ímo pojmem rozumě provedení echnického experimenu, jehož výsledek označíme jako jev (vznik poruchy, ukončení opravy, apod.). 24

V podsaě exisují čyři druhy jevů: Jisé při dodržení sejného komplexu podmínek i při opakované realizaci nasane jev vždy. Nemožné při dodržení sejného komplexu podmínek i při opakované realizaci jev nenasane nikdy. Náhodné v závislosi na náhodě, při dodržení sejného komplexu podmínek i při opakované realizaci jev může, ale i nemusí nasa. Jev edy nasává s pravděpodobnosí, a o konsanní nebo proměnnou. Chaoické nepaří mezi žádnou z výše uvedených kaegorií, ěmio jevy se dále nezabýváme. V případě výskyu ohoo velmi složiého jevu se používají jiné přísupy, např. experní meody. Kvaniaivní mírou možnosi výskyu jevu je pravděpodobnos jeho nasoupení při opakovaných realizacích (pokusech, experimenech). Je zřejmé, že pravděpodobnos nasoupení jevu: Jisého je rovna jedné: P(A) = 1 Nemožného je rovna nule: P(A) = Náhodného je v inervalu: P(A) 1 Chaoického nelze dopředu sanovi. Předměem zkoumání spolehlivosi jsou náhodné jevy, keré jsou výsledkem opakovaných realizací a vznikají s určiou, odhadnuelnou pravděpodobnosí. Podmínky realizace experimenu musí bý sálé, definované, proože jejich změna v průběhu experimenu (rozšíření, zúžení) se projeví: Změnou pravděpodobnosi nasoupení jevu. Změnou posuzování zkoumaného jevu. Tím se může náhodný jev sá jevem jisým nebo nemožným a naopak. Zákoniosi, kerých výsledkem je náhodný jev, jsou zákoniosi sochasické. 25

K číselnému vyjádření ukazaelů spolehlivosi výrobků (vozidel), musíme mí informace o vhodně volených a měřielných veličinách, např. kilomerický proběh vozidla při vzniku poruchy, poče cyklů do vzniku lomu součási, doba rvání opravy apod. V závislosi na ěcho veličinách výkonovém parameru, vyjadřujeme poče výskyu jevů a vzhledem k náhodné povaze jevů používáme násroje a pojmy známé z eorie pravděpodobnosi a maemaické saisiky. K popisu můžeme použí: P(A) pravděpodobnos nasoupení jevu A, F() disribuční funkce pravděpodobnosi náhodné veličiny, f() husoa pravděpodobnosi náhodné veličiny, E() sřední (očekávaná) hodnoa náhodné veličiny. Je nuné si uvědomi, že každý, kdo pracuje s ěmio veličinami, se neobejde bez hlubšího poznání sochasických zákoniosí, keré se k jejich popisu používají. Rozpyl náhodné veličiny Při zkouškách spolehlivosi sledujeme čenos nasoupení jevů v závislosi na měřielných jednokách (čas, km proběh, poče cyklů). Tyo znaky charakerizují zkoušenou vlasnos a při nezměněných podmínkách zkoušení se při opakování experimenu (zkoušky) náhodně mění ve značně širokém rozmezí. Proměnlivos je ovlivněna mnoha činieli (mnohdy nepoznaelnými), a z oho vyplývá nemožnos deerminisického určení okamžiku násupu jevu. Nemůžeme například vrdi, že k poruše žárovky dojde vždy přesně po 1 hodinách svícení, podvozek vozidla se porouchá přesně po ujeí 1 km. Deerminisické veličiny, např. bod varu vody, nemají prakicky žádný rozpyl, náhodné veličiny mají vždy rozpyl (obr. č. 2.1). Pokud by rozpyl neexisoval, problemaika spolehlivosi by se značně zjednodušila. Sačilo by vyzkouše jediné vozidlo a závěry ze zkoušky by plaily pro celý soubor (výrobní sérii) vozidel. Bohužel, ako posupova nelze, je nuné vždy provés jisý poče zkoušek a výsledky zobecni na celou populaci výrobků. 26

f() Deerminisická veličina σ = Náhodná veličina σ 1 1 F(),5 Disribuční funkce náhodné veličiny F() = P(T < ) 1 Kde: Obr. č. 2.1: Rozpyl náhodné veličiny σ je rozpyl náhodné veličiny 1 - očekávaná (odhadnuá) sřední hodnoa náhodné veličiny, T - náhodná veličina, - časová proměnná. Sřední hodnoa náhodné veličiny Problemaiku posuzování vlasnosí náhodné veličiny pomocí sřední hodnoy do jisé míry naznačují následující dva příklady. Příklad 2.1. Při házení symerickou mincí může padnou pouze líc nebo rub mince (jevy A, B). Je evidenní, že pravděpodobnos nasoupení obou jevů je 5% a ao pravděpodobnos je dána a priori, nemění se s počem hodů. Bylo by proo možné očekáva, že při desei hodech 5x nasane jev A, pěkrá jev B. Ve skuečnosi je málo pravděpodobné, že obdržíme akovýo výsledek, skuečný výsledek bude např. 6xA, 4xB. Bylo by ale chybné z jedné série 1 hodů učini závěr, že pravděpodobnos nasoupení jevu A je jiná než 5% jenom proo, že pokus dopadl jak je uvedeno. Jesliže budeme pokus s mincí opakova 27

znovu a znovu, souhrnné výsledky pokusů se budou čím dál více blíži k é správné (5%) pravděpodobnosi. Ve spolehlivosi nemůžeme provés mnoho a mnoho zkoušek, vždy jsme nějak omezeni, například ekonomickými hranicemi. Výsledek zkoušek, např. určení sřední doby do poruchy, není nikdy dán a priori a z omezeného poču zkoušek nemůžeme nikdy říci přesný výsledek. Jediné co můžeme provés, je odhad výsledku, např. odhad sřední doby do poruchy. Náš odhad může bý nižší, vyšší nebo může bý i velmi blízko skuečné hodnoě, o ovšem nemůžeme vědě. Odhady získané z malého poču hodno je nuné posuzova oparně. Správná pravděpodobnos: (True probabiliy) Odhad pravděpodobnosi: (Esimae) Příklad: 1/2 u mince, 1/6 u hrací kosky Příklad:,49 u mince při 1 pokusech Příklad 2.2. Máme vzájemně porovna dvě konsrukční provedení převodovky pro silniční vozidlo. Z každého provedení bylo zkoušeno 1 ks převodovek, cílem je zjisi průměrnou hodnou doby do první poruchy. Výsledky zkoušek jsou uvedeny v Tab. 2.1. Oázka: Keré provedení převodovky se jeví jako spolehlivější? T 1 = n s i n i= 1 (2.1) Průměrnou dobu do první poruchy vypočíáme dle vzahu (2.1). Kde: i je doba do poruchy i é převodovky (hod), n - poče výskyu jevů, j. poruch. 28

Tab. 2.1: Doba do 1. poruchy v hodinách P.č. Převodovka yp A Převodovka yp B 1 125 12 2 14 155 3 215 324 4 25 391 5 26 415 6 316 425 7 52 5 8 865 52 9 99 53 1 115 585 Ts = 483 Ts = 397 f() husoa pravděpodobnosi Tsa odhad sřední doby do 1. poruchy, yp A (hod) Tsb odhad sřední doby do 1. poruchy, yp B (hod) f() Tsb Tsa (hod) Obr. č. 2.2: Odhad sřední doby do poruchy Závěr: Porovnáním odhadů průměrných hodno Ts zjisíme, že yp A se zdá bý spolehlivější, než yp B. Avšak z naměřených údajů vyplývá, že 6% převodovek (6ks) se porouchá dříve, než je sřední hodnoa Tsa. U ypu B se porouchá pouze 4%. Z oho můžeme usoudi, že samoná sřední hodnoa není vždy nejlepší paramer popisující chování náhodné veličiny. Hisogram čenosí Hisogram čenosí je časo používaný prosředek pro zobrazení průběhu náhodné veličiny. Používá se ke znázornění rozdělení absoluních nebo relaivních čenosí spojiého znaku, např. doby do poruchy vozidla. Je o sloupcový graf, kerý lze charakerizova následovně: Sloupce v hisogramu jsou vždy verikální. Jejich výška odpovídá čenosi (absoluní nebo relaivní). Supnice na vodorovné ose grafu je vždy ve sejných jednokách, např. hod. Šířka každého sloupce je úměrná šířce řídy posuzované veličiny. 29

Hisogram čenosí lze u spojiých veličin nahradi funkcí f() husoou pravděpodobnosi. Podobně kumulaivní hisogram čenosí lze u spojiých veličin nahradi disribuční funkcí F(). Poznámka: Animace grafu hisogramu čenosi a husoy pravděpodobnosi náhodné veličiny je v souboru uloženém v příloze. Příklad 2.3. Sledujeme živonos žárovek ve svělomeu u parku vozidel a ze zjišěných hodno máme sesavi hisogram čenosí. Nejkraší doba živoa žárovky byla min = 25 hod, naopak nejdelší max = 125 hod, celkem je zaznamenáno N = 8 údajů. Oázka: Jak urči šířku řídy pro sesavení hisogramu při ako velikém rozpěí hodno? max min 125 25 T = = 15 hod (2.2) 1+ 3,3 log N 1+ 3,3 log8 Je výhodné odhadnou přibližnou šířku řídy pomocí empirického vzahu (2.2). Posup řešení: Celé oleranční pole hodno rozdělíme na 7 sejných inervalů říd, každá o šířce 15 hod., abychom pokryli celý rozsah zjišěných hodno. Do každé řídy přiřadíme poče žárovek, keré svou skuečnou délkou živoa (dobou do poruchy) padly do ohoo inervalu. Výsledek pokusu znázorníme abulkou hodno a hisogramem čenosí (absoluních a relaivních), uvedených na obr. 2.3. Tab. 2.2: Daa pro sesavení hisogramu P.č. řídy Třída (hod) Absoluní čenos Kumulaivní absoluní čenos Relaivní čenos Kumulaivní relaivní čenos 1-15 31 31,39,39 2 3 22 53,28,67 3 45 13 66,16,83 4 6 7 73,9,92 5 75 4 77,5,97 6 9 2 79,3,99 7 15 1 8,1 1, 3

Relaivní a kumulaivní relaivní čenos sanovíme: ri X i = N i = 1,2.. n (2.3) n C i = X i i= 1 i =1,2.. n (2.4) Kde: r i je absoluní čenos poruch náležející do i é řídy, N - celkový poče poruch, i n - pořadové číslo řídy, - celkový poče říd. relaivní čenos,45,4,35,3,25,2,15,1,5, 35 77 79 8 1, 73 3,9 66 31,8 25 53,7 22 2,6,5 15 31,4,3 13 7 1 4,2 2 5 1,1, 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 absoluní čenos relaivní čenos 8 7 6 5 4 3 2 1 absoluní čenos Třída Třída Obr. č. 2.3: Hisogram čenosí a kumulaivní hisogram čenosí Závěr: Tvar hisogramu čenosí je dobrým vodíkem pro volbu vhodného zákona rozdělení náhodné veličiny. V omo příkladu jde o klesající exponenciálu, a je možné odhadnou, že exponenciální rozdělení bude dobře reprezenova empiricky zjišěná daa. 31

2.2 Charakerisiky náhodné veličiny Čas ke sudiu: 3 hodiny Cíl Po prosudování ohoo odsavce budee umě: popsa vlasnosi pravděpodobnosi a pravidla pro počíání s pravděpodobnosmi, definova charakerisiky spojié a diskréní náhodné veličiny (husoa pravděpodobnosi, disribuční funkce, doplněk disribuční funkce, inenzia náhodné veličiny), použí vzahy pro jejich určení, urči jejich průběh, urči a znázorni charakerisiky polohy náhodné veličiny (sřední poloha, modus, medián). Výklad Spolehlivos neopravovaných výrobků a sousav se měří pravděpodobnosí bezporuchového provozu a odvozenými veličinami, jako je husoa poruch, inenzia poruch nebo sřední doba bezporuchového provozu. Chování výrobku se zpravidla sleduje v čase, někdy je možné poruchy sledova v závislosi na jiné veličině, obecně výkonovém parameru. U věšiny výrobků může porucha nasa při libovolné hodnoě nezávisle proměnné, například v libovolném čase. Říkáme, že náhodná proměnná je spojiá. U výrobků s nespojiou činnosí, například u relé, může porucha nasa pouze v určiých okamžicích, kdy je relé v činnosi. Náhodná proměnná je poom diskréní. Dále budeme předpokláda, že výrobek může bý buď ve savu bezporuchovém, nebo v poruše, a že přechod mezi ěmio dvěma savy je okamžiý a úplný. Pravděpodobnos Z podsay vzniku náhodných jevů vyplývá, že při opakované realizaci pokusu se sejný jev (např. vznik poruchy) za nezměněných podmínek vyskyuje s různou čenosí, j. s různou pravděpodobnosí. Pravděpodobnos výskyu jevu P(A) je definována: n P ( A) = (2.5) m 32

Kde: n m je poče pokusů, kdy jev nasal, - celkový poče provedených pokusů. Pravděpodobnos má yo vlasnosi: Je nezáporná a nabývá hodnoy z inervalu <,1>, Pro jev jisý je P(A) = 1, proože n = m, Pro nemožný jev je P(A) =, proože n =. Pravidla pro počíání s pravděpodobnosmi: Jsou li dva jevy A a B vzájemně disjunkní (vzájemně se vylučují), poom pravděpodobnos nasoupení jevu A nebo B je rovna souču pravděpodobnosí P(A) a P(B): P( A + B) = P( A) + P( B) = P( A) P( B) (2.6) Jsou li dva jevy A a B vzájemně nezávislé, j. nasoupení jednoho jevu nemá vliv na nasoupení druhého, poom pravděpodobnos výskyu obou jevů je dána součinem pravděpodobnosí P(A) a P(B): P( A B) = P( A) P( B) = P( A) P( B) (2.7) Nasoupení jevu A může nasa jen v případě, že nasal jev B, jinak řečeno, vznik jevu A je podmíněn exisencí jevu B. Poom hovoříme o podmíněné pravděpodobnosi jevu A vůči jevu B. Podmíněná pravděpodobnos jevu A vzhledem k jevu B: P( A) P( B) P( A/ B) = (2.8) P( B) 33

Husoa pravděpodobnosi Vzah mezi husoou pravděpodobnosi a hisogramem čenosí byl naznačen v příkladu 2.3. Husoou pravděpodobnosi definujeme (2.9): f ( ) d = P( T + d) (2.9) Husoa pravděpodobnosi je funkce, vyjadřující pravděpodobnos, že náhodná veličina T nabude hodnoy z nekonečně malého inervalu d. f() Označení f() používáme pro spojié veličiny. d Označení p(x i ) používáme pro diskréní veličiny. Obr. č. 2.4: K definici husoy pravděpodobnosi spojié náhodné veličiny Husoa pravděpodobnosi má yo vlasnosi: Je nezáporná, f(). Velikos plochy pod křivkou je rovna jedné: f ( ) d = 1 ( 2.1) Pravděpodobnos, že náhodná veličina T nabude hodnoy z inervalu < 1, 2 > je dána: P ( < T ) 2 = 1 2 1 f ( ) d ( 2.11) 34

p(x i ) x Obr. č. 2.5: Husoa pravděpodobnosi diskréní náhodné veličiny Disribuční funkce Vzah disribuční funkce a kumulaivního hisogramu čenosí je naznačen v příkladu 2.3. Disribuční funkce je jedním z prosředků popisu zákona rozdělení a je definována: F ( ) = P ( T ) = f ( ) d ( 2.12 ) Disribuční funkce je pravděpodobnos, že náhodná veličina T nabude hodnoy menší nebo rovné, než je zadaná hodnoa. F() F( 2 ) F( 1 ) Pravděpodobnos, že náhodná veličina padne do inervalu < 1, 2 >, je dána vzahem (2.13): P( 1 < T 2) = F( 2) F( 1) a dále: 1 2 1 P T ) = F( ) = f ( ) d (2.14) ( 1 1 Obr. č. 2.6: Disribuční funkce spojié náhodné veličiny 35

Disribuční funkce má yo vlasnosi: Je nezáporná a nabývá hodnoy z inervalu <,1>. Je neklesající, edy F( 2 ) F( 1 ) pro všechna 2 1. Mezi husoou pravděpodobnosi a disribuční funkcí je jednoznačný vzah: df( ) f ( ) = za předpokladu, že exisuje derivace F() podle. ( 2.15) d Pro diskréní náhodnou veličinu je disribuční funkce dána: F( X a) = p( x i = = a 1 ) + p( x2) +... + p( a) p( x i ) i= 1 ( 2.16) F(x) 1,,75,5,25, 1 2 3 4 5 6 x (poče jevů) Obr. č. 2.7: Disribuční funkce diskréní náhodné veličiny V eorii spolehlivosi je základní sledovanou náhodnou veličinou doba od uvedení do provozu do poruchy výrobku. Disribuční funkce má poom význam pravděpodobnosi poruchy výrobku v čase a značí se F(). Podobně, při posuzování udržovaelnosi, má funkce F() význam pravděpodobnosi ukončení opravy výrobku v čase. Doplněk k disribuční funkci Důležiou charakerisikou v eorii spolehlivosi je zv. doplňková funkce, nebo-li doplněk disribuční funkce F() do jedničky. Inerpreuje se jako pravděpodobnos bezporuchového savu (bezporuchovos) v čase 36

Označuje se R() a je dána vahem: R( ) = P( T ) = 1 F( ) ( 2.17 ) Vzájemné vzahy F() a R() jsou znázorněny na obr. 2.8. F() Ze vzahu (2.6) o pravidlu sčíání pravděpodobnosí vyplývá, že souče hodno F() a R() je vždy roven jedné. F( a ) a (hod) F() + R() = 1 ( 2.18 ) R() R( a ) Poznámka: Animace grafů F() a R() je v souboru uloženém v příloze. a (hod) Obr. č. 2.8: Vzájemný vzah F() a R() Inenzia poruch náhodné veličiny V první kapiole byly znázorněny fáze živoního cyklu vozidla pomocí inenziy poruch, ve spolehlivosi se eno název používá míso obecného označení inenzia náhodné veličiny. Vycházeli jsme z empirické definice, zde je však nuné uvés definici přesnější. Inenzia poruch je definována jako podmíněná pravděpodobnos, že jev (např. porucha), nasane za nekonečně malý okamžik d za podmínky, že do okamžiku jev nenasal. f ( ) λ ( ) = ( 2.19) R ( ) V oblasi spolehlivosi má inenzia poruch nejčasěji rozměr l/čas, obvykle se udává v jednokách l/hod. Je li výkonovým paramerem (náhodnou veličinou) kilomerický proběh vozidla, má inenzia poruch rozměr 1/km a udávají se v jednokách 1/1 km. 37

Každá ze čyř základních veličin R(), F(), f() a λ() popisuje úplně bezporuchovos a z každé z nich je možné odvodi ři zbývající. Vzájemné převody prvých ří veličin jsou zřejmé z definičních rovnic. Vyjádříme pravděpodobnos bezporuchového provozu R() pomocí inenziy poruch λ(). Dosazením rovnice (2.15) do (2.19) získáme: ( ) df d dr( ) λ ( ) = = R ( ) R( )d (2.2) a z oho úpravou: dr( ) λ ( ) d = ( 2.21) R( ) [ ln R( )] λ ( ) d = d λ ( ) d = ln R( ) ln R() ( 2.22) Při počáeční podmínce pro čas = je pravděpodobnos bezporuchového provozu R() = 1 a -ln R() =. Druhý člen na pravé sraně rovnice (2.22) je roven nule. Po úpravě vedoucí k odsranění přirozeného logarimu obdržíme výsledek (2.23): R( ) = exp λ ( ) d ( 2.23) Charakerisiky polohy náhodné veličiny U náhodných veličin, spojiých i diskréních, je možné pozorova, že věšina jejich hodno se sousřeďuje kolem charakerisické polohy. Jsou pro náhodnou veličinu ypické a akovými charakerisikami budeme rozumě sřední hodnou, medián a modus. V další čási je uveden pouze základní přehled vzahů. Sřední hodnoa (očekávaná hodnoa) je někdy označovaná aké jako sřední doba poruchy nebo sřední doba do poruchy, je definována jako sřední hodnoa náhodné veličiny. Je o inegrální hodnoa, vyjadřuje bezporuchovos jediným údajem. Nejčasěji se používá vyjádření: T s = R( ) d (2.24) 38

Sřední doba bezporuchového provozu někdy není posačující pro posouzení bezporuchovosi, jak je naznačeno v kap. 2.1.2. V akovém případě se určuje ješě rozpyl náhodné veličiny: 2 D( T ) = ( Ts ) f ( ) d (2.25) Směrodaná odchylka σ se sanoví se jako odmocnina rozpylu: σ ( T ) = + D( ) (2.26) Mediánová hodnoa rozděluje základní soubor na dvě poloviny, jak ukazuje obrázek 2.9. Proo pravděpodobnos odpovídající mediánové hodnoě je F() =,5. f() Pro spojiou náhodnou veličinu plaí: 5 F ( 5 ) =,5 = f ( ) d (2.27) 5 - medián (hod) Obr. č. 2.9: K mediánové hodnoě Modus je nejčasěji se vyskyující hodnoa v souboru, odpovídá edy nejvěší čenosi jevů, jak naznačuje obrázek 2.1. Modus je oožný se sřední hodnoou pouze u symerických rozdělení, např. normální rozdělení. U dalších rozdělení oo neplaí, např. pro exponenciální rozdělení nebo Weibullovo s paramerem varu m < 3,43. f() Modus je definován výrazem: df ( ) d = (2.28) modus (hod) Obr. č. 2.1: Modus souboru 39

Shrnuí kapioly V oblasi spolehlivosi mají měřené veličiny sochasický charaker, jsou edy náhodnou veličinou a vyznačují se ím, že vždy mají rozpyl. Pro znázornění průběhu náhodné veličiny lze využí hisogram čenosí. Disribuční funkce je pravděpodobnos, že náhodná veličina nabude hodnoy menší nebo rovné, než je zadaná hodnoa. Ve spolehlivosi má význam pravděpodobnosi poruchy. Doplňková funkce k disribuční funkci má ve spolehlivosi význam pravděpodobnosi bezporuchového savu (bezporuchovos). Husoa pravděpodobnosi je funkce, vyjadřující pravděpodobnos, že náhodná veličina nabude hodnoy z nekonečně malého inervalu. Inenzia poruch je podmíněná pravděpodobnos, že jev (porucha) nasane za nekonečně malý okamžik za podmínky, že do ohoo okamžiku nenasal. 4

Konrolní oázky 2.1. Co ve spolehlivosi rozumíme pod pojmy náhodný jev, experimen? 2.2. Čím jsou charakerisické deerminisická a náhodná veličina? 2.3. K čemu se využívají a jak se sesavují hisogramy čenosí? 2.4. Jaké jsou charakerisiky náhodné veličiny? husoa pravděpodobnosi disribuční funkce doplněk k disribuční funkci inenzia náhodné veličiny 2.5. Jaké jsou charakerisiky polohy náhodné veličiny? sřední hodnoa medián a modus Další zdroje [Barlow, 1996] Barlow, R.E., Proschan, F.: Mahemaical Theory of Reliabiliy. Golub, G.H.,Sanfor Universiy. Unied Saes of America 1996. ISBN -89871-369-2. [Daněk,1999] [Holub, 1992] Daněk, A. - Široký,J. - Famfulík,J.: Maemaické meody obnovy dopravních prosředků, Repronis Osrava 1999, ISBN 8-86122-41-7 Holub, R.: Základy spolehlivosi echnických sysémů, Brno, Vojenská akademie, 1992 41