Modely veličin spojitých v čase funkce spojité v čase

Transkript

1 Modely veličin spojiých v čase funkce spojié v čase Základní pojmy Základní informace Tao kapiola, je první, kerá se zabývá konkréními poznaky, ýkajícími se popisem a rozborem vlasnosí spojiých funkcí, jež je možné využí pro vyváření modelů spojiých veličin. Aby bylo možné pařičně vníma vše v následném exu vysvělované, je řeba, aby byl čenář dosaečně seznámen se základy funkcionální analýzy a aké znal základy práce s komplexními čísly (způsob vyjádření, základní maemaické operace s nimi [odkaz na ex o komplexních číslech]). Po absolvování éo kapioly by čenář měl vědě, jaké jsou základní ypy funkcí, keré vyjadřují vlasnosi experimenálních da. Podrobnější znalosi by měl mí o harmonické funkci jako nejdůležiější reprezenance periodických experimenálních průběhů a o různých formách jejího popisu. Měl by zná základní ypy jednorázových funkcí. Vedle uvedených základních ypů funkcí by měl zvláda elemenární unární operace s ěmio funkcemi. Osaně, jak je o všechno uvedeno v odsavci Výsupy z výuky. Snad o není zas až ak moc a snad se o povede. Výsupy z výuky seznámi se se základními ypy maemaických modelů veličin (funkcí) spojiých v čase (jednorázové, periodické, harmonické) a se základními operacemi (unárními, binárními) s nimi; na příkladech dokáza zdůvodni co se s jednolivými funkcemi při maemaických operacích s nimi děje; seznámi se s definicí a geomerickým významem konvoluce; dokáza spočía konvoluci zadaných funkcí; seznámi se s definicí korelačního koeficienu, korelační funkce, auokorelační funkce, kovarianční funkce a umí vysvěli vzahy mezi nimi; umě vypočía konvoluci, resp. korelaci dvou či jedné funkce a inerpreova výsledek.

2 1 Základní ypy maemaických modelů veličin spojiých v čase Důležiá poznámka Budeme-li nadále hovoři o spojiých a diskréních veličinách a funkcích, budeme ím rozumě spojios či diskrénos z hlediska času jako nezávisle proměnné, nikoliv spojios či diskrénos z hlediska funkčních hodno. Nepochybně se ak dopoušíme maemaické nekoreknosi, ale z pragmaického pohledu na učel ohoo exu je ako definované dělení dosačující. Abychom si pověs zas až ak nezkazili, budeme uo skuečnos připomína alespoň v názvech kapiol. Významný rozdíl v přísupu i z hlediska kvaliy výsledků analýzy vyplývá z oho, zda je analyzovaná funkce periodická či nikoliv. Tedy, jaký je mezi nimi rozdíl? 1.1 Periodické funkce Definice 1.1: Spojiá jednorozměrná funkce x s () je periodická, když exisuje akové číslo T >, pro keré a pro všechny reálné hodnoy je x s () = x s ( + kt), (1.1) kde k je libovolné celé číslo. Nejmenší hodnou T (pokud aková hodnoa exisuje), pro kerou plaí rovnice (1.1) nazýváme základní periodou funkce. Všechny funkce, keré nesplňují vzah (1.1) nejsou periodické, j. jsou neperiodické. Také lze použí definice a v dalším exu si akovou předsavou občas vypomůžeme, že neperiodická funkce je aková periodická funkce, jejíž základní perioda je nekonečná, j. plaí x() = x( + kt) pouze pro T. Příklad 1.1: Rozhodněe, zda je funkce (obr.1.1) 5, pro, 5 k;, +, 5 k [ s]; x s ( ) = (1.), pro, +, 5 k;, 5 ( k + 1) ) [ s], kde k je libovolné celé číslo, periodická či nikoliv. Řešení: Z definičního vzahu, vyplývá, že každá z obou úrovní funkce x s () se opakuje po,5 [s]. Proo je funkce periodická a její základní perioda je,5 s Harmonická funkce br.1.1 Periodický funkce podle vzahu (1.) Jednou ze základních forem periodických funkcí je funkce harmonická. Vyjadřujeme ji pomocí goniomerické funkce sin(x) nebo cos(x) 1. Vzhledem k dalším souvislosem je užiečné zvoli jednu z obou varian jako referenční. Z někerých dos dobrých objekivních důvodů, se kerými se seznámíme později, se budeme řídi následující definicí. ) 1 Název funkce sinus procházel s vývojem asronomie a maemaiky dle erioria zájmu (Arábie, Indie,..) až k arabskému džaib, což znamenalo ňadra, výsřih, vypuklos, ad. Teno význam pak ve 1. soleí v podsaě převzala laina, kde slovo sinus značí záhyb, oblouk, ohyb, zákru, ale i splav, případně duina.

3 Definice 1.: Harmonická funkce je určena vzahem x() = A.cos(ω + ϕ ), (1.3) Obr.1. Časový rozvoj průměu kruhového pohybu bodu do os souřadnicového sysému Poznámka kde A je kladná reálná konsana, kerou nazýváme ampliudou harmonické funkce (udáváme ji v jednokách veličiny, kerou harmonická funkce popisuje), ω je rovněž kladná reálná konsana, kerou nazýváme úhlovým (kruhovým) kmiočem (frekvencí 3, rychlosí) (vyjadřujeme jej v rad/s) a ϕ je reálná konsana, kerá určuje posunuí průběhu harmonické funkce vůči počáku, j. pro okamžik =. Nazýváme ji počáeční fáze a uvádíme ji v úhlových mírách v radiánech, resp. v úhlových supních. Celý argumen funkce kosinus určuje hodnou okamžié fáze harmonického funkce. Nejen dokonalí znalci základů goniomerie určiě ví, že argumenem goniomerických funkcí sinus i kosinus, je úhel. Tao myšlenka je podporována i skuečnosí, že počáeční fázi ϕ, jedna ze dvou adiivních složek, z nichž se argumen funkce kosinus podle vzahu (1.3) skládá, vyjadřujeme v úhlových mírách. Na druhé sraně vzah (1.3) definuje harmonickou funkci jako funkci času a na o kono se čas se aké v argumenu vyskyuje. Aby měly oba součové členy v argumenu funkce kosinus ve vzahu (1.3) úhlový rozměr, má paramer ω rozměr rad/s. Součinem ω se čas rozměrově eliminuje. Rozměr parameru ω má úzký vzah s jeho označením úhlová rychlos, edy úhel, kerý nějaký kruhový pohyb absolvuje za jednoku času. Zbývá poslední oázka. Jak en kruhový pohyb souvisí s funkcí kosinus? Odpověď čásečně vyplývá z zv. Eulerových vzahů (1.1), čásečně i názorně z průměů pohybu bodu umísěného na obvodu kruhu se sředem v počáku souřadnicové sousavy při jeho oáčení do obou pravoúhlých souřadnicových os, jak je zobrazeno na obr.1.. Poloměr kruhu určuje ampliudu harmonického pohybu, frekvence kmiů je určena úhlovou rychlosí pohybu bodu. Funkce kosinus je dána časovým rozvojem průměu pohybu do osy x, funkce sinus do osy y. Maemaická analýza jako disciplina se ímo problémem fyzikálních rozměrů logicky až olik nezabývá. Určiě je čenáři znám zápis ve varu sin(x) a rozměr veličiny x se nerozebírá. Máme-li ale na mysli analýzu da měnících se v čase, nezbývá, než uo formaliu alespoň zmíni. Konec konců, i s ohledem na hned následující definici kmioču harmonické funkce. ampliuda (la.ampliudo) rozsáhlos, rozpěí, velikos, znamenios, důsojnos 3 frekvence (la. frequenia) hojný poče, čený dav, velká účas, zásup, hojnos, množsví, čenos; ve fyzice se oo slovo začalo používa pro označení čenosi výskyu (poče výskyů určiého jevu za časovou jednoku) od 1. pol. 19. sol.

4 Uvedený rozbor lze maemaicky formalizova, pokud si vyjádříme hodnou počáeční fáze součinem ω. V om případě můžeme psá X() = A.cos(ω + ω ) = A.cos[ω( + )], (1.4) kde ω zůsává úhlovým kmiočem, j. pro daný případ konsanním paramerem a vyjadřuje posun harmonického průběhu, enokrá už v čase. Základní perioda harmonické funkce je dána vzahem (je-li ω v radiánech) T = π. (1.5) ω Se základní periodou i základním úhlovým kmiočem souvisí kmioče harmonické funkce f, pro kerý je f 1 ω = = T π (1.6) a kerý v jednokách SI udáváme v [Hz] s fyzikálním rozměrem [s -1 ]. Na druhé sraně nikomu nic nebrání používa jiné jednoky, keré lépe vyjadřují časové poměry sledovaného děje. Příklad 1.: Určee paramery harmonické funkce definované vzahem (1.7) a jejíž průběh je zobrazený na obr.1.3 x() = 1.cos(π.1 + π/). (1.7) Řešení: Ampliuda je v omo případě rovna A = 1 (je určena maximální výchylkou harmonického průběhu a jednoka, ve keré její hodnou vyjadřujeme, je dána jednokou, ve keré vyjadřujeme veličinu x()), úhlový kmioče je.1.π [rad.s -1 ], kmioče 1 Hz a počáeční fáze ϕ = π/ [rad]. Jak plyne z definičního vzahu (1.3), průběh harmonické funkce je pro všechny hodnoy času jednoznačně určen hodnoami ří paramerů - ampliudy A, úhlového kmioču ω a počáeční fáze ϕ. Mohli bychom edy její vlasnosi vyjádři, kromě časového průběhu i graficky vzájemnou Obr.1.3 Příklad harmonického funkce podle vzahu (1.7) Obr.1.4 Grafické vyjádření závislosi (a) ampliudy a (b) počáeční fáze na úhlové frekvenci harmonické funkce podle vzahu (1.7) závislosí ěcho paramerů, zpravidla vyjádřenou pomocí dvou závislosí jednak závislosí ampliudy na úhlovém kmioču (resp. pouze kmioču), jednak v rovině počáeční fáze vs. úhlový kmioče (resp. kmioče). Uvidíme dále, že eno koncep zobrazení vlasnosí (harmonické) funkce v závislosi na jejím kmioču využijeme pro znázornění frekvenčního spekra 4 funkce (veličiny, signálu). Pro funkci definovanou vzahem (1.7) a zobrazenou na obr.1.3 je spekrum vyobrazeno na obr spekrum (la. specrum) obraz, objevení, zjevení (se), vzhled; poprvé použio pro výsledek opického rozkladu svěla kolem r.167.

5 V dalším exu budeme spekrem rozumě závislos paramerů harmonických složek podle následující definice. Definice 1.3: Frekvenční spekrum funkce (veličiny, signálu) je vyjádření rozložení ampliud a počáečních fází jednolivých harmonických složek, ze kerých se funkce skládá, v závislosi na frekvenci. Závislos ampliud jednolivých harmonických složek na frekvenci nazýváme ampliudovým spekrem, závislos počáečních fází na frekvenci fázovým spekrem. Kromě definičního vzahu harmonické funkce podle (1.3) ji lze popsa ješě i jinými způsoby. Blízkým způsobem definičního popisu harmonické funkce je její rigonomerický var. Je založen na součovém vzorci cos(α+β) = cosα.cosβ - sinα.sinβ (1.8) Podle ohoo vzahu můžeme rozepsa definiční formuli (1.3) ak, že A.cos( ω + ϕ = A.cosϕ ) = A.cosω.cosϕ.cosω - A.sin ϕ - A.sinω.sin ϕ.sinω = = C.cosω + C.sin ω kde C c = A.cosϕ a C s = -A.sinϕ. Z oho pak podělením je gϕ = - C s /C c a edy C Dále po umocnění a souču obou vzahů máme c C s = (1.9) ϕ s s = arcg = arcg C (1.1) c Cc C c + Cs = A.cos ϕ + A.sin ϕ = A.(cos ϕ + sin ϕ ) = a po následném odmocněnní dosáváme výraz pro ampliudu A = +. (1.11) C c Cs Způsobem, jak se dosa k dalšímu varu harmonické funkce je aplikace zv. Eulerových 5 vzahů, keré využívají pro vyjádření harmonického průběhu komplexního kalkulu 6 (odkaz na kapiolu Komplexní čísla): a e cosα = e sinα = e j α + e j j α jα jα. A (1.1) 5 Leonhard Paul Euler (*177 Basilej, Švýcarsko; Perohrad, Rusko) švýcarský maemaik a fyzik, kerý je považován za nejlepšího maemaika 18. soleí a za jednoho z nejlepších maemaiků vůbec. Významně přispěl k řešení oázek diferenciálního poču, přispěl k základům eorie grafů, mechaniky, opiky, asronomie. Je po něm pojmenován aseroid, byl zobrazen na švýcarských bankovkách, 4. kvěna je dokonce připomínán v lueránském kalendáři svaých. 6 V maemaických exech je zvykem pro vyjádření imaginární jednoky používa písmeno i. Teorie signálů a sysémů, z kerých eno ex vychází, je však dominanně považována za elekroechnickou disciplínu, kde se éhož symbolu (i) používá k označení jedné ze základních elekroechnických veličin a o okamžié hodnoy elekrického proudu. Proo se v publikacích zabývajících se problemaikou zpracování signálů používá k označení komplexní jednoky symbolu j. Budeme se drže éo symboliky navzdory skuečnosi, že yo exy jsou určeny především pro čenáře s maemaickým vzděláním a doufáme, že ao maličkos jim nezpůsobí závažné rauma.

6 Tohoo přísupu se obvykle využívá vzhledem k snadnějším výpočům (za někerých určiých okolnosí) s komplexní exponenciální funkcí e jα než s radičními goniomerickými funkcemi sin α a cos α. Vynásobíme-li první rovnici dvěma a druhou rovnici j, pak po sečení výsledků dosáváme výraz Proože funkce cos je sudá, pak plaí i x() Re{x()} Re{A e j ( ω +ϕ ) j( ω ϕ ) = & = } = Re{A e } = Re{x& e jα = cos α + j sin α. (1.13) Znamená o, že průběh harmonické funkce definované vzahem (1.3) lze vyjádři éž jako reálnou složku průběhu komplexní funkce e jα a harmonická funkce jako funkce času edy je ( ) x() = Re{A e j ω +ϕ }, (1.14) což odpovídá průměu kruhového pohybu reprezenovaného pohybem vrcholu vekoru e j +ϕ A ω v komplexní rovině na ( ) reálnou osu. * ()} (1.15) kde x & * () je komplexně sdružená hodnoa k x& () 7. Tímo vzahem je zaveden záporný úhlový kmioče, kerý lze geomericky inerpreova (fyzikální inerpreace se hledá ěžko) pomocí ( ) úhlové rychlosi oáčení vekoru e j ω ϕ A v opačném směru (ve směru hodinových ručiček) než v případě vekoru e j +ϕ A ω ( ) Ze vzahu (1.1) pro cos(α) máme Označíme-li a) b) Obr.1.5 a) Komplexní ampliudy exponenciálních složek harmonické funkce; b) časová dynamika exponenciálních složek harmonické funkce 1 jϕ 1 jω jϕ jω x() = A cos( ω + ϕ ) = (A e e ) + (A e e ) (1.16) A j C& ϕ =. a e C& A = jϕ. e (1.17) je x() = C& jω j(-ω).e + C&.e. (1.18) To znamená, že harmonickou funkci lze vyjádři součem dvou komplexně sdružených výrazů, keré jsou rovny okamžiým hodnoám komplexních exponenciálních funkcí vyjadřujících navzájem proiběžné oáčení vekorů C& jω.e a C& j(-ω) -.e v komplexní rovině (obr.1.5). Harmonická funkce je edy opě vyjádřena pomocí komplexních exponenciálních funkcí, enokrá sice součem komplexně sdružených hodno, zao bez nunosi mnohdy nešikovně hle- - 7 Tam, kde o bude nezbyné kvůli srozumielnosi a odlišení od proměnných nabývajících reálných hodno, budeme označova komplexní proměnné ečkou nad symbolem proměnné.

7 j da reálnou hodnou funkce C &.e ω. Je dobré si uvědomi, že moduly komplexních vekorů (resp. vekorů v komplexní rovině) C & a C & - jsou dány ampliudou harmonické funkce a jejich fáze reprezenují počáeční fázi harmonické funkce. Obr.1.6 Grafické vyjádření závislosi (a) ampliudy a (b) počáeční fáze na úhlové frekvenci harmonické funkce definované vzahem (1.7 vyjádřené podle vzahu(1.16), resp. (1.17). Na základě výše uvedených úvah lze frekvenční závislos ampliudy a počáeční fáze harmonické funkce podle vzahu (1.3) vyjádři graficky nejen formou podle obr.1.4, nýbrž i ak, jak je zobrazeno na obr.1.6. Poznámka Určiě sojí za povšimnuí, že ampliudové spekrum je sudé (plaí A(ω) = A(-ω)), fázové spekrum naopak liché (plaí ϕ(ω) = -ϕ(-ω)). A ak o plaí obecně. Proč omu ak je? Asi o souvisí s definicemi obou funkcí. Funkce A(ω) je určena odmocninou, ϕ(ω) funkcí arcg. 1. Neperiodické funkce a) Obr.1.7 Různá maemaické vyjádření jednokového impulzu a) pomocí aproximace obdélníkem; b) pomocí Gaussovy funkce. b) b Funkce, keré nesplňují vzah (1.1), nazýváme neperiodické. Neperiodické funkce, u kerých nasávají změny průběhu jen v relaivně krákým časovém inervalu, nazýváme jednorázové. Mezi nimi nejdůležiější pozici zaujímají dva deerminisické funkční modely jednokový (Diracův) impulz a jednokový skok (Heavisidova funkce).

8 1..11 Deerminisické jednorázové funkce Jednokový (Diracův 8 ) impulz, resp. Diracova dela funkce neformálně je o aková funk- hodnoy. ce 9 δ(), kerá je nulová pro všechny hodnoy reálné osy, kromě nuly, kde nabývá (nekonečné) a současně plaí + δ() = δ( )d = 1. Zjednodušeně lze říci, že jednokový impulz δ() je velice úzký (limině s nulovou dobou rvání) a velice vysoký (limině s nekonečnou výškou) obdélníkový impulz, jehož výška je rovna převrácené hodnoě šířky, zn. že mohunos, definovaná plochou, kerou jednokový impulz ohraničil spolu s časovou osou je jednoková (obr.1.7a). Srozumielnou předsavu o vlasnosech Diracovaa impulzu poskyuje i limia ze vzahu pro normální rozdělení s nulovou sřední hodnoou a směrodanou odchylkou σ jdoucí k nule (viz obr.1.7b) 1 δ() = lim e / σ. (1.1) σ σ π Vzhledem k požadavku formulovanémm pomocí vzahu (1.) plaí i pro = ; pro. δ( )d = 1, (1.19) (1.) (1.) kde argumen dela funkce vyjadřuje posunuí impulzu o hodnou v kladném směru osy. Z ohooo vzahu pak můžeme odvodi podle následujícího posupu Obr.1.8 Vzorkovací vlasnos jednokového Obr.1.9 Jednokový skok impulzu f ( ) δ( )d = f ( ) δ( )d = f ( ). δ( )d = f ( ). (1.3) Teno výsledek lze geomericky inerpreova ak, že plocha vymezená součinem spojié funkce f() a jednokového impulzu δ( ) je rovna hodnoě funkce f() v om okamžiku, 8 Paul Adrien Maurice Dirac (*19, Brisol, V.Briánie, Tallahassee, Florida) briský eoreický fyzik, kerý se zabýval kvanovou eorií, obecnou eorií relaiviy a kosmologií. V roce 1933 dosal spolu s Erwinem Schrödingerem Nobelovu cenu za fyziku. 9 Z čisě maemaického hlediska není Diracův impulz funkcí, proože jakákoliv reálnáá inegrovaelná funkce, kerá je rovna nule v celém rozsahu argumenu, vyjma jednohoo bodu, má inegrál roven nule. Maemaicky přes- nější definice říká, že Diracův impulz není funkce, ale zobecněná funkce nebo funkcionál, zvaný disribuce.

9 kde se vyskyuje jednokový impulz. Tao vlasnos se nazývá vzorkovací vlasnosí jednokového impulzu (obr.1.8). Jednokový skok σ() (Heavisidova 1 funkce) (obr.1.9) je definován vzahem např., pro < ; σ( ) = (1.4) 1, pro. Poznámka Nebývá příliš zvykem v definici použí zkraku např.. To se salo, proože z různých důvodů může čini problémy nekonečná derivace (změna úrovně) v okolí bodu pro =. Aby se v konkréních siuacích eno problém vyřešil, lze se seka i s definicemi, keré různě řeší oevřenos či uzavřenos inervalů, nad kerými jsou obě úrovně jednokového skoku definovány. Tedy nebo řeba, pro ; σ( ) = (1.5) 1, pro > pro < ; σ( ) =,5 pro = ; (1.6) 1 pro >. Navzdory skuečnosi, že obě funkce jsou v ideálním eoreickém varu fyzikálně nerealizovaelné (díky nekonečně rychlým změnám funkční hodnoy), mají velký význam především v experimenální analýze. Předsavují modely dvou základních způsobů změny experimenálních podmínek. Diracův impulz předsavuje model krákodobého simulu (svělený záblesk při evokování Obr.1.1 Funkce ypu rampa reakce zrakového sysému, zvukový simul (zv. clic), vojenský povel, ), jednokový skok reprezenuje rvalou změnu experimenálních podmínek (změna supně záěže při záěžovém vyšeřování kardiorespiračního sysému, zavedení nového způsobu erapie, ukončení kouření, apod). Vzájemný vzah obou funkcí lze maemaicky vyjádři pomocí inegrálního vzahu a sejně ak i naopak δ( τ)dτ = σ() (1.7) dσ() = δ(). d (1.8) Pro experimenální účely zajímavou základní funkci je i pro lineárně rosoucí funkce, kerou nazýváme funkce ypu rampa nebo rampová funkce (obr.1.1) a kerá je pomocí jednokového skoku definována vzahem 1 Oliver Heaviside (*185, Londýn; +195 Torquay, Devon, V.Briánie) briský elekroechnický inženýr, maemaik a fyzik, samouk. Významný především pro zavedení komplexní a vekorové analýzy elekrických obvodů, vyvořil nové meody řešení diferenciálních rovnic.

10 Z oho plyne, že je aké r () = σ( τ)dτ. (1.9), pro < ; r () = (1.3), pro. Rampová funkce voří prosředek jak se vypořáda s nekonečně rychlým nárůsem hodnoy ideálního jednokového skoku pro popis reálných případů, např. (obr.1.11) pro < ; f () = pro,1); (1.31) 1 pro. Průběh rampové funkce můžeme zobecni zavedením polynomů vyšších řádů ak, že obecně můžeme psá, pro < ; rn () = n (1.3), pro Náhodné funkce Náhodné funkce jsou další důležiou formou neperiodických funkcí. Považujeme je za realizaci nějakého náhodného procesu. Proože jsou náhodné, nemohou začína z rvalé nulové úrovně, ani se k ní rvale vrái. Proo nejsou na nekonečném inervalu absoluně inegrovaelné, j. neplaí, že x ()d <, (1.33) kde x() je náhodná funkce. Kvůli analýze akových funkcí je velice důležié si uo skuečnos sále uvědomova. Obr.1.11 Průběh funkce podle vzahu (1.31) V eorii signálů časo označujeme náhodné funkce pojmem šum, ve saisice se spíše sekáváme s poněkud obecnějším pojmem variabilia. Díky své náhodné podsaě nemohou bý přesně charakerizovány svým průběhem, nýbrž pouze paramery definující vlasnosi šumu v časové, ale např. i ve frekvenční oblasi. Nejčasěji používanou absrakcí je zv. bílý šum. Označení bílý vychází z ekvivalence s bílým svělem, keré obsahuje rovnoměrně zasoupené složky všech vlnových délek, resp. frekvencí, edy i barev. Proo podobně i bílý šum zahrnuje rovnoměrně zasoupené složky o všech kmiočech. U náhodných funkcí je z hlediska možnosí podrobnější analýzy důležié i rozložení jejich hodno, právě ak jako jejich popis pomocí základních paramerů, jako jsou obecné i cenrální momeny. Tao problemaika je podrobně probírána v jiných předměech, proo se na omo mísě spokojme pouze s odkazem (odkaz Biosaisika). Při práci s náhodnými procesy a funkcemi jsou ale důležié dva pojmy, bez kerých se v omo exu neobejdeme - sacionaria 11 a ergodicia sacionaria (la. saionarius, ze saio soj, posoj, míso pobyu, bydlišě; původně ze slovesa sare sá, pevně sá, sá v řadě, sá ve zbrani) nepohyblivý, neměnný

11 Definice 1.4: Sacionární náhodný proces je akový, jehož forma chování (jeho pravděpodobnosní srukura, daná např. rozdělením pravděpodobnosi) nezávisí na čase 13. Jinak formulováno, sacionární náhodný proces je akový, jehož libovolné pravděpodobnosní charakerisiky nezávisejí na poloze počáku časové osy. Z prakického hlediska časo vnímáme pojem sacionariy v zv. širším slova smyslu, kdy sačí, aby se s nezávisle proměnnou neměnily pouze saisické momeny 1. a. řádu, sřední hodnoa, rozpyl a auokorelační, resp. auokovarianční funkce. Definice 1.5: Ergodický náhodný proces je akový, jehož všechny realizace mají uéž pravděpodobnosní srukuru, yéž pravděpodobnosní charakerisiky. Pravděpodobnosní charakerisiky pak lze odhadova z jediné, libovolné realizace náhodného procesu. Zpravidla požadujeme (je o z hlediska analýzy pohodlnější), aby byl analyzovaný proces jak sacionární, ak i ergodický, ale obecně ergodický proces nemusí bý nezbyně i sacionární a samozřejmě i naopak. Základní unární 14 operace s funkcemi se spojiým časem Násobení konsanou Okamžiá hodnoa funkce se zvěší (zmenší) A-krá po násobení funkce konsanou. Pro A > 1 hovoříme o zesílení, pro A < 1 o zeslabení, resp. úlumu (obr..1). Změna časového měříka Po vynásobení hodno nezávisle proměnné (času) konsanou k dochází k modifikaci časového měříka pro k > 1 hovoříme o časové kompresi, pro k < 1 o časové expanzi. Je řeba si uvědomi, že po změně měříka nabývá funkce v čase ýchž hodno jako původní funkce v čase k., pro k > 1 edy plyne čas rychleji, pro k<1 plyne čas pomaleji (obr..). Obr..1 Násobení konsanou A= Posunuí v čase Po přičení (odečení) hodnoy od původního času dochází k posunu časového průběhu funkce vlevo (vpravo) na časové ose. Jinými slovy po přičení hodnoy dochází ke zpoždění funkce, po odečení se funkce předchází (obr..3). V čase posunuá funkce nabývá v čase ± hodno, kerých nabývá původní funkce v čase. Kerým směrem dochází k posunu si lze nejsnáze uvědomi pro čas =. Aby posunuá funkce nabyla éže hodnoy jako původní v čase =, pak musí bý argumen ± éž roven nule. Tedy, přičíáme-li, je argumen nulový pro = -, odečíáme-li, je argumen nulový pro =. 1 ergodicia (řeč. složenina slov έργον práce a όδος cesa). Slovo bylo zavedeno Bolzmannem při řešení saisických problémů mechaniky. Používal je pro označení dynamických sysémů, keré zhruba řečeno měly sejné chování v čase i prosoru. 13 Přesože sacionariu inuiivně vnímáme jako časovou vlasnos procesu, je řeba podoknou, že sacionariu můžeme chápa jako vlasnos vůči jakékoliv nezávisle proměnné, při zpracování obrazové D informace jsou o prosorové souřadnice, ad. 14 unární operace je aková operace, kerá má jediný operand

12 Obr.. Změna časového měříka - a) originál; b) k=; c) k=/3 Obr..3 Posunuí v čase - a) originál x(); b) funkce x(-1); c) funkce x(+1); Obr..4 Inverze časové osy - a) originál x(); b) funkce x(-); c) funkce x(-+1) Inverze časové osy Inverzi časové osy provedeme změnou znaménka časového argumenu. Má-li současně dojí k časovému posunu, je řeba změni znaménko i u orienace časového posunu (obr..4). Příklad.1: Průběh funkce zobrazené na obr..4 je definován vzahy pro < 1; x () = pro 1,1 ; pro > 1. To znamená. že pro vybrané hodnoy nezávisle proměnné nabývá funkce x() funkčních hodno dle následující abulky (i ak jak o odpovídá průběhu na obr..4a): x() 5 1 Pro vybrané hodnoy nezávisle proměnné nabývá v čase inverovaná funkce x(-) následujících hodno (obr..4b): x(-) 1 5 Konečně, pro argumen ( +1) a zvolené hodnoy proměnné nabývá posunuá a v čase inverovaná funkce x(-+1) následující funkční hodnoy (obr..4c): x(-+1) 1 5 Příklad.: Jak lze zapsa funkci definovanou vzahem (1.31) ak, aby její velikos byla A, počáek nárůsu byl v bodě a konec lineárního nárůsu v bodě 1?

13 Skryé řešení: < =. pro A );, pro A A ; pro f ()