3B Přechodné děje v obvodech RC a RLC

Transkript

1 3B Přechodné děje v obvodech a íl úlohy Prohloubi eoreické znalosi o přechodných dějích na a obvodu. Ukáza možnos měření paramerů přechodných dějů v ěcho obvodech. U obvodu 2. řádu () demonsrova vliv lumicího odporu na průběh obvodových veličin. Úkol Zobraze přechodný děj v obvodu při buzení obdélníkovým vsupním signálem. Měřením určee časovou konsanu obvodu. Zobraze přechodný děj v obvodu při buzení obdélníkovým vsupním signálem. Určee kmioče vlasních kmiů a činiel lumení obvodu. Naměřené hodnoy ověře výpočem. Teoreický úvod Přechodným dějem nazýváme fyzikální děj, kerý vzniká při přechodu elekrického obvodu z jednoho usáleného savu do druhého usáleného savu. V usáleném savu jsou elekrické obvodové veličiny popisující jeho sav - napěí, proudy, energie konsanní (sejnosměrný usálený sav), nebo jsou periodickou funkcí času (harmonický usálený sav). Přechodné děje vznikají v elekrických obvodech připojováním nebo odpojováním zdrojů, změnou opologie obvodu nebo změnou paramerů obvodových prvků li. []. Obvody prvního řádu - a V první čási úlohy budeme zkouma přechodné děje v jednoduchých sériových obvodech a, vzniklé připojováním zdroje sejnosměrného napěí a následným zkraováním obvodu - obr. 36. ( ) ( ) U 2 ( ) ( ) obr. 36 K měření přechodných dějů v sériových obvodech a ( ) Pro okamžié hodnoy napěí na jednolivých prvcích sériového obvodu resp. během přechodného děje vzniklého připojením sejnosměrného zdroje (s nulovými počáečními podmínkami) můžeme psá = () + (), U u () u ( ) U u u U i i = () + ( ) d, () = +, (V) (a, b) ( ) di U = i +. (V) (2a, b) d Analyickým řešením (2) získáme časové závislosi napěí a proudu v obvodu. Pro schéma obr. 36 plaí

2 U pro nabíjení u() + u () = ug () =. (V) (3) pro vybíjení Uvedené vzahy (a, b), (2a, b) předpokládají ideální obvodové prvky. Při experimenálním zkoumání přechodných dějů v reálných obvodech nemůžeme zanedba paraziní vlasnosi prvků, především odpor reálné cívky. Proo při řešení obvodu použijeme náhradní schéma cívky (sériové spojení rezisoru a indukoru ) - viz obr. 36. Odpor a kondenzáor můžeme pro naše účely považova za ideální. Podrobný popis analyického řešení jednolivých případů sériových obvodů, a je uveden v [2], zde se omezíme na shrnuí výsledných vzahů pro paramery jednolivých obvodů s nulovými počáečními podmínkami při připojení sejnosměrného zdroje (nabíjení, přepínač v obr. 36 do polohy ) a při následném zkraování obvodu (vybíjení, přepínač do polohy 2). Předpokládáme, že doba mezi přepnuím spínače z polohy do polohy 2 bude dosaečně dlouhá, aby předešlý přechodný děj odezněl. Sériový obvod a) Připojení zdroje k obvodu - nabíjení () = () = e, () u i U b) Zkraování obvodu - vybíjení () = () = e, () u i U u = U e. (V) (4a, b) u = U e, (V) (5a, b) kde je =...časová konsana obvodu, U...napěí sejnosměrného zdroje. (s) (V) Sériový obvod (reálná ) a) Připojení zdroje k obvodu u () = i() = U e b) Zkraování obvodu u i U u = U + e. (V) (6a, b), () () = () = e, () u = U e. (V) (7a, b) kde je = +...celkový odpor obvodu, = /...časová konsana obvodu. (Ω) (s)

3 Obvod druhého řádu - obr. 37 K měření přechodných dějů v sériovém obvodu Složiější průběh mají přechodné děje v sériovém obvodu, vzniklé připojováním obvodu ke zdroji sejnosměrného napěí a následným zkraováním obvodu - obr. 37. Pro okamžié hodnoy napěí na jednolivých prvcích sériového obvodu (s nulovými počáečními podmínkami) během přechodného děje vzniklého připojením sejnosměrného zdroje můžeme psá () () () U = u + u + u, (V) (8) ( ) di U = i() + + i( ) d d. (V) (9) Analyickým řešením (9) získáme časové závislosi napěí a proudu v obvodu. Vzahy (8) a (9) předpokládají ideální obvodové prvky. Při experimenálním zkoumání přechodných dějů v reálných obvodech nemůžeme zanedba především paraziní odpor reálné cívky, ve všech vzazích proo budeme uvažova za odpor celkový odpor obvodu (edy se započíaným paraziním odporem cívky ). Kondenzáor můžeme pro naše účely považova za ideální. Úpravou rovnice (9) dosaneme lineární diferenciální rovnici druhého řádu. Kořeny její charakerisické rovnice jsou λ = δ ± δ ω, (s - ) () 2 2,2 kde je δ =...konsana úlumu, (s - ) 2 ω =...rezonanční úhlový kmioče. (s - ) Z hlediska řešení je významný diskriminan δ 2 ω 2 charakerisické rovnice (); položíme-li eno výraz roven nule, dosaneme vzah pro zv. kriický odpor obvodu =, (Ω) () k 2 Podle kořenů charakerisické rovnice () lze usuzova na charaker přechodného děje v obvodu, viz obr. 38.

4 aperiodický děj i() mez aperiodiciy periodický děj obr. 38 K přechodným dějům v obvodu Aperiodický děj Plaí při něm > k, diskriminan rovnice () je kladný a její kořeny λ, λ 2 jsou reálné různé záporné. Hodnoy všech obvodových veličin se blíží ke svým usáleným hodnoám asympoicky, bez oscilací. Mluvíme o přelumeném obvodu s okamžiými hodnoami obvodových veličin () i u = U () ( ) ( λ ) λ2 e e λ λ 2 = U ( ) ( λ ) λ2 λe λ e λ λ 2 2, (A) (2), (V) (3) u () U λ e λe = + λλ 2 λ λ2 λ λ2 2. (V) (4) Děj na mezi aperiodiciy V omo případě je = k, diskriminan rovnice () je roven nule a exisuje jediný dvojnásobný kořen λ, pro kerý plaí λ = δ = ω =, (A) (5) Všechny veličiny obvodu se opě bez oscilací asympoicky blíží ke svým usáleným hodnoám. Usálení veličin rvá na rozdíl od předešlého případu nejkraší možnou dobu, čehož se v praxi velmi časo využívá. Mluvíme o kriickém lumení obvodu. Pro obvodové veličiny obvodu při kriickém lumení (děj na mezi aperiodiciy) plaí

5 U =, (A) (6) δ () e i () ( δ ) δ u = U e, (V) (7) δ ( ) () ( δ ) u = U + e. (V) (8) Periodický děj Diskriminan rovnice () je pro < k záporný a rovnice má komplexně sdružené kořeny λ, λ 2. Průběhy veličin lze popsa pomocí harmonických funkcí času. Veličiny oscilují kolem své usálené hodnoy s úhlovým kmiočem ω o něco menším než je rezonanční kmioče ω ; ampliuda kmiů exponenciálně klesá s časem. Mluvíme o podkriickém lumení obvodu. Pro obvodové veličiny obvodu při podkriickém lumení (periodický děj) plaí U =, (A) (9) ω δ () e sin( ω) i δ δ u () = U e cos( ω) sin( ω), (V) (2) ω δ δ u () = U e cos( ω) + sin( ω), (V) (2) ω 2 2 kde je ω = 2πf = ω δ úhlový kmioče vlasních kmiů obvodu. (rad.s - ) Domácí příprava Do ab. 26 doplňe vypočenou časovou konsanu v článku. S využiím vzahů (4a, b) a (5a, b) určee hodnoy napěí u () a u () pro časy = v /2 a = 2 v pro nabíjení i vybíjení kondenzáoru. Vypočěe hodnou kriického odporu k () obvodu a podle následujících vzahů pak činiel lumení δ, rezonanční kmioče f a kmioče vlasních kmiů f. Hodnoy doplňe do ab. 27 δ =, kde =, k, (s - ) (22) 2 f =, (Hz) (23) 2π f 2 2 δ = f. (Hz) (24) 2π

6 Pracovní posup Názornou předsavu o fyzikálních poměrech při zkoumání přechodných dějů lze získa zobrazením časových průběhů napěí a proudu na osciloskopu. Proože je jednodušší zachyi periodické průběhy, byl použi zdroj periodického napěí obdélníkového průběhu. Měření se provádí pomocí modulárního sysému 2, kerý zde slouží jako dvoukanálový osciloskop umožňující současné sledování vsupního i výsupního signálu. Buzení článku odpovídající připojování zdroje a zkraování obvodu je z důvodu snadnějšího pozorování nahrazeno periodickým průběhem - obdélníkovým napěím u G (). obr. 39 Zapojení pro měření přechodných dějů v obvodech a Měření přechodných dějů článku Časovou konsanu obvodů můžeme zjisi graficky pomocí ečny k časovým průběhům napěí nebo proudů v obvodu. Příkladem může bý určení časové konsany z nabíjecí (obr. 4) a vybíjecí (obr. 4) křivky napěí na kondenzáoru v obvodu. Hodnou lze snadno odečís jako dobu, za kerou napěí na kondenzáoru vzrose na,632 násobek resp. poklesne na,368 násobek maximální hodnoy, což plyne ze vzahů (4b) a (5b) po dosazení =.

7 ,8,8 u/u,6,4,632 () u = U e u/u,6,4,368 u () = U e,2, obr. 4 / Nabíjení kondenzáoru v obvodu (připojení zdroje) relaivní měříka obr. 4 / Vybíjení kondenzáoru v obvodu (zkraování obvodu) - relaivní měřík a) Sesave měřicí sysém podle obr. 39. Do obvodu připoje přípravek článku, vsup IN B jednoky A&DDU bude měři napěí u. b) Spusťe programu 2 a z Výběru programů zvole nabídku Oscilloscope+Gen. Na generáoru nasave obdélníkový signál 5 V s kmiočem Hz ako: v sekci Oupu zvole lačíko Open, v dialogovém okně vybere definiční soubor obdélníkového impulzu khzpulse5v.aio. ozsah zobrazení kanálu OUT i B ponecheje ±5 V, rozsah časové osy, ms rovněž neměňe. c) Vybere sekvenční měření Sequence. Siskem viruálního lačíka B v sekci Measuremen spusťe měření u () (žluá křivka). Vsup IN B přepoje ak, aby měřil napěí u (). Siskem viruálního lačíka B2 v sekci Measuremen spusťe měření u () (modrá křivka). d) Zapněe kursor (lačíkem ursor) a s jeho pomocí změře na zobrazené křivce průběhu u () časovou konsanu m podle výše popsaného posupu (obr. 4) pro násupnou hranu (nabíjení ) i sesupnou hranu (vybíjení ). Zjišěné hodnoy m zapiše do ab. 26. Poznámka: od zobrazovaného času je pořeba odečís čas počáku děje nabíjení resp. vybíjení (čas násupné resp. sesupné hrany budicího impulzu). e) Pomocí kurzorů změře okamžié hodnoy napěí u () a u () pro čas m /2 a 2 m od násupné a od sesupné hrany vsupního signálu. Zjišěné hodnoy zapiše do ab. 26. f) Zapněe ediaci popisů (egend: Edi), přepiše název okna Experimen na BE2-přechodný děj, namíso Jméno uveďe svá příjmení, v sekci egend pojmenuje průběh B u() a průběh B2 u(). Ediaci ukončee (egend: End). g) Příkazem Prin oevřee dialog isku. Můžee vloži poznámky k měření (Edi noes). Poé siskem lačíka Prin vyiskněe zobrazený graf. V dialogovém okně zvole viruální iskárnu FinePrin, ve vlasnosech iskárny nasave orienaci sránky na šířku (Orienaion: andscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrin. Pro získání dvou kopií isk opakuje. V programu FinePrin nasave poče isknuých sránek 2 na jeden lis (ayou: 2 up). Tako připravený soubor obsahující 2 grafy na jednom lisě nad sebou vyiskněe na síťové iskárně (lačíko Prin&lose). Měření přechodných dějů v obvodu h) K měřicímu sysému obr. 39 připoje přípravek s článkem, do obvodu zapoje podkriický lumicí odpor s hodnoou, k, vsup IN B bude měři napěí u. i) Siskněe lačíko Ini, čímž uvedee sysém do počáečního savu. Na generáoru nasave opě obdélníkový signál 5 V s kmiočem Hz (v sekci Oupu zvole lačíko Open, v dialogovém okně vybere definiční soubor obdélníkového impulzu khzpulse5v.aio). ozsah zobrazení kanálu OUT ponecheje ±5 V, rozsah kanálu B změňe na ± V (Gain pomocí lačíek ), rozsah časové osy, ms.

8 j) Vybere sekvenční měření Sequence. Siskem viruálního lačíka B v sekci Measuremen spusťe měření u () pro podkriické lumení (žluá křivka). k) Zapněe kursor (lačíkem ursor) a s jeho pomocí zjisěe polohu prvního a druhého kladného maxima napěí u () na charakerisice po násupné hraně budicího napěí (u m, m, u m2, m2 ). Hodnoy zapiše do ab. 27. Poznámka: od zobrazovaného času je pořeba odečís čas počáku děje (čas násupné hrany impulzu). l) Nahraďe přepojením vsupu přípravku odpor. k kriickým odporem k. Siskem viruálního lačíka B2 v sekci Measuremen spusťe měření u () pro kriické lumení (modrá křivka). m) Zapněe ediaci popisů (egend: Edi) přepiše název okna na BE2-přechodný děj, namíso Jméno uveďe svá příjmení, v sekci egend pojmenuje průběh B u() podkriické lumení a průběh B2 u() kriické lumení. Ediaci ukončee (egend: End). n) Vyiskněe zobrazený graf přenosové charakerisiky posupem podle bodu g). o) Ukončee program (Exi). Zpracování ab. 26 Přechodný děj v sériovém obvodu Měřeno Vypočeno Odchylka = m /2 = 2 m = v /2 = 2 v /2 2 m v δ u u u u u u u u δ u δ u δ u δ u µs V V V V µs V V V V % % % % % ( ) (4b) (5b) (4a) (5a) (4b) (5b) (4a) (5a) () () () () () Nabíjení 58,95 3,5 4,25,75 57,6,97 3,3 4,32,68,69 -,,66 -,6,3 Vybíjení 58 2,95-2,95,75 -,75 57,6 3,3-3,3,68 -,68,69-2,6-2,6,3,3 Poznámka: U = 5 V, = 8 kω, = 7,2 nf

9 Vyišěný graf průběhů: Poloha maxim ab. 27 Přechodný děj v sériovém obvodu při podkriickém lumení Měřeno Vypočeno Odchylka u m m u m2 m2 km f m δ m k δ f f u u 2 δ k δ δ δ f V µs V µs kω µs khz s - kω s - khz khz V V % % % (25) (26) (27) () (22) (23) (24) (28) (28) () () () 8,5 46 6,8 42,5 96, ,4 759,7,65 8,58 6,84,9 -,9-2,2 Poznámka: U = 5 V,, k =,2 kω, = 85 mh, = 2,6 nf p) Vypočěe časovou vzdálenos dvou po sobě jdoucích kladných maxim napěí při podkriickém lumení =, (s) (25) m2 m z oho kmioče vlasních kmiů obvodu f =, (Hz) (26) m a činiel lumení vlasních kmiů δ ln u m m = fm um2 U U, (s - ) (27) kde je U...ampliuda budicích obdélníkových kmiů (5 V). q) S použiím vzahu (2) vypočěe hodnoy napěí u () pro časy m a m2 a zapiše je do ab. 27. Do vzahu (2) dosazuje vypočené hodnoy δ (22) a f (24)

10 = ( ), u u ( ) u u m =. (s - ) (28) 2 m2 r) Spočěe relaivní odchylky veličin uvedených v ab. 26 a ab. 27. s) V ab. 27 porovneje hodnoy naměřených a vypočených hodno u () pro časy m a m2. Seznam přísrojů Přípravek s článkem Přípravek s článkem Měřicí sysém 2 (A&DDU jednoka, kabely, zdroj), P Závěr Pomocí naměřených hodno ab. 26 ověře, zda pro obvod plaí vzah (3). Vzah je planý, rozdíly jsou dány výše uvedenými nepřesnosmi měření. Uveďe vliv velikosi odporu (vzhledem k hodnoě k ) na časový průběh veličin v obvodu. Při hodnoě lumicího odporu vyšší než je kriický odpor k dochází k přelumení obvodu (aperiodický děj). Při hodnoě < k je obvod nedolumený (periodický děj). Při kriické hodnoě = k jde o děj na mezi aperiodiciy, přičemž eno přechodný děj má ze všech možných nejkraší dobu rvání (ako jsou lumena úsrojí měřicích přísrojů, podvozky auomobilů ). Na základě zjišěných relaivních odchylek naměřených a eoreických hodno se vyjádřee o přesnosi provedeného měření přechodných dějů v sériovém a obvodu. ozdíl hodno je způsoben: nepřesným odečením hodno u a z grafů olerancí hodno prvků obvodu. Sručné shrnuí Uvedená úloha ukazuje možný způsob měření přechodných dějů a jejich paramerů v obvodech. a 2. řádu. U obvodu byl ukázán vliv lumicího odporu na charaker děje, kdy zv. kriické lumení má v praxi velký význam např. pro návrh lumení kmiajících sousav. Při kriické hodnoě lumicího odporu má přechodný děj obvodu nejkraší dobu rvání, se zvyšováním či snižováním hodnoy odporu se doba děje prodlužuje. Podkriicky lumený obvod vykazuje lumený periodický přechodný děj, přičemž napěí na prvcích a je vyšší než napájecí a jeho velikos záleží na činieli jakosi obvodu (viz sériový rezonanční obvod úloha 5A).