3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků ) pavoúhlýh tojúhelníků a) věty o shodnosti ovnoamennýh tojúhelníků sss: ovnoamenný tojúhelník má dvě stany (amena) shodné dva ovnoamenné tojúhelníky jsou shodné pokud se shodují ve dvou ůznýh stanáh sus: stačí, když se tojúhelníky shodují v úhlu a staně usu: stačí, když se tojúhelníky shodují v úhlu a staně (duhý úhel je buď stejný nebo zbytek do 80 ) b) věty o shodnosti ovnostannýh tojúhelníků sss: ovnostanný tojúhelník má všehny tři stany shodné dva ovnostanné tojúhelníky jsou shodné pokud se shodují v jedné staně sus: shoda v jedné staně (vnitřní úhly všeh ovnostannýh tojúhelníku jsou vždy 60 a tak je shoda úhlů samozřejmá) usu: shoda v jedné staně (vnitřní úhly všeh ovnostannýh tojúhelníku jsou vždy 60 a tak je shoda úhlů samozřejmá) ) věty o shodnosti pavoúhlýh tojúhelníků sss: po stany pavoúhlého tojúhelníka platí Pythagoova věta dva pavoúhlé tojúhelníky jsou shodné pokud se shodují ve dvou stanáh (třetí je učena Pythagoovou větou) sus: stačí, když se tojúhelníky shodují v nepavém úhlu a staně usu: stačí, když se tojúhelníky shodují v nepavém úhlu a staně (duhý úhel je buď stejný nebo zbytek do 80 ) Je nutné, aby ve větě sus u obeného tojúhelníku byl úhel sevřený stanami? Věty o shodnosti odpovídají jednoznačným postupům při konstuki tojúhelníka zkusíme sestojit tojúhelník podle věty ssu (stana, stana, úhel tedy úhel poti jedné ze stan ne mezi nimi). Př. : V tojúhelníku jsou dány stany a, a úhel α. Rozhodni zda, je tento tojúhelník zadán jednoznačně. udeme tojúhelník sestojovat a sledovat, zda není někde víe možností. estojíme stanu
estojíme úhel α Hledáme vhol jako půsečík kužnie ( ) k ; a se šikmým amenem úhlu α. pokud platí a > pokud platí a < Kužnie má s polopřímkou jediný půsečík jednoznačná konstuke věta o shodnosti su ( stana poti úhlu je větší). Kužnie může mít s polopřímkou dva půsečíky dva ůzné tojúhelníky není obená věta o shodnosti ssu Pedagogiká poznámka: Většina studentů keslí pouze situai po a < (je zajímavé, že si mnohdy nevšimnou, že má dvě řešení, potože místo elé kužnie nakeslí jenom bližší půsečík s polopřímkou ). Když jim připomenete, že polomě kužnie není znám a může se měnit alespoň část z nih jednoznačné řešení objeví. Věta su: Dva tojúhelníky, kteé se shodují ve dvou stanáh a úhlu poti větší z nih, jsou shodné. Př. 3: Dokaž, že výška na základnu dělí ovnoamenný tojúhelník na dvě shodné poloviny. Patu výšky označíme, vzniknou dva tojúhelníky:
Hledáme shodné stany a úhly tojúhelníků a : a a v shodné jsou stany a (amena ovnoamenného s tojúhelníku). shodné jsou stany, potože jde o jednu a tu samou stanu shodné jsou úhly při vholu (jsou pavé) tojúhelníky a jsou shodné podle věty su. Pedagogiká poznámka: tejně jako u příkladů v minulé hodině mají studenti tendeni vyházet z neověřenýh údajů. Konkétně z ovnosti =, kteá z toho, že úsečka je výškou v tojúhelníku nijak nevyplývá (a vyplývá až z dokázané shodnosti tojúhelníků a ). Př. 4: Je dána kužnie k ( ; ) a bod, kteý leží vně kužnie k. estoj tečny kužnie k jdouí z bodu, tečné body označ T a T. Dokaž, že platí T = T. Nakeslíme obázek: 3
t T k T t hodnost dvou úseček dokážeme pomoí shodnosti dvou tojúhelníků hledáme dva tojúhelníky, kteé: obsahují úsečky T, T mají hodně společného využívají speiální ys zadání, tedy kužnii k zkusíme využít tojúhelníky T a T hledáme v čem se shodují. t T k T Tojúhelníky T a T se shodují: ve staně (je společná obě tojúhelníkům) T T (poloměy kužnie k) T T T t T (pavé úhly, kteé svíá tečna kužnie s poloměem) (podle věty su úhly T ; T jsou pavé a tedy největší v tojúhelnííh stana ležíí poti nim musí být největší) T = T Pedagogiká poznámka: Největší poblém předhozího příkladu je ve volbě tojúhelníků. tudenti nejčastěji volí tojúhelník TT, kteý ozdělí výškou na dva. labina této volby spočívá pávě v tom, že nijak nevyužívá fakt, že body T a T leží na kužnii. 4
Př. 5: Je dán tojúhelník, p je přímka, na níž leží těžnie t tohoto tojúhelníku. Dokaž, že body, mají od přímky p stejnou vzdálenost. p 0 0 Vzdálenosti bodů, od přímky p jsou učeny pomoí kolmi k této příme jako délky úseček 0 a 0. Hledáme shodné tojúhelníky, kteé obsahují tyto úsečky. Možnost tojúhelníky 0 a 0 naha najít shodné velikosti nebo úhly: (bod je patou těžnie a tedy středem úsečky ) (úhly vholové) 0 0 0 0 (pavé úhly u pat kolmi) shodná je i dvojie třetíh úhlů (zbytek do 80 ) 0 0 tojúhelníky jsou shodné podle věty usu body, mají stejnou vzdálenost od přímky p. 0 0 Pedagogiká poznámka: Hodně se vyřeší pokud studentům v pavý čas připomenete, že vzdálenost bodu od přímky se učuje pomoí kolmie. Mnozí mají poit, že není o dokazovat, když bod je středem úsečky. Př. 6: Na ose o ostého úhlu V sestoj uvnitř úhlu V bod. estoj kužnii k ( ; ) tak,a by platilo > V. Označ půsečíky přímky V s kužnií k jako M, N a půsečíky přímky V s kužnií k jako PQ. Dokaž, že platí MN Nakeslíme obázek: = PQ. 5
Q M V o P Ryhle řešení není vidět, zkusíme příklad ozdělit na dva. Nejdříve se pokusíme dokázat ovnost: VQ = VN. Hledáme tojúhelníky s vlastnostmi, kteé jsme použili již v příkladu 4: obsahují úsečky VQ a VN mají hodně společného využívají speiální ys zadání, tedy kužnii k a osu o zkusíme tojúhelníky VN a VQ: N Q M V o P tojúhelníky se shodují: ve staně V (je společná obě tojúhelníkům) N Q (poloměy kužnie k) VN VQ (shodnýh poloviny úhlu V) tojúhelníky jsou shodné podle věty su platí VN = VQ N 6
Nyní se pokusíme dokázat ovnost: MV = PV. Hledáme tojúhelníky s vlastnostmi, kteé jsme použili již v příkladu 4: obsahují úsečky MV a PV mají hodně společného využívají speiální ys zadání, tedy kužnii k a osu o zkusíme tojúhelníky MV a PV: Q M V o P N tojúhelníky se shodují: ve staně V (je společná obě tojúhelníkům) M P (poloměy kužnie k) VM VP (součet shodnýh vholovýh úhlů a shodnýh polovin úhlu V) tojúhelníky jsou shodné podle věty su platí MV = PV úsečky MN a PQ získáme sečtením dvou dvoji shodnýh úseček platí MN = PQ. Př. 7: Petáková: stana 86/vičení 0 hnutí: Velké ve jménu věty su znamená, že stana poti úhlu musí být větší. 7