3.2.2 Shodnost trojúhelníků II

Podobné dokumenty
Planimetrie. Přímka a její části

1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení

Zobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru

Části kruhu. Předpoklady:

3.2.4 Podobnost trojúhelníků II

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

3.2.3 Podobnost trojúhelníků I

4.3.3 Podobnost trojúhelníků I

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

3.3.5 Množiny bodů dané vlastnosti II (osa úsečky)

( ) Další metrické úlohy II. Předpoklady: Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

1.7.9 Shodnost trojúhelníků

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

Úlohy domácího kola kategorie B

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

. Najdi parametrické vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadnic a najdi její další vyjádření.

Logaritmická funkce II

Úlohy krajského kola kategorie B

PLANIMETRIE úvodní pojmy

. Najdi parametrické vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadnic a najdi její další vyjádření.

I. kolo kategorie Z9

Konstrukce trojúhelníků II

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Obrázek 101: Podobné útvary

3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

P L A N I M E T R I E

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

5. P L A N I M E T R I E

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

Parabola. Předpoklady: 7501, Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

Délka kružnice (obvod kruhu) II

( ) Příklady na středovou souměrnost. Předpoklady: , bod A ; 2cm. Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;3cm)

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

3.1.2 Polorovina, úhel

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

5.3.4 Využití interference na tenkých vrstvách v praxi

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník III. konstrukce trojúhelníku. Astaloš Dušan. frontální, fixační

SHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

7.5.3 Hledání kružnic II

2.4.6 Věta usu. Předpoklady:

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

Odraz na kulové ploše

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

4.4.3 Další trigonometrické věty

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

Syntetická geometrie I

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

Syntetická geometrie I

Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Technická univerzita v Liberci. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY. Pomocný učební text

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

3.6.3 Prvky trojúhelníků

M - Planimetrie pro studijní obory

OSOVÁ SOUMĚRNOST. Lekce je navržená pro dvě vyučovací hodiny, 90 minut. Průběh lekce:

půdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho

62. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Jihlava, března 2013

Mocnost bodu ke kružnici

Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.

Vlasta Moravcová. Matematicko-fyzikální fakulta & Nad Ohradou 23 Univerzita Karlova v Praze Praha 3. Letní škola geometrie 2018,

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

7.3.2 Parametrické vyjádření přímky II

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

Shodná zobrazení v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

pravidelné konvexní mnohostěny

Další polohové úlohy

n =5, potom hledejte obecný vztah. 4.5 Mnohoúhelníky PŘÍKLAD 4.2. Kolik úhlopříček má n úhelník? Vyřešte nejprve pro Obrázek 28: Tangram

4.3.5 Dělení úseček. Předpoklady:

Konstrukce na základě výpočtu I

tečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

{ } Konstrukce trojúhelníků I. Předpoklady: 3404

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

Kreslení, rýsování. Zobrazení A B. Promítání E 3 E 2

1.4.6 Stavba matematiky, důkazy

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

Kružnice opsaná a kružnice vepsaná

Mocnost bodu ke kružnici

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 7. 4 Klíčové kompetence. Opakování 6.

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

x 0; x = x (s kladným číslem nic nedělá)

4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306

Transkript:

3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků ) pavoúhlýh tojúhelníků a) věty o shodnosti ovnoamennýh tojúhelníků sss: ovnoamenný tojúhelník má dvě stany (amena) shodné dva ovnoamenné tojúhelníky jsou shodné pokud se shodují ve dvou ůznýh stanáh sus: stačí, když se tojúhelníky shodují v úhlu a staně usu: stačí, když se tojúhelníky shodují v úhlu a staně (duhý úhel je buď stejný nebo zbytek do 80 ) b) věty o shodnosti ovnostannýh tojúhelníků sss: ovnostanný tojúhelník má všehny tři stany shodné dva ovnostanné tojúhelníky jsou shodné pokud se shodují v jedné staně sus: shoda v jedné staně (vnitřní úhly všeh ovnostannýh tojúhelníku jsou vždy 60 a tak je shoda úhlů samozřejmá) usu: shoda v jedné staně (vnitřní úhly všeh ovnostannýh tojúhelníku jsou vždy 60 a tak je shoda úhlů samozřejmá) ) věty o shodnosti pavoúhlýh tojúhelníků sss: po stany pavoúhlého tojúhelníka platí Pythagoova věta dva pavoúhlé tojúhelníky jsou shodné pokud se shodují ve dvou stanáh (třetí je učena Pythagoovou větou) sus: stačí, když se tojúhelníky shodují v nepavém úhlu a staně usu: stačí, když se tojúhelníky shodují v nepavém úhlu a staně (duhý úhel je buď stejný nebo zbytek do 80 ) Je nutné, aby ve větě sus u obeného tojúhelníku byl úhel sevřený stanami? Věty o shodnosti odpovídají jednoznačným postupům při konstuki tojúhelníka zkusíme sestojit tojúhelník podle věty ssu (stana, stana, úhel tedy úhel poti jedné ze stan ne mezi nimi). Př. : V tojúhelníku jsou dány stany a, a úhel α. Rozhodni zda, je tento tojúhelník zadán jednoznačně. udeme tojúhelník sestojovat a sledovat, zda není někde víe možností. estojíme stanu

estojíme úhel α Hledáme vhol jako půsečík kužnie ( ) k ; a se šikmým amenem úhlu α. pokud platí a > pokud platí a < Kužnie má s polopřímkou jediný půsečík jednoznačná konstuke věta o shodnosti su ( stana poti úhlu je větší). Kužnie může mít s polopřímkou dva půsečíky dva ůzné tojúhelníky není obená věta o shodnosti ssu Pedagogiká poznámka: Většina studentů keslí pouze situai po a < (je zajímavé, že si mnohdy nevšimnou, že má dvě řešení, potože místo elé kužnie nakeslí jenom bližší půsečík s polopřímkou ). Když jim připomenete, že polomě kužnie není znám a může se měnit alespoň část z nih jednoznačné řešení objeví. Věta su: Dva tojúhelníky, kteé se shodují ve dvou stanáh a úhlu poti větší z nih, jsou shodné. Př. 3: Dokaž, že výška na základnu dělí ovnoamenný tojúhelník na dvě shodné poloviny. Patu výšky označíme, vzniknou dva tojúhelníky:

Hledáme shodné stany a úhly tojúhelníků a : a a v shodné jsou stany a (amena ovnoamenného s tojúhelníku). shodné jsou stany, potože jde o jednu a tu samou stanu shodné jsou úhly při vholu (jsou pavé) tojúhelníky a jsou shodné podle věty su. Pedagogiká poznámka: tejně jako u příkladů v minulé hodině mají studenti tendeni vyházet z neověřenýh údajů. Konkétně z ovnosti =, kteá z toho, že úsečka je výškou v tojúhelníku nijak nevyplývá (a vyplývá až z dokázané shodnosti tojúhelníků a ). Př. 4: Je dána kužnie k ( ; ) a bod, kteý leží vně kužnie k. estoj tečny kužnie k jdouí z bodu, tečné body označ T a T. Dokaž, že platí T = T. Nakeslíme obázek: 3

t T k T t hodnost dvou úseček dokážeme pomoí shodnosti dvou tojúhelníků hledáme dva tojúhelníky, kteé: obsahují úsečky T, T mají hodně společného využívají speiální ys zadání, tedy kužnii k zkusíme využít tojúhelníky T a T hledáme v čem se shodují. t T k T Tojúhelníky T a T se shodují: ve staně (je společná obě tojúhelníkům) T T (poloměy kužnie k) T T T t T (pavé úhly, kteé svíá tečna kužnie s poloměem) (podle věty su úhly T ; T jsou pavé a tedy největší v tojúhelnííh stana ležíí poti nim musí být největší) T = T Pedagogiká poznámka: Největší poblém předhozího příkladu je ve volbě tojúhelníků. tudenti nejčastěji volí tojúhelník TT, kteý ozdělí výškou na dva. labina této volby spočívá pávě v tom, že nijak nevyužívá fakt, že body T a T leží na kužnii. 4

Př. 5: Je dán tojúhelník, p je přímka, na níž leží těžnie t tohoto tojúhelníku. Dokaž, že body, mají od přímky p stejnou vzdálenost. p 0 0 Vzdálenosti bodů, od přímky p jsou učeny pomoí kolmi k této příme jako délky úseček 0 a 0. Hledáme shodné tojúhelníky, kteé obsahují tyto úsečky. Možnost tojúhelníky 0 a 0 naha najít shodné velikosti nebo úhly: (bod je patou těžnie a tedy středem úsečky ) (úhly vholové) 0 0 0 0 (pavé úhly u pat kolmi) shodná je i dvojie třetíh úhlů (zbytek do 80 ) 0 0 tojúhelníky jsou shodné podle věty usu body, mají stejnou vzdálenost od přímky p. 0 0 Pedagogiká poznámka: Hodně se vyřeší pokud studentům v pavý čas připomenete, že vzdálenost bodu od přímky se učuje pomoí kolmie. Mnozí mají poit, že není o dokazovat, když bod je středem úsečky. Př. 6: Na ose o ostého úhlu V sestoj uvnitř úhlu V bod. estoj kužnii k ( ; ) tak,a by platilo > V. Označ půsečíky přímky V s kužnií k jako M, N a půsečíky přímky V s kužnií k jako PQ. Dokaž, že platí MN Nakeslíme obázek: = PQ. 5

Q M V o P Ryhle řešení není vidět, zkusíme příklad ozdělit na dva. Nejdříve se pokusíme dokázat ovnost: VQ = VN. Hledáme tojúhelníky s vlastnostmi, kteé jsme použili již v příkladu 4: obsahují úsečky VQ a VN mají hodně společného využívají speiální ys zadání, tedy kužnii k a osu o zkusíme tojúhelníky VN a VQ: N Q M V o P tojúhelníky se shodují: ve staně V (je společná obě tojúhelníkům) N Q (poloměy kužnie k) VN VQ (shodnýh poloviny úhlu V) tojúhelníky jsou shodné podle věty su platí VN = VQ N 6

Nyní se pokusíme dokázat ovnost: MV = PV. Hledáme tojúhelníky s vlastnostmi, kteé jsme použili již v příkladu 4: obsahují úsečky MV a PV mají hodně společného využívají speiální ys zadání, tedy kužnii k a osu o zkusíme tojúhelníky MV a PV: Q M V o P N tojúhelníky se shodují: ve staně V (je společná obě tojúhelníkům) M P (poloměy kužnie k) VM VP (součet shodnýh vholovýh úhlů a shodnýh polovin úhlu V) tojúhelníky jsou shodné podle věty su platí MV = PV úsečky MN a PQ získáme sečtením dvou dvoji shodnýh úseček platí MN = PQ. Př. 7: Petáková: stana 86/vičení 0 hnutí: Velké ve jménu věty su znamená, že stana poti úhlu musí být větší. 7