. Najdi parametrické vyjádření přímky AB. Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadnic a najdi její další vyjádření.

Transkript

1 735 Obená rovnie přímky I Předpoklady: Pedagogiká poznámka: Úvodní příklad se nesmí příliš prodlužovat Nemá enu ztráet čas tím, že si většina žáků nepamatuje lineární funke Raději ryhle napíši řešení sám, aby na koni hodiny zbyl prostor pro dopočítání posledního příkladu Př 1: Jsou dány body A[ 1; 1] a B [ 1;3] Najdi parametriké vyjádření přímky AB Nakresli přímku AB do kartézské soustavy souřadni a najdi její další vyjádření Směrový vektor B A = ( 2;4) u = ( 1;2 ) Parametriké vyjádření: y 4 2 x = 1+ t y = 1+ 2 t, t R x -4 Přímka je také grafem lineární funke y = ax + b Spočítáme koefiienty: 1; 1 1 = a 1 + b, bod [ ] ( ) bod [ 1;3 ] 3 = a 1+ b 1 = a + b 3 = a + b (odečteme rovnie) 3 ( 1) = a ( a) + b b 2a = 4 a = 2 Dosadíme do druhé rovnie: 3 = a + b = 2 + b b = 1 Jde o funki y = + 1 rovnie y + 1 = 0 je také rovnií přímky AB Zdá se, že rovnie y + 1 = 0 je novým typem rovnie přímky AB Parametriké vyjádření popisuje přímku AB mělo by obsahovat i rovnii y + 1 = 0 Jak získat rovnii y + 1 = 0 z parametrikého vyjádření? Neobsahuje parametr zkusíme se ho zbavit a ze dvou rovni udělat jednu x = 1+ t t = x + 1 y = 1+ 2t = 1+ 2 x + 1 ( ) 1

2 y = y = + 1 y + 1 = 0 Opravdu jsme získali stejnou rovnii Jaký je její význam? Jiný způsob zadání přímky v rovině n Přímku určuje bod a vektor, který je na přímku kolmý (normálový vektor n) (takto jsme rýsovali kolmie) A p Jaký je normálový vektor přímky AB? = 1;2 Směrový vektor u ( ) normálový vektor = ( 2; 1) Jak poznáme, že bod X [ x; y ] leží na příme AB? n (je kolmý na směrový) n u X[x;y] Pokud bod X leží na příme p, vektor X A je kolmý na normálový vektor jejih skalární součin je nulový A p Zapíšeme předhozí podmínku rovnií Konkrétní příklad: 1; 1 n = 2; 1 A[ ], ( ) X A = ( x + 1; y + 1), n = ( 2; 1) ( X A) n = 0 ( x y )( ) x y + 1; + 1 2; 1 = = 0 y + 1 = 0 Teď už víme, kde se rovnie vzala Obený postup: ; n = P[ p1 p 2 ], ( a; X A = ( x p1; y p2 ), n = ( a; ( X A) n = 0 ( )( ) Ke každé příme p lze najít taková čísla a, b,, aby X [ x; y] x p ; y p a; b = ax ap + by bp = ap1 bp2 0 ax + by = ax + by + = ax + by + = 0 - obená rovnie přímky p právě když ax + by + = 0 Platí i obráeně: Pro každou trojii reálnýh čísel a, b,, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, je X x; y pro které platí ax + by + = 0 přímka množina všeh bodu [ ] Rovnie ax + by + = 0, kde alespoň jedno z čísel a, b je nenulové, se nazývá obená rovnie přímky Čísla a, b jsou souřadnie normálového vektoru n = a; b této přímky, číslo získáme dosazením libovolného bodu přímky do ( ) rovnie Př 2: Urči obenou rovnii přímky CD, C [ 2;2], [ 1;3] Směrový vektor: u = D C = ( 3;1) D 2

3 Normálový vektor: n = ( 1;3 ) Obená rovnie přímky: ax + by + = 1 x + 3y + = 0 Hledáme koefiient dosazením bodu C: = 0 = 8 Obená rovnie přímky: x + 3y 8 = 0 Co když byhom dosadili bod D? = 0 = 8 - stejný výsledek Zkusíme: ( ) Pedagogiká poznámka: Na předhozím příkladu je dobře vidět, zda žái vůbe čtou modré rámečky, které opisují do sešitu Nezanedbatelná část z ni vůbe neví, o má dělat, další sie vytvoří rovnii z normálového vektoru, ale při výpočtu parametru opakuje skalární násobení z odvozování Pokud se někdo ptá, jestli záleží, který z bodů do rovnie dosadí, říkám, že si to má vyzkoušet Př 3: Rozhodni, zda na příme CD z předhozího příkladu leží body E [ 1;2 ] a [ 5;1] F Dosazením body do rovnie přímky: E 1;2 : x + 3y 8 = = 1 0 rovnie nevyšla bod E neleží na příme CD, bod [ ] bod [ 5;1] F : x + 3y 8 = = 0 rovnie vyšla bod F leží na příme CD Pedagogiká poznámka: I když se snažím, aby všihni studenti sestavili svoji první obenou rovnii přímky sami podle návodu v rámečku, najde se jih pár, kteří potřebují něo ukázat Proto následuje druhý příklad, který musí už všihni udělat samostatně Jeho výsledky pak dále využijeme Ryhlejší studenti mohou ihned přejít na příklad 4 s tím, že si pod příkladem 3 vynehají několik řádek Př 4: Urči obenou rovnii přímky KL, K [ 2;1], [ 2;3] Směrový vektor: L K = ( 4; 2) = ( 2;1) Normálový vektor: n = ( 1; 2) u Obená rovnie přímky: ax + by + = 1 x 2y + = 0 Hledáme koefiient dosazením bodu K: ( ) Obená rovnie přímky: x 2y + 4 = 0 Co kdybyhom nezkrátili směrový vektor? n = 2; 4 Zkusíme: Normálový vektor: ( ) Obená rovnie přímky: ax + by + = 2 x 4y + = 0 Hledáme koefiient dosazením bodu E: ( ) Obená rovnie přímky: 4y + 8 = 0 L = 0 = = 0 = 8 Pedagogiká poznámka: Při hodině jsme získali všehny čtyři očekávatelné výsledky, kromě uvedenýh výše i jejih varianty vynásobené 1 Pro jednu přímku vyšly různé obené rovnie: x 2y + 4 = 0, 3

4 x + 2y 4 = 0, 4y + 8 = 0, + 4y 8 = 0, pro jednu přímku existuje víe obenýh rovni Je mezi nimi nějaký vztah? Rovnie jsou navzájem svými násobky Je to jasné, když rovnii vynásobíme nenulovým číslem, množina řešení se nezmění Př 5: Obený tvar obené rovnie přímky ax + by + = 0 obsahuje elkem pět písmen, která můžeme roztřídit do dvou skupin podle významu, který v rovnii hrají Roztřiď písmena do dvou skupin a popiš význam písmen v každé skupině Dvě skupiny písmen: a, b, : písmena, která rozlišují přímky mezi sebou (různé přímky harakterizují různé dosazené hodnoty), u konkrétní přímky, místo těhto písmen píšeme konkrétní čísla, x, y: písmena, která slouží jako prázdná místa pro dosazení bodu, o kterém heme zjistit, zda leží na příme nebo nikoli (na těhto místeh zůstávají písmena i poté, o jsme určili rovnii konkrétní přímky) Pedagogiká poznámka: Předhozí příklad je důležitý a trvám na tom, aby si ho sešitu napsali hlavně žái, kteří ho nevyřešili samostatně Je ukázkou přemýšlení, které žákům, kteří mají s matematikou problémy, zoufale hybí Obená rovnie přímky je první ukázkou nejčastějšího typu rovnie v analytiké geometrii Rovnie ax + by + = 0 obsahuje pět písmen, které můžeme rozdělit do dvou skupin: a, b, jsou koefiienty, které odlišují různé přímky od sebe Pro konkrétní přímku jsou nahrazeny čísly, x, y jsou prázdná místa rovnie, do kterýh dosazujeme souřadnie bodů, o kterýh heme zjistit, zda leží na příme nebo ne Pedagogiká poznámka: Následujíí příklad se v hodině nestíhá, všihni mají za povinnost ho dokončit doma Př 6: Je dán trojúhelník ABC; A[ 2;3], B[ 4; 1], C [ 2;5] a) strana AB Urči obené rovnie přímek, na kterýh leží: a) strana AB; výška v ; ) osa strany AB; d) těžnie t a ; e) střední příčka SABS AC Normálový vektor: = B A = ( 6; 4) = ( 2;3) Dosadíme bod A[ 2;3] : 2( 2) Obená rovnie přímky AB: + 3y 5 = 0 výška v AB n + 3y + = = = 5 Normálový vektor je shodný se směrovým vektorem přímky AB: = ( 3; 2) 3x 2y + = 0 n 4

5 Dosadíme bod [ 2;5] C : = 0 = 4 Obená rovnie přímky na které leží výška v : 3x 2y + 4 = 0 ) osa strany AB Normálový vektor je shodný se směrovým vektorem přímky AB: = ( 3; 2) 3x 2y + = 0 Dosadíme bod [ 1;1] S : = 0 = 1 AB Obená rovnie osy strany AB: 3x 2y 1 = 0 d) těžnie t a Přímka určená body A[ 2;3], S BC [ 3;2] Normálový vektor: BC = SBC A = ( 5; 1) = ( 1;5 ) Dosadíme bod A[ 2;3] : ( 2) = 0 = 13 n AS n x + 5y + = 0 Obená rovnie přímky, na které leží těžnie t : x + 5y 13 = 0 e) střední příčka SABS AC Přímka určená body S AB [ 1;1], S AC [ 0;4] Normálový vektor: AB AC = S AC SAB = ( 1;3 ) = ( 3;1) Dosadíme bod S [ 1;1] : = 0 = 4 AB S S n 3x + y + = 0 Obená rovnie přímky, na které leží střední příčka SABS AC : 3x + y 4 = 0 Př 7: Petáková: strana 105/vičení 1 a) ) d) e) (pouze obené rovnie) Shrnutí: Rovnie ax + by + = 0 s alespoň jedním nenulovým číslem a, b popisuje přímku v rovině Koefiienty a, b se rovnají složkám normálového vektoru = ( a; n 5