Technická univerzita v Liberci. Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY. Pomocný učební text
|
|
- Kamil Soukup
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Technická univezita v Libeci Fakulta příodovědně-humanitní a pedagogická Kateda matematiky a didaktiky matematiky KŘIVKY Pomocný učební text Peta Piklová Libeec, leden 04
2 V tomto textu si budeme všímat všech křivek obecně a v závěu se zaměříme na jednu speciální křivku šoubovici, kteou budeme také zobazovat v nám známých zobazovacích metodách. V tomto textu budeme křivkou ozumět dáhu pohybujícího se bodu. Je to tedy množina nekonečného počtu bodů, kteé závisí na paametu (čase). Poto můžeme křivku také nazvat jednopaametickou množinou bodů. Zavedeme-li si souřadnicový systém {0, x, y, z} pak můžeme křivku definovat pomocí vektoové funkce. Vektoovou funkcí jedné eálné poměnné ozumíme takovou funkci, kteá každému číslu t z intevalu T R jednoznačně přiřazuje vekto, jehož počátečním bodem je počátek soustavy souřadnic 0 a koncovým bodem je bod na křivce. Píšeme. z (t) 0 (t) y x Vektoová funkce ůžeme psát t jsou pak souřadnicemi poměnného vektou obou deivace všech řádů. Rovnice křivky, kde t je paamet.. Reálné funkce x(t), y(t), z(t) poměnné. A předpokládáme, že mají v definičním jsou paametické ovnice VZÁJENÁ POLOHA PŘÍKY A KŘIVKY áme dánu křivku a na ní si zvolíme bod T a v jeho okolí bod A. Pokud spojíme body AT do přímky, získáme sečnu křivky. Přibližujeme-li bod A k bodu T tak dlouho, až tyto dva body splynou, pak získáme tečnu křivky v bodě T a bod T je bodem dotyku tečny. T t A s Tečna a sečna křivky Směovým vektoem tečny je pvní deivace vektoové funkce křivky. Tečnou křivky je tedy přímka učená bodem křivky a tečným vektoem. Píšeme = T +s, kde = (x (t), y (t), z (t)), je tečný vekto a T[T, T, T 3 ] dotykový bod.
3 Úsečka na sečně, kteá je omezena dvěma body na křivce, je tětiva. Kolmice, kteá je sestojená v bodě dotyku na tečnu, se nazývá nomála křivky. Tečna, kteá se dotýká křivky v nevlastním bodě (v nekonečnu), je asymptotou křivky. n T t Nomála křivky KLASIFIKACE ODŮ NA KŘIVCE. Rozdělení bodů, v nichž má křivka jedinou tečnu. Nech t je dána křivka, na ní bod T a v bodě T je dána tečna t ke křivce. V okolí bodu T zvolíme bod křivky A. Pokud se bod A pohybuje ke křivce, pak se také pohybuje sečna křivky AT. Splyne-li bod A s bodem T, splývá sečna s tečnou. od A se při pohybu po křivce, pohybuje také po sečně (přímce). t T A s Regulání bod křivky Pokud se nemění smysl pohybu bodu A, ani přímky AT, pak se bod A nazývá egulání. Pokud se mění smysl pohybu bodu A po křivce, nebo se mění smysl pohybu přímky AT, příp. obojího, pak bod A se nazývá singulání. Singulání body dělíme na: a) inflexní bod bod A se pohybuje do bodu T a poté do bodu A. Přitom se přímka AT pohybuje po směu hodinových učiček až do polohy tečny v bodě T ke křivce a poté se pohybuje do polohy A T poti směu hodinových učiček A s=s T t A Inflexní bod 3
4 b) bod vatu. duhu bod A se pohybuje po křivce do bodu T a ten poté do bodu A. Při tomto pohybu se změní smě jeho pohybu. Sečna s přejde do polohy tečny t a pak do polohy sečny s, přičemž se smě pohybu nezmění. s A t s A T od vatu. duhu c) bod vatu. duhu smě pohybu bodu A po křivce do bodu A i smě pohybu sečny s do polohy sečny s se mění s s A A T t od vatu. duhu. ody v nichž má křivka více tečen. Takové body se nazývají vždy singulání. Typy dvojnásobných bodů (křivka má v tomto bodě dvě tečny)jsou následující: a) uzlový bod t t Uzlový bod b) bod vatu. duhu v bodě je jedna dvojnásobná tečna c) izolovaný dvojnásobný bod v bodě jsou dvě komplexně sdužené tečny Izolovaný dvojnásobný bod 4
5 Další typy vícenásobných bodů: např. tojnásobný bod, taknodální bod (křivka se v něm dotýká sama sebe). Tojnásobný bod Taknodální bod funkce Souřadnice singuláního bodu vypočteme tak, že souřadnice pvní deivace vektoové položíme ovnu nule. PRŮVODNÍ TROJHRAN KŘIVKY Pvky původního tojhanu křivky v jejím eguláním bodě křivky jsou tři přímky: tečna t, binomála b, hlavní nomála n a tři oviny: nomální ovina, oskulační ovina a ektifikační ovina b T n t Původní tojhan křivky Nomální ovina je kolmá v bodě T k tečně křivky. Každá přímka, kteá leží v této ovině, se nazývá nomála křivky. Nomála, kteá leží záoveň v oskulační ovině, se nazývá hlavní nomála. Nomála, kteá je k oskulační ovině kolmá, je binomála. Tečný vekto spočítáme jako pvní deivaci: vektoový součin pvní a duhé deivace. Vekto binomály učíme jako a vekto hlavní nomály jako vektoový součin binomálového a tečného vektou. Pokud je křivka ovinná, pak její ovina je záoveň oskulační ovinou této křivky. Tedy, jeli křivka ovinná, pak leží v oskulační ovině, kteá je po všechny její body stejná. 5
6 KŘIVOST Křivost křivky udává velikost jejího zakřivení v bodě a definujeme ji tedy limitou: kde φ je úhel tečny v daném bodě a tečny v bodě dosti blízkém danému bodu, s je délkou oblouku křivky ohaničeného zmíněnými body. Tedy pvní křivost je míou ychlosti změny směu tečny při pohybu po křivce., t t Křivost křivky Převácená hodnota této křivosti v eguláním bodě křivky je polomě oskulační kužnice ρ, kteý se nazývá polomě křivosti. vzocem: Pvní křivost křivky vyjádřené paameticky je dána. OSKULAČNÍ KRUŽNICE Křivky v malém okolí jejího eguláního bodu lze nahadit tzv. oskulační kužnicí (kužnicí křivosti), jejím poloměem je polomě křivosti a středem střed křivosti. Střed křivosti v bodě T křivky lze sestojit tak, že v bodě T učíme tečnu t a v okolí bodu T na křivce bod. Kužnice, kteá pochází body, T a záoveň, aby tečna t ke křivce byla také její tečnou, je jediná. Střed takové kužnice leží na nomále křivky v bodě T. Pokud se bod bude limitně přibližovat k bodu T, pak na nomále v bodě T učíme střed oskulační kužnice. T t S n Oskulační kužnice 6
7 Pokud je křivka dána vektoovou funkcí, pak souřadnice středu oskulační kužnice v bodě křivky učíme pomocí tohoto vzoce: kde jsou souřadnice bodu, je polomě křivosti kužnice a je jednotkový vekto hlavní nomály v daném bodě. Evoluta křivky je množina všech středů oskulačních kužnic (středů křivosti) dané křivky. U kuželoseček jsme se již setkali s pojmem oskulačních kužnic v jejich vcholech. Nazývali jsme je také hypeoskulačními kužnicemi, potože mají s kuželosečkou v jejím vcholu čtyřbodový styk., ROVINNÉ KŘIVKY Křivka je ovinná, pokud všechny její body leží v jedné (oskulační) ovině. áme-li zadánu ovinnou křivku, kteou nelze popsat ovnicí (nebo její ovnici neznáme), lze získat její tečnu v bodě T křivky následující přibližnou konstukcí. l p P T P t k P P P k k Konstukce tečny v bodě křivky Zvolíme si kužnici se středem v bodě T křivky k a s libovolným poloměem. odem T vedeme přímku p, kteá potne křivku v bodě P a kužnici potne v P a P. Na přímce p pak učíme body P a P tak, že,. Tuto konstukci několikát opakujeme. ody P pak leží na křivce k a body P na křivce k. Půsečíky těchto křivek k a k s kužnicí l pochází tečna ke křivce v bodě T. Křivky k, k sestojené způsobem popsaným výše (nebo sestojené pomocí ozdílu úseček) se nazývají kisoidy. Chceme-li sestojit k nějaké křivce tečnu z daného bodu, pak z tohoto bodu sestojujeme sečny na křivce. Křivka, kteá spojuje středy tětiv, jež vytínají zmíněné sečny, pochází bodem T na křivce. od T je hledaným bodem dotyku tečny spuštěné na křivku z daného bodu. 7
8 T A k Konstukce tečny ke křivce Nyní popíšeme přibližnou konstukci nomály křivky v daném bodě, kteý na křivce neleží. Ze středu ýsujeme kužnice o ůzných poloměech. Poté nalezneme středy oblouků, kteé na křivce vytíná křivka. Křivka, kteá pochází těmito středy oblouků, potíná křivku v bodě N, kteým pochází hledaná nomála. n N k Konstukce nomály v bodě křivky áme-li dánu soustavu ovinných křivek, pak křivka, kteá se dotýká všech daných křivek, se nazývá obálka soustavy křivek. Např.: kuželosečka je obálka amen pavého úhlu, jehož duhé ameno pochází ohniskem a vchol se pohybuje po vcholové kužnici, popř. po vcholové přímce. v C A F S E D Elipsa jako obálka amen pavého úhlu Křivky jako obálky soustavy kužnic NĚKTERÉ ROVINNÉ KŘIVKY: a) Achimédova spiála vznikne složením dvou ovnoměných pohybů. od se ovnoměně vzdaluje od zvoleného bodu na přímce, kteá se kolem bodu otáčí. 8
9 3 4 5 Achimédova spiála b) Cykloida vznikne jako dáha bodu, kteý je pevně spojenou s kužnicí k, kteá se kotálí po jiné kužnici k nebo po přímce Pevná křivka je kužnice: k k k k k k Vznik epicykloidy Vznik peicykloidy Vznik hypocykloidy. Epicykloida jsou-li kužnice vně sebe (pokud jsou poloměy kužnic shodné, nazýváme tuto epicykloidu kadioida, jsou-li v poměu :, nazýváme jí nefoida) Kadioida Nefoida. Peicykloida leží-li pevná kužnice uvnitř pohybující se kužnice 3. Hypocykloida leží-li pohybující se kužnice uvnitř pevné kužnice (jsou-li poloměy kužnic v poměu :4, nazýváme jí asteoida) Asteoida Je-li pevná křivka přímka:. Postá cykloida vznikne, když její tvořící bod leží přímo na pohybující se kužnici 9
10 Postá cykloida. Zkácená cykloida tvořící bod leží uvnitř kužnice Zkácená cykloida 3. Podloužená cykloida tvořící bod leží vně kužnice Podloužená cykloida c) Stofoida ta je popsána pouze způsobem, kteým je vytvořena. áme-li dány dvě kolmé přímky x, y a na přímce x je bod A, pak bodem A vedeme přímky, na kteé nanášíme od jejich půsečíku s přímkou y vzdálenost tohoto půsečíku od půsečíku O přímek x, y. y A O x Stofoida d) cs.wikipedia.og cs.wikipedia.og 0
11 REKTIFIKACE Rektifikace oblouku křivky znamená, že tento oblouk nahadíme úsečkou, kteá má stejnou délku jako zmiňovaný oblouk křivky. Při ozvinutí (ektifikaci) oblouku křivky na ní zvolíme vhodný počet bodů a nahadíme oblouk lomenou čaou. Samozřejmě, čím větší počet bodů zvolíme, tím přesnější ektifikace bude. Nikdy však nebude úplně přesná. Rektifikace křivky Nejčastěji je třeba ozvinout kužnici popřípadě její oblouk. K tomuto účelu používáme přibližné konstukce. a) Kochaňského ektifikace slouží ke zjištění délky půlkužnice. b) Sobotkova ektifikace je vhodná pouze po oblouky do 30. c) d Ocagnova ektifikace používá se po středové úhly do 90. T 30 p A S A P Q R A S Kochaňského ektifikace Sobotkova ektifikace d`ocagnova ektifikace Věta: Půmětem křivky je vždy křivka. PRŮĚT PROSTOROVÉ KŘIVKY Je-li křivka ovinná a střed pomítání leží v její ovině, pak půmětem křivky je přímka. ezi body ovinné křivky a jejím půmětem platí středová kolineace, jejímž středem je střed pomítání. Věta: Regulání (singulání) bod se zobazí do eguláního (singuláního) bodu.
12 Pokud vedeme bodem v postou ovnoběžky s tečnami postoové křivky, pak dostaneme kuželovou plochu, kteé říkáme řídící kuželová plocha. Pokud je křivka konstantního spádu ( = spád křivky je konstantní, je odchylka tečny v bodě křivky od zvolené oviny), potom řídící kuželová plocha je otační. k Řídící kuželová plocha křivky
13 ŠROUOVICE Jednou z nejvýznamnějších postoových křivek je šoubovice. Paametickými ovnicemi ji můžeme popsat takto: Podle těchto ovnic můžeme vidět, že šoubovice vzniká šoubovým pohybem bodu. Šoubový pohyb je složením ovnoměného otáčivého pohybu kolem přímky (po kužnici) a ovnoměného posuvného pohybu ve směu této přímky. Pevná přímka se nazývá osa šoubového pohybu. Osa šoubového pohybu po šoubovici se nazývá osa šoubovice. Podle definice šoubového pohybu bodu můžeme říct, že šoubovice leží na otační válcové ploše, kteá vznikne otací přímky ovnoběžné s osou šoubového pohybu kolem této osy. Osa válcové plochy o je totožná s osou šoubovice a její polomě je ovný vzdálenosti tvořícího bodu šoubovice od osy o. Šoubový pohyb je dvojího duhu, levotočivý a pavotočivý. Stejně tak šoubovice je pavotočivá a levotočivá, podle toho zda otáčení bodu při šoubovém pohybu je po (levotočivá) nebo poti (pavotočivá) směu chodu hodinových učiček. o o Pavotočivý pohyb (+) Levotočivý pohyb (-) Poznámka: Šipkou budeme v půdoysu vyznačovat smě stoupání šoubovice. Pokud se bod při šoubovém pohybu otočí o 360 ( ) pak se posune ve směu osy o výšku v, kteou nazýváme výškou závitu. Při otočení o ad se bod posune o výšku b, kteou nazýváme edukovanou výškou závitu. Z výše napsaného je zřejmé, že šoubový pohyb je učen osou, směem otáčení (pavotočivý/levotočivý) a edukovanou výškou závitu. Potože tečny šoubovice svíají s její osou konstantní úhel, šoubovice je křivkou konstantního spádu. Poto je také řídící kuželová plocha tečen šoubovice otační. Za její řídící kužnici volíme řídící kužnici válcové plochy šoubovice. Vchol řídící kuželové plochy je od oviny řídící kužnice vzdálen o edukovanou výšku závitu b. Rozvineme-li část válcové plochy, na kteé je jeden závit šoubovice, pak řídicí kužnice válcové plochy (šoubovice) můžeme ozvinout do úsečky délky (obvod řídicí kužnice) a šoubovice se ozvine ovněž do úsečky, kteá je přeponou pavoúhlého 3
14 tojúhelníka s odvěsnami, kteé jsou tvořeny úsečkami a v =. Pavoúhlý tojúhelník nazýváme chaakteistický tojúhelník šoubovice. z=o v = O x y v b Chaakteistický tojúhelník šoubovice Chaakteistický tojúhelník šoubovice se užívá v úlohách o šoubovici, kteé jsou uvedeny dále. 4
15 ZORAZENÍ ŠROUOVICE V ONGEOVĚ PROÍTÁNÍ Po jednoduchost konstukcí budeme umísťovat šoubovici tak, že její osa bude kolmá k půdoysně. V takovém případě se v ongeově pomítání zobazí šoubovice v půdoysu jako kužnice a v náysu jako sinusoida. Příklad: Sestojte jeden závit pavotočivé šoubovice, je-li dán bod šoubovice A, výška závitu v a osa šoubovice je kolmá k půdoysně. Půdoysem šoubovice je kužnice se středem v o a pocházející bodem A. Tuto kužnici od bodu A ozdělíme po 30 na bodů (,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, ). Každý z těchto bodů vznikne otočením o 30 od bodu předchozího a posunutím ve směu stoupání o / výšky závitu v, kteá přísluší otočení o v o A 9 y, = A o Sestojení závitu šoubovice - řešení 5
16 Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Nalezněte náys bodu šoubovice, je-li dán jeho půdoys. o z y, o b z Nalezení náysu bodu šoubovice v ongeově pomítání Nejdříve sestojíme chaakteistický tojúhelník. Pomocí ektifikace Sobotkovou ektifikací oblouku kužnice sestojíme bod na polopřímce tak, aby velikost úsečky byla ovna velikosti oblouku kužnice. Velikost úsečky je velikost posunutí z příslušného k otočení o úhel. Úlohu lze také fomulovat jako nalezení posunutí, kteé přísluší otočení o učitý úhel, nebo jako sestojení půsečíků šoubovice s ovinou α o. 6
17 Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Najděte její půsečík s ovinou α o. od leží v ovině α, poto víme, jaké je jeho posunutí z vůči bodu. Opět musíme sestojit chaakteistický tojúhelník V. Po nanesení posunutí z do chaakteistického tojúhelníka nalezneme otočení příslušné k posunutí, dané vztahem. Úsečku z tojúhelníku navineme na kužnici v půdoysu (pomocí Sobotkovy ektifikace) a získáme půdoys. Náys leží na náysné stopě oviny a na odinále z bodu. o z y, o V b z Půsečík šoubovice s ovinou ovnoběžnou s půdoysnou v ongeově pomítání Poznámka: Stejné řešení má také úloha k danému posunutí najděte příslušné otočení. 7
18 Příklad: V bodě šoubovice sestojte původní tojhan šoubovice. Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Tečna: Půdoys tečny t v bodě je tečna kužnice. Řídící kuželovou plochu (vchol) umístíme do bodu na ose, kteý je od půdoysny vzdálen o vzdálenost b. Půdoys této řídící kuželové plochy (kužnice) splývá s půdoysem šoubovice. Půdoys: Vcholem řídící kuželové plochy (splývá s o ) vedeme ovnoběžku t s tečnou t (viz obázek). Půdoysný stopník P leží na podstavě řídící kuželové plochy. Učíme jeho polohu podle stoupání šoubovice. Náys: Náysem půdoysného stopníku P a náysem vcholu řídící kuželové plochy vedeme přímku t. S touto přímkou je ovnoběžná tečna t, kteá pochází bodem. Hlavní nomála: Hlavní nomála šoubovice je vždy kolmá na osu a vždy ji potíná. Půdoys: Vždy je n kolmý na tečnu t a pochází o. Náys: n je ovnoběžná se základnicí y,. inomála: inomála je přímka kolmá na oskulační ovinu, kteá je učena tečnou a hlavní nomálou. Tedy půdoys a náys binomály jsou kolmé na půdoysnou a náysnou stopu oskulační oviny, kteou sestojíme pomocí stopníků tečny a hlavní nomály. Půdoys binomály vždy splývá s půdoysem tečny. b t o n t n b P t y, o t = b P n Původní tojhan šoubovice v ongeově pomítání 8
19 ZORAZENÍ ŠROUOVICE V PRAVOÚHLÉ AONOETRII Příklad: Zobazte jeden závit pavotočivé šoubovice, jejíž osa splývá s osou z. Šoubovice je dána výškou závitu v, edukovanou výškou závitu b a tvořícím bodem. Axonometickým půdoysem šoubovice je elipsa a jejím axonometickým půmětem je křivka. Axonometický půmět sestojíme jako axonometické půměty dvanácti bodů šoubovice postupným otáčením bodu o 30. Posunutí těchto bodů při příslušném otáčení učíme z chaakteistického tojúhelníka. Vždy však musíme zjistit v otočení pomocných půměten do půmětny axonometické, jak se skutečné vzdálenosti zkeslí. (z) z (v) (b) (v/) (O) (x) b v/ O (y) I x () y (O) v V b z v/ Šoubovice v pavoúhlé axonometii 9
20 ÚLOHY O ŠROUOVICI V PRAVOÚHLÉ AONOETRII Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Nalezněte axonometický půmět bodu šoubovice, je-li dán jeho axonometický půdoys. V otočení půdoysny do axonometické půmětny učíme řídící kužnici a na ní bod (), tím zjistíme úhel otočení půdoysu bodu vůči bodu. Poté sestojíme chaakteistický tojúhelník. Pomocí ektifikace oblouku ()() v otočení do půdoysny sestojíme bod na polopřímce tak, aby velikost úsečky byla ovna velikosti oblouku ()() tj.. Velikost úsečky je velikost posunutí Δz, příslušného k otočení o úhel. Velikost (Δz) naneseme na otočenou osu (z), čímž získáme velikost Δz posunutí bodu ve směu osy z. (z) z ( z) (O) (x) z O z (y) I x () y (O) ( ) V b z Nalezení náysu bodu šoubovice v pavoúhlé axonometii Poznámka: Úlohu lze fomulovat také jako nalezení posunutí Δz, kteé přísluší otočení o úhel nebo sestojení půsečíků šoubovice s ovinou α o. 0
21 Příklad: Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem. Sestojte její půsečík s ovinou. Zadaný bod leží v ovině (sestojíme ji pomocí hlavních přímek pocházejících bodem, víme-li, že ovina α π) a bod leží v ovině, posunuté o Δz od oviny α. Nyní nalezneme skutečnou velikost (Δz) posunutí na (z). Sestojíme chaakteistický tojúhelník a na něm zjistíme velikost otočení příslušné k posunutí Δz, =. Velikost navineme pomocí Sobotkovy ektifikace na řídící kužnici šoubovice otočenou do axonometické půmětny a získáme bod ( ). Poté pomocí afinity mezi otočenými axonometickými půdoysy do axonometické půmětny a axonometickými půdoysy získáme axonometický půdoys a posléze pomocí posunutí o Δz axonometický půmět. (z) z ( z) (O) (x) m m z O z z n n (y) x () y (O) ( ) V b z Půsečík šoubovice s ovinou ovnoběžnou s půdoysnou v pavoúhlé axonometii Poznámka: Tato úloha má stejné řešení jako úloha: k danému posunutí nalezněte příslušné otočení.
22 Příklad: V bodě šoubovice sestojte její tečnu. Pavotočivá šoubovice je dána osou o, edukovanou výškou závitu b a bodem Otočený axonometický půdoys (t ) tečny v bodě ( ) je tečnou k otočené kužnici. Pomocí afinity získáme axonometický půdoys t. Otočeným půdoysem osy šoubovice (O) (otočeným vcholem řídící kuželové plochy šoubovice) vedeme ovnoběžku (t ) s přímkou (t ). Její otočený půdoysný stopník (P) leží na řídící kužnici, pomocí afinity najdeme jeho axonometický půmět P. Tento bod P pak spojíme s vcholem řídící kuželové plochy šoubovice, kteý leží na ose šoubovice ve vzdálenosti b od půdoysny (pomocí sklopení osy z musíme nalézt zkácenou délku b). Tím vznikne axonometický půmět t přímky, kteá je ovnoběžná s hledanou tečnou t šoubovice v bodě. (z) t z t t (b) (O) t (x) b O (y) P x (P) y (t ) (O) (t ) ( ) Tečna ke šoubovice v pavoúhlé axonometii Poznámka: Všechny úlohy jsou řešeny po pavotočivou šoubovici. Řešení po levotočivou jsou obdobná, poveďte si je jako cvičení samostatně.
23 ZORAZENÍ ŠROUOVICE V KOSOÚHLÉ PROÍTÁNÍ V kosoúhlém pomítání se zobazí šoubovice jako křivky. Je-li její osa kolmá k půdoysně, pak jejím kosoúhlým půmětem je elipsa. Při sestojování šoubovice a při řešení úloh o šoubovici v kosoúhlém pomítání postupujeme obdobně jako v pavoúhlé axonometii, pouze musíme přihlédnout k příslušným ozdílům, mezi těmito zobazovacími metodami. Příklad: Sestojte jeden závit pavotočivé šoubovice v kosoúhlém pomítání ( = 35, q = /3). Polomě řídící kužnice je, osa šoubovice splývá s osou z a výška závitu je v. Nejdříve sestojíme kosoúhlý půdoys s k šoubovice, kteým je elipsa se středem v počátku soustavy souřadnic. Použijeme afinitu mezi kosoúhlými půdoysy a půdoysy bodů. Řídící kužnici s ozdělíme na dvanáct dílů. V sestojených bodech vztyčíme kolmice (ovnoběžky s osou z). Výšku závitu v ozdělíme na dílů a vždy při otočení o 30 se posuneme ve směu osy o / výšky závitu v. Takto sestojíme bodů na jednom závitu šoubovice. z v s k O k y s k s x k x Šoubovice v kosoúhlém pomítání POUŽITÁ LITERATURA:. Uban, A.: Deskiptivní geometie II, SNTL, Paha 965 3
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceZobrazení kružnice v pravoúhlé axonometrii. osy, která je normálou roviny dané kružnice; délka hlavní poloosy je rovna poloměru
Geometie Zoazovací metody Zoazení kužnice v pavoúhlé axonometii Zoazení kužnice ležící v souřadnicové ovině Výklad v pavoúhlé axonometii lze poměně snadno sestojit půmět kužnice dané středem a poloměem,
VíceKRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI
KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VícePlanimetrie. Přímka a její části
Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE. Mgr. Petra Pirklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budova G, 4. patro
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Mg. Pet Piklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budov G, 4. pto SYLBUS. Mongeovo pomítání.. nltická geometie v E 3. 3. Vektoová funkce jedné eálné poměnné. Křivk. 4. Šoubovice - konstuktivní
VíceFyzika. Fyzikální veličina - je mírou fyzikální vlastnosti, kterou na základě měření vyjadřujeme ve zvolených jednotkách
Fyzika Studuje objekty neživé příody a vztahy mezi nimi Na základě pozoování a pokusů studuje obecné vlastnosti látek a polí, indukcí dospívá k obecným kvantitativním zákonům a uvádí je v logickou soustavu
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce
1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé
Více7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky
7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky Křivka jako jednoparametrická množina bodů v E 2. k={x[x,y] E 2, x=x(u), y=y(u), u J R Příklad. Oblouk asteroid: x=cos 3 u, y=sin 3 u, u (dx/du,dy/du)
Vícetečen a osu o π, V o; plochu omezte hranou vratu a půdorysnou a proved te rozvinutí
Řešené úlohy Rozvinutelná šroubová plocha v Mongeově promítání Příklad: V Mongeově promítání zobrazte půl závitu rozvinutelné šroubové plochy, jejíž hranou vratu je pravotočivá šroubovice, která prochází
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
VíceKřivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016
Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Více1.7.2 Moment síly vzhledem k ose otáčení
.7. oment síly vzhledem k ose otáčení Předpoklady 70 Pedagogická poznámka Situaci tochu komplikuje skutečnost, že žáci si ze základní školy pamatují součin a mají pocit, že se pouze opakuje notoicky známá
Vícepravidelné konvexní mnohostěny
PLATÓNOVA TĚLESA pavidelné konvexní mnohostěny Platónova tělesa Stěny Počet stěn S vcholů V han H Čtyřstěn tetaed ovnostanný tojúhelník 4 4 6 Šestistěn(Kychle) hexaed čtveec 6 8 12 Osmistěn oktaed ovnostanný
VíceMAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU. r je vyjádřen vztahem
MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU udeme se zabývat výpočtem magnetického pole vytvořeného danou konfiguací elektických poudů (podobně jako učení elektického pole vytvořeného daným ozložením elektických
VíceGEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU
Integální počet funkcí jedné eálné poměnné - 4. - GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU PŘÍKLAD Učete plochu pod gfem funkce f ( x) = sinx n intevlu,. Ploch pod gfem nezáponé funkce f(x) se n intevlu,
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Víceprostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
VíceKinematika. Hmotný bod. Poloha bodu
Kinematika Pohyb objektů (kámen, automobil, střela) je samozřejmou součástí každodenního života. Pojem pohybu byl poto známý už ve staověku. Modení studium pohybu začalo v 16. století a je spojeno se jmény
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceŠroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu
ŠROUBOVICE Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ZÁKLADNÍ POJMY osa šroubovice o nosná válcová plocha (r poloměr řídicí kružnice
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
Vícepůdorysu; pro každý bod X v prostoru je tedy sestrojen pouze jeho nárys X 2 a pro jeho
Řešené úlohy Rotační paraboloid v kolmém promítání na nárysnu Příklad: V kolmém promítání na nárysnu sestrojte tečnou rovinu τ v bodě A rotačního paraboloidu, který má ohnisko F a svislou osu o, F o, rotace;
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY Cyklické křivky patří především mezi technické křivky. Mají bohatou historii. První zmínku nacházíme dokonce už u Ptolemáia, konkrétnější studie
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
VíceKŘIVKY. Přednáška DG2*A 7. týden
KŘIVKY Přednáška DG*A 7. týden Pjmem křivka zumíme dáhu phybujícíh se bdu. Je t tedy mnžina neknečnéh pčtu bdů, kteé závisí na paametu (čase). Pt můžeme křivku také nazvat jednpaameticku mnžinu bdů. ROZDĚLENÍ
VíceKinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.
Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem
VíceKinematická geometrie
Gymnázium Christiana Dopplera Kinematická geometrie Autor: Vojtěch Šimeček Třída: 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Ročníkovou práci jsem zhotovil samostatně, pouze s pomocí zdrojů
VíceÚlohy domácího kola kategorie B
49. očník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategoie B 1. Po kteá eálná čísla t má funkce f(x) = 5x + 44 + t x 3 x t maximum ovné 0? Daná funkce je lineání lomená, potože obsahuje dva výazy s absolutní
VíceKružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VíceMendelova univerzita. Konstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Petr Liška Konstruktivní geometrie rno 2014 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím Operačního programu Vzdělávání pro
VíceHarmonický pohyb, výchylka, rychlost a zrychlení
Střední půmyslová škola a Vyšší odboná škola technická Bno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky postřednictvím ICT Název: Téma: Auto: Číslo: Anotace: Mechanika, kinematika Hamonický pohyb,
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
Více3.2.2 Shodnost trojúhelníků II
3.. hodnost tojúhelníků II Předpoklady: 30 Pokud mají tojúhelníky speiální vlastnosti, mohou se věty o shodnosti zjednodušit Př. : Zfomuluj věty o shodnosti: a) ovnoamennýh tojúhelníků b) ovnostannýh tojúhelníků
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
VíceKuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
VíceKinematika tuhého tělesa
Kinematika tuhého tělesa Pet Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIERCI Fakulta mechatoniky, infomatiky a mezioboových studií Tento mateiál vznikl v ámci pojektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247 Reflexe požadavků
Více7.5.12 Parabola. Předpoklady: 7501, 7507. Pedagogická poznámka: Na všechny příklady je potřeba asi jeden a půl vyučovací hodiny.
75 Paabola Předoklad: 750, 7507 Pedagogická oznámka: Na všechn říklad je otřeba asi jeden a ůl vučovací hodin Paabolu už známe: matematika: Gafem každé kvadatické funkce = a + b + c je aabola fzika: Předmět,
VíceRELIÉF. Reliéf bodu. Pro bod ležící na s splynou přímky H A 2 a SA a reliéf není tímto určen.
RELIÉF Lineární (plošná) perspektiva ne vždy vyhovuje pro zobrazování daných předmětů. Například obraz, namalovaný s osvětlením zleva a umístěný tak, že je osvětlený zprava, se v tomto pohledu "nemodeluje",
VíceKótované promítání. Úvod. Zobrazení bodu
Úvod Kótované promítání Každá promítací metoda má z pohledu praxe určité výhody i nevýhody podle toho, co při jejím užití vyžadujeme. Protože u kótovaného promítání jde o zobrazení prostoru na jednu rovinu,
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceP L A N I M E T R I E
M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceGeometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0
Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme
Více1.3.8 Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici I
1.3.8 Rovnoměně zychlený pohyb po kužnici I Předpoklady: 137 Opakování: K veličinám popisujícím posuvný pohyb existují analogické veličiny popisující pohyb po kužnici: ovnoměný pohyb pojítko ovnoměný pohyb
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceTrivium z optiky Vlnění
Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou
VíceDeskriptivní geometrie 1
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 1 Pomocný učební text 1. část Světlana Tomiczková Plzeň 22. září 2009 verze 3.0 Předmluva Tento pomocný
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]
Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie. Pomocný učební text. František Ježek, Světlana Tomiczková
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň 20. září 2004 verze 2.0 Předmluva Tento pomocný text
VíceDeskriptivní geometrie pro střední školy
Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl
Více3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.
Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma
VíceUčební text k přednášce UFY102
Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy
VíceOdraz na kulové ploše
Odz n kulové ploše Duté zcdlo o.. os zcdl V.. vchol zcdl S.. střed zcdl (kul. ploch).. polomě zcdl (kul. ploch) Ppsek vchází z odu A n ose zcdl po odzu n zcdle dopdá do nějkého odu B n ose. tojúhelníků
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více4. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z Matematické analýzy 2 22. - 26. října 208 4. Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45
VíceKonstruktivní geometrie
Mendelova univerzita Alice Králová, Petr Liška, Miroslava Tkadlecová Konstruktivní geometrie Brno 05 Tato publikace vznikla za přispění Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu ČR prostřednictvím
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím
část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceZákladní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1
Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu
Více2.1 Shrnutí základních poznatků
.1 Shnutí základních poznatků S plnostěnnými otujícími kotouči se setkáváme hlavně u paních a spalovacích tubín a tubokompesoů. Matematický model otujících kotoučů můžeme s úspěchem využít např. i při
VíceDiferenciální operátory vektorové analýzy verze 1.1
Úvod Difeenciální opeátoy vektoové analýzy veze. Následující text popisuje difeenciální opeátoy vektoové analýzy. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univezitě Hadec Kálové k přípavě
VíceGymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
VíceVyužití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika. Bítov Blok 1: Kinematika
Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika Bítov 13.-17.8.2012 Blok 1: Kinematika Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí příkazu
Více3.7. Magnetické pole elektrického proudu
3.7. Magnetické pole elektického poudu 1. Znát Biotův-Savatův zákon a umět jej použít k výpočtu magnetické indukce v jednoduchých případech (okolí přímého vodiče, ve středu oblouku apod.).. Pochopit význam
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité rozložení náboje
EEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Spojité ozložení náboje Pete Doumashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah. SPOJITÉ OZOŽENÍ NÁBOJE.1 ÚKOY. AGOITMY PO ŘEŠENÍ POBÉMU ÚOHA 1: SPOJITÉ OZOŽENÍ
VíceZákladní vlastnosti křivek
křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky
VíceZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY
ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceAXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.
AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna
VíceDůkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceSmysl otáčení. Aplikace. Pravotočivá
Šroubovice Definice Šroubovice je křivka generovaná bodem A, který se otáčí kolem dané přímky o a zároveň se posouvá podél této přímky, oboje rovnoměrnou rychlostí. Pohyb bodu A šroubový pohyb Přímka o
Více9 Vybrané rovinné křivky
9 Vybrané rovinné křivky 9.1 Obalová křivka PŘÍKLAD 9.1. Za určitých okolností můžeme na dně dobře umytého hrnečku nebo na hladině nápoje v něm pozorovat křivku podobnou srdci (viz obr. 54). Jaká je podstata
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
Více1 Tuhé těleso a jeho pohyb
1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité
VíceMAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ
Úloha č. 6 a MAGNETICKÉ POLE CÍVEK V HELMHOLTZOVĚ USPOŘÁDÁNÍ ÚKOL MĚŘENÍ:. Změřte magnetickou indukci podél osy ovinných cívek po případy, kdy vdálenost mei nimi je ovna poloměu cívky R a dále R a R/..
VícePravoúhlá axonometrie
Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou
Více