PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

Transkript

1 PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ Kždá stejnolehlost je podonost ne oráeně! Podonost má vždy koefiient podonosti kldný znčíme jej k k >0 k R zhovává rovnoěžnost podonost shodnost nevlstní podonost úhly poměry Dělíme ji n podle oriente Přímoshodná Nepřímoshodná shodnost + stejnolehlost = podonost Desrgov vět (orázek) 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ (=věty o kontrolovtelnosti trojúhelníků) Trojúhelníková erivnost SUS (strn, úhel, strn) Úhel je sevřený mezi strnmi USU (úhel, strn, úhel) Strn, ke které jsou úhly přilehlé SSU (strn, strn, úhel) Úhel proti delší strně Podonost trojúhelníků SSS trojúhelníky jsou podoné, pokud zhovávjí poměry UU trojúhelníky jsou si podoné, pokud jsou stejné úhly SUS (úhel strnmi sevřený) SSU stny jsou v poměru nproti je shodný úhel, pk jsou trojúhelníky shodné Prvoúhlý trojúhelník Jsou si podoné ÁCD. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK Prvoúhlý trojúhelník Jsou si podoné ÁCD Euklidov vět o výše v v Důkz Pythgorovy věty přeuspořádáním Pythgorijké trojúhelník (3,4,5) Pythgorijské tojie Euklidovské konstruke Prvítko kružítko ez potřey měřit přesně Některé věi nejdou konstruovt -9-

2 3. OBECNÝ TROJÚHELNÍKŮ Trojúhelník ÁBC je průnikem třeh polorovin, které jsou dány třemi ody Á, B, C, které nejsou kolineární Vždy řdit do poloroviny! Vnitřní úhly jsou uvnitř α+β+γ = 180 Vnější úhly se znčí s čárkou α, β, γ 3π-(α+β+γ) Výšky Poměr výšek je stejný jko převráený poměr délky strn Leží uvnitř, mimo neo n strnáh trojúhelník Průsečík je právě jeden Těžnie Těžnie dělí v poměru :1 Důkz z podonosti trojúhelníků neo z logiky teorie hmotného odu Pty těžni (příčky) Příčkový trojúhelník -??? Ortiký trojúhelník U prvoúhlém neexistuje V tupoúhlém trojúhelníku je částečně mimo trojúhelník Střed kružnie opsné je průsečík středů os strn Typologie trojúhelníků úhlů strn 3.1. KRUŽNICE V TROJÚHELNÍKU Opsná Střed n osáh úhlů Mimo prvoúhlá trojúhelník Ngelov vět (otiký trojúhelník) Vepsná Poloměr r sin Připsná Tylorová kružnie Orto-entrum Pty výšky spustím kolmie ke strnám získám 6 odů, které leží n Tylorově kružnii Kružnie devíti odů Feuerhov kružnie Středy strn (typy těžni, výšek, tři středy spojni, ortoentrum, vrhol) 4. GONÍOMETRÍCKÉ FUNKCE Stejnolehlé trojúhelníky podoné trojúhelníky Poměry dvou strn vzhledem k podonosti v prvoúhlýh trojúhelníků sin os V prvoúhlém trojúhelníku pltí: sin tg os otg V prvoúhlém trojúhelníku Pltí ykliký záměn Vět o průměteh: V kždém oeném trojúhelníku ÁBC pltí: os os -10-

3 Důkz: V kždém trojúhelníku ÁBC pltí: V tupoúhlém trojúhelníku prujeme s úhlem π-β 4.1. SÍNOVÁ VĚTA Odvodíme jí pomoí spuštěním výšky v jkémkoliv trojúhelníku podonost trojúhelníku do rovnie 4.. KOSINOVÁ VĚTA Pythgorov vět je speiální přípd Kosinovi věty 4.3. VÝPOČET OBSAHU S v sin 4S sin Kosinovy věty Hornův vzore S s ( s )( s )( s ) 5. DÍLČÍ POMĚRY Definie: Jsou dány 3 ody ÁBC ležíí n příme. Dělíí poměr je číslo λ, jehož solutní hodnot je AC BC pokud λ < 0, pk C leží mezi ÁB pokud λ > 0, pk C leží vně ÁB Vět: pltí-li ÁBC = λ, pk: ÁCB = 1 - λ BAC = Vět: jsou dány 3 ody ÁBC p jejih: ) rovnoěžný neo středový průmět n rovnoěžky ) rovnoěžný průmět n různoěžky pk ÁBC=Á B C Definie: Mějme 4 ody n příme ÁBCD. Číslo ABCD ABC ABD se nzývá dvojpoměr odů ABCD Vět: Jsou dány 3 ody ÁBC p jejih: A) rovnoěžný neo středový průmět n p p B) rovnoěžná průmět n q p pk (ABC) = (A B C ) -11-

4 Definie: Mějme 4 ody n příme ABDC. Číslo D ABC ABCD se nzývá dvojpoměr odů A, B, C, ABD Vět: Dvojpoměr (ABCD) je: ) kldný C, D leží vně úsečky ÁB neo C, D leží uvnitř úsečky ÁB ) záporný C leží uvnitř zároveň D vně neo C leží vně D uvnitř Definie: Pltí-li (ABCD)=-1 nzýváme čtveřii odů Á, B, C, D hrmonikou čtveřií (čtveřinou) odů A,B,C,D 5.1. MELELOVÁ VĚTA Nehť je dán trojúhelník ÁBC přímk p, která neprohází žádným z vrholů Á, B, C, le protíná přijímky AB, BC, AC po řdě v odeh C, A, B. Potom pltí: (ABC )(BCA )(CAB ) = CAVOVA VĚTA Neh%t je dán trojúhelník ÁBC vnitřní od M, veďme z vrholů A, B, C po řdě přijímky ÁM, BM, CM. Průsečíky těhto přímek strn trojúhelník oznčme po řdě Á, B. C. Pk pltí_ KONSTRUKCE HARMONICKÉ ČTVEŘICE 1) Liovolné přímky ÁX, BX ) Liovolné přímky ex., y M, N 3) AN BM P 4) D XP ÁB (užití Cv. Věty) (ABC )(BCA )(CAB ) = -1-1-

5 5.3. POPPOVA VĚTA Nehť A, B, C, D jsou rovnoěžné neo středové průměty 4 nvzájem různýh odů Á, B, C, D p n p. Pk (ABCD)=(A B C D ) -13-