Planimetrie. Přímka a její části

Transkript

1 Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma ůznými body Rovina - značí se malými písmeny řecké abecedy α, β, χ nebo ABC - třemi ůznými body je dána jedna ovina Úsečka - úsečka je půnik polopřímek AB a BA Poloovina - přímka dělí ovinu na dvě navzájem opačné polooviny a je jejich společnou haniční přímkou Vzájemná poloha útvaů: A k bod A leží na přímce k (bod je Incidentní) A ρ - bod A leží v ovině ρ (ovina ρ pochází bodem A) k ρ - přímka k leží v ovině ρ (ovina ρ obsahuje přímku k, pochází přímkou k) A k, A ρ, k ρ - opak (neleží, nepochází) Úhel - úhlem ozumíme buď půnik dvou poloovin s ůznoběžnými haničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel) Vcholové úhly: Dvě ůznoběžky p,q se společným bodem V ozdělí ovinu na čtyři úhly dvě dvojice úhlů jejichž amena jsou opačné polopřímky. Takové úhly nazýváme úhly vcholové. Vcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé: Mějme tři přímky: p II q ; m p. Souhlasnými úhly ozumíme úhly ležící v téže poloovině s haniční přímkou m, přičemž oba jsou záoveň osté nebo tupé. Střídavými úhly ozumíme úhly ležící v opačných poloovinách s haniční přímkou m, přičemž jsou oba záoveň osté nebo oba záoveň tupé. Souhlasné úhly jsou shodné. Střídavé úhly jsou shodné. Souhlasné a střídavé úhly lze definovat obecně i mezi přímkami, kteé ovnoběžné nejsou. - souhlasnými úhly ozumíme úhly, kteé leží na stejné staně přímky m (tj. současně vlevo nebo současně vpavo) a na stejných stanách přímek p, q (tj. současně nahoře nebo dole). Přímky p,q pak nemusí být ovnoběžné a souhlasné úhly nemusí být shodné (podobně po úhly střídavé).

2 Tojúhelník Tojúhelníkem ABC (označíme Δ ABC ) ozumíme půnik poloovin Δ ABC = ABC ACB CBA, kde A;B;C jsou navzájem ůzné body, kteé neleží na jedné přímce. Nazýváme je vcholy tojúhelníka. Spojnice vcholů nazýváme stany tojúhelníka a značíme malými písmeny ( AB = c ; BC = a; AC = b ). Sjednocení stan tojúhelníka nazýváme obvodem tojúhelníka. Konvexní úhly α = < BAC ; β = < ABC ; γ = < ACB jsou vnitřní úhly tojúhelníka, úhly k nim doplňkové jsou pak vnější úhly tojúhelníka. Součet vnitřních úhlů tojúhelníka: α + β + γ = 180. Součet vnějších úhlů tojúhelníka: α'=180 α ; β' = 180 β; γ'=180 γ Tojúhelníky dělíme: 1. podle délek stan na: - ůznostanné - ovnoamenné - ovnostanné. podle velikosti vnitřních úhlů na - tupoúhlé - pavoúhlé - ostoúhlé Tojúhelníková neovnost: Součet délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy větší než délka třetí stany. Rozdíl délek libovolných dvou stan tojúhelníka je vždy menší než délka třetí stany. Poti větší staně tojúhelníka leží větší vnitřní úhel. Poti menší staně tojúhelníka leží menší vnitřní úhel. Poti shodným stanám tojúhelníka leží shodné vnitřní úhly. Shodnost tojúhelníků: Tojúhelníky stejně jako jiné útvay jsou shodné pávě tehdy, lze-li jeden na duhý přemístit tak, že splynou. V případě tojúhelníků to znamená, že musí mít shodné všechny stany a všechny úhly. Zapisujeme Δ ABC Δ A'B'C'. Vcholy tojúhelníka v tomto zápisu je třeba chápat jako uspořádané tojice. Tento zápis totiž znamená, že shodné jsou pávě stany AB A'B' ; AC A'C'; BC B'C'. a úhly α =α '; β = β '; γ = γ '. Při zjišťování shodnosti tojúhelníků však není nutné dokazovat shodnost všech tří stan a záoveň všech tří úhlů. Stačí dokázat, že je splněna někteá z postačujících podmínek shodnosti tojúhelníků. Věty o shodnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou shodné pávě tehdy, když se shodují: věta sss: ve všech třech stanách věta sus: ve dvou stanách a v úhlu jimi sevřeném věta ssu: ve dvou stanách a v úhlu poti větší z nich věta usu: v jedné staně a úhlech k ní přilehlých Podobnost tojúhelníků: Dva tojúhelníky Δ ABC ; Δ A'B'C' se nazývají podobné (značíme Δ ABC ~ Δ A'B'C') pávě tehdy, když existuje kladné eálné číslo k (koeficient podobnosti) takové, že AB = k A'B' ; AC = k A'C' ; BC =k B'C'. Stejně jako v zápisu shodnosti i v zápisu podobnosti je třeba chápat vcholy jako uspořádané tojice. Zápis nás tedy infomuje nejen o podobnosti samotné, ale ovněž o tom, kteé vcholy, stany a úhly si v této podobnosti odpovídají. Podobnost tojúhelníků je tansitivní.

3 Věty o podobnosti tojúhelníků: Dva tojúhelníky jsou podobné pávě tehdy, když: věta uu: se shodují ve dvou úhlech; věta sus: se shodují v poměu dvou stan a úhlu jimi sevřeném; věta Ssu: se shodují v poměu dvou stan a úhlu poti větší z nich. Střední příčka - spojnice středů dvou stan. Tojúhelníky Δ ABC a Δ S B S AC se shodují v poměu velikostí dvou stan AC =. S B C BC = S A C a úhlu jimi sevřeném (úhel γ mají společný). Podle věty sus jsou tedy podobné. Znamená to, že i AB =. S a S b a < BAC < S a S b C. Tyto úhly jsou však souhlasné úhly mezi úsečkami AB ; S b S a. Tyto úsečky musí být tedy ovnoběžné. Totéž platí i po zbývající příčky: Každá střední příčka je ovnoběžná se stanou, kteou nepochází, a má poloviční délku. Výška - kolmice spuštěná z vcholu na potější stanu. Všechny výšky se potínají v jednom bodě (tzv. otocentum). V případě tupoúhlého tojúhelníka se tento bod nachází mimo tojúhelník. Těžnice - spojnice vcholu a středu potější stany. Všechny těžnice se potínají v jednom bodě (tzv. těžiště). Těžiště dělí každou těžnici v poměu :1. Kužnice a kuh Kužnice: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) stejnou vzdálenost (tzv. polomě kužnice). Poloměem kužnice nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kužnici značíme nejčastěji k. Kužnici nejčastěji zadáváme jejím středem a poloměem. Je-li kužnice k učena středem S a poloměem, zapisujeme k = (S, ). Kuhový oblouk: - dva body kužnice A k; B k ozdělí tuto kužnici na dva kuhové oblouky (kuhový oblouk značíme AB) Tětiva kužnice k = (S,) je libovolná úsečka AB, kde A,B k. Pochází-li středem kužnice, nazýváme ji půměem kužnice. Půmě je tedy nejdelší tětiva kužnice. Podobně jako u poloměu používáme i temín půmě také ve smyslu velikost nejdelší tětivy. Značíme d a platí d =. Kužnice a přímka mají: a) dva společné body (takovou přímku nazýváme sečnou) b) jeden společný bod (přímku nazýváme tečnou, společný bod je bod dotyku, říkáme také, že kužnice se dotýká přímky) c) žádný společný bod (hovoříme o vnější přímce) Pata kolmice vedené ze středu kužnice na sečnu AB je středem úsečky AB (tětivy). Tečna kužnice je kolmá k poloměu, kteý spojuje střed s bodem dotyku. Bodem M ležícím vně kužnice k pocházejí pávě dvě tečny této kužnice. Délka úsečky MT se nazývá délka tečny. Středový a obvodový úhel: Úhel ω = < ASB, jehož vcholem je střed kužnice a amena pocházejí kajními body oblouku AB, nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku. Každý úhel α = <AVB, kde body A,V,B leží na kužnici, nazýváme obvodovým úhlem příslušným k oblouku AB, kteý v tomto úhlu leží. Velikost středového úhlu je ovna dvojnásobku velikosti úhlu obvodového příslušného k témuž oblouku. Všechny obvodové úhly příslušné k témuž oblouku jsou shodné.

4 ω = α ω - středový úhel α - obvodový úhel Thaletova věta: Obvodový úhel příslušný k půlkužnici je pavý (neboli všechny úhly nad půměem kužnice jsou pavé). Konvexní úhel < ABX, kde body AB leží na kužnici a X na tečně k této kužnici v bodě A (popř. B ) se nazývá úsekový úhel příslušný k oblouku AB, kteý v tomto oblouku leží. Úsekový úhel je shodný se všemi obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. Mocnost bodu ke kužnici: Je dána kužnice k = (S,) a libovolný bod M. Tímto bodem veďme sečnu p ke kužnici k a označme A, B půsečíky této přímky s kužnicí, tj. A,B k p Po každou takto sestojenou přímku pocházející pevným bodem M je MA MB = MT Je-li bod M vně kužnice k, nazýváme tento součin mocností bodu ke kužnici, je-li uvnitř kužnice, je mocností číslo MA MB. Mocnost bodů ležících na kužnici, je ovna nule. T dotykový bod tečny a kužnice. Kužnice a tojúhelník: Kužnice tojúhelníku opsaná: je kužnice, kteá pochází všemi vcholy tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os stan, polomě značíme obvykle. Kužnice tojúhelníku vepsaná: je kužnice, kteá se dotýká všech stan tojúhelníka. Její střed leží v půsečíku os vnitřních úhlů, její polomě značíme obvykle ρ. Kužnice tojúhelníku vepsaná Kuh: - je množina bodů v ovině, kteé mají od daného pevného bodu (středu) vzdálenost menší nebo ovnu danému kladnému číslu (tzv. polomě kuhu). Poloměem kuhu nazýváme záoveň každou úsečku s jedním kajním bodem ve středu kužnice a duhým na kužnici. Kuh značíme nejčastěji K. Kuh nejčastěji zadáváme jeho středem a poloměem. Je-li kuh takto učen, zapisujeme K = (S,). Množinu bodů, jejichž vzdálenost je ovna poloměu, nazýváme hanicí kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je menší, tvoří vnitřní oblast (vnitřek) kuhu, množina bodů, jejichž vzdálenost je větší, tvoří vnější oblast (vnějšek) kuhu. Dva poloměy SA, SB ozdělí kuh na dvě kuhové výseče, tětiva AB na dvě kuhové úseče. Je-li AB půmě kuhu, nazýváme úseč půlkuhem.

5 Dvojice kužnic: Dvě kužnice o ůzných poloměech mohou mít nejvýše dva společné body. Mají-li dvě kužnice společný střed, nazýváme je soustředné. Soustředné kužnice buď nemají žádný společný bod nebo mají všechny body společné (splynou). Dvě soustředné kužnice k = (S;); l = (S; ) > učují tzv. mezikuží. Číslo nazýváme šířkou mezikuží. Půnik středového úhlu a mezikuží se nazývá výseč mezikuží. Kužnice, kteé nemají společný střed, se nazývají nesoustředné. Mnohoúhelníky - mnohoúhelníkem nazýváme uzavřenou lomenou čáu spolu s částí oviny ohaničenou touto lomenou čáou - n -úhelník nazýváme konvexní pávě tehdy, když leží v jedné z poloovin učených kteoukoli stanou lze definovat jako půnik poloovin Úhlopříčka je spojnice dvou vcholů, kteé spolu nesousedí. Počet úhlopříček v n úhelníku je {(n 3) * n } / Součet vnitřních úhlů je součtem vnitřních úhlů všech tvořících tojúhelníků, tj. (n ) 180 Pavidelný n -úhelník je n -úhelník, kteý lze zapsat jako sjednocení n ovnoamenných tojúhelníků, kteé mají společný hlavní vchol a vždy pávě dva mají pávě jedno společné ameno. Speciálně místo pavidelný tojúhelník používáme název ovnostanný tojúhelník a místo pavidelný čtyřúhelník používáme název čtveec. Speciální čtyřúhelníky: Lichoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě jednu dvojici ovnoběžných stan. Stany, kteé ovnoběžné nejsou, nazýváme amena. Lichoběžník, jehož amena jsou shodná, se nazývá ovnoamenný. Rovnoběžník: je čtyřúhelník, kteý má pávě dvě dvojice ovnoběžných stan. Na připojeném obázku je Δ ACD Δ CAB podle věty usu (stana AC je společná, úhly k ní přilehlé jsou střídavé mezi ovnoběžkami). Znamená, to, že AB CD; BC DA. Dále tedy Δ ABS Δ CDS (opět věta usu, neboť AB CD a přilehlé úhly jsou opět střídavé úhly mezi ovnoběžkami). To znamená, že AS SC ; BS SD. Potější stany v ovnoběžníku jsou shodné. Úhlopříčky ovnoběžníka se půlí. Kosočtveec: je ovnoběžník, kteý má shodné i sousední stany. V tom případě je Δ ADS Δ CDS (usu), a poto <ASD < CSD. Tyto úhly jsou ale úhly vedlejší, poto musejí být pavé: Úhlopříčky v kosočtveci jsou na sebe kolmé. Obdélník: je ovnoběžník, jehož stany jsou na sebe kolmé. Čtveec: je obdélník se shodnými stanami (popř. kosočtveec s kolmými stanami). Obecný ovnoběžník (tj. ovnoběžník, kteý není obdélníkem, čtvecem ani kosočtvecem) nazýváme kosodélník.

6 Řešení pavoúhlého tojúhelníku Euklidova věta o výšce obsah čtvece sestojeného nad výškou tojúhelníka se ovná obsahu obdélníka sestojeného z obou úseků na přeponě v c = c a c b Euklidova věta o odvěsně obsah čtvece sestojeného nad odvěsnou se ovná obsahu obdélníka sestojeného z celé přepony a úseku přilehlého k dané odvěsně b = c c b a = c c a Pythagoova věta součet obsahů čtveců nad odvěsnami se ovná obsahu čtvece nad přeponou c = a + b Odvození - sečtením Euklidových vět: b = c c b a + b = c. c b + c c a a = c c a a + b = c. ( c a + c b ) Obvody a obsahy ovinných obazců Tojúhelník: O = a + b + c S = Heonův vzoec: S = s( s a)( s b)( s c) a v a s = a + b + c Obdélník: O = ( a + b) S = ab d c a b Rovnoběžník: O = ( a + b) S = a v a d a c v b Lichoběžník: O = a + b + c + ( a + c ) v S = d d a c v b Pavidelný n-úhelník: S = n S ABS n-kát obsah jednoho tojúhelníka Kuh: O = π S = π Mezikuží: S = π 1 π 1 Oblouk: O = ϕ úhel v adiánech Výseč: S = ϕ Úseč: 1 S = ϕ sin ϕ obsah výseče mínus obsah tojúhelníka

7 Množiny bodů dané vlastnosti Množinou všech bodů dané vlastnosti V je množina M bodů, kteé splňují tyto požadavky: 1. každý bod množiny M má danou vlastnost V,. každý bod, kteý má danou vlastnost V, patří do množiny M. Chceme li dokázat, že nějaká množina bodů je množina všech bodů dané vlastnosti, musíme ověřit obě podmínky. Duhou podmínku lze nahadit podmínkou ekvivalentní každý bod, kteý do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost Kužnice - vzdálenost každého bodu kužnice k od středu S je ovna - každý bod oviny, jehož vzdálenost os středu S je ovna, leží na kužnici k kužnice k je množina všech bodů oviny, kteé mají od daného bodu S danou vzdálenost K (S;) = {x δ ; XS = } Osa úsečky - množina všech bodů, kteé mají od daných bodů A, B stejnou vzdálenost O = {x δ ; XA = XA } Při zjišťování jaký geometický útva je množinou bodů dané vlastnosti postupujeme: 1. sestojíme několik bodů, kteé mají danou vlastnost. vyslovíme hypotézu (domněnku), jaký geometický útva je množinou všech bodů dané vlastnosti 3. vyslovenou hypotézu dokážeme Množina všech bodů, kteé mají od dané přímky b vzdálenost v > 0, je dvojice přímek a, a' ovnoběžných s přímkou b, ležících v opačných poloovinách učených přímkou b ve vzdálenosti v od ní. {X δ ; Xb = v } = a U a' Množina všech bodů daného konvexního úhlu AVB, kteé mají stejnou vzdálenost od přímek, v nichž leží jeho amena, je osa tohoto úhlu. o = {x < AVB; X VA = X VB } Množina všech bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ůznoběžek a, b, jsou osy o 1 ', o 1 ", o ', o " úhlu sevřených ůznoběžkami a, b, přitom o 1 ' U o 1 " = o 1 ; o ' U o " = o {X δ ; Xb = Xa } = (o 1 ' U o 1 ") U ( o ' U o ") Množina bodů, kteé mají stejnou vzdálenost od dvou daných ovnoběžek a, b (a b), je osa o pásu (a, b) {X δ ; Xb = Xa } = o Množina vcholů všech pavých úhlů, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku AB pod pavým úhlem, je kužnice s půměem AB komě bodů A, B (Thaletova kužnice) {x δ; < AVB = 90} = T AB Množina vcholů o velikosti α, jejichž amena pocházejí danými body A, B (A B), tj. množina všech bodů z nichž vidíme danou úsečku AB pod daným úhlem α, jsou dva shodné otevřené kužnicové oblouky k 1, k s kajními body A, B {x δ; < AVB = α} = k 1 U k

8 Konstukce - tojúhelník je dán vhodně zvolenými 3 pvky: 1. tojúhelník je dán třemi stanami. jsou dány dvě stany a úhel, kteý svíají 3. je dána stana a k ní dva přilehlé úhly 4. dány dvě stany a úhel poti větší z nich - konstukce čtyřúhelníků jde obvykle o konstukce tojúhelníků, na kteé je čtyřúhelník ozdělen úhlopříčkami - k učovacím pvkům čtyřúhelníku patří jeho stany, úhly, úhlopříčky, výšky a úhly úhlopříček - konstukce kužnic - požadujeme li, aby kužnice pocházela daným bodem, dotýkala se dané přímky nebo dané kužnice a kombinujeme li tyto podmínky po třech dostáváme tzv. Apolloniovy úlohy úloh je 10 (BBB, pbb, ppb, ppp, kbb, kkb, Bkp, ) - jestliže jeden z daných bodů leží na dané přímce nebo na dané kužnici, mluvíme o úlohách Pappových úloh je 6 ( (pb)b, (kb)b, (pb)p, (kb)p, (pb)k, (kb)k ) Příklady: 1. Jsou dány dvě ůznoběžné přímky a, b a přímka c, kteá je ovnoběžky potíná. Sestojte kužnici, kteá se dotýká všech daných přímek.. Sestojte tojúhelník, je li dáno t a, t b, t c 3. Je dána úsečka AB = 7 cm. Sestojte všechny ovnoběžníky ABCD, v nichž AC = 10 cm, v a = 4 cm. Konstukce na základě výpočtu: - při ozbou řešení konstukční úlohy hledáme vztah mezi délkami daných úseček a délkami úseček hledaného tvau, tento vztah vyjádříme užitím známých geometických vět ovnicí nebo soustavou ovnic ovnice řešíme Úlohy typu: 1. Obdélník má stany o délkách a, b. Sestojte čtveec o stejném obsahu. Jsou dány dvě úsečky o délkách a, b (a < b). Sestojte úsečku po kteou platí: x = a + b 3. Úsečku AB ozdělte na dvě části tak, aby pomě menší části k větší byl stejný jako pomě větší části k celé úsečce