( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

Transkript

1 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové kružnie, úhly, pro které pltí sin β =,96687, jsou v intervlu ( ;π ) dv musíme počítt s oěm. T T x - S x R - Př. Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 6,; = 7, ; α = 55. Postupuj tk, ys nšel všehn řešení příkldu. Tentokrát to zkusíme správně. Nejdříve určíme úhel β (potřeujeme úhel pro strně ). 7, = sin β = = sin 55,96687 sin β 6, Úhly s touto hodnotou sinu mohou existovt dv musíme zkoumt o. β = 75 3' β = 8 β = ' = 4 47' α + β + = 8 = 8 α + β α + β + = 8 = 8 α + β = 8 ( ' ) = 49 47' sin sin sin sin ' = = 6, = 5, 69 sin 55 Příkld má dvě řešení = 8 ( ') = 3' sin sin sin sin 3' = = 6, =, 57 sin 55

2 ) = 6,, = 7,, = 5,69, α = 55, β = 75 3', = 49 47'. ) = 6,, = 7,, =,57, α = 55, β = 4 47 ', = 3'. Proč první dv příkldy v minulé hodině Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno =, β =, = 5. Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 5, 3, α = 6 8', = 8 3'. měli jediné řešení. Ztímo příkld Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 6,, = 7,, α = 55. má řešení dvě? Zkusíme si udělt náčrtky jko při řešení konstrukčníh úloh jedno řešení dvě řešení Trojúhelník je zdán větou ssu, která je jednoznčná pouze v přípdě, že strn proti zdnému úhlu (v nšem přípdě ) je větší (ož v nšem přípdě není). Trojúhelníky jsou dány větou usu, která je jednoznčnou větou o shodnosti. Z orázků je zřejmé pokud zdání příkldu odpovídá jednoznčně zdné konstruki, příkld má jediné řešení, pokud zdání příkldu odpovídá nejednoznčně zdné konstruki, příkld má víe řešení. Př. Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 5 ; = ; β = 8. Njdi všehn řešení příkldu. Nejdříve určíme úhel (potřeujeme úhel pro strně ). 5 = sin = sin β = sin 8,758 toto číslo nemůže ýt hodnotou funke sin β sin sinus tkový trojúhelník neexistuje. Zkusíme stejně jko v předhozím přípdě využít konstruki trojúhelníků k pohopení toho, o se stlo.

3 Přiližný náčrtek trojúhelníku v zdání Náčrtek konstruke Délk strny je zřejmě příliš mlá, y se kružnie protnul s polopřímkou, n které leží vrhol trojúhelník nejde ni sestrojit ni spočítt. Pedgogiká poznámk Žái (logiky) očekávjí, že příkld ude klsiké dopočtení trojúhelníku s dvěm řešeními. Vsunutí příkldu, který nečekně nemá řešení, jednk ství žáky do situe, n kterou nejsou připrveni, hlvně u některýh vede k tomu, že před následujíím příkldem opět zpomenou, n o si měli dávt pozor. Př. 3 Urči zývjíí strny úhly v trojúhelníku, je-li dáno = 7,37 ; = 8,98 ; α = Njdi všehn řešení příkldu. Nejdříve určíme úhel β (potřeujeme úhel pro strně ). 8,98 = sin β = = sin 3 53', sin β 7, 37 Úhly s touto hodnotou sinu mohou existují dv musíme využít o. β = 4 9' β = 8 β = 8 4 9' = 39 3' α + β + = 8 = 8 α + β α + β + = 8 = 8 α + β = 8 ( 3 53' + 4 9' ) = 7 38' sin sin sin sin7 38' = = 7, 37 = 3,8 sin 3 53' Příkld má dvě řešení = 8 ( 3 53' ' ) = 8 36' sin sin sin sin 8 36' = = 7,37 =, 69 sin 3 53' 3

4 = 7, 37, = 8,98, = 3,8, α = 3 53', β = 4 9', = 7 38', = 7, 37, = 8,98, =,69, α = 3 53', β = 39 3', = 8 36'. Př. 4 V trojúhelníku jsou dány dvě strny (o velikosteh 8,7 5,3) úhel proti větší z nih (85 35' ). Urči všehny strny úhly v trojúhelníku. Při výpočtu udeme používt vzore můžeme si ulehčit prái pojmenováním strn. Strny si můžeme pojmenovt liovolně, npříkld = 8,7, = 5,3. Zdný úhel má ležet proti delší ze zdnýh strn leží proti strně α = 85 35'. Nejdříve určíme úhel β (potřeujeme úhel pro strně ). 5,3 = sin β = = sin 85 35', sin β 8, 7 Úhly s touto hodnotou sinu mohou existují dv musíme využít o. β = 37 4' β = 8 β = ' = 4 36' α + β + = 8 = 8 α + β α + β + = 8 = 8 α + β = 8 ( 85 35' ' ) = 57 ' sin sin sin sin 57 ' = = 8,7 = 7,3 sin 85 35' = ' ' = 48 ' Záporný úhel není možný příkld má jediné řešení. Příkld má jedno řešení = 8,7, = 5,3, = 7,3, α = 85 35', β = 37 4', = 57 '. Př. 5 Njdi důvod, proč utor zvolil oznčení strn v předhozím příkldě právě tímto způsoem. Důvod není mtemtiký, le souvisí s používáním počítčů. Jelikož předhozí příkld je stejný liší se jen doszením. Mohli jsme získt poslední příkld pouhým zkopírováním přepsáním hodnot. Sinová vět si koleduje o důkz, nejdříve zkusíme vzth =. Máme ostroúhlý trojúhelník. Sestrojíme výšku v, její ptu oznčíme. Vzniknou dv dlší trojúhelníky - (modrý) (zelený) o prvoúhlé s nimi umíme počítt. 4

5 v V oou trojúhelnííh vyjádříme velikost výšky v. v trojúhelník (modrý) = v =, v trojúhelník (zelený) sin β = v = sin β. O výrzy pro v se musejí rovnt v = = sin β. = sin β / sin β = (to jsme měli dokázt) sin β Pltí toto odvození vždy? Pltí pouze pro úhly α < 9 (y situe odpovídl orázku). Př. 6 Proveď důkz pltnosti vzore =, když pltí α = 9. sin β sin α Nkreslíme orázek =v = Modrý trojúhelník zmizel, le pltí v =. v Trojúhelník (zelený) sin β = v = sin β. Důkz se zdří, když ude pltit v = =. Víme, že pltí π v = = =, protože = sin =. 5

6 O výrzy pro v se musejí rovnt v = = sin β. = sin β / sin β = (to jsme měli dokázt) sin β Př. 7 Proveď důkz pltnosti vzore =, když pltí 8 > α > 9. sin β sin α Nkreslíme orázek v Modrý trojúhelník částečně překrývá trojúhelník šrfovný (původně zelený). v trojúhelník (modrý) sin ( π α ) = v = sin ( π α ), v trojúhelník (šrfovný) sin β = v = sin β. sin π α. Potřeujeme, ne sin π α = sinπ osα osπ = osα = tedy v =. O výrzy pro v se musejí rovnt v = = sin β. = sin β / sin β = (to jsme měli dokázt) sin β Žádn dlší možnost velikosti úhlu α není vzth = jsme dokázli pro všehny oené trojúhelníky. Postřeh Tímto jsem fktiky dokázl i pltnost vzthů = =. Při sin β sin sin α sin kreslení orázku nezáleželo n tom, jkým písmenem si strny, se kterými jsme provli, oznčíme stčí změnit oznčení vrholů dokážeme místo rovnosti = jednu ze zývjííh dvou rovností. 6

7 Př. 8 Nkresli orázek pro první část důkzu tk, y z ní vyplynul rovnost =. sin β sin Prohodíme oznčení vrholů tk, y vrhol yl nhoře. v Změňování vrholů se u trojúhelníků používá čsto, postup se nzývá ykliká záměn v tulkáh ývá popisován těmito shémty Vzore = získáme ze vzore = tk, že se posuneme ve směru šipek o sin β sin jeden znk dále. Př. 9 Ve větě o oeném trojúhelníku vystupují vrholy, strn úhel. Pomoí ykliké záměny urči, které vrholy strny udou vystupovt ve větě s úhlem β. Úhel β získáme z úhlu posunutím o dv kroky (o dvě šipky) posuneme všehno o dv kroky ve větě udou vystupovt vrholy, strn úhel β. Poznámk Při formuli věty se tké můžeme zel oejít ez pojmenovávání strn, úhlů neo vrholů. Npříkld sinová vět může ýt vysloven tkto Pro kždý trojúhelník pltí, že poměr strny sinu protějšího úhlu je vždy stejný. Př. Petáková strn 49/vičení 75 ) ) strn 49/vičení 79 Shrnutí 7