Základy ekonomického modelování Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Hnilica, J., Fotr, J. Aplikovaná analýza rizika Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Vlachý, J. Řízení finančních rizik
Význam ekonomického modelování se využívá pro analýzu ekonomických jevů. Modely v ekonomii nahrazují experiment v exaktních vědeckých disciplínách. Modely umožňují pochopit chování ekonomických systémů a jejich složek při existenci rizika. řeší především tyto úlohy: Citlivostní analýzu (význam při kvalitativní analýze rizik a při jejich zajišťování) Hodnotovou analýzu Tržní oceňování (rovnovážné tržní modely) Komparaci; optimalizaci (dynamická analýza systémů)
Praxe ekonomického modelování Základní metody řešení modelů Analytické řešení... někdy složité, případně neexistuje (ale mnohé známé vzorce jsou ve skutečnosti analytická řešení modelů - úroková parita, CAPM, Blackův-Scholesův model, oceňovací model diskontovaných peněžních toků atd.) Numerické řešení... roste na významu díky dostupnosti a výkonu výpočetní techniky (např. bootstrap, rekurze, iterace, simulace) Riziko modelu a jeho řízení Chybné vstupy; nesprávné odhady předpokladů; chybná implementace; nesprávné použití (špatně zvolený model). Nezávislá kontrola; úplná dokumentace; kvalitní správa dat; zpětné testování; validace. Vždy je třeba používat modely, kterým uživatel dobře rozumí a kontrolovat je zdravým úsudkem.
Co je riziko Riziko je míra odchylky možného budoucího stavu světa od stavu očekávaného. Obecně nelze říci, jestli je riziko dobré nebo špatné záleží na kvalitativní analýze ( co se stane když ), a subjektivním vnímání užitku (ze subjekt. pohledu lze ale riziko definovat i jen vzhledem k nepříznivým událostem). Jednotlivci mohou být rizikově neutrální vyhledávat riziko mít averzi (odpor) k riziku Pokud se s rizikem obchoduje (úplné efektivní trhy), vznikne rovnovážná cena rizika; trh se pak chová, jako by měl odpor k riziku a vyšší riziko musí být kompenzováno vyšším očekávaným výnosem.
Kvantifikace rizika Používají se nástroje statistiky, vycházející z empiricky nebo teoreticky zjištěných statistických rozdělení náhodných jevů (= které nemůžeme s jistotou předvídat). Míra polohy (medián) a variability (sm. odchylka) úplně popisují normální (Gaussovo) rozdělení (jiná rozdělení mohou mít méně nebo více parametrů). Ke kvantifikaci rizika se používají statistické míry odchylky (variability) náhodného jevu: Oboustranné (variační rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka) Jednostrané (semivariance, kvantilové rozpětí)
Riziková analýza hazardní hry Pravidla: Výsledek hodu mincí určí, který z hráčů zaplatí druhému stanovenou částku. Z kolektivního pohledu hra s nulovým součtem Očekávaný výnos je nulový (není-li daň ani krupiér) Riziko je nulové (co jeden prodělá, to druhý vydělá) Kvalitativní (citlivostní) analýza (libov. hráče) Kolik prohraju, když prohraju? Záleží na vsazené částce (10 Kč, 1 mil. Kč...) a pravidlu pro výplaty Kvantitativní analýza Jak je pravděpodobné, že se výsledek bude lišit od očekávaného?
Kvantitativní analýza (1) Analýzou teoretického statistického rozdělení (výčtem všech možných scénářů a přiřazením pravděpodobností) R A = 100 Kč, R B = -100 Kč, P(A)= 50%, P(B)= 50% E(R)= P(A) R A + P(B) R B = 0 Kč Existuje-li bezplatné právo volby ( efektivní trh ), lze totéž odvodit i z rovnovážného argumentu: Proč by měl být můj očekávaný výnos horší než očekávaný výnos protihráče nebo výsledek rozhodnutí nehraju? ( )( ( ) ( )) σ(r)= 2 = ( ) ( ) 2 =100 Kč Ρ i R i Ε R 50% ( 100 0) 2 + 50% ( 100 0 ) 2 P(R) 50% A B -100 +100 R
Kvantitativní analýza (2) Doplnění pravidel: Vítěze určí větší počet hodů (nezávislých náhodných jevů). U malého počtu hodů lze spočítat; pro 2 hody: R A = 100 Kč, R B = 0 Kč, R B = -100 Kč, P(A)= 25%, P(B)= 50%, P(C)= 25% => 2 E(R)= 0 Kč, 2 σ(r)= σ 70,7 Kč (očekávaná hodnota se nemění+riziko klesá) Statistickou analýzou lze odvodit N E(R)= E(R), N σ(r)= σ(r)/ N (tzn. např. 25 E(R)= 0 Kč, 25 σ(r)= 20 Kč). Měli by skuteční hráči zájem o takové doplnění pravidel? Alternativou statistické analýzy je numerický experiment (simulace) (cvič.)
Kvantitativní analýza (3) Numerické experimentální metody využívají zákona velkých čísel (při velkém počtu nezávislých pokusů se relativní četnosti a jejich charakteristiky blíží teoretickému rozdělení). Při neparametrické simulaci se vychází přímo z empirického pozorování daného jevu (předpoklad, že se výběrové rozdělení rovná skutečnému). Při parametrické simulaci (statistická simulace, Monte Carlo ) se mnohokrát opakuje experiment s využitím generátoru náhodných čísel se zvoleným rozdělením (předpoklad, že se teoretické rozdělení rovná skutečnému).
Realizace statistických simulací Generátory náhodných čísel Tabulky náhodných čísel Mechanické, fyzikální, chemické generátory Aritmetické generátory (pseudonáhodná čísla splňující testy náhodnosti) Využití výpočetní techniky Speciální matematický či statistický software (např. MatLab) Simulační software (např. Crystal Ball, @Risk) Běžný tabulkový procesor (např. Excel)
Statistické simulace v Excelu Funkce =rand() nebo v české verzi =náhčíslo() generuje spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu <0; 1> Transformace na diskrétní rovnoměrná rozdělení =round(rand(); 0)... nabývá hodnot {0; 1} =int(rand() 6)+1... nabývá hodnot {1; 2; 3; 4; 5; 6} Transformace na běžná spojitá rozdělení (analyticky nebo pomocí inverzní kumulativní distribuční funkce) =rand() 6 3... spojité rovnoměrné -3; 3 =norminv(rand(); µ; µ σ) σ... normální (Gaussovo) rozdělení dále např. =betainv(), =chiinv(), =gammainv(), =loginv() Do v. Excel 2002 se vestavěny generátor nedoporučuje pro velké modely (lze použít generátory třetích stran nebo přímo simulační nástavby); Excel 2003 má chybu (použít opravný balíček).
Hazardní hra 2 (kostky) Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. Výčtem scénářů (kombinační tabulka)... P(<8) = N(<8)/N = 21/36 = 58,3% Statistickou (Monte Carlo) simulací (cvič.) x \ y 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
Spotřebitelské úvěry (diverzifikace) Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. Analytické řešení je analogické jako u mincí, tzn. výčtem scénářů nebo podle analytického vzorce N E(r) σ (viz Vlachý:40-41) Numerické řešení statistickou simulací (cvič.) 1 6,4% 24,41% 2 6,4% 17,26% 4 6,4% 12,20% 10 6,4% 7,72% 100 6,4% 2,45% 10 000 6,4% 0,25%
Komentář k aplikaci Specifické riziko způsobují (statisticky) nezávislé náhodné jevy. Specifickou složku rizika lze (teoreticky donekonečna) snižovat diverzifikací. Systematické riziko je dáno rizikovostí ekonomiky (trhu, segmentu, pojistné třídy apod.) Není (v rámci investic na daném trhu) diverzifikovatelné. Z pojistně-matematického σ principu (Bernoulli 1713, Poisson 1835) se vychází u nezávislých rizik (pojišťovnictví, Specifické riziko spotřebitelské úvěry) Chování závislých rizik Systematické riziko (tržní rizika) popisuje Moderní portfoliová teorie N (Markowitz 1952)
Kvantily statistických rozdělení Jaké minimální (maximální) hodnoty může nabýt určitý náhodný jev při určité požadované míře spolehlivosti odhadu. U finančních aplikací hledáme zpravidla maximální možnou ztrátu v určitém časovém horizontu a nejčastěji se používá 95. nebo 99. percentil (u normálního rozdělení 1,65σ, resp. 2σ). σ
Kvantily normálního rozdělení Vycházejí z distribuční funkce normovaného norm. rozdělení (běžně tabelováno, funkce normsdist()) u 50% = 0 (medián) u 90% = 1,28 (9. decil) P(x) u 95% = 1,65 (95. percentil) u 99% = 2,33 (99. percentil) x > x min = µ - u σ x < x max = µ + u σ 2,33σ 99% µ x
Spotřebitelské úvěry (kvantily) Portfolio n = 75 navzájem nezávislých úvěrů s p = P(d) i = 5% v celkové výši A = 2 mil. Kč. Jakou je třeba vytvořit rezervu pro pokrytí ztrát, je-li L d = 100%, při stat. spolehlivosti 95%? Popis procesu: náhodný pokus bez vracení s možnými výsledky d a (1-d) (nesplatil/splatil). Jde o hypergeometrické rozdělení, které lze (při velkém n a malém d) aproximovat Poissonovým rozdělením P(x) = (λ x e -λ ) / x!, kde λ = n p.
Cvičení (hody mincí) Zadání: Ověřte statistickou simulací analytický výpočet očekávaného výnosu a směrodatné odchylky hry o 100 Kč, založené na výsledku 25 hodů mincí. Analyzujte chybu odhadu. Nápověda: V jednom řádku Excelové tabulky generujte scénář s využitím 25 nezávislých náhodných čísel, transformovaných na diskrétní rovnoměrné rozdělení {-1; 1}. V sousedním sloupci na tomtéž řádku spočítejte výsledek hry (pokud vyhrajete většinu hodů, získáte 100 Kč, pokud prohrajete většinu hodů, ztratíte 100 Kč, v případě remízy nikdo nic neplatí). Na dalších řádcích scénář mnohokrát opakujte. Ze všech výsledků her spočítejte průměrnou hodnotu a směrodatnou odchylku. Chybu zjištěné průměrné hodnoty odhadnete tak, že celý experiment opakujete 10 (klávesa F9) a odečtete druhý nejnižší od druhého nejvyššího výsledku. Porovnejte chybu pro experimenty s 50, 500 a 5000 scénáři.
Cvičení (hody kostkou) Zadání: Určete pravděpodobnost, s níž padne při hodu dvou kostek menší číslo než 8. Zadání: Určete pravděpodobnost, s níž padnou při hodu dvou kostek čísla 2, 3, 4,..., 12.
Cvičení (Ludolfovo číslo) Jak zjistit hodnotu Ludolfova čísla (π)? Analyticky (geometricky)... Archimédes (200BC) => Ludolf van Ceulen (1600AD) (pomocí mnohoúhelníků opisujících obvod kružnice) Numericky (Monte Carlo)... de Buffon (1777- Buffonova jehla) Pro obsah kruhu platí S= π r 2 Obsah čtvrtkruhu o jednotkovém poloměru r = 1 je tedy S Q = π/4. Čtvrtkruh se vejde do čtverce o obsahu S Š = 1. Platí tedy, že poměr S Š / S Q = 4/π => π = 4 S Q. Poměr obsahů lze odhadnout náhodným generováním souřadnic {x; y} a zjištěním četností pokusů, při nichž x 2 + y 2 1.
Cvičení (spotřebitelské úvěry) Zadání: Banka poskytuje roční úvěry se sazbou 12% klientům, u nichž je pravděpodobnost nesplacení (navzájem nezávislá) 5%. Porovnejte očekávaný výnos a riziko pro 1, 2, 3... úvěry. Zadání: Banka poskytuje roční 12% úvěry po 20000 Kč klientům, u nichž je (nezávisl.) pravd. nespl. 5%. Jaké rezervy by měla tvořit, předpokládá-li že získá minimálně 75 klientů, náklady činí 6% úvěrů a požaduje-li se dostatečnost rezervy se spolehlivostí 95%.