Koncepce virtuální laboratoře přenosu tepla Volavý, Jaroslav 1 & Knotek, Stanislav 2 & Jícha, Miroslav 3 1 Ing., VUT v Brně, Fakulta strojního inženýrství, Enegetický ústav, Odbor termomechaniky a techniky prostředí, Technická 2, 616 09 Brno, yvolav00@stud.fme.vutbr.cz 2 Ing., yknote00@stud.fme.vutbr.cz 3 prof. Ing. CSc., jicha@fme.vutbr.cz Abstrakt At present the project of a Virtual Laboratory of Heat Transfer is being prepared at the workplace of the Department of Termomechanics and Environmental Engineering. The aim of this article is to introduce a reader into a conception of this project. The project will result in web pages containing The Virtual Laboratory of Heat Transfer. The laboratory will be at the disposal of the students of the Faculty of Mechanical Engineering. The article gives a short overview of the problems possible to solve. Next the schemes of solution ot the problems are briefly described. The conclusion is devoted to the discussion about the advantages of the virtual experiments and benefits of Virtual Laboratory for the students. Klíčová slova: termomechanika, přenos tepla, metoda konečných objemů 1. Úvod V současné době Odbor termomechaniky a techniky prostředí zajišt uje výuku předmětů Termomechanika a Přenos tepla a látky. V těchto předmětech se probírají základní fyzikální děje spojené s tepelnými ději a přenosem tepla. Na přednáškách se studenti seznámí s teoretickou stránkou této problematiky, kterou si dále osvojují v následných hodinách cvičení formou řešení konkrétních příkladů. Bohužel součástí výuky nejsou laboratorní praktika, v nichž by si studenti vyzkoušeli své teoretické poznatky formou experimentu. Tento stav je dán zejména časovou a finanční náročností těchto cvičení. Účelem virtuální laboratoře bude částečná kompenzace tohoto nedostatku. Virtuální laboratoř bude sestávat z webových stránek s interaktivními řešiči problémů, které budou věnovány problematice přenosu tepla. Tyto aplikace budou volně přístupné studentům fakulty strojního inženýrství a budou v sobě zahrnovat široké spektrum nástrojů pro řešení problémů spjatých s problematikou přenosu tepla. Virtuální laboratoř bude sloužit studentům předmětů Termomechanika a Přenos tepla a látky k lepšímu pochopení probírané látky a k získání představy o kvalitativním i kvantitativním průběhu jednotlivých jevů spojených s přenosem tepla. 1
2. Přehled problémů Skladba řešených problémů bude z velké části vycházet z osnov předmětů Termomechanika a Přenos tepla a látky. Ve virtuální laboratoři bude možno řešit úlohy: 2.1. Jednorozměrné vedení tepla Jednorozměrné vedení tepla lze interpretovat jako problém vedení tepla tyčí délky L, s počáteční teplotou T 0 a vnitřním zdrojem tepla Q zdr. Pro přehlednost rozdělme tento případ na stacionární a nestacionární. 1. Stacionární ustálené) vedení: Fyzikální proces je matematicky popsán obyčejnou diferenciální rovnicí : d λx, T ) dt ) dx dx Q zdr = 0, x < 0; L >, 2.1) kde ρ je hustota media, c měrná tepelná kapacita, λ koeficient tepelné vodivosti a Q zdr představuje vnitřní zdroj, případně propad tepla. Rovnice je doplněna třemi typy okrajových podmínek : a) Dirichletova předepisuje teploty na obou koncích tyče): T 0, t) = T A T L, t) = T B b) Neumanova předepisuje tepelný tok na jednom konci): q x = λ T x x=0 c) Newtonova předepisuje konvektivní přenos tepla na konci tyče): αt T 0, t)) = λ T x x=0 2. Nestacionární neustálené) vedení: Fyzikální proces je matematicky popsán parabolickou parciální diferenciální rovnicí: λx, T ) T ) x x Q zdr = ρc T t, x < 0; L >, t < 0; t >. 2.2) Okrajové podmínky jsou stejné jako u rovnice 2.1), musí se doplnit počáteční podmínka : T x, 0) = T 0. 2
2.2. Dvourozměrný přenos tepla I tento problém rozdělme na stacionární a nestacionární případ. 1. Stacionární ustálené) vedení: λx, y, T ) T ) λx, y, T ) T ) x x y y Q zdr = 0 [x; y] < 0; L x > < 0; L y > Okrajové podmínky jsou kvalitativně shodné s podmínkami pro jednorozměrný případ viz první úloha. 2. Nestacionární neustálené) vedení: λx, y, T ) T ) λx, y, T ) T ) x x y y Q zdr = ρc T t [x; y] < 0; L x > < 0; L y >, t < 0; t >. 2.3. Přenos tepla žebry Přenos tepla žebrem je daný obyčejnou diferenciální rovnicí druhého řádu: d λa dt ) αt T )P = 0 dx dx s okrajovými podmínkami : 1. na patě žebra T x = 0) = T 0 - předepsaná teplota 2. na konci žebra a) předepsaná teplota b) předepsaný tepelný tok c) předepsaný konvektivní přenos tepla 3. Způsob řešení Nyní se zaměřme na konkrétní realizaci výpočtu řešení daných problémů. Samotný výpočet řešení jednotlivých problémů bude založen na bázi numerických metod běžně používaných v oblasti přenosu tepla. Ve vetšině případů se bude jednat o metodu konečných objemů. V případě, že je znám analytický tvar řešení, bude problém vyřešen i numericky a nabídne se tak možnost srovnání analytického a numerického řešení. Existuje-li zjednodušený inženýrský model výpočtu např. kapacitní metoda pro nestacionární vedení 3
tepla), pak i tento model bude použit a umožní posouzení přesnosti a adekvátnosti tohoto modelu. Jelikož deatilní popis metody konečných objemů není cílem tohoto článku, bude zde tato metoda pouze naznačena na problému jednorozměrného nestacionárního vedení tepla. Jednorozměrné vedení tepla s předepsanými teplotami na koncích je popsáno rovnicemi: ρc T t = λ T ) x x Q zdr, x < 0, L >, t < 0, t >, 3.1) T x, 0) = T 0, T 0, t) = T A, T L, t) = T B, Nejprve se provede diskretizace v prostoru a čase. Pro jednoduchost a lepší názornost zvolme rovnoměrné dělení a λ = konst.. Interval < 0, L > se rozdělí na n stejných dílků konečných objemů) o délce x = L/n, přičemž střed každého dílku bude označen jako x i, i = 1,..., n. Časový interval < 0, t > se taktéž rozdělí, a to sice na m dílků o velikosti t = t/m. Nyní se rovnice 3.1) zintegruje přes kontrolní objem a časový krok: t t t CV ρc T t dx dt = t t t CV λ T ) dx dt x x t t t CV Q zdr dx dt. Poté se provede aproximace takto vzniklých integrálů. Pro aproximaci integrálů v čase na pravé straně se použije implicitní Eulerova metoda. To způsobí, že v každém časovém kroku musíme řešit soustavu lineárních rovnic, ale zato získámě větší stabilitu metody. Vznikne následující soustava diskretizačních rovnic: ρct i T 0 i ) x = λ T i1 T i λ T i T i 1 x x ) Q zdr x t, i = 2,..., n 1, 3.2) kde Ti 0 je hodnota teploty z minulého časového kroku v bodě x i. Rovnice 3.2) tvoří soustavu lineárních rovnic pro teplotu v daném časovém kroku. K těmto rovnicím se ještě přidají rovnice vzniklé po integraci přes hraniční konečné objemy s uvažováním okrajových podmínek. Po vyřešení této soustavy můžeme přejít do dalšího časového kroku a opakujeme tento postup tak dlouho, dokud nedosáhneme času t. Nyní pojednejme o praktické realizaci virtuální laboratoře. Laboratoř bude naprogramována v jazyku PHP, který byl vybrán z důvodu minimalizace hardwarového zatížení na straně klienta. Uživatel laboratoře klient) obdrží od serveru samotný kód webové stránky s výsledkem v jazyku HTML, jenž bude následně zobrazen. Všechny dnes běžně používané internetové prohlížeče toto řešení standardně podporují. Jelikož i všechny výpočty zajištuje server, budou požadavky na hardwarové i softwarové vybavení uživatelského počítače minimální. Grafické rozhraní virtuální laboratoře bude umožňovat intuitivní nastavení parametrů a okrajových podmínek. Přehledné a interaktivní zadávání hodnot parametrů ovlivňujících 4
Obrázek 3.1: Virtuální laboratoř řešení usnadní zkoumání vlivu těchto parametrů na řešení. Dále bude u každého problému k dispozici nápověda obsahující stručný teoretický úvod do odpovídající problematiky. Ukázka vzhledu virtuální laboratoře je na obrázku 3.1). 4. Závěr Studenti předmětů Termomechanika a Přenos tepla a látky obvykle nemají v současné době možnost provádět reálné experimenty a tak si ověřovat poznatky nabyté na přednáškách praktickými ukázkami. Virtuální laboratoř je koncipována tak, aby alespoň částečně kompenzovala tento nedostatek. Studenti budou moci experimentovat s různými konfiguracemi řešených úloh a sledovat, jak jednotlivé parametry ovlivňují výsledné řešení daného fyzikálního problému. Tohoto interaktivního přístupu lze s výhodou využít k přiblížení výše zmíněných předmětů zájemcům o snazší osvojení probírané látky. Interaktivní a přehledné grafické rozhraní virtuální laboratoře volně přístupné z webových stránek fakulty navíc může přispět k propagaci Odboru termomechniky i celé fakulty mezi studenty i odbornou veřejností. Projekt virtuální laboratoře je zařazen do výběrového řízení FRVŠ. 5
Reference [1] [2] JÍCHA, M.: Přenos tepla a látky. Brno : Akademické nakladatelství CERM, 2001. ISBN 80-214-2029-4. JÍCHA, M.: Počítačové modelování úloh vedení tepla a proudění. Brno : Nakladatelství Vysokého učení technického v Brně, 1991. ISBN 80-214-0364-0. [3] PATANKAR, S.V.: Numerical Heat Transfer and Fluid Flow. New York : Hemisphere Publishing Corporation, 1980. ISBN 0-89116-522-3. [4] VERSTEEG, H.K. - MALALASEKERA, W.: Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. Harlow : Addison-Wesley Longman Ltd., 1995. ISBN 0-582-21884-5. 6