KONSTRUKE LIHOBŽNÍKU UŽITÍM MNOŽINY BO 3 HOINY Než istouíš samotným onstucím, zoauj si nejdíe še, co íš o lichobžnících co to lastn lichobžní je, záladní duhy lichobžní a jejich lastnosti. K disozici Ti dáám následující ehledné shnutí. Poud se Ti zdá, že si oblematiu o lichobžnících otebuješ íce ohloubit, odíej se na aitolu lichobžní. Lichobžní je tyúhelní, jehož d otjší stany jsou onobžné a další d zbýající znobžné A, B,, - choly lichobžníu a, b, c, d - stany lichobžníu, - záladny lichobžníu jsou onobžné B, A - amena lichobžníu jsou znobžné - ýša onobžníu zdálenost onobžných íme, q A, B - úhloíy lichobžníu,,, - nitní úhly lichobžníu R U H Y L I H O B Ž N Í K
Lichobžníy Obecný Paoúhlý Ronoamenný otjší stany jsou onobžné, d znobžné Souet nitních úhl je 360 otjší stany jsou onobžné, d znobžné Souet nitních úhl je 360 otjší stany jsou onobžné, d znobžné Souet nitních úhl je 360 Nemá žádný nitní úhel aý Vnitní úhly i záladnách nejsou shodné Má da nitní úhly aé Vnitní úhly i záladnách nejsou shodné Není osoé soumný Není oso soumný Úhloíy nejsou shodné Úhloíy nejsou shodné Nemá žádný nitní úhel aý Vnitní úhly i záladnách jsou shodné Je oso soumný odle sojnice sted obou záladen Úhloíy jsou shodné Máš-li zoaoáno, mám o Tebe elmi líoou otázu, teou se ousíme solu zododt. Ta tady je ta otáza: Koli údaj je teba znát o onstuci lichobžníu? astá chybná úaha zní asi tato: Již ím, že e onstuci tyúhelníu otebuji 5 údaj, lichobžní je taé tyúhelní, a oto e onstuci lichobžníu otebuji onž 5 údaj. Pousme se to solen yátit. Natni si liboolný lichobžní a yzna nm jednu úhloíu iz ob. Pa odoídej na mé jednoduché otázy.
? Na oli tojúhelní mn úhloía lichobžní ozdlí? Na da tojúhelníy, A? o mají oba tojúhelníy solené? Oba tojúhelníy mají solenou úhloíu A? Koli údaj otebuješ o onstuci tojúhelníu? Jao u aždého tojúhelníu otebuji znát 3 údaje? A oli jich ješt otebuješ o onstuci tojúhelníu A? Staí mi ouze jeden údaj, jeliož solenou stanu A již znám. Naíc z lastnosti lichobžníu ím, že stany a záladny jsou onobžné, což je duhý údaj o tojúhelníu A. K jeho onstuci ta otebuji znát již jen jeden údaj.? Koli údaj tedy otebuješ celem? 3 + 1 = 4 Zá: Po onstuci lichobžníu je teba znát celem tyi údaje Poznáma: šimni si yznaených úhl na obázu. Jaé to jsou úhly a co latí o jejich eliost? jsou to úhly stídaé a mají stejnou eliost Postu i onstuci liboolného lichobžníu: 1. Pousíš se neje sestojit omocný tojúhelní, teý se sládá ze dou stan budoucího lichobžníu a jedné ze dou úhloíe lichobžníu. Tento omocný tojúhelní sestojíš omocí Tob již známých onstucí sss, sus, usu nebo Ssu. Použiješ ta ti údaje ze zadání. o ostuu onstuce a staí ouze zasat, že jsi sestojil naílad tojúhelní odle dané ty: sss 2. ttý, neznámý chol tyúhelníu, dostaneš jao ni dou množin bod, jejichž onstuci Ti oslouží zbýající údaj zadání. Jednou z tchto množin bod je ždy onobža se záladnou lichobžníu. 3. Vždy si zol záladnu lichobžníu o asi? 4. Vždy naýsuj šechna zná ešení olooin, jejíž haniní íma obsahuje Tebou zolenou záladnu. ej ozo na oadí chol lichobžníy a jsou da zné lichobžníy a neodoídají oba souasn zadání!!! Poznáma: Poud omocný tojúhelní nelze sestojit omocí známých onstucí sss, sus, usu nebo Ssu, je teba do ostuu onstuce uézt šechny oy edoucí jeho sestojení, oíad zísání neznámého bodu iz ílady 3, 4, 5, 7 A nyní se solen ustíme do ílad: Pílad 1: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 6cm b B 4cm c 3cm, A 6, 5cm
Nát a ozbo: známé údaje yznaím nátu modou baou, neznámé body baou žoou!!! c Postu onstuce: 1. sss 2. 3. c 3cm 4. 5. lichobžní Konstuce:
Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin Poznáma: Ndy se myln ysytuje chyba otu ešení. Konétn této úloze obas studenti naleznou ješt jeden lichobžní, teý ša zadání úlohy neodoídá. Podíej se na obáze. Ržoý lichobžní neodoídá zadání není to lichobžní, ale. A na oadí nám záleží!!! Pílad 2: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 8cm b B 5cm 60 70
Nát a ozbo: AX AX Postu onstuce: lichobžní AX BAX BAX sus 5. 4. 60 3. 2. 1. Konstuce:
Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin Pílad 3: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 8cm 60 70 3cm Nát a ozbo: tojúhelní zde již nelze sestojit omocí t sss, sus, usu nebo Ssu, oto neje sestojíme bod jao ni dou množin bod a osléze sestojíme bod stejn jao íladu 2. Vše je omocí matematicé symboliy od nátem zaznamenáno.
, 3cm BY AX BY AX Postu onstuce: 1. a 8cm 2., 3cm 3. Y Y 4. 5. - možno 7. BY 6. BAX BAX AX 8. lichobžní 70 ynechat 60 Konstuce: Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin Poznáma: ostuu onstuce je možno ynechat bod 5, otože jsme oteboali zísat bod a chceme naýsoat lichobžní, nioli tojúhelní.
Pílad 4: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 8cm c 2cm 70 3cm Nát a ozbo: Postu onstuce: 1. 8cm 2. X X 4. 6. c 2cm 7. BX 8. lichobžní 70, 3cm 3., 3cm 5. - možno ot ynechat Konstuce: BY, c BY
Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení dané olooin Pílad 5: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 7cm b B 4cm d A 3cm 2, 5cm Nát a ozbo:
B b, l A d l Postu onstuce: 1. a 7cm 2., 2,5cm 3. B b 4cm 4. 5. l l A d 3cm 6. l 7. lichobžní Konstuce: Zá: lichobžní yhouje, 4 ešení olooin lichobžníy,,, Poznáma: zontoluj si, zda oadu šechny tyi lichobžníy yhoují zadání úlohy Pílad 6: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 7 cm b B 4cm 70
Nát a ozbo: Neje si šimni, že zadání máme ouze 3 údaje. Staí to? Kde se nám ztatil ttý otebný údaj? staí, údaj se neztatil je schoán tom, že daný lichobžní má být onoamenný znáš-li délu jednoho amena, znáš a i délu duhého. Nyní si oe nát ten Ti še odyje! B, b Ododi: A B 4cm onoamenný lichobžní BA BA Postu onstuce: 1. sus 2. 3. b 4cm 4. 5. lichobžní Konstuce: 70 - onoamenný lichobžní
Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin Poznáma: onstuci je ješt zámn ueden bod.je ešením naší úlohy i lichobžní? není, nejedná se o onoamenný lichobžní, ale o onobžní osoteec Pílad 7: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 8cm 90 60 Nát a ozbo: ot si udlej nát a oté se ous sám ododt, co latí o eliost úhlu?
- Thaletoa užnice nad úseou BY BY AX AX Odo: úhel je onž aý onoamenný lichobžní Postu onstuce: 1. 8cm 2. 3. X X 60 4. BX 5. BAY BAY 60 6. AY 7. lichobžní Poznáma: od bodu 5 lze ostuoat taé ta, ja již znáte z edchozích ílad: 5. 6. BAY BAY 60 7. AY 8. lichobžní Konstuce:
Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin Pílad 8: Sestoj aoúhlý lichobžní s aým úhlem i cholu, jeli dáno: a 6cm A 5cm B 4cm Nát a ozbo: ot nám staí ti údaje, ttý údaj je schoán zadání aý úhel i cholu. A A A
Postu onstuce: 1. sss 2. A 3. A 4. A 5. lichobžní Konstuce: Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin Pílad 9: Sestoj aoúhlý lichobžní s aým úhlem i cholu, jeli dáno: d A 4cm c 3cm 60 Nát a ozbo: Neje si natni obáze a ous se dolnit údaj oznaený? mém nátu. Poud jsi nejsi jistý, zamysli se, co latí o souet nitních úhl liboolném tyúhelníu, tedy i lichobžníu. Už íš?
Odo: Souet nitních úhl lichobžníu je 360, úhel B má tedy 360 90 90 60 360 240 120 B AX B Y B AX Y Postu onstuce: 1. A sus 2. AX AX 3. Y Y 120 4. B B AX Y 5. lichobžní Konstuce:
Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin A na zá si dáme jeden na ní ohled obtížnjší ílad. Ale neboj, sám zjistíš, že není zdalea ta tžý. Solen ho ha zládneme. Ta ojme na nj! Pílad 10: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 7cm B b 5cm c 4cm A d 3cm Nát a ozbo:
Poud jsi do nátu yznail šechny známé y stejn jao já, uit jsi zjistil, že nelze sestojit žádný omocný tojúhelní. Zus nyní sám oemýšlet, ja tento oblém yešit. Poud jsi na to neišel sám, odíej se na následující obáze, co naadlo m. Bodem jsem edl onobžu se stanou A lze taé bodem ést onobžu se stanou B. Pseí onobžy se záladnou jsem oznail X. Tím jsem odní lichobžní ozdlil na tojúhelní XB a onobžní našem íad osodélní AX. Nyní oemýšlej a dol si do sého nátu chybjící ozmy oznaené?. A zontoluj si je s mým následujícím obázem: íy onobžce jsme schoni lichobžní již sestojit. Neje sestojíš odle ty sss tojúhelní XB, snadno a zísáš na oloímce BX bod A a omocí onobže, q a sestojíš bod jao oslední chol onobžníu AX. A lichobžní je hoto.
Postu onstuce: 1. XB sss : XB a c 3cm B b 5cm X d 3cm 2. BX 3. B a 7cm 4. A A BX 5. 6. q q X A q 7. q 8. lichobžní Konstuce: Zá: lichobžní yhouje, jedno ešení olooin V I E N Í Pous se neje sám onstuní úlohu yešit. Nebudeš-li si dt ady, odíej se na ýsledy. V nich je ouze nasáno, ja zísáš omocí množin bod neznámý chol lichobžníu ozbo úlohy. Pílady jsou elmi odobné uázoým íladm. Ta s chutí do toho! Úloha 1: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 6cm c 3cm A d 7cm B 4cm Úloha 2: Sestoj lichobžní, je-li dáno:
a 3,5cm A d 4cm 135 80 Úloha 3: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 4cm A d 7cm B 5cm A 12cm Úloha 4: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 4,8cm c 3cm B b 5,2cm 4, 5cm Úloha 5: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 8,5cm c 4,2cm 75 3, 8cm Úloha 6: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 8cm B b 6cm A 7cm Úloha 7: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 8cm B b 6cm 4cm Úloha 8: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 6cm B 7cm 5cm Úloha 9: Sestoj aoúhlý lichobžní s aým úhlem u cholu A, je-li dáno: a 8cm B b 7cm A d 5cm Úloha 10: Sestoj aoúhlý lichobžní s aým úhlem u cholu A, je-li dáno: a 8cm A 7cm B 10cm Úloha 11: Sestoj lichobžní, je-li dáno: a 9cm c 4cm B b 6cm d A 4cm Úloha 12: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 3cm c 7cm B b 5cm Úloha 13 - obtížná: Sestoj onoamenný lichobžní, je-li dáno: a 4cm B b 8cm ASB 150, de S je seí úhloíe Náoda úloze 13: udom si, co latí onoamenném lichobžníu o tojúhelní ASB, oté dooítej úhel S, a si naýsuj tojúhelní a omocí množin bod naýsuj bod. Výsledy úloh: Úloha 1:
olooin ešení 1 c sss Úloha 2: olooin 1ešení BX sus Úloha 3: olooin 1ešení A A sss Úloha 4: olooin 2ešení 4,5, c l b B cm Úloha 5: olooin 1ešení, c BX Úloha 6: olooin 1ešení d b A
Úloha 7: zadání jeden neodoídá 2,ale olooinýjdou sice 1ešení 4, d b A l b B cm Úloha 8: olooin 1ešení, A B l B B Úloha 9: olooin 2ešení b B sus Úloha 10: olooin 1ešení A A Úloha 11: olooin ešení 1 4 5 9 XB XB onobžní AX osoteec tojúhelní XB a na naílad lichobžní ozdl q A X q q a B BX A d X b B cm cm cm c a
Úloha 12: lichobžní ot ozdl naílad na tojúhe ln í XB a onobžní X osodé ln í XB X c a 7cm 3cm 4cm B b XB d b X c A B A q q XB q 1ešení olooin Úloha 13: Tojúhelní ASB je onoamenném lichobžníu onoamenný lastnost onoamenného lichobžníu, úhel S je tedy 15. Rozbo yadá tedy tahle: : B b l A b 1ešení olooin AX BAX 15