Cičení z lineání algeby 7 Ví Vondák Cičení č 4 Vlasní čísla a lasní ekoy Chaakeisický mnohočlen a chaakeisická onice Lokalizace speka Spekální ozklad Vlasní čísla a lasní ekoy maice Nechť je dána čecoá komplexní maice řádu n Nechť po skalá C a nenuloý eko C plaí Pak se nazýá lasní číslo maice a lasní eko maice příslušný lasnímu číslu Množina šech lasních čísel maice se nazýá spekum maice a značí se ( ozhodněe zda-li ekoy u jsou lasními ekoy maice u u 4 Z pního případu yplýá že u je lasní eko příslušný k lasnímu číslu Z duhého případu je zřejmé že akoé číslo keé by yhooalo definici nelze naléz a udíž není lasním ekoem Chaakeisický mnohočlen a chaakeisická onice Podmínka je ekialenní podmínce o Poslední podmínka předsauje sousau n lineáních onic s n neznámými Číslo předsauje paame éo sousay Jelikož paé sany jsou nuloé je zřejmé že sousaa má nenuloé řešení pouze ehdy když bude mí nekonečně mnoho řešení j když maice sousay bude singulání o lze zajisi podmínkou de Z éo podmínky pak můžeme ypočía lasní čísla a dosazením
Cičení z lineání algeby 7 Ví Vondák ako získaných lasních čísel do sousay o pak získáme jim odpoídající lasní ekoy Nechť je čecoá komplexní maice řádu n Mnohočlen n-ého řádu de ( se nazýá chaakeisický mnohočlen maice a onice de se nazýá chaakeisická onice Ze základní ěy algeby keá říká že algebaická onice supně n má alespoň jedno řešení yplýá že spekum komplexní maice řádu n bude nepázdné Naíc plaí že akoá maice bude mí páě n komplexních lasních čísel přičemž se do ohoo poču započíáá i násobnos kořenů Nalezněe lasní čísla a lasní ekoy maice Sesaíme chaakeisickou onici a yřešíme ji ( ( ( ( ( ( ( ( ( de Z posledního ýazu je ihned idě že kořeny jsou oo jsou edy lasní čísla maice K jednoliým lasním číslům nalezneme příslušné lasní ekoy a Po řešíme sousau o Sesaíme edy maici sousay b Po řešíme sousau o Sesaíme edy maici sousay c Po řešíme sousau o Sesaíme edy maici sousay Položíme-li např pak dojice
Cičení z lineání algeby 7 Ví Vondák jsou lasními čísly s příslušnými lasními ekoy maice Jak je předchozího příkladu pano ak lasní ekoy nejsou učeny jednoznačně neboť jejich liboolný nenuloý násobek je akéž lasním ekoem o plaí zcela obecně neboť po liboolné plaí o o o w o Z poslední onice edy plyne že w je akéž lasním ekoem příslušným k Lokalizace speka Věa: (Gešgoinoa Nechť a ] je komplexní čecoá maice řádu n Nechť [ ij z C : z a i i ai ai i ai i ain Si ii i n Pak S S ( n Pomocí Gešgoinoy ěy lokalizuje spekum maice i 4 i S z C : z ( i i S z C : z 4 S z C : z Nalezené množiny ykeslíme do komplexní oiny: m i i S S - i -i 4 5 6 S e Spekum se pak nachází e sjednocení šech ří kuhů ( S S S
Cičení z lineání algeby 7 Ví Vondák Věa: Nechť je eálná symeická maice Pak ( Lokalizuje spekum maice Jelikož maice je eálná a symeická kuhy S z Gešgoinoy ěy se edukují na inealy na eálné ose neboť maice má eálné spekum Můžeme edy psá S x : x S S x : x x : x ( S S S Odud dosááme že Spekální ozklad Maice Q se nazýá oogonální jesliže Q Q Věa: Nechť je eálná symeická maice Pak lasní ekoy odpoídající ůzným lasním číslům jsou oogonální Věa: (O spekálním ozkladu Nechť je eálná symeická maice Pak exisuje oogonální maice Q a diagonální maice D ak že QDQ Naíc sloupce maice Q oří oonomální lasní ekoy maice a diagonální pky D jsou jim odpoídající lasní čísla Nalezněe spekální ozklad maice Duhá čás ěy o spekálním ozkladu nám dáá náod jak naléz maici Q a D Nejdříe musíme edy naléz lasní čísla a lasní ekoy maice uo úlohu jsme šak již řešili duhém příkladě ohoo cičení a ýsledné lasní čísla a ekoy byly následující
Cičení z lineání algeby 74 Ví Vondák Z ěy předcházející ěu o spekálním ozkladu yplýá že lasní ekoy jsou oogonální Skuečně ( ( ( ( ( šak nejsou oonomální neboť např ( ( ( Poo musíme ekoy nomalizoa: [ ] q [ ] ( ( ( q q ( ( [] [] [] [] [] Nyní můžeme sesai obě hledané maice spekálního ozkladu QDQ : D diag{} Q [ q q q ] Na záě můžeme ješě poés zkoušku zda-li nalezené maice opadu splňují podmínku QDQ QDQ Nalezené maice Q a D jsou edy opadu spekálním ozkladem maice