Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Transkript

1 Lineární algebra 4. přednáška: Vekorové prosory Dalibor Lukáš Kaedra aplikované maemaiky FEI VŠB Technická univerzia Osrava hp:// Tex byl vyvořen v rámci realizace projeku Maemaika pro inženýry 2. soleí (reg. č. CZ..7/2.2./7.332), na kerém se společně podílela Vysoká škola báňská Technická univerzia Osrava a Západočeská univerzia v Plzni

2 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází:.2% s()

3 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází:.8% s()

4 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází:.6% s()

5 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází: 3.% s()

6 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází: 6.3% s()

7 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází: 2.5% s()

8 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází: 25% s()

9 Moivace Komprese signálu s() Haarovou (waveleovou) bází: 5% s()

10 Moivace Haarova (waveleová) báze: h k (), k =, 2,... k = : k = 3, 4: h() k = 2: hk() k = 5, 6, 7, 8: h2() hk()

11 Moivace Reprezenace signálu Haarovými (waveleovými) souřadnicemi ŵ k s() = n k= ŵk h k () ŝk k

12 Moivace Komprese signálu s() Fourierovou bází (jpeg): 3% s()

13 Moivace Fourierova báze: f k () := e ıkω, k =,, 2,... k = : k = 2: f() f2() k = : k = 3: f() f3()

14 Moivace Reprezenace signálu Fourierovými souřadnicemi ŝ k { n/2 } s() = R k= n/2 ŝk exp(ıkω), kde ω := 2π/n ŝk k

15 Vekorové prosory Zobecnění 2d geomerických vekorů na arimeické x 2 v 2 u + v v 2u (u + v) i := u i + v i (αu) u i := αu i v x Zobecnění arimeických vekorů na funkce v i := sin(iπ/), i {, 2,...,}, v(x) := sin(xπ), x, vi i v(x) x

16 Vekorové prosory Zobecnění arimeických vekorů na funkce Sčíání vekorů + : R n R n R n a násobení skalárem : R R n R n jsme definovali pomocí číselného sčíání + a násobení ako: u,v R n, α R : i {, 2,...,n} : (u+v) i := u i + v i, (α v) i := α v i. Definici lze analogicky rozšíři i pro funkce a o + : F F F, : R F F, F := {f : R R}, f, g F, α R : x R : (f+g)(x) := f(x) + g(x), (α f)(x) := α f(x). Pojem vekorového prosoru Oba případy (a nejen yo) lze shrnou do absrakního pojmu vekorový prosor.

17 Pojem vekorového prosoru Vekorové prosory Reálný vekorový (éž lineární) prosor je množina V s operacemi + : V V V a : R V V, keré splňují následující axiomy: u,v,w V : u + (v + w) = (u + v) + w, (asociaivia sčíání) u,v V : u + v = v + u, (komuaivia sčíání) o V v V : v + o = v, (exisence nulového vekoru) v V ( v) V : v + ( v) = o, (exisence záporných vekorů) α R u,v V : α (u + v) = α u + α v, α, β R v V : (α + β) v = α v + β v, α, β R v V : α (β v) = (αβ) v, v V : v = v. Prvky z V se nazývají vekory, prvky z R jsou skaláry (mohou bý i komplexní). Konvence: αv := α v.

18 Vekorové prosory Další vlasnosi α R v V : v = v, αo = o, ( )v = v. Příklady vekorových prosorů R n (nebo C n ) reálné (nebo komplexní) arimeické vekory, R m n (nebo C m n ) reálné (nebo komplexní) maice, F reálné funkce jedné reálné proměnné s operacemi x R : (f+g)(x) := f(x) + g(x), (α f)(x) := αf(x), S reálné posloupnosi s operacemi (a n ) n=+(b n ) n= := (a n + b n ) n=, α (a n ) n= := (αa n ) n=. Jejich libovolný vekorový podprosor, viz dále.

19 Pojem vekorový podprosor Vekorové prosory Mějme vekorový prosor V. Řekneme, že U je vekorový podprosor V (a zároveň dalším vekorovým prosorem), pokud. U V (U je neprázdná podmnožina V),. u,v U : u + v U (U je uzavřená vůči sčíání), 2. α R u U : αu U (U je uzavřená vůči násobení skalárem). Příklad: přímka v R 2 procházející počákem je vek. prosor U := { u R 2 : u + u 2 = } je vekorovým podprosorem V := R 2. Ad. U, nebo u := o = (, ) U, viz u + u 2 = + =. U V, viz zadání. Ad. Mějme u,v U, j. u + u 2 = a v + v 2 =. Pak u + v U, nebo (u + v ) + (u 2 + v 2 ) = (u + u 2 ) + (v + v 2 ) = + =. Ad 2. Mějme α R a u U, j. u + u 2 =. Pak αu U, nebo αu + αu 2 = α(u + u 2 ) = α =.

20 Vekorové prosory Příklad: přímka v R 2 neprocházející počákem není vek. prosor U := { u R 2 : u + u 2 = } není vekorovým podprosorem V := R 2. Např. U nemá nulový prvek, viz u := o U, nebo u + u 2 = + =. Podprosory R 2 riviální podprosory U := {o}, U := R 2, přímky procházející počákem U := { x R 2 : a x + a 2 x 2 =, kde a nebo a 2 }.

21 Vekorové prosory Podprosory R 3 riviální podprosory U := {o}, U := R 3, roviny procházející počákem U := { x R 3 : a x = o, kde o a R 3}, přímky procházející počákem U := { x R 3 : A x = o, kde A R 2 3, A má hodnos 2 }.

22 Vekorové prosory Prosor mnohočlenů P n Pro libovolné n N := {,, 2,...} P n := {p(x) := a + a x + + a n x n F : a, a,...,a n R} je vekorový podprosor F. Ad. P n, nebo o(x) := P n. P n F, nebo mnohočleny jsou funkce. Ad. Mějme p,q P n, j. p(x) := n i= a ix i a q(x) := n i= b ix i. Pak p + q P n, nebo (p + q)(x) = p(x) + q(x) = n i= (a i + b i )x i, kde a i + b i R. Ad 2. Mějme α R a p P n, j. p(x) := n i= a ix i. Pak αp P n, nebo (αp)(x) = αp(x) = n i= (αa i)x i, kde αa i R.

23 Příklady vekorových prosorů Nulový prosor maice Vekorové prosory U := { x R n : A x = o, kde A R m n} U := { p(x) := n i= a ix i P n : A (a,a,...,a n ) T = o, kde A R m (n+)} je podprosor P n. Sloupcový prosor maice Lineární obal { U := p(x) := je podprosor P m. U := { x := Ay R m : kde A R m n a y R n} } n α i p i (x) P m : α,...,α n R a p (x),...,p n (x) P m i=

24 Vekorové prosory Hledá se reprezenace vekorů zv. báze generující jednoznačně celý prosor V, a edy žádný z vekorů není zbyečný. x e 2 f e x f e, e 2 jsou fajn, nebo jsou nenulové a generují R 2 jednoznačně: x := (x,x 2 ) R 2 : x = x e + x 2 e 2. f, f 2 nejsou fajn, nebo negenerují R 2. e, e 2,f 2 nejsou fajn, nebo generují R 2 nejednoznačně (jeden z nich je zbyečný): x := (x,x 2 ) R 2 : x = x e +x 2 e 2 = (x x 2 )e +x 2 f 2. e, f 2 jsou fajn, nebo jsou nenulové a generují R 2 jednoznačně: x := (x,x 2 ) R 2 : x = (x x 2 )e + x 2 f 2.

25 Lineární nezávislos Lineární nezávislos žádný vekor není zbyečný Mějme vekorový prosor V. Nenulové vekory v,v 2,...,v n V jsou lineárně nezávislé, pokud rovnice α v + α 2 v α n v n = o má pouze riviální řešení α = α 2 = = α n =. Jinak má sousava nekonečně mnoho řešení a vekory jsou lineárně závislé. Příklad: e := (, ) a f 2 := (, ) jsou lineárně nezávislé Hledáme α, α 2 R : α e + α 2 f 2 = o α (, ) + α 2 (, ) = (, ). To vede na sousavu lineárních rovnic α + α 2 =, α + α 2 =, kerá má pouze riviální řešení α = α 2 =.

26 ,x, x 2 jsou lineárně nezávislé Hledáme α, β,γ R ak, že Lineární nezávislos x R : α + βx + γx 2 =. Speciálně pro x {,, } dosáváme sousavu rovnic α β + γ =, α =, α + β + γ =, kerá má pouze riviální řešení α = β = γ =. To je ale zároveň řešením původní úlohy, a edy musí bý jejím jediným řešením.

27 Lineární nezávislos Příklad: x + x 2, 2 + x 2x 2 a + 2x 3x 2 jsou lineárně závislé Hledáme α,α 2, α 3 R ak, že x R : α ( x + x 2 ) + α 2 (2 + x 2x 2 ) + α 3 ( + 2x 3x 2 ) =, x R : (α + 2α 2 + α 3 ) + x( α + α 2 + 2α 3 ) + x 2 (α 2α 2 3α 3 ) =. Díky lineární nezávislosi, x a x 2 dosáváme sousavu lineárních rovnic α + 2α 2 + α 3 =, α + α 2 + 2α 3 =, α 2α 2 + 3α 3 =. Sousava je homogenní, j. má nulovou pravou sranu, kerou při řešení neopisujeme r 2:=r +r r := r +r 3 r :=4r 2 +3r 3 Řešení je nekonečně mnoho.

28 Lineární kombinace Lineární kombinace nový vekor by byl zbyečný Mějme vekorový prosor V a nenulové vekory v,v,v 2,...,v n V. Řekneme, že v je lineární kombinací v,..., v n, pokud exisuje alespoň jedno řešení α, α 2,...,α n R n rovnice α v + α 2 v α n v n = v. Příklad: v := (, ) je lineární kombinací v := (, 2) a v 2 := (2, ) Hledáme α,α 2 R ak, že To vede na sousavu α v + α 2 v 2 = v α (, 2) + α 2 (2, ) = (, ) α +2α 2 = 2α +α 2 = kerá má řešení α = /5, α 2 = 3/5. ( 2 2 ) r 2 :=2r 2 +r 2 ( )

29 Lineární kombinace Příklad: (, 2, ) je lineární kombinací (,, ) a (,, 2) a (2,, 4) Hledáme α,α 2, α 3 R ak, že α + α 2 + α 3 2 = r 3:=r 3 r r :=r 2 r Dosáváme nekonečně mnoho řešení. 2 r 3:=r 3 +2r 2 2

30 Lineární kombinace Příklad: x není lineární kombinací + x a 2 + 2x Hledáme α,α 2 R ak, že x R : α ( + x) + α 2 (2 + 2x) = x. Díky lineární nezávislosi a x sačí řeši sousavu ( ) 2 2 kerá však nemá řešení. r 2 :=r 2 r ( 2 2 ),

31 Báze vekorového prosoru Báze reprezenace vekorů je fajn Mějme vekorový prosor V. Uspořádaná množina nenulových vekorů F := (f,f 2,...,f n ) voří bázi vekorového prosoru V, pokud. F V, 2. f,f 2,...,f n jsou lineárně nezávislé, 3. libovolný vekor v V je lineární kombinací f,f 2,...,f n, j. α f + α 2 f α n f n = v. Souřadnice vekoru v bázi, dimenze Plaí, že lineární kombinace je pro bázi vždy jednoznačná. Výsledné koeficieny α,...,α n nazýváme souřadnice vekoru v v bázi F a značíme [v] F := (α,...,α n ). Plaí, že poče bázových vekorů n vekorového prosoru V je vždy sejný, říkáme mu dimenze V a značíme dim V := n.

32 Báze vekorového prosoru Kanonické báze Sloupce/řádky jednokové maice I n voří kanonickou bázi R n, j. E := {e := (,,...,),e 2 := (,,,...,),...e n := (,...,, )} R n. R n má dimenzi n, j. dim R n = n. Monomiály x k, k N, voří kanonickou bázi P n, j. E := { e (x) :=,e 2 (x) := x,e 3 (x) := x 2,...,e n+ (x) := x n}. P n má dimenzi n +, j. dim P n = n +.

33 Báze vekorového prosoru Hledá se reprezenace vekorů zv. báze generující jednoznačně celý prosor V, a edy žádný z vekorů není zbyečný. x e 2 f f 2 e, e 2 voří bázi R 2, a edy generují R 2 jednoznačně: x := (x,x 2 ) R 2 : x = x e + x 2 e 2. f, f 2 nevoří bázi R 2, nesplňují 2. ani 3. e, e 2,f 2 nevoří bázi R 2, nejsou lin. nezávislé: x := (x,x 2 ) R 2 : x = x e +x 2 e 2 = (x x 2 )e +x 2 f 2.. e x e, f 2 voří bázi R 2, a edy generují R 2 jednoznačně: x := (x,x 2 ) R 2 : x = (x x 2 )e + x 2 f 2.

34 Zpě k moivaci Haarova (waveleová) báze prosoru F: h k (), k =, 2,... k = : k = 3, 4: h() k = 2: hk() k = 5, 6, 7, 8: h2() hk()

35 Zpě k moivaci Fourierova báze prosoru F: f k () := e ıkω, k =,, 2,... k = : k = 2: f() f2() k = : k = 3: f() f3()

36 Zpě k moivaci Reprezenace signálu s() F Fourierovými souřadnicemi ŝ k ŝ := [s()] F ŝk k