OBVODY STŘÍDAVÉHO POUDU S LINEÁNÍMI JEDNOBANY A DVOJBANY Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o yziku Přemysl Šedivý Obsah Jednoduchý obvod střídavého proudu Řešení obvodů střídavého proudu pomocí ázorového diagramu Užití komplexních veličin při řešení obvodů střídavého proudu symbolická metoda 8 3 Lineární jednobrany Impedance, admitance 0 4 Impedance v jednoduchém obvodu střídavého proudu 5 Spojování jednobranů 6 Frekvenční charakteristiky lineárních impedančních jednobranů 7 7 Jednoduché rezonanční jednobrany 8 Univerzální rekvenční charakteristiky rezonančních jednobranů Šířka pásma 8 9 Lineární dvojbrany Napěťový přenos 3 0 Náměty laboratorních prací 40 0 Měření indukčnosti a rezistance cívky metodou tří voltmetrů 40 0 Frekvenční charakteristiky indukčnosti a rezistance cívky 4 03 Určení rekvenčních charakteristik sériového jednobranu C a nezatíženéhodvojbranuc 43 04 UrčenírekvenčníchcharakteristikWienovačlenu 45 Výsledky úloh 47
Jednoduchý obvod střídavého proudu Řešení obvodů střídavého proudu pomocí ázorového diagramu V tomto textu se budeme zabývat elektrickými obvody sestavenými z ideálních rezistorů, kondenzátorů a cívek připojenými k ideálním zdrojům harmonického střídavého napětí Takovéto zidealizované obvody mohou velmi dobře modelovat reálné obvody v nejrůznějších elektrotechnických zařízeních ezistory,kondenzátoryacívkyjsoulineárnísoučástkyamplituda I mstřídavého prouduprocházejícíhosoučástkoujepřímoúměrnáamplitudě U mstřídavéhonapětí Totéž platí o eektivních hodnotách proudu a napětí I= I m/, U= U m/, které budeme ve výpočtech používat častěji Voltampérová charakteristika rezistoru nezávisí na rekvenci proudu U kondenzátoru se s rostoucí rekvencí sklon charakteristiky zvětšuje a u cívky se naopak zmenšuje(obr -) I I I C U U U L I I I U U U 500 Hz 500 Hz Obr - Fázor(časovývektor) U mharmonickykmitajícíhonapětíurčujesvouvelikostíamplitudukmitů U m asvýmsměremjejich počátečníázi 0 (obr-)začne-lise včase t=0ázornapětíotáčetvkladnémsmysluúhlovourychlostí ω,budesvislá souřadnice ázoru rovna okamžité hodnotě napětí u=u msin(ωt+ 0) Stejnýmzpůsobemdeinujemeázorproudu I m Fázorové diagramy jsou vhodné pro řešení jednodušších obvodů Zopakujme si nejprve, jak vypadají ázorové diagramy jednoduchých obvodů střídavého proudu s rezistorem, kondenzátorem a cívkou
ωt U m u 0 t Obr - V obvodu s ideálním rezistorem je vztah mezi napětím a proudem vyjádřen Ohmovým zákonem u i = U I = Um = =konst I m Fázor napětí a ázor proudu mají stejný směr(obr -3) Veličinu nazýváme rezistance Neliší se od stejnosměrného odporu rezistoru I m U m i u t Obr -3 V obvodu s ideálním kondenzátorem je okamžitý náboj na deskách kondenzátoru přímo úměrný okamžitému napětí q= Cu a okamžitý proud určíme ze vztahu i= dq dt = Cdu dt Jestližeokamžitáhodnotanapětíje u=u msin(ωt+ 0),pak i=ωcu mcos(ωt+ 0)=I mcos(ωt+ 0) I m i u U m t Obr -4 3
Veličina U m I m = U I = ωc = XC je kapacitní reaktance(kapacitance) kondenzátoru V obvodu s kondenzátorem předbíhá proud před napětím o čtvrtinu periody, ázově o p/ Fázory obou veličin jsou navzájem kolmé(obr -4) V obvodu s ideální cívkou platí zákon elektromagnetické indukce ve tvaru Jestliže okamžitá hodnota proudu je pak Veličina u L= L di dt i=i msin(ωt+ 0), u=ωli mcos(ωt+ 0)=U mcos(ωt+ 0) U m I m = U I = ωl=xl je induktivní reaktance(induktance) cívky V obvodu s cívkou je proud opožděn za napětím o čtvrtinu periody, ázově o p/ Fázory obou veličin jsou navzájem kolmé (obr-5) U m u i I m t Obr -5 Fázové posunutí mezi napětím a proudem deinujeme vztahem = U I U cívky, kde napětí předbíhá před proudem, je kladné; u kondenzátoru je záporné V praktických situacích známe častěji eektivní hodnoty střídavých napětí a proudů než jejich amplitudy Proto i ve ázorových diagramech střídavých obvodů místo ázorů U m, I mpoužívámeázory U, I ovelikostechrovnýcheektivnímhodnotám U, I V sériově zapojeném obvodu je ázor proudu pro všechny součástky společný Obvykle jej umisťujeme do základní polohy na vodorovné ose a počáteční ázi proudu tedy volíme nulovou Fázor výsledného napětí je vektorovým součtem 4
ázorů napětí na jednotlivých součástkách Na obr -6 je schéma a ázorový diagram sériového obvodu LC Fázor proudu, který je společný pro všechny součástky,volímevzákladnípoloze( 0=0) Zdiagramusnadnoodvodímevztahypro výpočet výsledného napětí a ázového posunutí mezi napětím a proudem: U= U + U L+ U C, ( U= U +(UL UC) = I + ( I ωl ) UL UC ωc tg = = = U I ωl ωc ωl ωc ), I U L L U L U C U U C U U C I U Obr -6 V paralelně zapojeném obvodu je pro všechny součástky společný ázor napětí a obvykle jej umisťujeme do základní polohy na vodorovné ose Fázor výsledného proudu je vektorovým součtem ázorů proudů procházejících jednotlivými součástkami Na obr -7 je schéma a ázorový diagram paralelního obvodu LC Z něj odvodíme vztahy pro výpočet výsledného proudu a ázového posunutí mezi napětím a proudem: I= I + I L+ I C, I= tg = I +(IC IL) = U + ( ωc ωl ), ( ) U IL IC ωl ωc ( ) = = I U ωl ωc Všimnětesi,žeázovéposunutíjekladné,když I L > I C 5
I I L I I C I C U L C I U I I L Obr -7 Příklad Kondenzátor o kapacitě 3 mf a cívka byly sériově připojeny k síťovému transormátoru ( = 50 Hz) Vlastnosti kondenzátoru se přibližují vlastnostem kondenzátoru ideálního Cívku si můžeme představit jako sériové spojení ideální cívky o indukčnosti L saideálníhorezistoruorezistanci svoltmetrembylavobvoduzměřenanapětí U=0,5V, U C=8,0V, U L=4,5V (obr-8) Narýsujteázorovýdiagramobvoduaurčeteveličiny L sa s Řešení Fázorový diagram obvodu je na obr -8 Fázor proudu Ivolíme v základní poloze tímjedánaipolohaázoru U CZbývajícíázorydostanemedoplněnímobrazcena trojúhelník a na rovnoběžník Velikosti ázorů vynášíme v eektivních hodnotách velikostiázorůsetímzmenší krátzázorovéhodiagramuurčímeúhel,který svíráázornapětí U Lsázoremproudu I: U = U C+ U L U CU Lcos ψ= U C+ U L U CU Lsin, Obvodem prochází proud sin = U C+ U L U U CU L I= UC X C = ωcu C Z ázorového diagramu samotné cívky(obr -9) odvodíme U = U Lcos, U L= U Lsin, s= U I, UL Ls= ωi Numericky: =54,3, I=0,8A, s=47ω, L s=0,h 6
I I U L U L L s, s C U ψ U L I U L s s U U L U L U I U C U C U Obr -8 Obr-9 Úlohy Žárovkusjmenovitýmihodnotaminapětíaproudu U jm=6,3v, I jm=0,0a chceme napájet ze síťového transormátoru, jehož sekundární vinutí má eektivní hodnotu napětí V Jak velkou kapacitu musí mít sériově připojený kondenzátor, aby byly dodrženy jmenovité hodnoty? Jak velké napětí na kondenzátoru naměříme? Jaké bude ázové posunutí mezi celkovým napětím a proudem? Kondenzátorokapacitě,0 mfarezistoroodporukωjsouparalelněpřipojeny któnovémugenerátoruorekvenci,0khzcelkovýproudvobvoduje4,0majaké proudy procházejí oběma součástkami? Jaké je svorkové napětí generátoru? Jaké je ázové posunutí mezi celkovým napětím a proudem? 7
Užití komplexních veličin při řešení obvodů střídavého proudu symbolická metoda Symbolickou metodu používáme při řešení složitějších obvodů Fázory napětí a proudu považujeme za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině Také vztahy mezi jednotlivými ázory v obvodu vyjadřujeme pomocí komplexních veličin S komplexními veličinami počítáme stejně jako s komplexními čísly v matematice Z praktických důvodů je však orma zápisu poněkud odlišná Komplexní veličiny budeme zapisovat v algebraickém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru: A=eA+j ImA=A(cos +j sin )=Ae j, kde ea=a cos jereálnásložka, ImA=A sin jeimaginárnísložka, j= jeimaginárníjednotka, A= A = e A+Im A jeabsolutníhodnota, je argument Vpsanémtextupoužijemeprokomplexníveličinu Asymbol Apodobnějakoujiných vektorů Komplexní veličina má kromě absolutní hodnoty a argumentu i yzikální jednotku Dvě komplexní veličiny A, Bjsou si rovny právě tehdy, když ea=eb, ImA=ImB Součet dvou komplexních veličin A, Btéhož druhu je deinován vztahem A+B=eA+eB+j(ImA+ImB), kterému odpovídá vektorový součet v Gaussově rovině(obr -) Im B A+B Im A B Im A A e A B B A B Obr - e e Obr-,Obr-3 8
Součin dvou komplexních veličin A, Bje deinován vztahem A B=eA eb ImA ImB+j(eA ImB+ImA eb) Absolutní hodnota součinu je rovna součinu absolutních hodnot obou činitelů a argument součinu je součtem argumentů(obr -) AB =AB, AB= A+ B Podíl dvou komplexních veličin A, Bupravujeme obvykle na tvar A = A B B B = (ea+j ImA)(eB j ImB) (eb) +(ImB), kde B =eb j ImB jeveličinakomplexněsdruženákveličině B Absolutní hodnota podílu je rovna podílu absolutních hodnot obou veličin a argument podílu je roven rozdílu obou argumentů(obr -3) A B = A, A/B= A B B Im Ae jψ j A Im ψ e jψ A e A e Ae jψ Obr -4 Obr -5 j A Vynásobíme-li komplexní veličinu komplexní jednotkou e jψ =cos ψ+jsin ψ, otočísejejíobrazvgaussověroviněoúhel ψabsolutníhodnotaveličinysepřitom nezměnívydělíme-likomplexníveličinukomplexníjednotkou e jψ (cožjetotéž, jakokdyžjivynásobímekomplexníjednotkou e jψ ), otočísejejíobrazvgaussově rovině o úhel ψ (obr -4) Otočení o p/ dosáhneme vynásobením komplexní veličiny komplexní jednotkou j = cos(p/) + j sin(p/) Podobně otočení o p/ dosáhneme vynásobením komplexní jednotkou j = cos(p/) j sin(p/) (obr -5) 9
Také otáčení ázoru napětí nebo proudu v závislosti na čase můžeme vyjádřit pomocí násobení komplexní jednotkou(obr -6) Poloha ázoru napětí v čase t je určena komplexní veličinou U e jωt = U m e j0 e jωt = U m e j(ωt+ 0) Ue jωt Im ωt 0 U e u t Obr -6 3 Lineární jednobrany Impedance, admitance Jednobran je do obvodu připojen pomocí jediné dvojice svorek(obr 3-) Může být tvořen jedinou součástkou, nebo větším počtem součástek různě propojených Jednobrany sestavené z rezistorů, kondenzátorů a cívek mají při konstantní rekvenci střídavého proudu lineární voltampérovou charakteristiku celkový proud I je přímo úměrný celkovému napětí U Jednobran složený pouze z rezistorů(odporový jednobran)sevobvoduchovájakojedinýrezistorcelkovýproudjeveáziscelkovým napětím a voltampérová charakteristika nezávisí na rekvenci Jestliže se však v jednobranu vyskytují kondenzátory nebo cívky, dochází zpravidla mezi celkovým proudem a celkovým napětím k ázovému posunutí, jehož velikost závisí na rekvenci, a voltampérová charakteristika má pro různé rekvence různý sklon Použijeme-li pro popis obvodu s lineárním jednobranem symbolickou metodu, považujeme ázory napětí a proudu U, I za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině Poměr těchto veličin se nazývá impedance jednobranu: Z= U I Při stálé rekvenci střídavého proudu je impedance lineárního jednobranu konstantní a zcela vyjadřuje jeho vlastnosti Absolutní hodnotu a argument impedance určíme pomocí vztahů Z= U I = Um I m, Z= U I Řešení některých úloh se zjednoduší zavedením veličiny převrácené k impedanci, která 0
se nazývá admitance Y= Z = I U, Y = Z = I U = Im U m, Y= Z= I U Vztah mezi ázemi ázorů U, I a argumenty veličin Z, Y znázorňuje obr 3- Im U I I Z U Z U I I U e Y Obr 3- Obr 3-4 Impedance v jednoduchém obvodu střídavého proudu Základní poznatky o jednoduchých obvodech střídavého proudu, které jsme zopakovali v kap, můžeme vyjádřit také takto: V obvodu s rezistorem platí Z= U I =, U= I, Z=0, Z= (cos0+jsin0)=, Y= V obvodu s kondenzátorem je ázor napětí opožděn o p/ za ázorem proudu Platí Z= U I = XC= ωc, Z= U I= p, Z= ωc [ cos ( p ) +jsin ( p )] = j ωc = jωc Y=j ωc Vobvoduscívkoupředbíháázornapětíop/předázoremprouduPlatí Z= ωl [ Z= U I = XL= ωl, Z= U I=p, cos ( p ) +jsin ( p )] =jωl, Y= jωl = j ωl
5 Spojování jednobranů Při sériovém spojení několika jednobranů(obr 5-) je ázor proudu I společný pro všechny jednobrany a ázor celkového napětí je vektorovým součtem jednotlivých ázorů napětí: Celková impedance obvodu je U= U + U + + U N Z= U I = U I + U I + + UN I = Z + Z + + Z N Fázor celkového napětí se rozloží na jednotlivé jednobrany v poměru U: U : U : : U N= Z: Z : Z : : Z N Podobný vztah je i mezi eektivními hodnotami napětí, amplitudami napětí a absolutními hodnotami impedancí U: U : U : : U N= Z : Z : Z : : Z N, U m: U m: U m: : U Nm= Z : Z : Z : : Z N I I Z U U I I I 3 Z Z Z 3 U Z U Z 3 U 3 Obr 5- Obr 5- Například v sériovém obvodu LC(obr -6) platí Z= +jωl j ωc, Z= U ( I = + ωl ), ωc tg = ImZ ez ωl = ωc
Při paralelním spojení několika jednobranů(obr 5-) je ázor napětí společný pro všechny jednobrany a ázor celkového proudu je vektorovým součtem jednotlivých ázorů proudů Celková admitance obvodu je I= I + I + + I N Y= I U = I U + I U + +IN U = Y+ Y+ + YN, = + + + Z Z Z Z N Pokud jsou paralelně spojeny jen dva jednobrany, platí Z= ZZ Z + Z Fázor celkového proudu se rozloží na jednotlivé jednobrany v poměru I: I : I : : I N= Y: Y : Y : : Y N Podobný vztah je i mezi eektivními hodnotami proudu, amplitudami proudu a absolutními hodnotami admitancí I: I : I : : I N= Y : Y : Y : : Y N, I m: I m: I m: : I Nm= Y : Y : Y : : Y N Například v paralelním obvodu LC(obr -7) platí Y= I = j +j ωc U ωl, Y = I U = + ( tg = ImY = ωc ) ey ωl ( ωc ), ωl Příklad Skutečnou cívku, která má při dané rekvenci impedanci Z o absolutní hodnotě Z aargumentu = U I,můžemenahraditsériovýmspojením ideálnícívky oindukčnosti L saideálníhorezistoruorezistanci sneboparalelnímspojenímideální cívkyoindukčnosti L paideálníhorezistoruorezistanci p(obr5-3)určetevztahy meziveličinami Z,, L s, s, L p, p 3
L s Z p L p s Obr 5-3 Řešení Z rovnosti komplexních výrazů pro impedanci plyne Z= Zcos +jzsin = s+jωl s s= Zcos, Z rovnosti komplexních výrazů pro admitanci L s= Zsin ω = cos jsin = = + s jωls = = Z Z(cos +jsin ) Z p j ωl p s+jωl s s+ ω L s plyne p= s+ ω L s s = Z cos, Lp= Ls+ s ω L s = Z ωsin Pokud se vlastnosti cívky blíží k vlastnostem cívky ideální, tj p/, platí s ωl s, p ωl p, L s L p L, p ω L s Příklad 3 eproduktorová soustava se dvěma reproduktory je zapojena podle obr 5-4 Výškový reproduktor je ve větvi s kondenzátorem a hloubkový ve větvi s cívkou vysvětlete Obareproduktorysevobvoduchovajíjakorezistoryostejnérezistanci =5Ω Cívku a kondenzátor považujeme za ideální součástky Ukažte, že indukčnost L cívky a kapacitu C kondenzátoru lze zvolit tak, aby impedance soustavy byla při všech rekvencích reálná a konstantní Taková soustava má vlastnosti jediného rezistoru určete jeho rezistanci Dálepožadujeme,abypřidělicímkmitočtu d =khzmělyobareproduktorystejný příkon Určete indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru 4
L C Obr 5-4 Řešení Celková impedance soustavy je Z= Z Z Z + Z = ( + jωc ) (+jωl) +j ωl++ jωc + L ( C +j ωl ) ωc = ( +j ωl ) ωc Tento zlomek je reálný pro všechny rekvence, jestliže poměr reálných částí čitatele a jmenovatele je při všech rekvencích stejný jako podíl imaginárních částí: + L ( ωl ) C = ωc ωl ωc V takovém případě Z= =konst Přidělicímkmitočtu d musíplatit I = I Ztohoplyne Z = Z, + XC = + XL, XC= XL, ω d= LC =4p d Kapacitu kondenzátoru a indukčnost cívky určíme ze vztahů: L C LC = C =4p d, L C LC= L = 4p d, C= p d, L= p d Podosazeníčíselnýchhodnotdostáváme C=3 mf, L=0,80mH Příklad 4 Dokonalejšího oddělení vysokých a hlubokých tónů dosáhneme pomocí reproduktorové soustavy druhého řádu zapojené podle obr 5-5 Kondenzátory a cívky v obou větvích jsou stejné, oba reproduktory mají rezistanci 5 Ω Také tato soustava může mít při všech rekvencích konstantní reálnou impedanci a při dělicím kmitočtu d =khzstejnýelektrickýpříkonoboureproduktorů Určete potřebné hodnoty kapacity C a indukčnosti L 5
L C C L Obr 5-5 Řešení Celková admitance soustavy je Y= + = Z Z jωc + j ωl + +jωl jωc jωl+ + jωc = = jωc ω LC ω CL+jωL + +jωc ω CL+jωL = ω LC+jωC ω CL+jωL Tento zlomek je reálný pro všechny rekvence, jestliže L C =, L=C Podosazeníaúpravědostaneme Z= Přidělicímkmitočtu d musíplatit I = I Ztohoplyne Y = Y, jω d C ω dlc = +jω d C, ω dlc=, LC =4p d Kapacitu kondenzátoru a indukčnost cívky určíme ze vztahů L C LC = C =4p d, L L LC= C = 4p d, C= p d, L= pd Podosazeníčíselnýchhodnotdostáváme C=3 mf, L=,mH 6
Úloha 3 eproduktorová soustava na obr 5-6 může také splňovat požadavky z příkladu 3 Jaká musí být kapacita kondenzátoru a indukčnost cívky? L C Obr 5-6 6 Frekvenční charakteristiky lineárních impedančních jednobranů Z Z ImZ Z( ) ez Obr 6- Obr 6- Impedance lineárního jednobranu, ve kterém se vyskytují kondenzátory a cívky, závisí obvyklenarekvencistřídavéhoproudu Z = Z() Směnícíserekvencísemění absolutníhodnotaimpedance Z= Z() ijejíargument =() Tytozávislosti znázorňujeme graicky pomocí dvou samostatných graů, které nazýváme rekvenční charakteristika absolutní hodnoty impedance a rekvenční charakteristika áze(obr 6-) Můžeme také použít jediný gra v Gaussově rovině, který zobrazuje komplexní unkci Z = Z() a nazývá se komplexní rekvenční charakteristika 7
Je to křivka, kterou při změnách rekvence probíhá koncový bod vektoru impedance K jednotlivým bodům křivky připisujeme příslušné rekvence(obr 6-) Příklad 5 V intervalu(0 Hz; 000 Hz) určete rekvenční charakteristiky sériového jednobranu Ltvořenéhocívkouoindukčnosti L=0,0Harezistoremoodporu =00Ω Řešení Impedanci jednobranu, její absolutní hodnotu a argument určíme pomocí vztahů Z= +jωl, Z = + ω L, tg = ωl Frekvenční charakteristiky(obr 6-3, 6-4) sestrojíme na základě tabulky: /Hz 50 00 00 400 600 800 000 Z/Ω 05 8 6 70 390 53 636 7 3 5 68 75 79 8 Z Ω 600 ImZ Ω 400 00 400 00 00 00 Hz 0 0 60 30 00 400 600 800 000 Hz 0 0 90 00 00 50 ez Ω Obr 6-4 0 0 00 400 600 800 000 Hz Obr 6-3 8
Popsaným způsobem bychom pro různé jednobrany L dostali různé rekvenční charakteristiky Značného zjednodušení dosáhneme zavedením nových veličin: poměrnáimpedancejednobranu L z= Z =+jωl, Platí vztahy mezníúhlovárekvence ω m= L, meznírekvence m= pl a poměrná rekvence ω z=+j =+j, ω m m z= z = +, =arctg, m m m jejichž graickým vyjádřením jsou univerzální rekvenční charakteristiky sériových obvodů L(obr 6-5, 6-6) Abychom obsáhli velký obor poměrných rekvencí a velký obor poměrných impedancí, volíme na vodorovné ose logaritmickou stupnici a absolutní hodnotu vyjadřujeme v decibelech: ( ) z db=0log z =0log + m =0log + m z db Imz 0 0 db/dek z m 3 0, 0 m 0 ez 90 45 Obr 6-6 0, 0 m Obr 6-5 9
Diskuse: a)přinízkýchrekvencích m můžemeindukčnísložkuobvoduzanedbatplatí z, z db 0, 0 b)přimeznírekvenci = m dostáváme z=, z db=3, =45 c)přivysokýchrekvencích m převládávlivindukčnostiplatí z, z db 0log m, 90 Podobným způsobem postupujeme i při určování rekvenčních charakteristik jiných jednobranů Příklad 6 Určete univerzální rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu C Řešení Paralelní jednobran C má impedanci Z= j ωc + jωc = +jωc Zaveďme veličiny mezní úhlová rekvence a mezní rekvence: Poměrná impedance je Platí z= + ω m= C, m= pc z= Z = +jωc = = ω +j ω m ( ), = arctg, m m +j m z db= 0log ( ) + m Diskuse: a)přinízkýchrekvencích m můžemekapacitnísložkuobvoduzanedbatplatí z, z db 0, 0 0
b)přimeznírekvenci = m dostáváme z=, z db= 3, = 45 c)přivysokýchrekvencích m převládávlivkapacityaplatí z 0, z db 0log m, 90 Frekvenční charakteristiky absolutní hodnoty relativní impedance a áze jsou na obr 6-7 Komplexní rekvenční charakteristika poměrné impedance je půlkružnice o poloměru0,5astředuvbodě 0,5+0j (obr6-8)ležícívečtvrtémkvadrantugaussovy roviny, neboť z= =cos, <0 +tg 0, 0 m 3 Im z 0 z db 0, -0 db/dek 0 m 0,5 0, 0,5 0,8 z 0,5 e z m 45 90 Obr 6-7 Obr 6-8 Úlohy 4 V intervalu(0 Hz; 500 Hz) určete rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu Ltvořenéhocívkouoindukčnosti L=0,0H arezistoremoodporu =00Ω 5 Určete univerzální rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu L 6 Určete univerzální rekvenční charakteristiky sériového jednobranu C
7 Jednoduché rezonanční jednobrany Jednoduché rezonanční jednobrany vznikají sériovým nebo paralelním spojením cívky a kondenzátoru Tomu odpovídají schémata na obr 7-, kde skutečnou cívku nahrazujeme sériovým nebo paralelním spojením ideální cívky a rezistoru Kondenzátor můžeme při nižších rekvencích považovat za ideální L s L p p C L s C s s C a) b) c) Obr 7- Měníme-li rekvenci střídavého proudu v obvodu s rezonančním jednobranem, docházípřiurčitérekvenci rkvyrovnánívlivuinduktivníakapacitníreaktanceacelý jednobran se chová jako rezistor ázové posunutí mezi napětím a proudem je nulové Tento stav se nazývá rezonance V oblasti rezonance se vlastnosti rezonančního jednobranu výrazně mění už při malých změnách rekvence Příklad 7 Určete rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu podle obr 7-a pro L s=0,50h, s=00ω, C=0,50 mf Řešení Pro sériový rezonanční jednobran platí vztahy odvozené v kap 5: Z= +jωl s j ωc, Z= + Diskuse: ( ωl s ), =arctg ωc a) Při sériové rezonanci platí Thomsonův vztah ω= ω r= LsC, = r= p L sc ωl s ωc ezonančníimpedancejereálnáamáminimálníabsolutníhodnotu Z r= snapájíme-li obvod z generátoru se stálým svorkovým napětím(generátor s malým vnitřním odporem) a měníme-li rekvenci napětí, prochází obvodem při rezonanci největší proudnakondenzátoruanacívcevznikajístejněvelkánapětí U Cr= U Lr,kterávšak
majíopačnouázi(obr-6)protoseneuplatňujívcelkovémnapětí U r,kteréjeproto stejněvelkéjakonapětínasamotnémrezistoru sobvykleplatí U r U Cr= U Lr Poměr Q= UCr U r = ULr U r = se nazývá činitel jakosti obvodu ω rc s = ωrls s b)přinízkýchrekvencích r převládákapacitnísložkaimpedanceaplatí Z jωc, Z ωc, 90 c)přivysokýchrekvencích r převládáindukčnísložkaimpedanceaplatí Z j ωl, Z ωl, 90 Z kω 3 ωc ωl Z 90 60 30 Z r Z r r 0, 0,4 0,8,,4,6,8 B khz 30 0 60 90 Obr 7- Prodanéhodnotyindukčnosti L s,rezistance sakapacity Cdostáváme: 3
r=636,6hz, Q=5,0 Při kreslení rekvenčních charakteristik(obr 7-) můžeme vycházet z tabulky: /Hz 636,6 650 700 800 000 500 000 Z/Ω 00 04 76 50 955 949 830 0,8 43,5 66,5 77,9 84,0 85,9 /Hz 600 550 500 400 300 00 Z/Ω 3 355 57 984 663 876 30,7 55,7 67,7 78,3 83, 86,0 Příklad 8 Sériovoukombinaciideálnícívkyoindukčnosti L s=0,50 H arezistoruorezistanci s=00ω zpředcházejícíhopříkladumůžemepřirekvenciokolo637hznahradit paralelníkombinacíideálnícívkyoindukčnosti L parezistoruorezistanci p: L p= L s+ s ω r L s =0,60H, p= s+ ω r L s s =500Ω Určete rekvenční charakteristiky paralelního rezonančního jednobranu podle obr 7-bpro L p=0,60h, p=500ω, C=0,50 mf Řešení Vyjdeme ze vztahů odvozených v kap 5: Z= +j ωc j, Z= p ωl p Diskuse: =arctg [ p + p ( ωl p ωc )] ( ωc a) Také při paralelní rezonanci platí Thomsonův vztah ω= ω r=, = r= LpC p L pc ), ωl p ezonanční impedance je reálná a dosahuje maximální absolutní hodnoty Z r= p Napájíme-li obvod z generátoru se stálou amplitudou střídavého proudu(generátor s velkým vnitřním odporem), naměříme při rezonanci největší napětí Proudy ve větvi skondenzátorem I Cravevětviscívkou I Lrjsoustejněvelké,majívšakopačnou ázianavenekserušícelkovýrezonančníproud I rjestejnýjakoproudprocházející rezistorem pajeobvyklemnohemmenšínež I Cra I LrPoměr 4
Q= ICr I r = ILr I r = ω rc p= p ω rl p se nazývá činitel jakosti paralelního rezonančního jednobranu b)přinízkýchrekvencích r převládáindukčnísložkaimpedanceaplatí Z j ωl, Z ωl, 90 c)přivysokýchrekvencích r převládákapacitnísložkaimpedanceaplatí Z jωc, Z ωc, 90 Prodanéhodnotyindukčnosti L p,rezistance pakapacity Cdostáváme r=64,3hz, Q=5, Z kω 5 Z r 4 Z r 3 ωc Z ωl 90 60 30 r 0 0 0, 0,4 0,8,,4,6,8 B khz 30 0 60 90 Obr 7-3 Při kreslení rekvenčních charakteristik(obr 7-3) můžeme vycházet z tabulky: 5
/Hz 64,3 650 700 800 000 500 000 Z/kΩ 5,0 4,8 3,38,90,0 0,5 0,35 0,4 49,5 68,6 78,7 84,4 86, /Hz 600 550 500 400 300 00 Z/kΩ 4,8 3,7,09,09 0,63 0,36,0 5,3 66,3 78,0 83,0 86,0 Příklad 9 Určete rekvenční charakteristiky paralelního rezonančního jednobranu s rezistorem vindukčnívětvipodleobr7-cpro L s=0,50h, s=00ω, C=0,50 mf Řešení Celková admitance jednobranu Y= s+jωl s +jωc= ω L sc+jωc s s+j ωl s je reálná, jestliže reálné a imaginární části čitatele a jmenovatele zlomku mají stejný poměr ω L sc s = Cs L s Úpravou dostaneme rezonanční úhlovou rekvenci ω r= L s, sc L s která je poněkud menší než při sériové rezonanci ezonanční admitance a impedance jsou Y r= Y r= Cs L s, Z r= Z r= Ls C s Průběh rekvenčních charakteristik(obr 7-4) vypočítáme užitím vztahů Z= s+ ω L s ( ω L ), =arctg ωls ωc s arctg sc + ω C s s ω L sc Prodanéhodnotyindukčnosti L s,rezistance sakapacity Cdostáváme Z r=5000ω, r=63,7hz Přikreslenícharakteristikmůžemevycházetztabulky: /Hz 63,7 650 700 800 000 500 000 Z/kΩ 5,00 4,99 3,68,0,06 0,5 0,35 0,8 53,8 75,6 85, 88,9 89,6 /Hz 600 550 500 400 300 00 Z/kΩ 4,40,89,96,07 0,65 0,4 8,7 4,7 53,4 60,6 60, 53, 6
Absolutní hodnota impedance dosáhne maxima při vyšší rekvenci než je rekvence rezonanční, kdy platí ω max= Ls Cs+ L s+l sc s+4c s 3L sc Vnašempřípadě max=636,9hz, Z max=5,099kω Přinízkýchrekvencích r senejvíceuplatňujerezistance splatí Z s, 0 Z kω 5 4 3 ωc Z ωl 90 60 30 s r 0 0 0, 0,4 0,8,,4,6,8 30 khz 60 90 Obr 7-4 Frekvenční charakteristiky paralelního jednobranu podle obr 7-b a paralelního jednobranusesériovýmrezistoremvindukčnívětvisepodstatnělišíjenpro 0, jinak je jejich průběh obdobný Musíme si ovšem uvědomit, že v obou případech pracujeme s určitou idealizací skutečného paralelního rezonančního jednobranu tvořeného reálnou cívkou a kondenzátorem Jeho rekvenční charakteristiky by ležely mezi teoretickými charakteristikami z obr 7-3 a 7-4 7
8 Univerzální rekvenční charakteristiky rezonančních jednobranů Šířka pásma Popis vlastností sériových rezonančních jednobranů podle obr 7-a a paralelních rezonančních jednobranů podle obr 7-b můžeme zjednodušit a sjednotit zavedením veličin Vztah mezi poměrnou rekvencí poměrnáimpedance z= Z Z r apoměrnérozladění F= ω ω r ωr ω = r r r apoměrnýmrozladěním F r = F + F 4 + jegraickyznázorněnnaobr8-promalározladění F platí r + F / r 7 6 F 5 4 3 F + F -7-6 -5-4 -3 - - 0 3 4 5 6 7 F Obr 8-8
Při laboratorních pracích můžeme využít tabulku: F 0 - - 3-3 4-4 / r,68 0,68,44 0,44 3,303 0,303 4,36 0,36 F 5-5 6-6 7-7 / r 5,93 0,93 6,6 0,6 7,40 0,40 Poměrná impedance sériového rezonančního jednobranu podle obr 7-a je ( z= Z ωls =+j ) ( ) ω =+j Q ωr =+j QF, s s ωc s ω r ω neboť Vztahy L s s = Q ω r, C s = Qω r z= +(QF), =arctg(qf) vyjadřují absolutní hodnotu poměrné impedance a ázové posunutí mezi napětím a proudem jako unkce jediné proměnné QF Gray těchto unkcí(obr 8-) jsou univerzální rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu Univerzální komplexní rekvenční charakteristika sériového rezonančního jednobranu v Gaussově rovině je přímka procházející bodem + 0j rovnoběžně s imaginární osou(obr 8-3) Im z z 4 3 z QF -4-3 - 0 3 4 QF 0 e z 90 - - 45 - -4-3 - 3 4 45 QF Obr 8-3 90 Obr 8-9
Šířka pásma B sériového rezonačního obvodu je deinována jako velikost rekvenčního intervalu,vekterémplatí z Příkonjednobranu P = U cos /Z přistálém napětí U neklesne uvnitřpásma pod jednu polovinupříkonurezonančního P r = = U / s Vkrajníchbodechtohotointervaluplatí QF =, F,= ± Q Pokudje Q, můžemepsát + F r =+ ( Q, = r + ) (, apodobně = r ), Q Q Pro jednobran z př 7 dostáváme B= = r Q B= 637Hz 5 =7Hz Poměrná impedance paralelního rezonančního jednobranu podle obr 7-b je z= Z = p +j ( )= pωc p ωl p zčehožplyne = arctg(qf), z= ( )= ω +jq ωr ω r ω +jqf, = +(QF) +tg =cos z Im z QF= QF 0,5 0,5 z QF=0 e z -4-3 - 0 3 4 90 QF QF= Obr 8-5 -4-3 - 3 4 QF 45 90 Obr 8-4 30
Univerzální komplexní rekvenční charakteristika je kružnice v Gaussově rovině se středemvbodě 0,5+0j apoloměrem0,5(obr8-5) Šířka pásma B paralelního rezonančního jednobranu je deinována jako velikost rekvenčníhointervalu,vekterém z / Příkonjednobranu P = I Zcos při stálém proudu I neklesne uvnitř pásma pod jednu polovinu příkonu rezonančního P r= PI Vkrajníchbodechtohotointervaluplatí QF =Podobnějakousériovéhojednobranumůžemeodvodit B= r/q Projednobranzpř8dostaneme B= 64Hz 5, =Hz Úlohy 7 Sériový rezonanční jednobran z př 7 připojíme k tónovému generátoru, který má eektivníhodnotunapětínaprázdno U 0=0V avnitřníodpor 75Ω(Generátor se chová jako sériové spojení ideálního zdroje harmonického napětí a rezistoru) Na generátorunastavímerezonančnírekvenci rjakábudeeektivníhodnotaproudu procházejícího obvodem? Jaké bude svorkové napětí generátoru? Jaké napětí naměříme na samotném kondenzátoru? 8Któnovémugenerátoru,kterýmáeektivníhodnotunapětínaprázdno U 0=0V a vnitřní odpor,5 kω, připojíme paralelní rezonanční jednobran z př 8 a nastavíme jeho rezonanční rekvenci Jaký proud budeme odebírat z generátoru a jaké bude jeho svorkové napětí? Jaké proudy budou procházet kondenzátorem a cívkou? 9 Jak se změní rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu z př 7, zmenšíme-li rezistanci cívky na 00 Ω? 0Jakéhodnoty L p, pbymuselamítcívka,abyskondenzátoremokapacitě500 pftvořilaparalelnírezonančníjednobransrezonančnírekvencí r =500kHz a činitelemjakosti Q=0? 3
9 Lineární dvojbrany Napěťový přenos V elektronických zařízeních se přenos harmonického napětí z jednoho obvodu, vstupního, do druhého obvodu, výstupního, často uskutečňuje pomocí vazebních členů vytvořených z lineárních součástek(rezistorů, kondenzátorů a cívek) připojených do obvodů pomocí dvou vstupních a dvou výstupních svorek Takový vazební člen se nazývá lineární dvojbran Soustava součástek tvořící dvojbran mívá jen tři vývody, znichžjedenjespolečnýproobaobvodyjednavstupnísvorkajepakpřímospojena s jednou svorkou výstupní Vstupní obvod obsahuje zdroj harmonického napětí a do výstupního obvodu je zařazen spotřebič zátěž(obr 9-) Pokud není výstupní obvod zapojen, jedná se o dvojbran na výstupu nezatížený(obr 9-) U U U U Obr 9- Obr 9- Vlastnosti lineárního dvojbranu charakterizuje veličina napěťový přenos A= U U, kde U, U jsouázoryvstupníhoavýstupníhonapětíproabsolutníhodnotunapěťového přenosu a ázové posunutí mezi výstupním a vstupním napětím platí A= Um = U = e A+Im A, = =arctg ImA U m U ea Při stálé rekvenci je napěťový přenos dvojbranu konstantní To znamená, že amplitudavýstupníhonapětí U mjepřímoúměrnáamplituděvstupníhonapětí U ma ázové posunutí obou napětí nezávisí na jejich amplitudě Měníme-li ale rekvenci napětí,měnísezpravidlainapěťovýpřenosdvojbranufunkce A=A(), =() můžeme graicky znázornit dvěma způsoby: a) pomocí dvou samostatných graů, které nazýváme rekvenční charakteristika absolutní hodnoty napěťového přenosu neboli útlumová charakteristika a rekvenční charakteristika ázového posunutí, b) pomocí jediného grau v Gaussově rovině, který se nazývá komplexní rekvenční charakteristika napěťového přenosu V prvním případě absolutní hodnotu napěťového přenosu často vyjadřujeme v decibelech a=0log A 3
Příklad 0 Určete rekvenční charakteristiky nezatíženého dvojbranu C(obr 9-3) Řešení Jedná se vlastně o sériové spojení rezistoru s kondenzátorem, kde se napětí rozdělí v poměru impedancí A= U j ωc = U + jωc Zavedením mezní úhlové rekvence a mezní rekvence = +jωc ω m= C, m= pc sjednotíme popis všech nezatížených dvojbranů C pomocí vztahů: A= + A= +j = ω ω m ( ), = arctg, m m +j m a= 0log ( ) + m Diskuse: a)přinízkýchrekvencích m jekapacitníreaktancekondenzátorumnohem větší než odpor rezistoru a na výstupu dvojbranu je téměř celé vstupní napětí Platí A, a 0, 0 b)přimeznírekvenci = m dostáváme A=, a= 3dB, = 45 c)přivysokýchrekvencích m vznikávelkýúbyteknapětínarezistoruaplatí A 0, a 0log m, 90 Univerzální rekvenční charakteristiky dvojbranu C jsou na obr 9-4 a 9-5 Komplexní rekvenční charakteristika je půlkružnice o poloměru 0,5 a středu v bodě 0,5+0j ležícívečtvrtémkvadrantugaussovyroviny 33
Dvojbran C se chová jako dolní propust, která harmonické signály o rekvenci menšínež mpropouštítéměřbezzeslabeníasignályorekvencivětšínež mpotlačuje Po překročení mezní rekvence absolutní hodnota napěťového přenosu klesá o0dbnadekádu(tjo6dbnaoktávu) A 0,707 U C U 0, 0 / m Obr 9-3 -3-0 a db 0, -0 db/dek 0 / m ImA -0,5 0, 0,5 0,8 ea A 0,5 m 0, 0 / m Obr 9-5 45 90 Obr 9-4 Úlohy Porovnejte univerzální rekvenční charakteristiky napěťového přenosu nezatíženého dvojbranu C a univerzální rekvenční charakteristiky impedance paralelního jednobranu C(obr 6-7, 6-8) Odvoďte vztahy popisující rekvenční charakteristiky dvojbranu C zatíženého rezistoremoodporu z= (obr9-6,9-7,9-8) 3 Nezatížený dvojbran C(obr 9-9) se chová jako horní propust Odvoďte vztahy popisující jeho univerzální rekvenční charakteristiky(obr 9-0, 9-) 34
0,,5 0 / m -3,5-6,5 U -0 a db -0 db/dek Obr 9-6 C U z 45 90 0,,5 0 / m ImA A 3 ea m,5 Obr 9-7 Obr 9-8 C -3 0, 0 / m U U -0 a db 90 0 db/dek Obr 9-9 ImA 0,5 A 0, 0,5 0,8 m ea 45 0, 0 / m Obr 9-0 Obr 9-35
Příklad Určete rekvenční charakteristiky nezatíženého Wienova členu sestaveného ze dvou stejných rezistorů a dvou stejných kondenzátorů(obr 9-) Řešení Napěťový přenos Wienova členu je A= jωc + j ωc + jωc + jωc + jωc = j ωc ω C + 3 jωc = 3+j ( ωc ωc Zavedenímveličinkritická úhlová rekvence ω 0,kritická rekvence 0 apoměrné rozladění F: ω 0= C, 0= pc, dostaneme vztahy A = F= ω ω0 ω 0 ω = 0 0 ( 3+jF, A=, =arctg F 9+F 3 ) ) A 0,3 90 0, 45 0, -6-3 A 0 3 6 F U C C U 45 Obr 9- ImA -6-3 0 3 6 F -4-3 - -9,6 -,6-0 a 6 F - 3 0 ea a db Obr 9-3 Obr 9-4 4 3 36
Diskuse:Napěťovýpřenosjereálnýamámaximálníabsolutníhodnotu A max = = 3, a= 9,6dB jestliže F =0, neboli = 0 Harmonickésignálynízkých rekvencí 0avysokýchrekvencí 0 jsoupotlačenywienůvčlensechová jakopásmovápropustšířkapásma(tjintervalu,kde A A max/ )jevelká Vkrajníchbodechpásmaplatí F = ±3, coždávárekvence =0,303 0, = =3,303 0 Fázovéposunutívýstupníhonapětíjekladnépro < 0 azápornépro > 0 Univerzální rekvenční charakteristiky Wienova členu jsou na obr 9-3 a 9-4 Obr 9-5 Wienův člen se využívá jako základní zpětnovazební prvek většiny nízkorekvenčních tónových generátorů S jeho kritickou rekvencí generátor kmitá Plynulé ladění generátoru se provádí současnou změnou obou kapacit pomocí dvojitého otočného kondenzátoru, nebo současnou změnou obou rezistancí pomocí dvojitého reostatu(obr 9-5) Úloha 4 Dokažte, že komplexní rekvenční charakteristika Wienova členu je kružniceopoloměru/6sestředemvbodě /6+0j Příklad eproduktorovésoustavynaobr5-4a5-5(př3a4)můžemepovažovatzadvojice dvojbranů, u kterých vstupní napětí je celkové napětí přiváděné na soustavu a výstupní napětí je napětí na reproduktoru U obou soustav vyšetřete rekvenční charakteristiky napěťového přenosu ve větvi s hloubkovým reproduktorem Řešení a) Sériové spojení cívky s reproduktorem budeme vyšetřovat jako dvojbran L Pro jeho napěťový přenos platí A= +j ωl = + jωl = +j, kde m= pl m je mezní kmitočet dvojbranu a současně i dělicí kmitočet reproduktorové soustavy, 37
neboť = L C, m= p LC = d Napěťový přenos dvojbranu L je vyjádřen stejným vztahem jako u dvojbranu C, jehož rekvenční charakteristiky jsou na obr 9-4 a 9-5 Z nich vyčteme, že po překročení dělicí rekvence klesá úroveň signálu na hloubkovém reproduktoru o 0 db na dekádu b) V reproduktorové soustavě podle obr 5-5 budeme větev s hloubkovým reproduktorem vyšetřovat jako dvojbran na obr 9-6, jehož rekvenční charakteristiky jsou na obr 9-7 a 9-8 Napěťový přenos dvojbranu je A= Současně platí jωc + jωc j ωc j ωl+ + j ωc = Po dosazení a úpravě dostáváme = j ωc jωl+ L C + jωc = L C, ω d= LC ω LC+ jωl A= ( ) +j, A= ( ), tg = 4 d d + d d ( ) d Diskuse: a)přidělicírekvenci d dostáváme A=, a= 3dB, = 90 b)přinízkýchrekvencích d platí A =, 0 c)přivysokýchrekvencích d platí a= 40log d, 80 Po překročení dělicí rekvence klesá úroveň napětí na reproduktoru o 40 db na dekádu, tedy podstatně rychleji než u soustavy podle obr 5-4 38
a db 3,6-3 a b 0 / m U L -40 db/dek C U -0 a) L C = b) L C = Obr 9-6 ImA 0,5 ea 0, 45 90 0, 0 / m 35 80,5,,5, - d 0,5 0,7 A max 0,7 0,5 b a 0,867 Obr 9-8 Obr 9-7 Úloha 5:Změníme-livdvojbranunaobr9-6indukčnostcívkyna L = L/ akapacitukondenzátoruna C =C, dostanemerekvenčnícharakteristiky,které jsou na obr 9-7, 9-8 vyznačeny tenkými čarami V blízkosti dělicího kmitočtu dojde k rezonančnímu zesílení Odvoďte vztahy, které popisují průběh charakteristik Pro kterouhodnotupoměrnérekvence / d jenapěťovýpřenosmaximálníajakájejeho velikost? I v tomto případě deinujeme ω d = LC 39
0 Náměty laboratorních prací 0 Měření indukčnosti a rezistance cívky metodou tří voltmetrů Teorie Cívkuoindukčnosti L sarezistanci sspojímesériověsrezistoremoznámémodporu (obr L-) Z ázorového diagramu(obr L-) odvodíme vztahy cos = U 3 U U U U, U s= U cos, U Ls= U sin Současněplatí I= U Obr L- I U U Ls U 3 U L s U Ls U U I U s U 3 s U s U L s s V V 3 Obr L- V A Obr L-3 Absolutní hodnota impedance cívky je ezistance a indukčnost cívky jsou Z= U I = U U s= Us I = Ucos I = Zcos, L s= ULs ωi = Usin = Zsin ωi ω 40
Úkoly Určeteindukčnost L sideálnícívkyarezistanci sideálníhorezistoru,jejichžsériové spojení by při rekvenci 50 Hz nahradilo cívku rozkladného transormátoru o 00 závitech a) s rovným jádrem, b) s uzavřeným jádrem ezistanci sporovnejtesestejnosměrnýmodporemvinutícívky Provedení úlohy Sestavíme obvod podle obr L-3 Jako zdroj použijeme síťový transormátor s odbočkami na sekundárním vinutí nebo síťový transormátor doplněný o potenciometr, abychomzískalipětrůznýchnapětíod 0V do 0VJakorezistor senejlépe hodí odporová dekáda; můžeme však použít i válcový reostat, jehož odpor vhodně nastavíme a změříme ohmmetrem(indukčnost odporového vinutí můžeme zanedbat) Odpor, který nastavíme na dekádě nebo na reostatu, by se měl přibližně rovnat absolutníhodnotěimpedancecívkypotombudenapětí U přibližněstejnéjakonapětí U Ampérmetr není nutný Slouží jen ke kontrole, že nebyla překročena nejvyšší dovolená hodnotaprouduprocívkuareostatvoltmetryv ažv 3majímítconejvětšívnitřní odpor Vystačíme i s jediným voltmetrem, který přepojujeme do všech tří poloh Oběcívkyměřímepřipětirůznýchhodnotáchcelkovéhonapětí U 3Naměřenéhodnoty zapíšeme do tabulky(pro každou cívku bude jedna tabulka): č /Ω U 3/V U /V U /V cos Z/Ω s/ω L/H 3 4 5 Průměr Krajní odchylka ar průměru Odchylky jednotlivých výsledků od aritmetického průměru jsou vedle nepřesnosti měření způsobeny i určitou závislostí magnetických vlastností jádra na intenzitě magnetického pole, tedy na proudu, který prochází cívkou Posuďte, která z obou příčin je významnější Stejnosměrný odpor cívky změříme ohmmetrem nebo stejnosměrným voltmetrem a ampérmetrem v obvodu stejnosměrného proudu 4
0 Frekvenční charakteristiky indukčnosti a rezistance cívky Teorie eálná cívka má v nízkorekvenčním obvodu s harmonickým střídavým proudem stejnévlastnostijakosériovéspojeníideálnícívkyoindukčnosti L saideálníhorezistoruorezistanci seálnýkondenzátorsevnízkorekvenčnímobvoduchovátéměř jako ideální kondenzátor o kapacitě C Spojíme-li cívku s kondenzátorem do série, dostaneme sériový rezonanční jednobran, jehož připojením k tónovému generátoru vznikne rezonanční obvod(obr L-4) Přirezonančnírekvenci r procházíobvodemnejvětšíproud I r anarezonančním jednobranunaměřímenejmenšínapětí U r(vznikávelkýúbyteknapětínavnitřním odporugenerátoru)nakondenzátorunaměřímepřirezonanci napětí U Cr > U r Přitom platí vztahy odvozené v kap 7: r= p L, Ls= sc 4p r C, Ur Zr= = s, I r U Cr U r = ωrls s = Q ezonanční rekvenci obvodu můžeme měnit zapojováním kondenzátorů s různou kapacitou ma I L s U s V C U C Obr L-4 Úkoly Veličiny L s, s,kterécharakterizujícívku,nejsoukonstantní,alezávisínarekvenci Určete tuto závislost u cívky 00 závitů z rozkladného transormátoru s rovným jádrem 4
Ověřte, že při rezonanci platí U Cr U r = ωrls s Provedení úlohy Sestavte obvod podle obr L-4 s kondenzátorem známé kapacity Jako miliampérmetr můžeme použít např přístroj DU 0, napětí měříme nízkorekvenčním milivoltmetrem, např BM 30 nebo NV 389 Napětí generátoru udržujte na maximu Na tónovém generátoru nastavte rezonanční rekvenci, při které celkové napětí rezonančníhojednobranudosáhnevýraznéhominima U rzměřterezonančníproud I ra napětínakondenzátoru U Cr Měřeníopakujteprorůznékapacitykondenzátoruvrozsahu0nFaž0 mfpro jednotlivérezonančnírekvencevypočítejte L s, s, Q = ωrls a Q = UCr Naměřené a vypočítané hodnoty zapište do s U r tabulky: C/nF r/khz U r/v I r/ma U Cr/V L s/h s/ω Q Q Ověřte,že Q = Q = Q,anakresletegrayzávislostiveličin L s, sa Qnarekvenci Je vhodné volit na vodorovné ose logaritmickou stupnici Průběhy graů popište 03 Určení rekvenčních charakteristik sériového jednobranu C a nezatíženého dvojbranu C Teorie Sériové spojení kondenzátoru a rezistoru na obr L-5a můžeme považovat za sériový jednobran C, kterým je zatížen tónový generátor, nebo za dvojbran C, kterým napětí tónového generátoru upravujeme V prvním případě použijeme ázorový diagram na obr L-5b Platí: I= U, UC Z= = UC, I U z= Z = UC U, = arccos U U C 43
jeázovéposunutínapětí U Cvzhledemkproudu I V druhém případě použijeme ázorový diagram podle obr L-5c Platí: A= U = U, ψ=arccos U U U C U C ψjeázovéposunutívýstupníhonapětí U vzhledemkvstupnímunapětí U C V obou případech přísluší obvodu stejná mezní rekvence m= pc I U C C U U U V I U ψ U = U U C U C U C U C = U a) b) c) Obr L-5 Úkoly Podle obr L-5a připojte k tónovému generátoru sériově rezistor o jmenovité hodnotě odporu kω a kondenzátor o jmenovité hodnotě kapacity 0, mf Předtím změřte skutečnou hodnotu odporu a kapacity C pomocí můstku LC a vypočítejte mezní rekvenciobvodu m Prorůznéhodnotypoměrnérekvence /mvintervaluod0,do0proměřte pomocí nízkorekvenčníhomilivoltmetru veličiny U C a U azapište dotabulky Napětí generátoru udržujte na maximu 3 Vypočítejte hodnoty veličin Z,, A, ψ a tabulku doplňte Ze získaných výsledků nakreslete rekvenční charakteristiky sériového jednobranu C a nezatíženého dvojbranu C / m 0, 0, 0,5 5 0 /Hz U C/V U /V Z/Ω A ψ 44
04 Určení rekvenčních charakteristik Wienova členu Teorie Wienova členu byla vyložena v řešení příkladu (str 36) Úkoly SestavteWienůvčlenzedvoustejnýchrezistorůoodporu (napřkω)advou stejných kondenzátorů o kapacitě C(např 00 nf) Určete jeho kritickou rekvenci 0aověřte,žeplatí 0= pc Prorůznéhodnotypoměrnéhorozladěnívintervalu 5 F 5určeteabsolutní hodnotunapěťovéhopřenosu A = U /U aázovéposunutí = Nakreslete útlumovou, ázovou a komplexní rekvenční charakteristiku Jejich průběhy porovnejte s obr 9-3, 9-4 a) h H C U C U V X Y b) m 45 n Obr L-6 Obr L-7 Provedení úlohy Měříme v zapojení podle obr L-6 při maximálním napětí tónového generátoru Voltmetremzjišťujemeeektivníhodnotyvstupníhoavýstupníhonapětí U, U Osciloskop použijeme k měření absolutní hodnoty ázového posunutí Na obrazovce vznikne Lissajousova křivka ve tvaru elipsy Označme největší svislou vzdálenost bodů elipsy H a vzdálenost průsečíků se svislou osou obrazovky h(obr L-7a) Platí sin = h H Pokudjeabsolutníhodnotaázovéhoposunutívětšínež45,dávámnohempřesnější výsledky druhý způsob: egulací horizontální a vertikální citlivosti osciloskopu můžemeelipsuupravittak,žehlavníosamásklon45 (obrl-7b)pakplatí tg = n m, 45
kde njedélkavedlejšíosyamdélkahlavníosyelipsypokusteseuvedenévztahy pro určení ázového posunutí sami odvodit Pro < 0 je >0, pro > 0 je <0 Přikritickérekvenci 0přejdeelipsa vúsečku Nejprvevyhledámekritickourekvenci 0Předdalšímměřenímvypočítámerekvence, které odpovídají zvoleným hodnotám poměrného rozladění F Výsledky měření a výpočtů zapíšeme do tabulky F 0 - - 3-3 / 0,68 0,68,44 0,44 3,303 0,303 /khz U /V U /V m/mm n/mm A 46
Výsledky úloh C=3 µf; U C=0,V; = 58 I C=3,95mA; I =0,63mA; U=0,63V; = 8 3 C=3 µf; L=0,80mH 4 Z= jωl +jωl ; Z= 5 z= j m ( ; =arctg + ωl) ωl ; m= pl ; z= ( ) ; =arctg m m + 6 z= j m ; m= ( pc ; z= m + 736mA; 7,3V; 36V 8,3mA; 6,8V; 6,6mA 9 ω rsenezmění; Z r=00ω; Q=0; B=64Hz 0 0,0 mh;,7 kω 3 5 3 A= +j ; m= 3 m pc ; A= a=0log 3 0log [+ ) ; = arctg m 3 + 4 9 m ( ) ] 3 m ; = arctg 3 m ; [ ( ) ] m A= ( ) ; a= 0log + ; =arctg m m + A= ( ) ; A= ( ) +j 4 d d + 3 ( ) ; =arctg d d d ( ) ; d max= d 3 4 =0,867 d; A max=,5; a max=3,6db 47
48