2. STŘÍDAVÉ JEDNOFÁZOVÉ OBVODY

2. STŘÍDAVÉ JEDNOFÁZOVÉ OBVODY Příklad 2.1: V obvodě sestávajícím ze sériové kombinace rezistoru reálné cívky a kondenzátoru vypočítejte požadované veličiny určete také charakter obvodu a nakreslete fázorový diagram proudů a napětí naznačených ve schématu. Parametry reálné cívky vyjádříme pomocí indukčnosti a odporu. rčit: P Q S. Zadané hodnoty: = 15 Ω = 7 Ω = 01 H = 33 µf = 24 V f = 50 Hz Potřebujeme znát úhlovou frekvenci: ω = 2π f = 2 π 50 = 31415 rad s -1 Výsledný odpor sérioparalelní kombinace tří rezistorů v obvodě: nduktivní reaktance cívky : = ω 1 = 31415 01 = 3142 Ω 1 1 Kapacitní reaktance kondenzátoru : = = = 96 46 Ω ω 314 15 33 10 Z reaktancí vypočítáme impedance jednotlivých prvků které budeme později potřebovat pro výpočty napětí na prvcích velikost impedance rezistoru se rovná jeho odporu a má reálný charakter (fázový posuv je 0 ): Z = e j0 = 15 e j 0 Ω impedance reálné cívky: Z = + j = (7 + j 3142) Ω = 322 e j 774 Ω velikost impedance ideálního kondenzátoru je rovna jeho reaktanci a má imaginární charakter (fázový posuv -90 ). Z = -j = -j 9646 Ω = 9646 e -j 90 Ω. Dále vypočítáme výslednou impedanci spojení všech prvků: Z = + + j ( - ) = 15 + 7 + j (3142-9646) = (22 - j 6504) Ω mpedanci převedeme ze složkového tvaru na exponenciální: Z = e{ Z} + m{ Z} = 22 + 65 04 = 68 66 Ω m{ Z} 65 04 ψ Z = arctg = arctg = 71 31 e{ Z} 22 Z = 68 66 Skutečné schéma ( ) e - j 7131 Ω Náhradní schéma Vypočítáme proud (nejdříve jeho velikost absolutní hodnotu): = Z = 24 68 66 = 0 3495 A pro jednoduchost si zvolíme že počáteční fázový posuv proudu je 0 : = 03495 e j 0 A Vypočítáme jednotlivá napětí (pro konečnou kontrolu výsledků i ve složkovém tvaru): = Z = 15 e j 0 03495 e j 0 = 15 03495 e j (0+-0) = 524 e j 0 V = 524 V = Z = 322 e j 774 03495 e j 0 = 322 03495 e j (774+0) = 1125 e j 774 V = = (245 + j 1098) V = Z = 9646 e -j 90 03495 e j 0 = 9646 03495 e j (-90+0) = 3371 e -j 90 V = -j 3371 V Příklady střídavé jednofázové obvody 1

elkové napětí = Z = 6866 e -j 7131 03495 e j 0 = 24 e -j 7131 V Kontrola vypočítaných napětí podle druhého Kirchhoffova zákona součet napětí na jednotlivých prvcích se musí rovnat napětí zdroje: = + + = 524 + 245 + j 1098 - j 3371 = (769 - j 2273) V = 24 e -j 7131 V Kontrola vyšla výsledky jsou správně. Vypočítáme celkový fázový posuv v obvodě v tomto případě se rovná fázovému úhlu výsledné impedance: ϕ = ψ Z = -714 Kdybychom neznali fázový posuv výsledné impedance mohli bychom vypočítat fázový posuv z rozdílu fázového úhlu napětí a proudu: ϕ = ψ -ψ = -714-0 = -714 Vypočítáme činný jalový a zdánlivý výkon: P = cos(ϕ) = 24 03495 cos(- 714 ) = 268 W Q = sin(ϕ) = 24 03495 sin(- 714 ) = -795 var S = = 24 03495 = 8388 VA rčíme výsledný charakter obvodu. Obvod má odporově kapacitní charakter protože: - výsledný fázový posuv je záporný menší než 0 a větší než -90 - v obvodě je činný výkon větší než nula a záporný jalový výkon. +j Fázorový diagram : ω 1 mm 1 V 1 mm 002 A ϕ Pro určení charakteru obvodu by nám stačila i jen jedna z těchto podmínek. Příklad 2.2. Máme zářivkové svítidlo zapojené podle následujícího schématu v němž byly naměřeny uvedené hodnoty napětí a proudu. Předpokládejme že tlumivka (cívka s železným jádrem) je ideální indukčnost a zářivková trubice se chová jako ideální odpor. rčete účiník zářivkového svítidla a navrhněte kapacitu kompenzačního kondenzátoru K pro kompenzaci na účiník 1 a vypočítejte proud odebíraný po kompenzaci. schéma zapojení tlumivka K tl z zářivková trubice startér náhradní schéma tl K z poznámka: - V původním zapojení není kompenzační kondenzátor. - Startér funguje jako spínač který spíná pouze na krátkou dobu při zapnutí. Při chodu zářivky je rozepnutý takže se v náhradním schématu neuplatní. Zadané hodnoty: = 219 V f = 50 Hz = 051 A tl = 192 V z = 105 V. rčit: cos(ϕ ) zářivkového svítidla bez kompenzace K pro kompenzaci na cos ϕ k = 1. kompenz. proud odebíraný svítidlem po kompenzaci Pro určení fázového posuvu mezi proudem a napětím nekompenzovaného svítidla vyjdeme z fázorového diagramu. Protože celým obvodem (bez kompenzačního kondenzátoru) prochází stejný proud zvolíme si že fázor proudu bude ležet v reálné ose. Příklady střídavé jednofázové obvody 2

Fázorový diagram napětí a proudu v zářickovém svítidle bez kompenzace. (Pro určení cos(ϕ) z naměřených hodnot proudu a napětí) + j tl ϕ z 1 mm 6 V 1 mm 002 A Z fázorového diagramu vidíme že z z 105 cosϕ = ϕ = arccos = arccos = 61 35 219 Pro potřebný jalový výkon kompenzačního kondenzátoru platí: Q = P (tgϕ - tgϕ K) = S (sinϕ - sinϕ K) kde: ϕ je fázový posuv před kompenzací ϕ K je požadovaný fázový posuv po kompenzaci Q = (sinϕ - sinϕ K) = 219 051 {sin(6135 )-sin(0 )} = 9802 var Z toho vypočítáme potřebnou kapacitu kompenzačního kondenzátoru: Q = sinϕ přičemž ϕ = 90 zcela korektně -90 ale pro tento výpočet záporné znaménko zanedbáme. Potom: = Q 9802 219 = = 04476 A z toho = = = 489 Ω sin 219 1 04476 3 ϕ 1 1 1 1 = = = = = 65 10 F = 65µF ω ω 2π f 2π 50 4893 Výpočet proudu po kompenzaci můžeme vypočítat například z napájecího napětí a činného výkonu protože tyto veličiny se kompenzací nezmění: P = cos( ϕ) = cos( ϕ ) kompenz. k cos( ϕ) cos( 61 35 ) kompenz. = = 0 51 = 0 24 A cos( ϕk ) 1 Poměry v obvodě před a po kompenzaci znázorňuje fázorový diagram. Jak je vidět z výpočtu i z fázorového diagramu proud odebíraný ze sítě se kompenzací podstatně zmenší. Fázorový diagram napájecího napětí a proudů zářivkového svítidla před a po kompenzaci. +j 1 mm 6 V 1 mm 002 A kompenz. ϕ Příklad 2.3. Máme jednofázové vedení délky l na jehož konci je odporově induktivní zátěž viz. schéma. Vypočítejte napětí na konci vedení a činný výkon zátěže. Zadané hodnoty: 1 = 240 V; f = 50 Hz; k = 03 Ω km -1 (induktivní reaktance kilometru vedení) S = 50 mm 2 (průřez vodiče vedení); ρ = 27 10-8 Ω m (měrný odpor vodiče-hliník) l = 28 km (délka vedení); Z = 8 Ω; Z = 24 mh rčit: 2 P 2 V V Pro určité typy elektrického vedení (průřez a vzdálenost vodičů) se v tabulkách udává jejich induktivní reaktance na Z Z V jeden kilometr délky pro kmitočet 50 Hz celková induktivní 1 2 reaktance se určí: V = l k = 28 03 = 084 Ω Z Odpor jednoho vodiče vedení bude: V V l V = ρ 1000 = 2 7 10 1000 2 8 8 = 1512 Ω S 50 10 Z V (1000 je tam kvůli přepočtu kilometrů na metry) Úhlová rychlost ω = 2π f = 2π 50 = 31415 rad s -1 nduktivní reaktance zátěže lz = ω Z = 31415 0024 = 753 Ω. mpedance zátěže Z = + = 7 53 + 8 = 10 99 Ω Z Z Z Příklady střídavé jednofázové obvody 3

elková impedance: Z = ( 2 + ) + ( 2 + ) = ( 2 0 84 + 7 53) + ( 2 1512 + 8) = 14 36 Proud protékající vedením: = 1 Z = 240 14 36 = 16 71 A Napětí na konci vedení: 2 = Z Z = 1671 1099 = 18364 V Výkon na zátěži P 2 = Z 2 = 8 1671 2 = 2234 W V Z V Z Ω Příklad 2.4. Pro jednofázový spotřebič odporově induktivního charakteru s činným výkonem P a účiníkem cos ϕ navrhněte kompenzační kondenzátor pro kompenzaci na cos ϕ k. Napětí napájecí sítě je. Vypočítejte další požadované parametry kompenzačního kondenzátoru. Zadáno: P =10 kw cos ϕ = 075 = 230 V f = 50 Hz cos ϕ k = 095 rčete: jalový výkon kompenzačního kondenzátoru Q kapacitu kompenzačního kondenzátoru maximální hodnotu napětí na kterou musí být kondenzátor dimenzován max proud procházející kondenzátorem. ϕ = arccos(cos ϕ) = arccos (075) = 4141 ϕ k = accos(cos ϕ k ) = arccos (095) = 1819 Potřebný jalový výkon kompenzačního kondenzátoru vypočítáme ze vztahu: Q = P [tg (ϕ) - tg(ϕ k )] = 10000 [tg(4141 )-tg(1819 )] = 55333 var Z následujícího obecného vztahu pro jalový výkon určíme proud procházející kompenzačním kondenzátorem. (Pozn. fázový posuv u kondenzátoru je 90 sin ϕ = 1). Q 55333 Q = sin( ϕ ) = = = 2406 A sin( ϕ ) 230 1 rčíme potřebnou kapacitní reaktanci kondenzátoru: 230 = = = 956Ω 2406 Úhlová rychlost napájecího napětí: ω = 2π f = 2π 50 = 31415 rad s -1 Z raktance určíme kapacitu kondenzátoru: 1 1 1 4 = = = = 333 10 F = 333 F ω ω 31415 956 µ Příklady střídavé jednofázové obvody 4

Příklad 2.5. Máme skutečnou cívku jejíž náhradní schéma si můžeme představit jako sériovou kombinaci odporu a indukčnosti. K cívce byl nejprve připojen stejnosměrný zdroj s napětím AV a v obvodě byl naměřen proud AV pak střídavý zdroj s napětím a byl naměřen proud viz obrázek. rčete parametry náhradního schématu cívky. A Zadáno: = 12 V; = 73 A; av = 220 V; av = 52 A; fi = 50 Hz rčete: Při stejnosměrném napájení se v ustáleném stavu uplatní pouze činný odpor cívky: av 12 = = = 9 23Ω av 1 3 Z napětí a proudu při střídavém napájení vypočítáme impedanci cívky: Z = = 220 5 2 = 42 31Ω 2 2 Dále platí: Z = + = Z + = 42 31 9 23 = 41 29 Ω av Vypočítáme úhlovou frekvenci: ω = 2π f = 2π 50 = 31415 rad s -1 Ze známé induktivní reaktance cívky vypočítáme její indukčnost: 41 29 = ω = = = 0 131 H ω 314 15 av A skutečná cívka Příklady střídavé jednofázové obvody 5