1 Vedení tepla stacionární úloha

1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace membrány průhyb Kroucení masivních prutů deplanační funkce Elektrostatika elektrostatický potenciál Transport vlhkosti hmotnostní/relativní vlhkost [3] Proudění nasyceným prostředím hydraulická výška Cílem je určit rozložení skalární veličiny teploty T [K] v závislosti na souřadnicích x = {x, y, z} T

2 GRADIENT TEPLOTY 2 Základní kroky formulace řídicích rovnic obdobné jako u pružnosti 2 Gradient teploty Pro vedení tepla nejsou rozhodující absolutní hodnoty teploty T, ale její rozdíly (teplotní spád) Lokální změny teploty jsou popsány pomocí změn ve směru jednotlivých souřadných os T (x, y, z), x T (x, y, z), y T (x, y, z) ; z L. Botzmann J. B. J. Fourier I. Newton K. Rektorys J. Stefan

3 BILANCE ENERGIE 3 tedy teplotního gradientu T T (x) x T (x) T (x) = y T (x) z = x y z T (x). 3 Bilance energie Hustota tepelného toku q [Wm 2 ] je definována vztahem q = Q n. (1) t A Udává tedy množství tepla Q [J], které projde za čas t [s] plochou A [m 2 ] orientovanou normálou n. Protože uvažujeme ustálený stav, nezávisí hodnota tepelného hustoty tepelného toku na čase ( t = 1 s)

3 BILANCE ENERGIE 4 3.1 Jednorozměrné vedení tepla Vyjdeme z analýzy jednorozměrného intervalu vtok {}}{ q x (x)a + zdroj {}}{ Q(x) xa = výtok {}}{ q x (x + x)a, kde Q vyjadřuje intenzitu vnitřního zdroje [Jm 3 s 1 ]. Vydělením předchozího výrazu objemem xa dostáváme q x(x + x) q x (x) x + Q(x) = 0,

3 BILANCE ENERGIE 5 po limitním přechodu dq x dx (x) + Q(x) = 0. 3.2 Trojrozměrné vedení tepla Obdobně jako u statických rovnic pružnosti vyjdeme z analýzy elementárního kvádru

3 BILANCE ENERGIE 6 Bilance energie q x (x + x) y z + q x (x) y z ( x) q y (x + y) x z + q y (x) x z ( y) q z (x + z) x y q z (x) x y ( z) +Q x y z = 0. Vydělením předchozího výrazu objemem x y z dostáváme q x(x + x) x q y(x + y) y q z(x + z) z + Q(x) = 0 Limitní přechod x 0, y 0 a z 0 vede na bilanční podmínku q x(x) x q y(x) y q z(x) z + Q(x) = 0

3 BILANCE ENERGIE 7 Kompaktní zápis { x y z } q x (x) q y (x) q z (x) + Q(x) = 0 T q(x) + Q(x) = 0 (2) 3.3 Okrajové podmínky 3.3.1 Podstatné (stabilní, hlavní) okrajové podmínky Předepsaná hodnota teploty: x Γ T : T (x) T (x) = 0

3 BILANCE ENERGIE 8 3.3.2 Přirozené (nestabilní, vedlejší) okrajové podmínky Předepsaná hodnota hustoty tepelného toku ve směru normály k hranici: x Γ q : { } q x (x) n x (x) n y (x) n z (x) q y (x) q(x) = 0 q z (x) n(x) T q(x) q(x) = 0 Přestup tepla (x Γ qc )

3 BILANCE ENERGIE 9 Při obtékání tělesa tekutinou vzniká v okolí hranice tělesa tzv. mezní vstva, v které dochází k laminárnímu proudění v mezní vrstvě se teplot šíří vedením. Množství tepla je pak vyjádreno Newtonovým vztahem q(x) = α(x) (T (x) T o (x)), kde α [Jm 2 K 1 s 1 ] je součinitel přestupu tepla a a T o je teplota v mezní vrstvě. Radiační podmínka (x Γ qr ) Tepelný tok je dán výrazem q(x) = ε(x)σ(x) ( T 4 (x) T 4 ), kde ε [-] označuje pohltivost daného povrchu vůči dokonale černému a Součinitel přestupu tepla α se v normálních podmínkách pohybuje v rozmezí cca 10 15 Jm 2 K 1 s 1. Jeho velikost však silně závisí na teplotě; např. pro teploty 60 C se zvyšuje na α 50 Jm 2 K 1 s 1.

4 KONSTITUTIVNÍ ROVNICE 10 tělesu, 0 < ε < 1, σ je Stefan-Boltzmannova konstanta; σ = 5, 67 10 8 Wm 2 K 4 a T je teplota zářiče (např. oblohy). V odvození slabého řešení budeme uvažovat následující rozdělení části hranice s předepsanou hodnotou tepelného toku Γ q = Γ q Γ qc Γ qr 4 Konstitutivní rovnice Fourierův zákon vedení tepla q x (x) λ xx (x) λ xy (x) λ xz (x) q y (x) = λ yx (x) λ yy (x) λ yz (x) q z (x) λ zx (x) λ zy (x) λ zz (x) x T (x) y T (x) z T (x) q(x) = λ(x) T (x),

5 SLABÉ ŘEŠENÍ 11 kde λ ij označují součinitel tepelné vodivosti v příslušných směrech [Wm 1 K 1 ]. V případě izotropního materiálu q(x) = λ(x) T (x). 5 Slabé řešení Opět vyjdeme z bilanční rovnice (2), kterou přenásobíme váhovou funkcí δt, δt = 0 na Γ T. δt (x) ( ) T q(x) + Q(x) dx = 0

5 SLABÉ ŘEŠENÍ 12 Aplikací Gaussovy věty dostáváme 0 = δt (x)n(x) T q(x) dx + + + Γ δt (x)q(x) dx = Γ q δt (x) Γ T q {}}{ n(x) T q(x) dx εσ(t 4 T 4 {}}{ ) δt (x) n(x) T q(x) dx + Γ qr δt (x)q(x) dx ( δt (x)) T q(x) dx 0 {}}{ δt (x) n(x) T q(x) dx Γ qc δt (x) ( δt (x)) T α(t T o ) {}}{ n(x) T q(x) dx λ T {}}{ q(x) dx

6 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 13 Slabé řešení T (x) vyplývá z identity ( δt (x)) T λ(x) T (x) dx + δt (x)α(x)t (x) dx Γ qc + δt (x)ε(x)σ(x)t 4 (x) dx = δt (x)q(x) dx Γ qr Γ q + δt (x)α(x)t o (x) dx + δt (x)ε(x)t (x) 4 dx Γ qc Γ qr + δt (x)q(x) dx (3) pro všechna δt = 0 K na Γ T. Tato podmínka je též nazývána principem virtuálních teplot. 6 Galerkinovská aproximace Člen na Γ qr je nelineární vzhledem k neznámé teplotě T výsledkem diskretizace je nelineární soustava rovnic

6 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 14 V dalším odvození budeme předpokládat, že se v daném problému nedochází k výměně tepla radiací (Γ qr = ) Aproximace neznámých T a jejich derivací T T (x) N(x)r, T (x) N(x)r = B(x)r. Aproximace váhových funkcí a jejich derivací δt (x) N(x)δr, δt (x) N(x)δr = B(x)δr. Po dosazení aproximací do slabého řešení (3) dostáváme ( ) T B(x)δr λ(x)b(x)r dx + (N(x)δr) T α(x)n(x)r dx = Γ qc (N(x)δr) T q(x) dx + (N(x)δr) T α(x)t o (x) dx Γ q Γ qc + (N(x)δr) T Q(x) dx

6 GALERKINOVSKÁ APROXIMACE 15 Výsledná soustava rovnic kde K = K r = R = R q + R qc + R Q, B(x) T λ(x)b(x) dx + Γ qc N(x) T α(x)n(x) dx je matice vodivosti tělesa a R q = N(x) T q(x) dx Γ q R qc = N(x) T α(x)t o (x) dx Γ qc R Q = N(x) T Q(x) dx Při aproximaci metodou konečných prvků se opět tyto matice a vektory určí lokalizací příspěvků jednotlivých prvků.

7 NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA 16 7 Nestacionární vedení tepla Teplota T je nyní funkcí jak prostorových, tak časové souřadnice T = T (x, y, z, t) = T (x, t) Teplotní spád opět popsán pomocí gradientu teploty vzhledem k prostorovým souřadnicím x T (x, t) = T (x, t) y z Konstitutivní rovnice opět předpokládáme pro jednoduchost ve tvaru q(x, t) = λ(x) T (x, t)

7 NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA 17 7.1 Bilanční rovnice Opět vyjdeme z bilance energie na časoprostorovém kvádru x y z t. Množství tepla, které projde za časový interval t plochou A (viz (1)) Q = n T q t A Do bilance ještě nutno zahrnout člen, vyjadřující změnu vnitřní energie vlivem časově proměnné teploty: mc v T, kde m [kg] je hmotnost elementárního kvádru a c v [Jkg 1 K 1 ] je měrná tepelná kapacita materiálu za konstantního objemu.

7 NESTACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA 18 Bilanční rovnice q x (x + x) y z t + q x (x) y z t ( x) q y (x + y) x z t + q y (x) x z t ( y) q z (x + z) x y t + q z (x) x y t ( z) m(x)c v (x) T (x) + Q(x) x y z t = 0 Vydělením předchozího výrazu objemem časoprostorového kvádru x y z t q x(x + x) x q y(x + y) q z(x + z) y z m x y z c T (x) v(x) + Q(x) t = 0 Limitní přechod: x 0, y 0, z 0 a t 0 q x(x, t) x q y(x, t) y q z(x, t) z T (x, t) ρ(x)c v (x) t + Q(x, t) = 0

8 OKRAJOVÉ A POČÁTEČNÍ PODMÍNKY 19 Kompaktní zápis T T (x, t) q(x) + Q(x, t) = ρ(x)c v (x) t (4) 8 Okrajové a počáteční podmínky Okrajové podmínky obdobné jako ve stacionárním případě. Pro t (0, t Stabilní: x Γ T (t) : T (x, t) T (x, t) = 0 Nestabilní: x Γ q (t) : n(x) T q(x, t) q(x, t) = 0 Úlohu nutno doplnit ještě počátečními podmínkami: t = 0 T (x, 0) = T 0 (x)

9 POROVNÁNÍ ROVNIC PRUŽNOSTI A VEDENÍ TEPLA 20 9 Porovnání rovnic pružnosti a vedení tepla Pružnost Neznámé u T Geometrické rovnice ε = T u T Vedení tepla Statické rovnice σ + X = 0 T q + Q = 0 Konstitutivní rovnice σ = D T u q = λ T Kinematické okrajové podmínky u u = 0 T T = 0 Statické okrajové podmínky n σ t = 0 n T q q = 0 Dynamická podmínka rovnováhy 10 Slabé řešení σ + X = ρ 2 u t 2 Základní přístupy k formulaci slabého řešení na celé časoprostorové oblasti 0, t, T q + Q = ρc T t

10 SLABÉ ŘEŠENÍ 21 proměnná T (x, t)/ t při formulaci slabého řešení formálně uvažována jako nezávislá na T (x, t) (viz přednáška č. 7). Tato metoda se též nazývá Galerkinova metoda. pomocí tzv. metody časové diskretizace nebo Rothe-Rektorysova metoda [2]. metoda konečných objemů předpokládá konstantní průběh pole teploty po jednotlivých prvcích (objemech), přímá aplikace transportních rovnic (výpočet toků) zákony zachování stavové (konstitutivní) rovnice, viz např. [1, Kapitola 2.1] pro podrobnější diskusi. 10.1 Metoda časové diskretizace Řešený časový interval 0, t (ekvidistantně) rozdělíme na n intervalů délky t.

10 SLABÉ ŘEŠENÍ 22 V i-tém době dělení intervalu označíme řešení T jako T i (x) = T (x, t i ) i = 0,..., n Hodnotu řešení T v obecném čase t aproximujeme jako ( T (x, t) 1 t t ) i 1 T i (x) + t t i 1 T i+1 (x) t t = (1 τ)t i (x) + τt i+1 (x), obdobným způsobem aproximujeme časové průběhy funkcí q a Q.

10 SLABÉ ŘEŠENÍ 23 Aproximace časové derivace T (x, t) t 1 t ( T i+1 (x) T i (x) ) Vzhledem ke zvolené časové diskretizaci lze psát rovnici (4) ve tvaru 0 = T ( (1 τ)q i (x) + τq i+1 (x) ) + ρ(x)c v (x) 1 t ( T i+1 (x) T i (x) ) (1 τ)q i (x) τq i+1 (x) Známe-li hodnotu řešení v i-tém časovém okamžiku t i, hodnota v čase t i+1 plyne z podmínky τ T q i+1 (x) + 1 t ρ(x)c v(x)t i+1 (x) = (τ 1) T q i (x) + 1 t ρ(x)c v(x)t i (x) + (1 τ)q i (x) + τq i+1 (x)

10 SLABÉ ŘEŠENÍ 24 Slabé řešení v čase t i+1 plyne z podmínky τ δt (x) T q i+1 (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t i+1 (x) dx = t (τ 1) δt (x) T q i (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t t i (x) dx + (1 τ) δt (x)q i (x) dx + τ δt (x)q i+1 (x) dx, pro všechna δt = 0 na Γ T (t i+1 ). Integrací podržených členů Gaussovou větou a použitím vztahu q i+1 =

10 SLABÉ ŘEŠENÍ 25 λ T i+1 dostáváme 1 t τ Γ q (t i+1 ) δt (x) q i+1 {}}{ n(x) T q(x) dx τ δt (x)ρ(x)c v (x)t i+1 (x) dx = (τ 1) (τ 1) ( δt (x)) T Γ i q δt (x) λ T i+1 {}}{ q i+1 (x) dx + q i {}}{ n(x) T q i (x) dx ( δt (x)) T q i (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t t i (x) dx + (1 τ) δt (x)q i (x) dx + τ δt (x)q i+1 (x) dx.

10 SLABÉ ŘEŠENÍ 26 Tedy τ ( δt (x)) T λ(x) T i+1 dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t i+1 (x) dx = t (1 τ) ( δt (x)) T q i (x) dx + 1 δt (x)ρ(x)c v (x)t t i (x) dx + (1 τ) δt (x)q i (x) dx + τ δt (x)q i+1 (x) dx + (τ 1) δt (x)q(x) i dx τ δt (x)q(x) i+1 dx Γ q (t i ) Γ q (t i+1 ) Postup řešení: pro i = 0 jsou členy na pravé straně známé z počátečních podmínek pro T 0 (x) výpočet T 1 (x) i = 1,... n.

11 APROXIMACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 27 11 Aproximace slabého řešení Aproximace neznámých a jejich derivací T i+1 (x) N(x)r i+1, T i+1 (x) B(x)r i+1. Aproximace váhových funkcí a jejich derivací δt N(x)δr, δt (x) B(x)δr. Po dosazení aproximací do vztahu pro slabé řešení dostáváme soustavu rovnic pro r i+1 (τk + 1 t C ) r i+1 = (1 τ)r i i + 1 t R ρ i + (1 τ)r Q i + τr Q i+1 + (τ 1)R q i τr q i+1,

11 APROXIMACE SLABÉHO ŘEŠENÍ 28 kde a K = C = i R i i R ρ i R Q i R q B(x) T λ(x)b(x) dx matice vodivosti N(x) T ρ(x)c v (x)n(x) dx matice kapacity = = = = B(x) T q i (x) dx N(x) T ρ(x)c v (x)t i (x) dx N(x) T Q i (x) dx Γ q (t i ) N(x) T q(x) i+1 dx Volba τ ovlivňuje stabilitu a přesnost numerické metody

REFERENCE 29 τ Název metody Stabilita Přesnost 0 Explicitní podmíněná O( t) 1 Implicitní nepodmíněná O( t) 1 2 Crank-Nicolson nepodmíněná O( t 2 ) Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz. Opravy verze -001: Odstraněná celá řada překlepů, nepřesností a chyb (na chyby upozornil J. Šejnoha) Verze 000 Reference [1] T. Krejčí, T. Nový, L. Sehnoutek, and J. Šejnoha, Structure-subsoil interaction in view of transport processes in porous media, CTU Report

REFERENCE 30 5(1), Czech Technical University in Prague, 2001. [2] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, SNTL, Praha, 1985. [3] R. Černý, Fyzika. Transportní jevy, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1993.