4EK Základy ekonometre Zobecněná MNČ Cvčení 7 Zuzana Dlouhá
Gauss-Markovy předpoklady Náhodná složka: Gauss-Markovy předpoklady. E(u) = náhodné vlvy se vzájemně vynulují. E(uu T ) = σ I n konečný a konstantní rozptyl = homoskedastcta porušení: heteroskedastcta náhodné složky jsou sérově nezávslé porušení: autokorelace 3. X je nestochastcká matce E(X T u) = veškerá náhodnost je obsažena v náhodné složce 4. X má plnou hodnost k matce X neobsahuje žádné perfektně lneárně závslé sloupce pozorování vysvětlujících proměnných porušení: multkolnearta
Zobecněná metoda nejmenších čtverců ZMNČ pro model, kde pro náhodné složky platí: E(u) =, E(uu T ) = σ V (tj. ne σ I n ) tzv. zobecněný lneární regresní model provede se transformace zobecněného lneárního modelu tak, aby bylo splněno: E(uu T ) = σ I n odhad modfkovaného modelu MNČ pomocí transformační matce T pomocí matce T posouváme regresní nadrovnu s cílem zachovat stabltu regresních koefcentů matce T je různá pro případ heteroskedastcty a autokorelace KLRM: y = Xβ + u odhadová funkce: b = (X T X) - X T y ZLRM: Ty = TXβ + Tu odhadová funkce: b* = (X T V - X) - X T V - y, kde V - = T - T Atkenův odhadový postup 3
Zobecněná metoda nejmenších čtverců ZMNČ Postup:. Model odhadneme MNČ.. Vyhodnotíme, zda se v modelu vyskytuje autokorelace č heteroskedastcta. 3. Nalezneme/určíme vhodnou matc T. 4. Matcí T pronásobíme proměnné modelu získáme upravené proměnné. 5. Odhadneme model složený z upravených proměnných pomocí MNČ. 6. Vyhodnotíme, zda se v upraveném modelu vyskytuje autokorelace č heteroskedastcta. 4
5 ZMNČ heteroskedastcta kvadratcká závslost kvadratcká závslost: σ = k transformační matce T: vydělíme původní model : praktcký dopad do odhadu pomocí EVews: upravím proměnné y a konstanta je nyní β σ E v v β β u β β y n
6 ZMNČ heteroskedastcta lneární závslost lneární závslost: σ = k transformační matce T: vydělíme původní model : praktcký dopad do odhadu pomocí EVews: upravím proměnné y a musím nadefnovat konstantu!!! n σ E v v β β u β β y
ZMNČ heteroskedastcta příklad Soubor: CV7_PR.ls Data: y = výdaje obyvatelstva na zboží v běžných cenách (mld. Kč) = dsponblní příjmy obyvatelstva (mld. Kč) p = nde cen zboží Zadání: Odhadněte závslost výdajů (y) na příjmech () a ndeu cen zboží (p). Vyhodnoťte autokorelac v modelu pro α =,5. Vyhodnoťte heteroskedastctu Whteovým testem α =,5. Vytvořte transformační matc pro ZMNČ. Transformujte data matcí T a odhadněte model MNČ na transformovaných datech. Vypšte regresní nadrovnu na datech transformovaných původních. y = β + β + β p + u, =,,...,5 7
ZMNČ heteroskedastcta příklad Ve výstupu Whteova testu v EVews hledám mamum z absolutní hodnoty t-statstcs X^ kvadratcká závslost seres y = y/ seres p = p/ seres = / ls y c p 8
ZMNČ heteroskedastcta příklad Výsledek z EVews pro model ls y c p Heteroskedastcty Test: Whte F-statstc 7.49 Prob. F(5,9).5 Obs*R-squared.697 Prob. Ch-Square(5).339 Scaled eplaned SS 3.6759 Prob. Ch-Square(5).674 n* R =,69 > Χ,5 (5) =,7 Prob. Ch-Square(5) =,3 <,5 => zamítáme nulovou hypotézu o homoskedastctě na α =,5 Výsledek z EVews pro model ls y c p Heteroskedastcty Test: Whte F-statstc 4.48497 Prob. F(5,9).5 Obs*R-squared.735 Prob. Ch-Square(5).576 Scaled eplaned SS.477 Prob. Ch-Square(5).833 n* R =,74 < Χ,5 (5) =,7 Prob. Ch-Square(5) =,576 >,5 => nezamítáme nulovou hypotézu o homoskedastctě na α =,5 Pomocí ZMNČ se nám podařlo odstrant heteroskedastctu. 9
ZMNČ heteroskedastcta příklad Soubor: CV7_PR.ls Data: RD = výdavky na výskum a rozvoj (ml. USD) SALES = predaj (ml. USD) PROFITS = zsk (ml. USD) Zadání: Odhadněte závslost RD na SALES. Vyhodnoťte heteroskedastctu Whteovým testem (pozor na α =,). Vytvořte transformační matc pro ZMNČ. Transformujte data matcí T a odhadněte model MNČ na transformovaných datech. Vypšte regresní nadrovnu na datech transformovaných původních. RD = β + β SALES + u, =,,...,8
ZMNČ heteroskedastcta příklad Výsledek z EVews pro model ls rd c sales Heteroskedastcty Test: Whte F-statstc 3.5778 Prob. F(,5).77 Obs*R-squared 5.49 Prob. Ch-Square().738 Scaled eplaned SS 9.8498 Prob. Ch-Square(). n* R = 5,3 > Χ, () = 4,65 (nemáme tabelované pro α =,, ale získáme z EVews zápsem: scalar chkvadrat=@qchsq(.9,) výsledek se uloží ve formě objektu do workflu pod názvem chkvadrat) Prob. Ch-Square() =,738 <, => zamítáme nulovou hypotézu o homoskedastctě na α =,
ZMNČ heteroskedastcta příklad Ve výstupu Whteova testu v EVews hledám mamum z absolutní hodnoty t-statstcs SALES lneární závslost seres rd = rd/sqr(sales) seres sales=sqr(sales) seres konst = /sqr(sales) ls rd konst sales
ZMNČ heteroskedastcta příklad Výsledek z EVews pro model ls rd konst sales Heteroskedastcty Test: Whte F-statstc.8484 Prob. F(,5).96 Obs*R-squared 3.55878 Prob. Ch-Square().687 Scaled eplaned SS 4.6 Prob. Ch-Square().74 n* R = 3,559 < Χ, () = 4,65 (nemáme tabelované pro α =,, ale získáme z EVews zápsem: scalar chkvadrat=@qchsq(.9,) výsledek se uloží ve formě objektu do workflu pod názvem chkvadrat) Prob. Ch-Square() =,687 >, => nezamítáme nulovou hypotézu o homoskedastctě na α =, Pomocí ZMNČ se nám podařlo odstrant heteroskedastctu. 3
4 ZMNČ autokorelace závslost: u t = ρ* u t- + ε t ρ je koefcent autokorelace ρ = <-; > Prasova-Wnstenova metoda (transformace) transformační matce T: pracuje s částečným dferencem totéž se provede pro hodnoty vysvětlujících proměnných X př transformac se vynechává zlomek před matcí jde o konstantu, takže výsledek není ovlvněn 3 3 * X 3 y y y y y y T
ZMNČ autokorelace Cochrane-Orcuttova metoda (transformace) pracuje pouze s částečným dferencem (vz Pras-Wnstenova metoda bez prvního pozorování, odhadujeme pouze T- pozorování) postup: zvolt ρ resp. r v konkrétním modelu odhad modelu MNČ z toho Durbn-Watsonova statstka d dopočítat d ~ ( r) odhadnout model v EVews není an jedna z metod mplementovaná přímo!!! 5
ZMNČ autokorelace příklad Soubor: CV7_PR3.ls Data: CONSUMPTION = spotřební výdaje INCOME = dsponblní příjmy Zadání: Odhadněte závslost spotřebních výdajů (CONSUMPTION) na dsponblních příjmech (INCOME). Vyhodnoťte autokorelac v modelu pro α =,5. Vytvořte transformační matc pro ZMNČ (obě metody). Transformujte data matcí T a odhadněte model MNČ na transformovaných datech. Vypšte regresní nadrovnu na datech transformovaných původních. CONSUMPTION t = β + β INCOME t + u t, t =,,...,59 6
ZMNČ autokorelace příklad EVews: ls consumpton c ncome - získám d =,365 (zamítám H o neestenc autokorelace na α =,5, poztvní autokorelace) odhad ρ = r = -,365/ =,875 Pras-Wnstenova metoda v EVews program genr konstanta = -.875 genr consumpton=consumpton -.875*consumpton(-) genr ncome=ncome -.875*ncome(-) smpl 953Q 953Q genr konstanta=sqr(-(.875^)) genr consumpton=consumpton*sqr(-(.875^)) genr ncome = ncome*sqr(-(.875^)) smpl 953Q 99Q3 ls consumpton konstanta ncome výstup z EVews: d =,974 (zamítám H o neestenc autokorelace na α =,5, poztvní autokorelace) Pomocí ZMNČ (Pras-Wnstenova met.) se nám nepodařlo odstrant autokorelac. 7
ZMNČ autokorelace příklad Cochrane-Orcuttova metoda smpl 953Q 99Q3 ls consumpton konstanta ncome výstup z EVews: d =,957 (zamítám H o neestenc autokorelace na α =,5, poztvní autokorelace) Pomocí ZMNČ (Cochrane-Orcuttova met.) se nám nepodařlo odstrant autokorelac. 8