letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
|
|
- Filip Vopička
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha
2 Organizační pokyny k přednášce přednáškové slidy v tisknutelné formě viz zkouška písemná, podrobnosti (bodování, počet otázek apod.) budou upřesněny ke konci semestru konzultace cvičení
3 Co je? Co je? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v empirických pozorováních skutečného světa (v naměřených datech, průzkumech apod.) Základní dělení popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat několika čísly a obrázky stručně vystihnout důležité závěry pouze o daných datech, nelze zobecňovat induktivní (konfirmatorní) na základě dat umožňuje odpovídat na obecné otázky o populaci závěry lze zobecnit odhady populačních parametrů předpoklady, znalost statistických metod důležitá je interpretace
4 Populace vs. data Co je? Konkrétní data Celá populace
5 Populace vs. data Co je? Konkrétní data Celá populace
6 Kde, kdy a proč se používá? Co je? Zkoumáme složitý systém nelze jednoduše pochopit nebo popsat pouze na základě teorie (tj. potřebujeme empirické zkušenosti) za stejných nebo podobných podmínek se může projevovat odlišným způsobem náhoda příklady: lidská společnost, ekonomika, lidské tělo, ekosystém, sport, vědecký experiment,...
7 Kde, kdy a proč se používá? Co je? Zkoumáme složitý systém nelze jednoduše pochopit nebo popsat pouze na základě teorie (tj. potřebujeme empirické zkušenosti) za stejných nebo podobných podmínek se může projevovat odlišným způsobem náhoda příklady: lidská společnost, ekonomika, lidské tělo, ekosystém, sport, vědecký experiment,... Druhy statistických úloh odhady parametrů výpočet číselných charakteristik testování hypotéz ověřování pravdivosti výroků predikce předpovědi optimalizace hledání optimálních parametrů
8 Příklad: data z přednášek z minulých let Co je? Na základě údajů z let lze usuzovat že by tu dnes mělo být 60 % žen a 40% mužů přítomné studentky budou v průměru 168 cm vysoké, s hmotností 60 kg a velikostí bot asi 38,5 přítomní studenti budou v průměru 183 cm vysocí s hmotností 76 kg a velikostí bot asi 43 přes 30 % přítomných bude z Prahy, kolem 11 % ze středočeského kraje a jen velmi málo studentů bude ze Slovenska a Moravy nejvíce z přítomných má narozeniny v květnu, nejméně v únoru a březnu
9 Statistický přístup k řešení problémů Co je? 1 reálný problém, domněnka apod. 2 plán experimentu 3 sběr dat 4 výběr vhodného ního modelu 5 formulace problému v řeči matematické statistiky 6 aplikace statistických metod 7 interpretace, závěry, publikace...
10 Oblasti aplikace statistiky Co je? Přírodní vědy medicína, genetika, farmakologie, biologie, chemie, fyzika, meteorologie... Ekonomie makro & mikroekonomie, bankovnictví, pojišt ovnictví,... Technické vědy telekomunikace, doprava, počítače, strojírenství, kontrola jakosti, řízení a organizace výroby,... Společenské vědy sociologie, behaviorální vědy, archeologie, lingvistika, antropologie... A mnoho dalších (sport, marketing,...)
11 Obsah přednášky Co je? Cíl přednášky= porozumět základním principům statistických metod a pochopit řešení vybraných jednoduchých problémů.
12 Obsah přednášky Co je? Cíl přednášky= porozumět základním principům statistických metod a pochopit řešení vybraných jednoduchých problémů. Dvě základní části Základy i nezbytný teoretický základ pro výklad statistických metod, náhodná veličina a její rozdělení, střední hodnota, nezávislost,... Statistika popisné statistiky jako odhady populačních parametrů odhady, intervaly spolehlivosti, testy statistických hypotéz základní metody (vybrané testy) Důležité je osvojení si hlavních principů, pojmů, základních metod. Nikoliv učení se vzorečků.
13 Teorie i : matematický model náhody zkoumá náhodné jevy, tj. jevy, které mohou, ale nemusí nastat. S jakou í daný jev nastane? Jsou dané jevy na sobě nezávislé?
14 Teorie i : matematický model náhody Co to je náhoda? Kde se s ní setkáváme? zkoumá náhodné jevy, tj. jevy, které mohou, ale nemusí nastat. S jakou í daný jev nastane? Jsou dané jevy na sobě nezávislé?
15 náhodný pokus výsledek předem neurčitý (náhoda) množina všech možných výsledků Ω náhodný jev je tvrzení o výsledku pokusu, tj. A Ω prvky Ω se nazývají elementární náhodné jevy jev nemožný nenastává nikdy jev jistý je celá množina Ω a nastává vždy
16 náhodný pokus výsledek předem neurčitý (náhoda) množina všech možných výsledků Ω náhodný jev je tvrzení o výsledku pokusu, tj. A Ω prvky Ω se nazývají elementární náhodné jevy jev nemožný nenastává nikdy jev jistý je celá množina Ω a nastává vždy Příklad (Hod kostkou) Ω = {1,2,3,4,5,6} A = [padne sudé číslo] = {2,4,6}
17 náhodný pokus výsledek předem neurčitý (náhoda) množina všech možných výsledků Ω náhodný jev je tvrzení o výsledku pokusu, tj. A Ω prvky Ω se nazývají elementární náhodné jevy jev nemožný nenastává nikdy jev jistý je celá množina Ω a nastává vždy Příklad (Hod kostkou) Ω = {1,2,3,4,5,6} A = [padne sudé číslo] = {2,4,6} Příklad (Pohlaví 2 sourozenců) Ω = {KK,DK,KD,DD} nebo Ω = {KK,DK,DD} A = [alespoň jeden kluk] = {KK,KD,DK} nebo à = [alespoň jeden kluk] = {KK,KD}
18 Operace s náhodnými jevy Uvažujme náhodné jevy A,B Ω. podjev A B znamená A B jev opačný A c nastane A nenastane průnik jevů A B nastane nastanou zároveň A i B sjednocení jevů A B nastane nastane alespoň jeden z jevů A a B neslučitelné (disjunktní) jevy: A B =
19 Operace s náhodnými jevy Uvažujme náhodné jevy A,B Ω. podjev A B znamená A B jev opačný A c nastane A nenastane průnik jevů A B nastane nastanou zároveň A i B sjednocení jevů A B nastane nastane alespoň jeden z jevů A a B neslučitelné (disjunktní) jevy: A B = Podobně průnik a sjednocení více jevů A 1,...,A k : k A i = A 1 A 2 A k (všechny musí nastat); i=1 k A i = A 1 A 2 A k (alespoň jeden musí nastat). i=1
20 Operace s náhodnými jevy - příklady Příklad (Hod kostkou) Množina všech výsledků: Ω = {1,2,3,4,5,6} A = [padne sudé číslo] = {2,4,6}, B = [padne číslo větší než 3] = {4,5,6} jev opačný A c = [padne liché číslo] = {1,3,5}, B c = [padne číslo menší rovno třem] = {1,2,3} průnik A B = [padne sudé číslo větší než 3] = {4,6} sjednocení A B = [padne číslo sudé nebo větší než 3] = {2,3,4,6}
21 objektivní číselné vyjádření naděje, že nastane jev A přiřazuje náhodnému jevu A reálné číslo z intervalu [0, 1] (zkráceně pst, značeno P) musí mít následující vlastnosti: 1 0 P(A) 1 2 P(Ω) = 1, P( ) = 0, 3 je-li A B =, pak P(A B) = P(A)+P(B) Z těchto vlastností pak dále vyplývá 4 P(A c ) = 1 P(A), 5 pro B A je P(B) P(A) a P(A B) = P(A) P(B) 6 P(A B) = P(A)+P(B) P(A B)
22 i Předpoklady: Ω je konečná, tj. Ω = {ω 1,...,ω N } všechny elementární jevy ω i Ω jsou stejně pravděpodobné jevu A Ω je definována jako P(A) = A Ω = A N, kde A značí počet prvků množiny A. má zjevně všechny požadované vlastnosti.
23 i příklad 1 Příklad (Hod kostkou) Ω = {1,2,3,4,5,6}, uvažujeme náhodné jevy A = [padne sudé číslo] = {2,4,6}, B = [padne číslo větší než 3] = {4,5,6} Pak P(A) = 3 6 = 1 2, P(B) = 3 6 = 1 2, P(A B) = 2 6 = 1 3, P(A B) = 4 6 = P(A)+P(B) P(A B) = 1 1 3
24 i příklad 2 Příklad (Hod dvěma kostkami) Házímeme dvěma kostkami (modrá a zelená). Zajímá nás jevu A = [součet je alespoň 10]..
25 i příklad 2 Příklad (Hod dvěma kostkami) Házímeme dvěma kostkami (modrá a zelená). Zajímá nás jevu A = [součet je alespoň 10]. Ω je množina všech uspořádaných dvojic z čísel 1,2,3,4,5,6. Všech možností je: Ω = 6 6 = 36.
26 i příklad 2 Příklad (Hod dvěma kostkami) Házímeme dvěma kostkami (modrá a zelená). Zajímá nás jevu A = [součet je alespoň 10]. Ω je množina všech uspořádaných dvojic z čísel 1,2,3,4,5,6. Všech možností je: Ω = 6 6 = 36. Příznivé možnosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto B = 6
27 i příklad 2 Příklad (Hod dvěma kostkami) Házímeme dvěma kostkami (modrá a zelená). Zajímá nás jevu A = [součet je alespoň 10]. Ω je množina všech uspořádaných dvojic z čísel 1,2,3,4,5,6. Všech možností je: Ω = 6 6 = 36. Příznivé možnosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto B = 6 a tedy P(B) = 6 36 = 1 6.
28 i příklad 2 Příklad (Hod dvěma kostkami) Házímeme dvěma kostkami (modrá a zelená). Zajímá nás jevu A = [součet je alespoň 10]. Ω je množina všech uspořádaných dvojic z čísel 1,2,3,4,5,6. Všech možností je: Ω = 6 6 = 36. Příznivé možnosti: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Proto B = 6 a tedy P(B) = 6 36 = 1 6. Poznámka: Kombinatorické pojmy (permutace, kombinační čísla apod.)
29 Nevýhody klasické i má dva velmi omezující předpoklady: 1 konečný počet elementárních jevů 2 elementární jevy ω musí být stejně pravděpodobné
30 Nevýhody klasické i má dva velmi omezující předpoklady: 1 konečný počet elementárních jevů 2 elementární jevy ω musí být stejně pravděpodobné Kdy nám klasická nestačí? nestejně pravděpodobné elem. jevy ω (nesymetrická mince) Ω není konečná (házíme na koš, dokud se netrefíme) Ω je abstraktní, nelze jednoduše popsat ω (chceme mluvit o i bankrotu banky apod.)
31 Nevýhody klasické i má dva velmi omezující předpoklady: 1 konečný počet elementárních jevů 2 elementární jevy ω musí být stejně pravděpodobné Kdy nám klasická nestačí? nestejně pravděpodobné elem. jevy ω (nesymetrická mince) Ω není konečná (házíme na koš, dokud se netrefíme) Ω je abstraktní, nelze jednoduše popsat ω (chceme mluvit o i bankrotu banky apod.) Obou předpokladů se potřebujeme zbavit obecnější a abstraktnější axiomatická i.
32 i Necht Ω je libovolná množina. í nazveme libovolnou funkci P definovanou na podmnožinách Ω, která má následující vlastnosti: 1 0 P(A) 1 pro libovolné A Ω, 2 P(Ω) = 1, 3 pro všechny A 1,A 2,... Ω takové, že A i A j = i j, platí ( ) P A i = P(A i ). i=1 i=1
33 Poznámky i: připouští konečné, spočetné i nespočetné množiny Ω elementární jevy nemusí být stejně pravděpodobné pro danou Ω lze zavést mnoho různých í mezi nimi si musíme sami zvolit (většinou to přirozeně vyplyne) Dále budeme (teoreticky) pracovat s obecnou axiomatickou definicí i. V příkladech ale budeme většinou používat klasickou.
34 Poznámky Poznámka pro náročné: Ve skutečnosti se zavádí jen pro tzv. měřitelné množiny, ne nutně pro všechny podmnožiny Ω (neměřitelnou množinu nepovažujeme za náhodný jev). Při nespočetné Ω (třeba Ω = R) nelze totiž rozumně zavést, která funguje pro všechny podmnožiny Ω.
35 Definice Necht jev B Ω má kladnou, P(B) > 0. Podmíněnou jevu A za podmínky, že nastal jev B, definujeme vztahem P(A B) = P(A B). P(B)
36 poznámky Nepodmíněná P(A) vypovídá o i výskytu jevu A v situaci, kdy nemáme žádné dodatečné informace o průběhu nebo výsledku experimentu. P(A B) vypovídá o i výskytu jevu A v situaci, kdy víme, že nějaký jiný jev B určitě nastal (tj. máme dodatečnou informaci) Poznámka Pozor, jevy A a B nelze prohazovat, protože obecně P(A B) P(B A).
37 Příklad dostihy Příklad Favority dostihu jsou koně Lívanec a Škobrt ák. Kursy bookmakerů naznačují, že vítězství Lívance je 0.2 a Škobrt áka Škobrt ák však před startem spolkl hřebík a nepoběží. Jaká je, že vyhraje Lívanec?
38 Příklad dostihy Příklad Favority dostihu jsou koně Lívanec a Škobrt ák. Kursy bookmakerů naznačují, že vítězství Lívance je 0.2 a Škobrt áka Škobrt ák však před startem spolkl hřebík a nepoběží. Jaká je, že vyhraje Lívanec? Řešení: Jevy: L = [vyhraje Lívanec], Š = [vyhraje Škobrt ák]. Máme P(L) = 0.2, P(Š) = 0.25, L Š =.
39 Příklad dostihy Příklad Favority dostihu jsou koně Lívanec a Škobrt ák. Kursy bookmakerů naznačují, že vítězství Lívance je 0.2 a Škobrt áka Škobrt ák však před startem spolkl hřebík a nepoběží. Jaká je, že vyhraje Lívanec? Řešení: Jevy: L = [vyhraje Lívanec], Š = [vyhraje Škobrt ák]. Máme P(L) = 0.2, P(Š) = 0.25, L Š =. Odtud P(L Šc ) = P(L Šc ) P(Šc ) = P(L) P(Šc ) = 1/5 3/4 = 4 15., že vyhraje Lívanec, je 4/15 =
40 Příklad Příklad V šupĺıku jsou tři páry ponožek ze stejného materiálu: zelené, modré a bílé. Po tmě náhodně vyberete dvě ponožky a aniž byste ověřili jejich barvu, vyrazíte v nich do školy. Zjistěte, s jakou í máte obě ponožky stejné barvy, alespoň jedna obutá ponožka je zelená, na pravé noze je zelená ponožka máte obě ponožky stejné, jestliže v šupĺıku určitě zbyl pár zelených ponožek, máte obě ponožky stejné, jestliže na pravé noze máte zelenou.
41 Nezávislost dvou jevů Máme prostor elementárních jevů Ω a P. Definice A, B Ω nazýváme nezávislé, jestliže platí P(A B) = P(A)P(B). V opačném případě je nazýváme závislé.
42 Nezávislost dvou jevů Máme prostor elementárních jevů Ω a P. Definice A, B Ω nazýváme nezávislé, jestliže platí P(A B) = P(A)P(B). V opačném případě je nazýváme závislé. Necht jsou jevy A, B nezávislé a P(A) > 0, P(B) > 0. Pak P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A) a podobně P(B A) = P(B). Jevy jsou tedy nezávislé, pokud jednoho jevu není nijak ovlivněna tím, zda druhý jev nastal nebo ne.
43 Nezávislost příklady Příklad Házíme dvěma kostkami (zelenou a modrou). Označme jevy A = [na modré kostce padlo sudé číslo], B = [součet čísel na obou kostkách je lichý]. Jsou jevy A a B nezávislé?
44 Nezávislost příklady Příklad Házíme dvěma kostkami (zelenou a modrou). Označme jevy A = [na modré kostce padlo sudé číslo], B = [součet čísel na obou kostkách je lichý]. Jsou jevy A a B nezávislé? Máme Ω = {(SS),(LL),(SL),(LS)}, kde S značí sudé číslo a L liché. Pak P(A) = 1 2, P(B) = 1 2, P(A B) = 1 4. Tj. platí podmínka P(A B) = P(A) P(B) a jevy jsou nezávislé.
45 Nezávislost příklady Příklad Házíme dvěma kostkami (zelenou a modrou). Označme jevy A = [na modré kostce padlo sudé číslo], B = [součet čísel je větší než 10]. Jsou jevy A a B nezávislé?
46 Nezávislost příklady Příklad Házíme dvěma kostkami (zelenou a modrou). Označme jevy A = [na modré kostce padlo sudé číslo], B = [součet čísel je větší než 10]. Jsou jevy A a B nezávislé? Ω je množina všech uspořádaných dvojic z čísel 1,2,3,4,5,6, Ω = 36 P(A) = = 1 2, P(B) = 3 36 = 1 12, P(A B) = 2 36 = Tj. neplatí podmínka P(A B) = P(A) P(B) a jevy jsou závislé.
47 Nezávislost příklady Příklad (Vtip o statistikovi v letadle) Statistik procházel bezpečnostní kontrolou na letišti, když byla v jeho kufru nalezena bomba. Vysvětloval: Podle statistik je přítomnosti bomby v letadle 0, 001. Takže šance, že na palubě budou dvě bomby, je 0, Když si vezmu svoji bombu, cítím se pak mnohem bezpečněji. Bez své osobní bomby proto nikdy necestuji.
48 Nezávislost příklady Příklad (Vtip o statistikovi v letadle) Statistik procházel bezpečnostní kontrolou na letišti, když byla v jeho kufru nalezena bomba. Vysvětloval: Podle statistik je přítomnosti bomby v letadle 0, 001. Takže šance, že na palubě budou dvě bomby, je 0, Když si vezmu svoji bombu, cítím se pak mnohem bezpečněji. Bez své osobní bomby proto nikdy necestuji. Označme A = [já mám v letadle bombu], B = [někdo jiný má v letadle bombu]. Jevy A a B jsou zjevně nezávislé (já nejsem člen žádné teroristické skupiny). Proto P(B A) = P(B) = , a proto si bombu do letadla brát nemusíte.
49 Nezávislost poznámky Poznámka Jsou-li A,B nezávislé, pak (A,B c ), (A c,b), (A c,b c ) jsou též dvojice nezávislých jevů. Definice A 1,A 2,...,A n Ω nazýváme nezávislé právě když platí P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A n ).
Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky V této kapitole se seznámíme se základy popisné statistiky, představíme si základní pojmy a budeme si je ilustrovat na praktických příkladech. Kapitola je psána formou volného
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha veličina Definice Funkci
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceOrganizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Co je statistika? Přehled témat
Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika MS710P05 Zdeněk Hlávka (Šárka Hudecová, Michal Kulich) Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hlavka@karlin.mff.cuni.cz
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceVšechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a
Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
VíceStatistika. Základní pojmy a cíle statistiky. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .
Statistika Základní pojmy a cíle statistiky Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Statistika Pojmy a cíle
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceSTATISTICKÝ SOUBOR. je množina sledovaných objektů - statistických jednotek, které mají z hlediska statistického zkoumání společné vlastnosti
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY HROMADNÝ JEV Statistika pracuje s tzv. HROMADNÝMI JEVY cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů: velkého počtu jedinců
Vícepopulace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom chtěli vypovídat letní semestr Definice subjektech.
Populace a Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 populace soubor jednotek, o jejichž vlastnostech bychom
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.
Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického
VícePojem a úkoly statistiky
Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceSTATISTIKA jako vědní obor
STATISTIKA jako vědní obor Cílem statistického zpracování dat je podání informace o vlastnostech a zákonitostech hromadných jevů. Statistika se zabývá popisem hromadných jevů - deskriptivní, popisná statistika
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceCvičení 5. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
5 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 26 Obsah 1 Základy statistického zpracování dat 2
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceTeoretická rozdělení
Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické
Více1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
VíceŘešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1
Řešení příkladů na procvičení pravděpodobnosti 1 1. ŘEŠENÍ Škola: Š...Jakub úspešne dokončí školu Š 3... v komisii sú práve 3 zhovievaví profesori Š 4... v komisii sú práve 4 zhovievaví profesori Š 5...
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Více