Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost
|
|
- Sára Moravcová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Podmíněná pravděpodobnost, nezávislost Úloha 1: Do třídy 1.A chodí 10 chlapců a 20 dívek, z toho jsou 3 chlapci se jménem Jakub a 2 dívky se jménem Katka. Martina tvrdí, že ráno potkala někoho ze třídy 1.A. a) Jaká je pravděpodobnost, že potkala Jakuba? b) Jaká je pravděpodobnost, že potkala Katku? Martina upřesní svoji výpověd, tvrdí, že potkala některého chlapce ze třídy 1.A. Jak se změní po vyslovení této informace odpovědi na otázky a), b)? Označme H jev Martina potkala Jakuba, K jev Martina potkala Katku. Pravděpodobnosti těchto jevů jsou zřejmě P (J) = 3 30 = 1 a P (K) = = Dále označme C jev Martina potkala chlapce a D jev Martina potkala dívku. Pro pravděpodobnosti těchto jevů platí P (C) = = 1 3 a P (D) = = 2 3. Tvrzení Martiny, že potkala některého chlapce ze třídy 1.A znamená, že nastal jev C. Naším úkolem je určit pravděpodobnost jevu J C, že Martina potkala Jakuba za podmínky, že potkala některého chlapce ze třídy 1.A a dále pravděpodobnost jevu K C, že Martina potkala Katku za podmínky, že potkala některého chlapce ze třídy 1.A. Z definice podmíněné pravděpodobnosti obdržíme P (J C) = P (H C) P (C) = = 3 10, P (K C) = P (K C) P (C) neboť P (H C) = P (H) (každý Jakub je chlapec) a P (K C) = 0 (žádná Katka není chlapec). Hledané pravděpodobnosti P (J C) a P (K C) můžeme nalézt i jednoduchou úvahou, bez použití definice podmíněné pravděpodobnosti. Stačí si uvědomit, že 3 z 10 chlapců ve třídě 1.A mají jméno Jakub a pochopitelně žádná z dívek ve třídě nemá jméno Jakub. Naším cílem však bylo demonstrovat použití vzorce pro podmíněnou pravděpodobnost. Úloha 2: Finále soutěže Miss se účastní dvanáct dívek. Podle předběžných anket se zdá, že největší šance zvítězit mají dívky Kateřina, Lucie a Markéta. Kateřině je předpovídáno vítězství s pravděpodobností 0,2, Lucii s pravděpodobností 0,1 a Markétě s pravděpodobností 0,3. Těsně před začátkem finále se však Kateřina rozhodne odstoupit ze soutěže. Jak se změní pravděpodobnosti vítězství Lucie a Markéty? Jevy K, L, M, J nechť po řadě značí vítězství Kateřiny, Lucie, Markéty, některé jiné dívky. Tyto jevy se navzájem vylučují a jejich sjednocením je množina Ω všech možných výsledků soutěže. Součet pravděpodobností těchto jevů tedy musí být roven 1. Podle zadání úlohy vyjádříme = P (K) = 0,2, P (L) = 0,1, P (M) = 0,3, P (J) = 0,4, kde pravděpodobnost P (J) jsme dopočítali ze vztahu P (J) = 1 [P (K) + P (L) + P (M)]. Jev K Kateřina nezvítězí je opačný k jevu K a zřejmě P (K ) = 1 P (K) = 0,8. Dále určíme pravděpodobnosti jevů P (L K ), P (M K ), P (J K ). Stačí si uvědomit, že pokud ve finále zvítězí například Lucie, je jisté, že nezvítězí Kateřina. To se dá množinově zapsat L K. Podobně platí M K a J K a tedy P (L K ) = P (L) = 0,1, P (M K ) = P (M) = 0,3, P (J K ) = P (J) = 0,4. = 0,
2 Nyní již můžeme vyjádřit P (L K ), P (M K ) a P (J K ), což jsou po řadě pravděpodobnosti vítězství Lucie, Markéty, resp. některé jiné dívky, za podmínky, že Kateřina nezvítězí P (L K ) = P (L K ) P (K ) P (M K ) = P (M K ) P (K ) P (J K ) = P (J K ) P (K ) = 0,1 0,8 = 0,125, = 0,3 0,8 = 0,375, = 0,4 0,8 = 0,5. Úloha 3: Společnost, pro kterou pracuje pan Novák, se rozhodla uspořádat oběd pro ty zaměstnance, kteří mají alespoň jednoho syna. Každý z těchto zaměstnanců má přijít se svým nejstarším synem. Víme, že pan Novák má dvě děti a že byl pozván na oběd. Jaká je pravděpodobnost, že jeho obě děti jsou synové? Množina Ω všech možných rodin se dvěma dětmi má 4 prvky, které považujeme za stejně pravděpodobné Ω = {(ch, ch), (ch, d), (d, ch), (d, d)}. Například uspořádaná dvojice (d, ch) značí rodinu, ve které je prvorozené dítě dívka a druhorozené chlapec. Informace, že byl pan Novák pozván na oběd znamená, že má alespoň jednoho syna. Označme A jev pan Novák má dva syny a B jev pan Novák má alespoň jednoho syna. Máme určit podmíněnou pravděpodobnost P (A B), že pan Novák má dva syny za podmínky, že má alespoň jednoho syna. P (B) P ( {(ch, ch)} ) P ( {(ch, ch), (ch, d), (d, ch)} ) = P (A B) = = = Poznámka: Je zajímavé, že mnoho lidí při řešení této úlohy bez váhání odpoví, že hledaná pravděpodobnost je 1/2. Argumentují tím, že dítě pana Nováka, které nepůjde na oběd může být stejně tak chlapec jako dívka. Avšak chyba je právě v předpokladu, že tyto dvě možnosti jsou stejně pravděpodobné. Na začátku jsou čtyři stejně pravděpodobné výsledky. Informace, že alespoň jedno z dětí je syn znamená, že výsledek (d, d) již nepřipadá v úvahu. Zbývají tedy tři stejně pravděpodobné výsledky (ch, ch), (ch, d), (d, ch), které ukazují, že dítě, které nepůjde na oběd, bude s dvakrát větší pravděpodobností dívka než chlapec. 1 4 Často je užitečný vzorec, který vznikne vynásobením vztahu pravděpodobností P (B), takže dostaneme Podobně, vynásobením vztahu pravděpodobností P (A) obdržíme vzorec P (A B) = P (B) = P (A B)P (B). P (B A) = P (B A) P (A) P (B A) = P (B A)P (A). Jevy A B a B A jsou samozřejmě totožné a proto můžeme vztahy (α) a (β) spojit do jediného vzorce pro násobení pravděpodobností: = P (A B)P (B) = P (B A)P (A). (α) (β)
3 Úloha 4: Z balíčku 32 tzv. mariášových karet vytáhneme postupně dvě karty, přičemž kartu po vytažení nevracíme zpět do balíčku. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené karty budou esa? Balíček Mariášových karet obsahuje čtyři esa. Označme po řadě E 1, E 2 jevy, že první, resp. druhá tažená karta bude eso. Máme určit pravděpodobnost jevu E 1 E 2, že obě vytažené karty budou esa. Vytažení kterékoliv karty z balíčku považujeme za stejně možné a tedy P (E 1 ) = 4/32 = 1/8. Dále vyjádříme podmíněnou pravděpodobnost P (E 2 E 1 ) jevu druhá vytažená karta bude eso za podmínky, že první vytažená karta je eso. Zřejmě platí P (E 2 E 1 ) = 3/31, neboť jestliže první vytažená karta je eso, potom v balíčku zbývá 31 karet mezi nimiž jsou již jen 3 esa. Po dosazení do vzorce pro násobení pravděpodobností obdržíme P (E 1 E 2 ) = P (E 2 E 1 )P (E 1 ) = = 0, Úlohu jsme samozřejmě mohli řešit přímo určením počtu možných tahů dvou karet ze čtyř es a počtu možných tahů dvou karet ze všech 32 karet ( ) 4 2 P (E 1 E 2 ) = ( ) =. 0, Naším cílem však bylo ukázat možnost použití vzorce pro násobení pravděpodobnosti. Uvažujme nyní dva libovolné jevy A, B Ω. Zřejmě můžeme vyjádřit A = (A B) (A B ), kde B je opačný jev k jevu B, tj. platí B B = Ω a B B =. Protože jevy A B a A B se navzájem vylučují, dostaneme podle vzorce pro sčítání pravděpodobností P (A) = P [(A B) (A B )] = + P (A B ). Vyjádříme-li pravděpodobnosti průniků pomocí vzorce pro násobení pravděpodobností, obdržíme vzorec pro úplnou pravděpodobnost pro případ dvou jevů B a B : P (A) = P (A B)P (B) + P (A B )P (B ). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost můžeme zobecnit pro více jevů. Představme si, že rozdělíme množinu Ω na n navzájem se vylučujících jevů B 1, B 2,..., B n, z nichž vždy právě jeden nastává, tj. n i=1 B i = Ω a současně B i B j = pro každou dvojici i j. Potom se B 1, B 2,..., B n nazývá úplný systém jevů (nakreslete si obrázek!). Vzorec pro úplnou pravděpodobnost pro více jevů. Nechť B 1, B 2,..., B n Ω je úplný systém jevů a platí P (B i ) > 0 pro každé i = 1,..., n. Pak pro pravděpodobnost libovolného jevu A Ω platí Důkaz: Protože platí n P (A) = P (A B i )P (B i ). i=1 A = A Ω = A (B 1 B 2... B n ) = (A B 1 )... (A B n ) a protože jevy A B 1,..., A B n se navzájem vylučují, je n P (A) = P (A B i ). Jelikož P (A B i ) = P (A B i )P (B i ), je tím tvrzení věty dokázáno. i=1
4 Úloha 5: Výstřední profesor matematiky zkouší každou hodinu jednoho chlapce a jednu dívku. Přitom používá následující metodu: Má připravenu krabici, která obsahuje 3 černé lístky s velmi obtížnými úlohami a 6 bílých lístků se snadnými úlohami. Každý ze studentů si musí se zavřenýma očima jeden z lístků vylosovat. Vylosované lístky se již do krabice nevrací. Ke zkoušení byli vybráni studenti Jirka a Petra. a) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si bílý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si bílý lístek vytáhne i Petra? b) Jestliže Jirka losuje jako první a vytáhne si černý lístek, jaká je pravděpodobnost, že si Petra vytáhne bílý lístek? c) Jirka je zamilovaný do Petry a proto je ochoten přijmout obtížnou úlohu, jen aby zvýšil šance Petry na získání snadné úlohy. Měl by losovat jako první, nebo nechat Petru, aby jako první losovala ona? Označíme A jev první tažený lístek je bílý a B jev druhý tažený lístek je bílý. a) Pro pravděpodobnost jevu A B první i druhý tažený lístek je bílý platí = = 5 12, neboť záleží-li na pořadí tažení lístků je počet možností jak táhnout 2 lístky z 6 bílých roven 6 5 a počet možností jak táhnout 2 lístky ze všech 9 lístků je 9 8. Dále zřejmě platí P (A) = 6/9. Hledaná pravděpodobnost jevu B A druhý vybraný lístek je bílý za podmínky, že první tažený lístek je bílý pak je P (B A) = = 5 P (A) 8, což jsme mohli také zjistit jednoduchou úvahou: Jestliže je první tažený lístek bílý, potom v krabici zbývá 8 lístků, z nichž 5 je bílých. b) Pro pravděpodobnost jevu A B první tažený lístek je černý a druhý je bílý platí P (A B) = = 1 4, neboť na pořadí tažení lístků záleží a tedy počet možností jak táhnout první lístek ze 3 černých a druhý lístek ze 6 bílých je roven 3 6. Dále platí P (A ) = 3/9. Hledaná pravděpodobnost jevu B A druhý tažený lístek je bílý za podmínky, že první vytažený lístek je černý je P (B A ) = P (A B) P (A ) což jsme opět mohli zjistit jednoduchou úvahou: Jestliže je první tažený lístek černý, potom v krabici zbývá 8 lístků, z nichž 6 je bílých. Proto P (B A )=6/8=3/4. c) Podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost platí = 3 4, P (B) = P (B A)P (A) + P (B A )P (A ) = ( 1 6 ) = Zjistili jsme, že P (A) = P (B) a tedy Jirka nemůže zvýšit šanci Petry na tažení snadné otázky (bílého lístku) tím, že by ji nechal táhnout jako první, ani tím, že by táhl jako první sám. Úloha 6: V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední žalářník však dá vězni šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček. Pak mu dá dvě prázdné urny. Sdělí mu, že zítra příjde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku. Bude-li bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého osvobození? Budeme předpokládat, že žádná z uren nesmí být prázdná. Řekněme, že vězeň dá do první urny celkem k kuliček, přičemž i z nich je bílých. Pak ve druhé urně bude 24 k kuliček a z nich bude 12 i bílých.
5 Označíme A jev vytažená kulička je bílá. Dále označíme U 1 jev kat vybere první urnu a U 2 jev kat vybere druhou urnu. Protože U 2 = U 1 dostaneme podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost P (A) = P (A U 1 )P (U 1 ) + P (A U 2 )P (U 2 ) = i k P (U 1) + 12 i 24 k P (U 2) = 1 ( i 2 k + 12 i ) 12i ki + 6k =. 24 k 24k k 2 Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že n 12. Pro n > 12 totiž stačí zaměnit obě urny, které by měly být nerozlišitelné a dostaneme některé rozmístění kuliček pro n 12. Označíme ještě P (k, i) = P (A), abychom zdůraznili závislost této pravděpodobnosti na k a i. Jestliže funkci P (k, i) chápeme jako funkci jedné proměnné i s parametrem k = 1, 2,..., 11, potom je tato funkce rostoucí a tedy platí P (k, 0) < P (k, 1) <... < P (k, k), pro k = 1, 2,..., 11. Dodejme ještě, že pro k = 12 dosazením zjistíme, že platí P (12, i) = 1 2, pro i = 0, 1,..., 12. Dále se snadno ověří, že funkce P (k, k) proměnné k je klesající v množině {1, 2,..., 12} a tedy P (12, 12) < P (11, 11) <... < P (1, 1). Z těchto nerovností vyplývá, že tažení bílé kuličky bude mít největší pravděpodobnost, bude-li v jedné urně pouze jedna kulička, a to bílá, a v druhé urně všechny zbývající kuličky. Tato maximální pravděpodobnost činí P (1, 1) = 0,739. Mnoho praktických aplikací je spojeno s následujícím vzorcem: Bayesův vzorec. Nechť A Ω je náhodný jev a nechť B 1, B 2,..., B n Ω je úplný systém jevů. Jestliže platí P (A) > 0 a P (B i ) > 0 pro každé i = 1,..., n, potom P (B k A) = P (A B k)p (B k ) n i=1 P (A B i)p (B i ), k = 1, 2,..., n. Důkaz: Podle definice podmíněné pravděpodobnosti platí P (B k A) = P (A B k). ( ) P (A) Podle vzorce pro násobení pravděpodobnosti máme P (A B k ) = P (A B k )P (B k ) a podle vzorce pro úplnou pravděpodobnost platí P (A) = P (A B 1 )P (B 1 ) + P (A B 2 )P (B 2 ) + + P (A B n )P (B n ). Po dosazení do vztahu ( ) získáme dokazovaný vzorec. Úloha 7: Předpokládejme, že z rozsáhlých lékařských výzkumů víme, že že ve sledované populaci má rakovinu 0,5% lidí. Test, kterým se rakovina zjišťuje má senzitivitu 95%, tj. jestliže má testovaná osoba rakovinu, potom je výsledek testu v 95% případů pozitivní a specificitu 95%, tj. jestliže testovaná osoba rakovinu nemá, potom je výsledek testu v 95% případů negativní. Pacient byl otestován a výsledek testu byl pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že pacient má rakovinu? 1. řešení (pomocí Bayesova vzorce): Označme B jev pacient má rakovinu, B jev pacient rakovinu nemá, A jev výsledek testu je pozitivní. Podle zadání úlohy platí P (B) = 0,005, P (A B) = 0,95, P (A B ) = 0,05,
6 Jevy B a B tvoří zřejmě úplný systém jevů. Hledanou pravděpodobnost P (B A) proto určíme pomocí Bayesova vzorce P (B A) = P (A B)P (B) P (A B)P (B) + P (A B )P (B ) = 0,95 0,005. = 0,087. 0,95 0, ,05 0, řešení (úvahou): Představme si, že otestujeme 4000 lidí. Z těchto 4000 lidí má 20 rakovinu, 3980 nemá rakovinu. U 20 lidí, kteří rakovinu mají, dá testu pozitivní výsledek v 19 případech. U 3980 lidí, kteří rakovinu nemají, dá test pozitivní výsledek ve 199 případech. Celkem tedy dá test pozitivní výsledek u 218 lidí, z nichž 19 rakovinu opravdu má. Hledaná pravděpodobnost je tedy rovna 19/218. = 0,087. Poznámka: Test zmíněný v předchozí úloze zřejmě není příliš vhodný pro praktické nasazení. Pouze v necelých 9% případů, kdy dá test pozitivní výsledek, je testovaná osoba skutečně nemocná. Popsaný test tak pozitivním výsledkem vystraší mnoho zdravých lidí. Je zajímavé, že se většína lidí domnívá (předtím, než se seznámí s řešením úlohy), že hledaná pravděpodobnost je mnohem vyšší. Úloha 8: Studentovi je předložen test, ve kterém je u každé otázky k možných odpovědí, z nichž právě jedna je správná. Student se částečně připravoval. S pravděpodobností p zná správnou odpověď na danou otázku a s pravděpodobností 1 p správnou odpověď nezná, což vyřeší tím, že náhodně vybere některou z k možných odpovědí. Jaká je pravděpodobnost, že student znal správnou odpověď na otázku za podmínky, že na otázku odpověděl správně. Označíme A jev student odpoví na danou otázku správně a B jev student skutečně zná odpověď na danou otázku. Zřejmě P (A B) = 1, protože pokud student zná odpověď na danou otázku, jistě odpoví správně a dále P (A B ) = 1/k, protože pokud student nezná odpověď na danou otázku, může vybrat se stejnou pravděpodobností kteroukoliv z k možných odpovědí. Hledanou pravděpodobnost P (B A) vyjádříme podle Bayesova vzorce P (B A) = P (A B)P (B) P (A B)P (B) + P (A B )P (B ) = p kp p + 1 = k (1 p) kp p + 1. Například pro k = 5 a p = 1/2 řekneme, že student, který správně odpověděl na danou otázku, skutečně znal odpověď s pravděpodobností 5/6. Úloha 9: Standa sejmul jednu kartu z dobře promíchaného balíčku 32 karet a aniž se na ni podíval podal ji Tomášovi, a) Jaká je z pohledu Standy pravděpodobnost, že tažená karta je srdcová? b) Jak se změní z pohledu Standy pravděpodobnost, že tažená karta je srdcová, když Tomáš prohlásí, že tažená karta je eso? a) Označíme A jev tažená karta je srdcová V klasickém mariášovém balíčku karet je 8 karet od každé ze 4 barev. Snadno proto vyjádříme P (A) = 1 4. b) Označíme B jev tažená karta je eso. Z formulace úlohy je zřejmé, že máme určit pravděpodobnost jevu A B. Protože P (B) = 1/8 a = 1/32 obdržime pro podmíněnou pravděpodobnost P (A B) = P (B) Vidíme, že P (A B) = P (A), což můžeme slovy vyjádřit: Znalost informace, že tažená karta je eso neovlivní pravděpodobnost jevu, že tato karta je srdcová. Říkáme, že jev A nezávisí na jevu B. To si lze snadno představit tak, že pokud chceme vytáhnout srdcovou kartu, je úplně jedno, jestli budeme tahat z balíčku všech 32 karet nebo pouze z balíčku obsahujícího 4 esa. Všimněte si, že pro naše jevy platí = P (A) P (B). = 1 4.
7 Vyslovme nyní definici nezávislosti dvou jevů: Náhodné jevy A, B Ω se nazývají nezávislé, jestliže platí = P (A) P (B). Poznámka: Mějme dva nezávislé jevy A, B. Pro P (B) > 0 z definice vyjádříme a podobně pro P (A) > 0 P (A) = P (B) = P (B) P (A) = P (A B) = P (B A). Pro P (A), P (B) > 0 bychom tedy mohli definovat nezávislost jevů A, B pomocí vztahů P (A B) = P (A) a P (B A) = P (B). Tuto definici lze nalézt ve stárších učebnicích. Dnes však obvykle definujeme nezávislost dvou jevů pomocí vztahu = P (A) P (B). který platí i v případě, že je P (A) = 0 nebo P (B) = 0 a ze kterého je navíc na první pohled zřejmé, že nezávislost jevů je oboustranný vztah: Jestliže jev A nezávisí na jevu B, potom nutně jev B nezávisí na jevu A. Pojem nezávislosti můžeme rozšířit na případ tří i více jevů. Předpokládejme, že jevy A, B, C jsou po dvou nezávislé, tj. = P (A)P (B), P (B C) = P (B)P (C), P (A C) = P (A)P (C). Z toho obecně neplyne, že mezi třemi jevy A, B, C neexistuje žádná závislost. To je patrné z následujícího příkladu: Příklad: Při hodu dvěma mincemi zvolíme A = {LL, LR}, B = {LL, RL}, C = {LL, RR}. Potom zřejmě A B = B C = A C = {LL} a tedy = P (B C) = P (A C) = 1 4, P (A) = P (B) = P (C) = 1 2. Zřejmě tedy jevy A, B, C jsou po dvou nezávislé. Současně však platí A B C = {LL} a proto P (A B C) = 1 4. Zjistili jsme, že P (A B C) P (A)P (B)P (C), neboť P (A)P (B)P (C) = 1/2 3 = 1/8. Když si uvědomíme, že například P (A B)P (C) = P (A)P (B)P (C), vidíme, že také P (C) P (A B C) a tedy jevy A B a C nejsou nezávislé. Nezávislost tří jevů. Budeme říkat, že jevy A, B, C jsou nezávislé, jestliže jsou po dvou nezávislé a jestliže současně každý z nich je nezávislý na průniku zbývajících dvou, tj. = P (A)P (B), P (B C) = P (B)P (C), P (A C) = P (A)P (C), P (A B C) = P (A)P (B)P (C). Podobně lze definovat nezávislost většího počtu jevů: Nezávislost n jevů Náhodné jevy A 1, A 2,..., A n Ω se nazývají nezávislé, jestliže pravděpodobnosti průniku libovolných dvou, tří,..., n jevů jsou rovny součinu jejich pravděpodobností.
8 Nezávislost opačných jevů. Nechť A, B Ω jsou nezávislé náhodné jevy, potom A a B, A a B, A a B jsou rovněž dvojice nezávislých náhodných jevů. Důkaz: Dokážeme nezávislost jevů A a B. Pro libovolné dva jevy A, B zřejmě platí P (A) = + P (A B ). ( ) Protože jevy A a B jsou nezávislé, platí což po dosazení do vztahu ( ) dává = P (A)P (B), Z předchozího vztahu vztahu vyjádříme P (A) = P (A)P (B) + P (A B ). P (A B ) = P (A) P (A)P (B) = P (A)[1 P (B)] = P (A)P (B ), neboť P (B ) = 1 P (B). Ukázali jsme, že jevy A, B jsou nezávislé, protože platí P (A B ) = P (A)P (B ). Podobně se dokáží i zbývající dvě tvrzení věty nezávislost jevů A, B a také nezávislost jevů A, B. Podobné tvrzení platí i v případě více než dvou jevů: Nechť jevy A 1, A 2,..., A n Ω jsou nezávislé. Nahradíme-li některý nebo některé z těchto jevů jevy opačnými, dostaneme opět nezávislé jevy. Úloha 10: Na výrobku se objevují tři druhy vad vada 1. druhu s pravděpodobností 0,1, vada 2. druhu s pravděpodobností 0,05 a vada 3. druhu s pravděpodobností 0,02. Jsou-li výskyty vad všech tří druhů nezávislé jevy, jaká je pravděpodobnost, že výrobek bude bez vady? Jevy A 1, A 2 a A 3 nechť značí po řadě výskyt vady 1., 2. a 3. druhu. Výrobek je bez vady pouze v případě, ža nastane jev A 1 A 2 A 3. Zbývá určit pravděpodobnost tohoto jevu. Ze zadání úlohy víme, že jevy A 1, A 2, A 3 jsou nezávislé a tedy musí být nezávislé i jevy A 1, A 2, A 3. Můžeme tedy psát P (A 1 A 2 A 3) = P (A 1)P (A 2)P (A 3) = 0,9 0,95 0,98. = 0,838. Úloha 11: Zařízení se skládá z bloků a 1, a 2 a a 3, které jsou nezávisle na sobě provozuschopné s pravděpodobnostmi 0,95, 0,90 a 0,85. Bloky jsou uspořádany podle schématu na obrázku (ten tady bohužel není, ale snad si to dokážete představit). Větve a 1 a a 2 a 3 jsou zapojeny vedle sebe (paralelně) a bloky a 2 a a 3 ve druhé větvi za sebou (sériově). S jakou pravděpodobností zařízení funguje? (Zařízení funguje, jestliže alespoň jednou větví prochází elektrický proud.) 1. řešení výpočtem: Označme po řadě A 1, A 2 a A 3 jevy, že bloky a 1, a 2 a a 3 jsou provozuschopné. Dále označme F = A 1 (A 2 A 3 ) jev, že zařízení funguje. Pro pravděpodobnost tohoto jevu platí podle vzorce pro sčítání pravděpodobností P (F ) = P [ A 1 (A 2 A 3 ) ] = P (A 1 ) + P (A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 A 3 ). Ze zadání úlohy víme, že jevy A 1, A 2 a A 3 jsou nezávislé a proto z předchozího vztahu obdržíme P (F ) = P (A 1 ) + P (A 2 )P (A 3 ) P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 ) = 0,95 + 0,90 0,85 0,95 0,90 0,85 = 0,988.
9 2. řešení výpočtem: Označme po řadě B 1, B 2 a B 3 jevy, že bloky a 1, a 2 a a 3 mají poruchu. Zřejmě P (B 1 ) = 0,05, P (B 2 ) = 0,10 a P (B 3 ) = 0,15, neboť se jedná o opačné jevy k jevům A 1, A 2 a A 3. Dále označme G = B 1 (B 2 B 3 ) jev, že zařízení nefunguje. Pro pravděpodobnost tohoto jevu platí P (G) = P [ B 1 (B 2 B 3 ) ] = P [ (B 1 B 2 ) (B 1 B 3 ) ] = P (B 1 B 2 ) + P (B 1 B 3 ) P [ (B 1 B 2 ) (B 1 B 3 ) ] = P (B 1 B 2 ) + P (B 1 B 3 ) P (B 1 B 2 B 3 ), kde jsme využili vzorec pro sčítání pravděpodobností a dále vztahy B 1 (B 2 B 3 ) = (B 1 B 2 ) (B 1 B 3 ) (B 1 B 2 ) (B 1 B 3 ) = B 1 B 2 B 3 jejichž platnost pro libovolné jevy B 1, B 2, B 3 si můžete ověřit sami například pomocí Vennových diagramů. Protože jevy A 1, A 2 a A 3 jsou podle zadání úlohy nezávislé, jsou nezávislé také jevy B 1, B 2 a B 3. S využitím vzorce pro sčítání pravděpodobností obdržíme P (G) = P (B 1 )P (B 2 ) + P (B 1 )P (B 3 ) P (B 1 )P (B 2 )P (B 3 ) = 0,05 0,10 + 0,05 0,15 0,05 0,10 0,15 = 0,012. Protože jev G je opačným jevem k jevu zařízení funguje platí pro hledanou pravděpodobnost P (G ) = 1 P (G) = 0,988.
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Vícemezi 12:00 a 13:00. D) jevy A, B, C jsou nezávislé,
Hlasovací otázka 6 Dva kamarádi dorazí na místo schůzky náhodně, nezávisle na sobě, mezi 12:00 a 13:00. Hlasovací otázka 6 Dva kamarádi dorazí na místo schůzky náhodně, nezávisle na sobě, mezi 12:00 a
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VícePodmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
Více1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Více(bridžové karty : 52 karet celkem, z toho 4 esa) [= 0, 0194] = 7, = 4, = 1, = 9, = 1, 77 10
2. cvičení - STATISTIKA Náhodný jev, Pravděpodobnost jevu, Podmíněná pravděpodbnost, Úplná pravděpodobnost, Bayesova věta 1. V cele předběžného zadržení sedí vedle sebe 10 podezřelých, z toho 3 ženy. Jaká
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor014 Vypracoval(a),
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VíceS1P Příklady 01. Náhodné jevy
S1P Příklady 01 Náhodné jevy Pravděpodobnost, že jedinec z jisté populace se dožije šedesáti let, je 0,8; pravděpodobnost, že se dožije sedmdesáti let, je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že jedinec zemře
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
Více( ) ( ) Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů b) dá alespoň jeden koš c) dá nejdříve
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VícePavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE 1 UČEBNÍ TEXT 2 0 1 7 Obsah 1 Vektorové prostory 2 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 2 2 Generování podprostor u............................
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více( ) ( ) 9.2.10 Binomické rozdělení. Předpoklady: 9209
9..1 Binomické rozdělení Předpoklady: 99 Př. 1: Basketbalista hází trestný hod (šestku) s pravděpodobností úspěchu,9. Urči pravděpodobnosti, že z pěti hodů: a) dá košů; b) dá alespoň jeden koš; c) dá nejdříve
Více10. N á h o d n ý v e k t o r
10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina
VíceMatematická analýza III.
3. Implicitní funkce Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 V této kapitole se seznámíme s dalším možným zadáním funkce jejím implicitním vyjádřením. Doplní tak nám již známé explicitní a parametrické
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VícePravděpodobnost kolem nás
Brno, 17. 6. 2011 Pravděpodobnost kolem nás - jak spravedlivě losovat? - je možnost volby vždy výhodou? - který šifrovací zámek chrání nejlépe? - je známka z testu věrohodná? - proč prosperuje casino?
VíceDiskrétní pravděpodobnost
Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(
VíceInterpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
Více4.5.9 Pravděpodobnost II
.5.9 Pravděpodobnost II Předpoklady: 00508 Př. 1: Který z výsledků hodu mincí čtyřikrát po sobě je pravděpodobnější. a) r, l, r, l b) r, r, r, r Oba výsledky jsou stejně pravděpodobné (pravděpodobnost
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Více