ZÁKLADY VYŠŠÍ A FYZIKÁLNÍ

Transkript

1 ZÁKLADY VYŠŠÍ A FYZIKÁLNÍ GEODÉZIE Prof. Ing. Miloš Cimbálník, DrSc. Doc. Ing. Antonín Zeman, DrSc. Prof. Ing. Jan Kostelecký, DrSc České vysoké učení technické v Praze

2 2.9.1 Jednotná evropská nivelační síť EUVN- Evropská výšková referenční síť GPS Literatura ke kapitole ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE ELEMENTÁRNÍ PROSTOROVÉ TRANSFORMACE Pravoúhlé a sférické souřadnicové soustavy Transformace pravoúhlých souřadnic Transformace pomocí rotačních úhlů eulerovského typu ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY Rovm'kové souřadnicové soustavy Transformace mezi astronomickými soustavami ZÁKLADNÍ POJMY Z NAUKY O ČASE Juliánské datum, standardní epochy a převody veličin Rotační časy Vztah mezi hvězdnými a slunečními časy Atomový čas Řízený (koordinovaný) čas Terestrický a barycentrický dynamický čas Čas GPS.: PRECESE, NUTACE, POHYB PÓLU A VARIACE V ROTACI ZEMĚ Precese a nutace Vliv precese na rovm'kové souřadnice Sr Vliv nutace na rovm'kové souřadnice Pohyb pólu a variace v rotaci Země Vliv pohybu pólu na rovníkové souřadnice Srl KONVENČNÍ REFERENČNÍ SYSTÉMY ICRS A ITRS Deftnice konvečních referenčních systémů Pohyby kontinentů- tektonika desek Transformace mezi ICRF a ITRF Transformace mezi ICRF a ITRF od roku PRAKTICKÁ REALIZACE KONVENČNÍHO INERCIÁLNÍHO REFERENČNÍHO SYSTÉMU - SYSTÉM ICRS Počátek souřadnicové soustavy ICRS Základní rovina ICRS Počátek odečtu rektascenzí ICRS Realizace ICRF PRAKTICKÁ REALIZACE KONVENČNÍHO TERESTRICKÉHO RÁMCE CTRS- TERESTRICKÝ GEOCENTRICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM ITRSXX Konvenční souřadnicový terestrický systém - přesnější deftnice Příklad realizace CTRS- referenční rámce ITRF2000 a ITRF SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM ETRS89 -REALIZACE V EVROPĚ Realizace ETRS89 v České republice Realizace souřadnicového systému ETRS89 pomocí sítě permanentních stanic technologie GNSS- síť CZEPOS Transformace mezi ITRF2000 a ETRF89 na území ČR SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM WGS Deftnice systému Literatura ke kapitole 3 218

3 3 ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 3.1 ELEMENTÁRNÍ PROSTOROVÉ TRANSFORMACE Pravoúhlé a sférické souřadnicové soustavy Polohu libovolného bodu v euklidovském prostoru dimenze 3 (E3), ve kterém budeme pracovat, můžeme popsat různými typy souřadnic. V sférické astronomii a kosmické geodézii se nejčastěji používá 1) pravoúhlá souřadnicová soustava, 2) sférická souřadnicová soustava. 1) Pravoúhlá souřadnicová soustava Tři navzájem kolmé jednotkové vektory ex, ey, ez umístěné ve zvoleném počátku O v E3 (viz obrázek 3.1.1) tvoří pravoúhlou (ortogonální) souřadnicovou soustavu. Přímky, které jsou nositelkami vektorů e, nazýváme souřadnicovými osami. Polohu libovolného bodu R, z R :z? ,-y. X y & - """.fo Obrázek : Pravoúhlá souřadnicová soustava který můžeme považovat za koncový bod vektoru r, umístěného v počátku O, vyjádříme jednoznačně jako lineární kombinaci vektorů e r=x.ex +y.ey +z.ez (3.1.1) Veličiny x, y, z pak nazýváme souřadnicemi bodu R. Vynásobíme-li postupně výraz (3.1.1) skalárně vektory ex, ey, ez, dostáváme v důsledku ortogonality vektorů e

4 x= r.ex, y= r.ey, z= r.ez. (3.1.2) Vzpomeneme-li si na geometrický význam skalárního součinu dvou vektorů vidíme, že souřadnice x, y, z vznikají jako průmět vektoru r na souřadnicové osy. V případě, že i r bude jednotkový vektor, platí x=cosa, y=cosp, z=cosy, (3.1.3) kde a, P, r jsou úhly, které svírá vektor r se souřadnicovými osami. Souřadnice jednotkového vektoru pak nazýváme směrové kosiny. Z definice plyne, že splňují podmínku x2 + y2 + z2 = 1. Souřadnicová soustava může být pravotočivá, jak je tomu na obrázku 3.1.1, kdy při pohledu od "konce" osy z přejdeme od osy x k ose y otočením o 90 proti směru hodinových ručiček- tedy v matematicky kladném (a geodeticky záporném) smyslu, podobně od osy y k ose z. Levotočivá soustava by měla orientaci os obráceně. 2) Sférická souřadnicová soustava Sférickou souřadnicovou soustavu tvoří základní rovina a základní směr, jehož počátek leží v základní rovině. Za základní rovinu si zvolme rovinu xy, tvořenou počátkem O a souřadnicovými osami x a y, za základní směr pak směr osy x. Polohu bodu R v prostoru pak určují tři souřadnice r... délka průvodiče r, A.... úhel mezi osou x a průmětem r do roviny xy, rp... úhel mezi průvodičem r a rovinou xy. Veličiny r, rp, A. se nazývají sférické souřadnice bodu R. z.r y :::~ Ř o a dále tedy Obrázek 3.1.2: Sférická souřadnicová soustava Z obrázku platí ORo = r cosrp, x = ORo cos A., y = ORo sin A., z= r sin rp ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 154

5 x = r cos rp cos A, y = r cos rp sin A, z=r sm rp (3.1.4) respektive inverzní vztahy r=~x 2 + y 2 + z 2, A=arctan y, rp= arccot j z arcsin~. (3.1.5) x x2 + y2 r Souřadnicové soustavy můžeme v prostoru umístit a orientovat různým způsobem. Pokud bude orientace v prostoru, resp. v tělese či na jeho povrchu určitým způsobem realizována, můžeme mluvit o souřadnicovém systému Transformace pravoúhlých souřadnic V prostoru E 3 zvolme obecnou souřadnicovou soustavu X, Y, Z a předpokládejme, že v této soustavě máme vyjádřen vektor R. Zvolme další dvě ortogonální souřadnicové soustavy: S (x, y, z) a S' (x ', y ', z'), viz obr Předpokládejme, stejně jako v odstavci 3.1, že souřadnicové osy jsou nositelkami jednotkových vektorů ex, ey, ez respektive ex ', ey ', ez'. Nechť r ar' jsou polohové vektory bodu R v soustavě S, resp. S' a Llr je polohový vektor počátku soustavy S' vůči S Jejich vzájemný vztah vyjadřuje rovnice r= Llr + r'. (3.1.6) Obrázek : Transformace souřadnic Vyjádříme-lir ar' pomocí složek v odpovídajících souřadnicových soustavách, dostáváme xe +ye +ze =Llr+x'e' +y'e' +z'e' X y Z X y z (3.1. 7) Vynásobíme-li skalárně výraz (3.1. 7) postupně ex, ey, ez, dostaneme v důsledku ortogonality vektorů e:

6 (3.1.8) Nahradíme-li nyní příslušné skalární součiny kosiny úhlů, které svírají příslušné osy, můžeme psát x=itt+x' cos(x',x)+ y' cos(y',x)+ z' cos( z',x), (3.1.9a) kde (x ',x}, (y ',x), (z ',x} jsou úhly mezi souřadnicovými osami soustavy S' a soustavy S. Obdobně dostaneme pro další dvě souřadnice y=ay+x' cos(x',y)+ y' cos(y',y) +z' cos(z',y), z =Az+x' cos(x',z)+ y' cos(y',z)+ z' cos( z',z). (3.1.9b) (3.1.9c) Označíme-li nyní S=(~) =(x,y,z)',s' =(;:) =(x',y',z')',m=(~) =(8x,óy,Az)' (3.1.1 O) a dále cos(x',x) cos(y',x) R = cos(x',y) cos(y',y) ( cos(x',z) cos(y',z) cos(z',x)j cos(z',y), cos(z',z) (3.1.11) je možné zapsat (3.1.8) ve tvaru S =AS+ RS', (3.1.12) kde AS je vektor posunu (translace) a R je matice otočení (rotace). Ještě obecnější tvar získáme zavedením matice měřítkových koeficientů K (která má na hlavní diagonále různá měřítka, mimo hlavní diagonálu nuly), pak platí S=AS+RKS'. (3.1.13) Pokud je rozměr (délková míra) v obou soustavách stejná, platí K = E, kde E je jednotková matice. V našich případech budeme velmi často pracovat bez translací AS vzhledem k tomu, že studované objekty (hvězdy, kvasary) se nacházejí ve velkých vzdálenostech. Nejsou-li úhly mezi jednotlivými osami známé, je možné provést transformaci postupně, pomocí tří rotací Transformace pomocí rotačních úhlů eulerovského typu Předpokládejme, že chceme, podobně jako v předchozím odstavci, provést přechod ze soustavy S do soustavy S'. ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 156

7 Zvolme proto dvě pomocné kartézské souřadnicové soustavy S 1 (x 1, y 1, z 1,), S2(x2, y 2, z2) a definujme postupnou transformaci následujícím způsobem: a) Přechod z S do S1: Soustavu S1 umístíme vůči S tak, že ztotožníme počátky O a osy z a ZJ, osa x1 je vůči x pootočena v matematicky kladném smyslu o úhel rov rovině xy, viz obr a, stejně tak osay 1 vůčiy. Na základě výsledků předchozího odstavce pak můžeme psát n ( oosm ~: = -s~nm sinm ~H~l cosm (3.1.14) o Označme ( oosm SlllOJ ~J Z(m) = -s~ OJ COS OJ (3.1.15) o transformační matici, kterou můžeme chápat jako pootočení kolem osy z o úhel ro, vedoucí ke ztotožnění obou soustav. a) b) c) Obrázek a, b, c: Transformace pomocí postupných rotací b) Přechod z S1 do S 2 : Soustavu S2 umístíme vůči S1 tak, že ztotožníme počátky O a osy x 1 a x 2, osa y 2 je vůči y 1 pootočena v matematicky kladném smyslu o úhel Ev rovině YJZJ, viz obrázek 3.1.4b, stejně tak osa z 2 vůči z 1 Na základě výsledků předchozího odstavce pak můžeme opět psát o COS& (3.1.16) -smc Označme

8 o cos s -sin s (3.1.17) transformační matici, kterou opět můžeme chápat jako pootočení kolem osy x o úhel s, vedoucí ke ztotožnění obou soustav. c) Přechod z S2 do S': Soustavu S' umístíme vůči S2 tak, že ztotožníme počátky O a osy y 2 a y ', osa z' je vůči z 2 pootočena v matematicky kladném smyslu o úhel \jl v rovině x 'z', viz obr c, stejně tak osa x' vůči x 2. Analogicky k předchozímu pak můžeme opět psát: x:j _ (COSif/ O -sinlf/j (x 2 J y - O 1 O. Y2 ( z' Sinlf/ 0 COSif/ Z2 (3.1.18) Označme cos 1f O -sin 1f J Y(f//) = O 1 O ( sin 1f O cos 1f (3.1.19) transformační matici, která reprezentuje pootočení kolem osy y o úhel 'I' psát: Spojíme-li nyní všechny výsledky, lze pro přechod (transformaci) ze soustavy S do S' když jsme ještě položili S' = Y( lf/) X( hj Z( m) S = Rlfl&w S, (3.1.20) Rlfl&w = Y(lf/) X(s) Z(m) (3.1.21) Transformační matice Y(lf/), X(s), Z(m) budeme dále velmi často používat. Povšimněme si, že v podstatě nezáleží, jakým symbolem jsme označili rotační úhly, důležité je pouze zachovat vždy (matematicky) kladný směr otáčení. Nejdůležitějším výsledkem tohoto odstavce je skutečnost, že transformaci z jedné euklidovské soustavy do druhé chápeme jako posloupnost otáčení os o známé úhly takovým způsobem, abychom ztotožnili osy původní a nové soustavy. V prostoru E 3 pro takové ztotožnění vystačíme s jednou rotací (pokud bychom znali příslušný úhel), v geodézii používáme zpravidla tři rotace, ale obecně jich může být více, ve speciálních případech poloh os naopak méně. platí: Další důležitou vlastností matic Y( lf/), X( s), Z(m) je, že jsou ortonormální, tedy a podobně pro X( s) a Z{ál). V důsledku (3.3.9) píšeme pro zpětnou transformaci z S' do S (3.1.22) ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 158

9 (3.1.23) Jak uvidíme v dalších odstavcích, budeme v převážné míře pracovat s transformacemi jednotkových vektorů, půjde nám především o transformaci směrů; vzdálenosti nebudou hrát v mnoha případech podstatnou úlohu. V některých případech - zvláště při transformaci geodetických referenčních systémů - se stává, že úhly l.f/, e, OJ nabývají velmi malých hodnot, většinou méně než 5". V tomto případě si pak můžeme dovolit zjednodušení a položit cosl.j/ = 1, sinl.j/ = l.f/, obdobně pro e, m, dále položit s. OJ= O, atd. Pro Rlf/ 601 z (3.1.21) pak platí kde {2} jsou členy druhého řádu. 3.2 ASTRONOMICKÉ SOUŘADNICOVÉ SOUSTA VY Při definici prostorových souřadnicových systémů a transformací mezi nimi budeme potřebovat souřadnicové soustavy, které používá astronomie. Pomocí astronomických souřadnicových soustav vyjadřujeme polohu kosmických těles (hvězdy, kvasary, Slunce, družice) v prostoru, a to nejčastěji pomocí sférických nebo pravoúhlých prostorových souřadnic. Abychom mohli zavést sférickou souřadnicovou soustavu, musíme zvolit sféru (kouli) s určitým poloměrem a základní směry a roviny, které je možné fyzikálně realizovat. Z matematického hlediska je vhodné zvolit poloměr koule roven 1. Za základní směry zvolíme: svislici v daném bodě pozorování, směr rotační osy Země, směr k pólu ekliptiky. Za základní roviny volíme: rovinu horizontu (obzorníku) v daném bodě pozorování (která je definována jako rovina kolmá ke svislici), rovinu rovníku (která je definována jako rovina, kolmá k rotační ose a procházející počátkem souřadnicové soustavy), rovinu ekliptiky (ekliptika je rovina, ve které vykonává Země pohyb kolem Slunce anebo z hlediska pozorovatele na Zemi, ve které je zdánlivě "umístěno" Slunce na obloze). Podle základních směrů a rovin rozdělujeme sférické souřadnicové soustavy na: obzorníkovou souřadnicovou soustavu rovníkovou souřadnicovou soustavu (závislou a nezávislou na čase) ekliptikální souřadnicovou soustavu galaktickou souřadnicovou soustavu Některé z uvedených souřadnicových soustav dělíme ještě podle polohy středu koule na

10 topocentrickou geocentrickou heliocentrickou, obecně "objektocentrickou", neboť počátek může být ve středu jiných těles, např. Měsíce, planet barycentrickou, (počátek je v těžišti sluneční soustavy) Souřadnicové soustavy, které jsou vázány na hmotný útvar a které se pohybují vzhledem k základnímu (nehybnému) prostoru rovnoměrně a přímočaře, nazýváme inerciální souřadnicové soustavy. Tak například souřadnicová soustava vázaná na systém velmi vzdálených zdrojů kosmického záření (kvasary) tvoří inerciální soustavu, naopak jakákoliv souřadnicová soustava pevně spojená s rotující Zemí není inerciální. Detailní studium vztahů mezi jednotlivými astronomickými souřadnicovými soustavami je předmětem geodetické astronomie - viz např. [KABELÁČ, KOSTELECKÝ, 1988]. My se v dalším omezíme pouze na ty soustavy, které budeme potřebovat pro definici prostorových souřadnicových systémů a to rovníkové a ekliptikální Rovníkové souřadnicové soustavy Základním směrem rovníkové soustavy je směr osy rotace Země, která protne jednotkovou kouli v severním světovém pólu Pn a jižním světovém pólu Ps, viz obrázek Základní rovinou je rovina rovníku, kolmá k ose rotace, vedená bodem O. Rovina rovníku protne kouli v hlavní kružnici, kterou nazýváme světovým rovníkem. Roviny procházející světovými póly nazveme deklinačními rovinami, jejich průsečnice s jednotkovou koulí nazýváme deklinační kružnice - viz obr Polohu hvězdy vůči rovníku určuje souřadnice zvaná deklinace 8.. Je to úhlová vzdálenost hvězdy od rovníku měřená podél deklinační kružnice. Deklinace nabývá hodnot v intervalu -90 až 90, měřeno od jižního pólu k severnímu pólu. Vedlejší roviny rovnoběžné s rovinou rovníku protínají jednotkovou kouli v kružnicích, které se nazývají deklinační rovnoběžky. Po deklinačních rovnoběžkách hvězdy vykonávají svůj zdánlivý denní pohyb jako odraz skutečné rotace Země. Polohu hvězdy vůči pólu můžeme také vyjádřit pomocí pólové vzdálenosti p. Je to úhlová vzdálenost hvězdy, měřená po deklinační kružnici od severního pólu. Pro deklinaci a pólovou vzdálenost platí jednoduchý vztah 8 + p=90. Druhou rovníkovou souřadnici můžeme volit dvěma způsoby, podle zvolené pomocné základní roviny. Rozlišujeme tak první a druhou rovníkovou souřadnicovou soustavu Sr 1 a Sr2 1) První rovníková souřadnicová soustava Sr 1, závislá na čase V první rovníkové souřadnicové soustavě- viz obr zvolíme za základní rovinu rovinu místního poledníku. Rovina místního poledníku je definována (pomocí bodu a dvou přímek) jako rovina, tvořená bodem, tížnicí v tomto bodě a rovnoběžkou s rotační osou, umístěnou v tomto bodě. Polohu hvězdy pak určuje hodinový úhel t a deklinace b; která již byla definována. Hodinový úhel je úhel, který svírá rovina místního poledníku s deklinační rovinou, procházející hvězdou. Měříme ho od jižní větve místního poledníku v matematicky záporném smyslu. Může nabývat hodnot 0 až 360, většinou ho však vyjadřujeme v hodinové míře v intervalu oh až 24h. ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 160

11 Jak vyplývá z definice, hodinový úhel je závislý na poloze místního poledm'ku. Ten však v důsledku rotace Země mění neustále svou polohu vůči hvězdám a z toho vyplývá i změna hodinového úhlu. První rovníková soustava je tedy vázána na Zemi a spolu s ní rotuje. Má proto zásadní význam pro měření času odvozeného z rotace Země, to je také důvod, proč je hodinový úhel vyjadřován v hodinové míře. Yr2 Obrázek 3.2.1: Rovníková soustava Srl Obrázek 3.2.2: Rovníková soustava Sr2 Podle obrázku též platí, že úhel, který svírá rovina rovníku s rovinou obzorníku, je roven 90 ~ rp. Orientujme pravotočivou pravoúhlou souřadnicovou soustavu tak, že osa +xrl bude procházet průsečíkem místního poledníku s rovníkem, osa +zrl severním pólem Pn a osa +y,j východním bodem E. Aplikujme vztahy (3.1.4) na jednotkovou kouli. Obdržíme vztahy mezi systémem směrových kosinů (x, y, z)n v první rovníkové soustavě a rovníkovými souřadnicemi t, ď v téže soustavě ve tvaru ( x) ( cosďcost) srl = y = -co~ďsint ' z rl smď (3.2.1) respektive t = arctan(- y), ď = arcsinzlr1. X rl (3.2.2) 2) Druhá rovníková souřadnicová soustava Sr2 nezávislá na čase Země obíhá kolem Slunce v rovině, která svírá s rovinou světového rovníku úhel přibližně rovný 23.5 a nazývá se rovina ekliptiky. Název pochází z řeckého slova "ekleipsis" a znamená zatmění. Pozoro:vateli na Zemi se skutečný pohyb Země kolem Slunce jeví jako zdánlivý pohyb Slunce po obloze, po hlavní kružnici, zvané ekliptika. Ekliptika protíná světový rovm'k ve dvou bodech~ obr Průsečík, kterým prochází Slunce v den

12 jarní rovnodennosti, nazýváme jarní bod a označuje se astronomickým symbolem souhvězdí Berana, ~ - Aries (beran). Druhý průsečík, kterým prochází Slunce v den podzimní rovnodennosti, se nazývá podzimní bod a označuje se symbolem ::9::- Libra (váhy). Za pomocnou základní rovinu druhé rovníkové soustavy zvolíme deklinační rovinu procházející jarním bodem. Takto vytvořenou deklinační kružnici zvolíme za nulovou. Polohu hvězd v této soustavě určujeme pomocí rektascenze a a již definované deklinace 8. Rektascenze je úhel mezi deklinační rovinou procházející jarním bodem a deklinační rovinou hvězdy, nebo na jednotkové kouli úhel mezi jarním bodem a deklinační kružnicí. Při definici pravoúhlé sousta;1 podle obr se a měří v matematicky kladném smyslu od jarního bodu v intervalu O až 24h. (Někdy se také označuje AR z latinského "ascensio recta" - pravá vzdálenost). Porovnáme-li obě rovm'kové souřadnicové soustavy, vidíme, že deklinace je v obou soustavách stejná, nezávislá na rotaci Země a na poloze místa pozorovatele, ale hodinový úhel a rektascenze se liší. Uvědomme si, že rektascenze nezávisí na poloze místa pozorovatele ani na rotaci Země, protože se měří od jarního bodu. Z těchto důvodů druhá rovníková soustava nerotuje - je tak do jisté míry nezávislá na čase - a proto se využívá na sestavení katalogů souřadnic hvězd, efemerid (souřadnic) Slunce, Měsíce a planet. Poznámka: Nezávislost na čase není úplná, protože jak uvidíme dále v odstavci zabývajícími se precesí a nutací, mění jarní bod, rovina rovníku a ekliptiky polohu vůči stálicím. Tato změna je však řádově menší, než změna hodinového úhlu o 360 za den. Orientujme pravotočivou pravoúhlou souřadnicovou soustavu tak, že osa +x 72 bude procházet jarním bodem, osa +zrl severním pólem Pn a osa +yr2 tvoří pravotočivou souřadnicovou soustavu. Aplikujme vztahy (3.1.4) na jednotkovou kouli. Obdržíme vztahy mezi systémem směrových kosinů (x, y, z)n ve druhé rovníkové soustavě a rovníkovými souřadnicemi a; o v téže soustavě ve tvaru ( x) (cosocosaj sr2 = y = cos~sina ' z r2 smo (3.2.3) respektive a= arctan(y), o= arcsinzlrz. X r2 (3.2.4) Ekliptikální souřadnicová soustava Základní rovinou ekliptikální souřadnicové soustavy Seje rovina ekliptiky, která protíná jednotkovou kouli v hlavní kružnici zvané ekliptika- viz obrázek Ekliptika svírá s rovníkem úhel c, který se nazývá sklon ekliptiky. Průsečnice roviny ekliptiky a roviny rovníku směřuje do jarního, respektive podzimního bodu, jak již bylo uvedeno výše. Hlavním směrem je směr kolmý k rovině ekliptiky, protíná kouli v pólech ekliptiky Pe a Pe Hlavní ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 162

13 roviny proložené osou ekliptiky protínají kouli v šířkových kružnicích. Šířkovou kružnici procházející jarním bodem zvolíme za výchozí (nulovou). Polohu hvězdy H v ekliptikální souřadnicové soustavě vyjadřujeme ekliptikální délkou A. a ekliptikální šířkou P. Ekliptikální délka je úhel, který svírá nulová šířková rovina s šířkovou rovinou vedenou hvězdou. Měří se od jarního bodu v matematicky kladném smyslu v intervalu 0 až 360. Ekliptikální šířka je úhel, který svírá směr ke hvězdě OH s rovinou ekliptiky, měří se podél šířkové kružnice. Nabývá hodnot -90 až 90 při měření od Pe směremkpe. Ye Obrázek 3.2.3: Ekliptikální soustava Se Orientujme pravotočivou pravoúhlou souřadnicovou soustavu tak, že osa +xe bude procházet jarním bodem, osa +ze pólem Pe a osa +ye tvoří pravotočivý systém. Aplikujme vztahy (3.1.4) na jednotkovou kouli. Obdržíme vztahy mezi systémem směrových kosinů (x, y, z)e v ekliptikální soustavě a ekliptikálními souřadnicemi A., fj v téže soustavě ve tvaru ( x] (cos fj cos A.] se = y = cos~sina. ' z smfj e (3.2.5) respektive A.= arctan(~), fj = arcsinzle. e (3.2.6) Transformace mezi astronomickými soustavami Transformace Sd <=;> S!é Podle obrázku a s použitím výsledků odstavce 3.1 vidíme, že ze soustavy Srl přejdeme do Sr2 pootočením o úhel s, který svírá rovina místního poledníku s deklinační rovinou procházející jarním bodem kolem osy Zrl = Zr2 v matematicky záporném smyslu. Naopak, ze soustavy 8, 2 přejdeme do Sr 1 otáčením kolem téže osy v opačném smyslu, tedy

14 ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE Sr 2 = Z(-s)Sr 1 S 71 = Z(s)Sr 2 (3.2.7) Úhel s se nazývá místní hvězdný čas. Z hlediska soustavy Srl je s hodinovým úhlem jarního bodu, tedy docházíme k důležité definici: místní hvězdný čas s je roven hodinovému úhlu jarního bodu. Dosazením do výrazu (3.2.7) z (3.1.15), (3.2.1) a (3.2.3) dostáváme vztah mezi rektascenzí a a hodinovým úhlem t, který je též okamžitě zřejmý z obrázku t=s-a. (3.2.8) V případě, že výchozím poledníkem je Greenwichský poledník (podle mezinárodní konvence jde o poledník, pro který platí A. (zeměpisná délka)= 0 ), nazývá se Greenwichský hodinový úhel jarního bodu Greenwichským (světovým) hvězdným časem a značí se S, nebo GMST (Greenwich mean sideral time). Platí analogicky Greenwichský (světový) hvězdný čas S je roven hodinovému úhlu jarního bodu, pokud je výchozím poledníkem Greenwichský poledník Obrázek 3.2.4: Transformace mezi astronomickými soustavami S, 1 a S, 2 Transformace Se ~ S!f Podle obrázku vidíme, že ze soustavy S,2 přejdeme do Se pootočením o úhel s, který svírá rovina rovníku s rovinou ekliptiky, kolem osy Xe = x, 2 v matematicky kladném smyslu. Naopak, ze soustavy Se přejdeme do S,2 otáčením kolem téže osy v opačném smyslu, tedy Se =X( s) Sr 2 Sr 2 = X(-e)Se ' (3.2.9)

15 kde transformační matice X je definována výrazem (3.1.17). Ye Yr2 Obrázek 3.2.5: Transformace mezi astronomickými soustavami S 7 2 a Se,, v 3.3 ZAKLADNI POJMY Z NAUKY OCASE Čas je jednou ze základních fyzikálních veličin. Jeho výsadní postavení mezi těmito veličinami spočívá však v tom, že veškeré dění je funkcí času. Čas je argumentem pohybu, změny hmotnosti, množství světla atd. Čas vyjadřuje trvání dějů. Závislost na čase není přirozeně u všech jevů stejně silná. Tak například změny v poloze umělých družic Země jsou jistě zřetelnější než změny v poloze litosférických bloků (zemských ker). Změny v poloze hvězd vůči obzorníkové souřadnicové soustavě jsou jasně pozorovatelné, kdežto změny v polohách hvězd vůči sobě jsou o mnoho řádů menší. Nebo jinak: odpradávna je zřetelná rotace Země, ale změny v rotaci byly zjištěny jen před několika desítkami let. O čase, jako filozofické ka~egorii, se hovoří jinde. Úkolem času v astronomii a ve fyzice vůbec je záznam děje, neboli přiřazení časových údajů jednotlivým jevům. Jmenujme například: určení času průchodu hvězdy místním poledníkem, zákryty a zatmění Jupiterových měsíců, zatmění Slunce atd. Tím vzniká první požadavek, a to je měření času. Abychom mohli ve stejném časovém systému zaznamenat dva časově vzdálené jevy, je nutné umět čas udržovat. A to je druhý požadavek. Tyto dvě skutečnosti je možno zajistit: pomocí periodických a diskrétních jevů (astronomické úkazy), nebo pomocí nepřetržitého a měřitelného procesu (hodiny). Požadavkem je, aby čas byl rovnoměrný z důvodů jeho interpolace a extrapolace. V dalším bude proto snahou veškeré nepravidelnosti vyloučit. Uchýlíme se nyní k porovnání: abychom mohli pracovat s délkami, je nutné definovat počátek a délku jednotky. O čase platí obdobné. Je tedy nutné definovat počáteční okamžik (epochu) a časové jednotky, jimiž je dáno časové měřítko (etalon, škála), odpovídající zvolenému časovému systému. Z historického hlediska býval čas záležitostí astronomů. Vedly k tomu periodicky se opakující jevy, např. rotace nebeské sféry, výskyt zatmění a zákrytů hvězd Měsícem ap. Po

16 zjištění nepravidelností v rotační rychlosti Země, které jsou relativní velikosti 10" 6, přešla tato starost na fyziky. Měření a uchovávání času se tak stalo záležitostí fyzikální. Systematickým dělením časů se zabývá astronomie a fyzika. My zde zavedeme pouze nejnutnější pojmy, potřebné pro definici globálních souřadnicových systémů Juliánské datum, standardní epochy a převody veličin Aby bylo možné průběžně vyjadřovat časové údaje v co největším časovém období, bylo zavedeno již v 16. století tzv. juliánské datum (JD) o juliánské periodě 7980 let. Autorem je Francouz Josephus Justus Scaliger ( ). Počátek - epocha JD -je ve 12h dne 1. ledna 4713 před n.l., t.j ve 12h dne 1. ledna r a je současně počátkem astronomického kalendáře. Časová jednotka je juliánský den, který dělíme na 24 hodin po 60 minutách, minutu po 60 sekundách. Naopak juliánský rok obsahuje a juliánské století juliánských dní. Juliánské datum pro libovolný okamžik se vyjadřuje číslem, jehož celá část odpovídá začátku daného juliánského dne a desetinná část zlomku tohoto dne od jeho začátku až po daný okamžik - obecný čas. Juliánské datum JD pro Oh UTl (význam viz dále) libovolného data (dne d, měsíce m, roku r) je možné vypočítat podle vzorce JD = [r' ] + 2 +[ 4 ~ 0 J-L:o]+ [30.600l (m' +I)]+ d (3.3.1) kde prom= 1, 2 platí r' =r-l, m' = m+ 12, prom= 3, 4,..., 12 platí r' = r, m' = m. Hranatá závorka[.. ] znamená, že je třeba brát do výpočtu pouze celočíselnou část příslušného výrazu. Juliánské datum bývá též pro každý den příslušného roku tabelováno v astronomických ročenkách (v České republice jde o Hvězdářskou ročenku). (MJD). Platí Namísto JD se často zavádí (pro snazší počítání) modifikované juliánské datum MJD = JD (3.3.2) Začíná tedy o půlnoci jako kalendářní den a ušetří první dvě cifry. Soustava MJD začíná v MJDo = Oh UTl (zkratka UTl bude vysvětlena později) dne 17. listopadu 1858, kdy je JD rovno , což je jeho epochou. kalendáře Tabulka Standardní juliánské epochy v JD, MJD a v datech občanského Rok JD Juliánská MJD epocha obč. 12h UTl = oh UTl h UTl kal. =12h UTl Epocha znamená jistý, přesně definovaný okamžik na určité časové škále. K tomuto okamžiku se vztahují např. souřadnice hvězd různých katalogů, základní elementy, efemeridy

17 planet, numerické hodnoty proměnné s časem ap. Rozhodnutím XVIII. valného shromáždění Mezinárodní astronomické unie (IAU) byla zavedena standardní juliánská epocha J2000.0, o níž bližší udává tab Převod veličin z výchozí epochy na jinou epochu a jiný obecný čas popíšeme podle doporučení, platících od 1. ledna Nechť hledaná veličina X je funkcí času ve tvaru Andoyerových - Eulerových rozvojů x-(k +K'T+i.\."T 2 +K)+(K +K'T+K"T 2 +K)t+ - O O O I I I +(K 2 +K2T+Kí_'T 2 +K )t 2 +K (3.3.3) kde K 0,Kó,K,K~>Kí,K,K 2,Kí,K jsou číselné hodnoty koeficientů platících pro výchozí epochu , tedy pro JD Dále pak T = ( J s ) I [juliánské století], (3.3.4) převádí koeficienty K 0,Kó,K,K~>Kí,K,K 2,Kí,K v rovnici (4.1.3) z epochy na jinou počáteční epochu o juliánském datu Js. Z této epochy přejdeme na obecný čas JE pomocí vztahu t =(JE- J8 )I [juliánské století] Rotační časy Rotační časy jsou odvozeny z periodického rotačního pohybu Země kolem její rotační osy. Jsou proto nazývány časy rotačními. Všechny tyto časy jsou nerovnoměmé. V minulosti však tvořily základní časové soustavy. Nyní slouží zejména k popisu nepravidelností rotační rychlosti Země. Podle toho, zda jsou vázány na zdánlivý pohyb hvězd nebo Slunce, je možno je dělit na časy hvězdné časy sluneční Rotační časy defmujeme pomocí hodinového úhlu "výchozího objektu". Pro definici hvězdného času je výchozím objektem fiktivní hvězda se souřadnicemi v Sr2: a= Oh, o = 0 Oarní bod). Pak definujeme (ve shodě s definicemi odstavce 3.2): hvězdný čas je hodinový úhel jarního bodu: s = t v platí Pokud budeme dále precizovat hvězdný čas s ohledem na druh výchozího poledníku, greenwichský (světový) hvězdný čas S je vztažen k základnímu (greenwichskému, nultému) poledníku. místní hvězdný čas s je vztažen k místnímu poledníku Dále je zřejmé, že platí

18 ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE s-s=a (3.3.5) A zde označuje východní zeměpisnou délku. Pro definici slunečm'ho času je "výchozím objektem" Slunce. Pak definujeme tzv. pravý sluneční čas jako hodinový úhel pravého (tj. skutečného Slunce): p = t h. (Korekce o 12h je zavedena z toho důvodu, že sluneční čas počítáme od půlnoci). Pokud budeme dále precizovat sluneční čas s ohledem na druh výchozího poledníku, platí Pravý světový (greenwichský) sluneční čas P je hodinový úhel f7 0 pravého (skutečného) Slunce, zvětšený o 12h, t.j. místní pravý sluneční čas p je: (3.3.6) kde t 0 je hodinový úhel pravého Slunce, vztažený k místnímu poledníku. Jistě platí, že p-p=a, (3.3.7) A zde opět označuje východní zeměpisnou délku. Nevýhodou pravého slunečního času je, že je (výrazně) nerovnoměrný. Je to způsobeno dvěma skutečnostmi: Slunce se nepohybuje po rovm'ku, ale v ekliptice, takže i v případě rovnoměrného pohybu Slunce v ekliptice se bude hodinový úhel, který je měřen vůči rovníku měnit nerovnoměrně Slunce se v ekliptice nepohybuje rovnoměrně v důsledku Keplerových zákonů (viz, [KABELÁČ, KOSTELECKÝ, 1988], kap. 3). Proto se pro měření slunečního času používá fiktivní Slunce, které je umístěno na rovník, po kterém se pohybuje rovnoměrně. Toto Slunce nazýváme střední Slunce. Vztah mezi pravým a středním slunečním časem určuje pak časová rovnice E, která dosahuje až 16 minut - více viz např. v [KABELÁČ, KOSTELECKÝ, 1988], kap. 10. Pak analogicky k předchozímu definujeme: Střední greenwichský sluneční čas (světový čas UT) M je greenwichský hodinový úhel tu 0 středního Slunce, zvětšený o 12 h, t.j. M= f/ h, (3.3.8) kde tu 0 je hodinový úhei středního Slunce vztažený k základnímu poledníku. Pro místní střed.aí sluneční čas m platí, že

19 kde t 0 je hodinový úhel středního Slunce, vztažený k místnímu poledníku. Jistě platí, že m-m= A, (3.3.9) A zde označuje východní zeměpisnou délku. Praktický význam bude pro naše úvahy mít pouze střední greenwichský sluneční čas M, který se označuje UTl a nazývá se rotační čas protože kopíruje nerovnoměrnosti v rotaci Země Vztah mezi hvězdnými a slunečními časy V tomto odstavci vyjasníme vztah mezi časovými intervaly ve hvězdném a slunečním čase. Rotace Země kolem své osy způsobuje zdánlivé denní otáčení oblohy. V případě Slunce však ještě k tomuto otáčení musíme přidat jeho vlastní zdánlivý pohyb na obloze - za rok musí "stihnout" oběhnout Zemi (ve skutečnosti Země obíhá kolem Slunce), to znamená, že se "otáčí" rychleji než hvězdy. Definujme den jako dobu, která uplyne mezi dvěma po sobě jdoucími kulminacemi příslušného objektu Garního bodu v případě hvězdného času a fiktivního Slunce v případě slunečního času). Pak po uplynutí hvězdného dne se musí Země za Sluncem ještě pootočit cca o 1, aby kulminovalo Slunce (to se mezitím v důsledku oběhu Země kolem Slunce posunulo cca o 1 o (plný kruh má 360, rok 365 dní)). Z toho plyne, že hvězdný den má o něco menší délku než sluneční den a naopak. Pro matematické vyjádření je výhodnou srovnávací jednotkou je tzv. tropický rok. Ten je definován jako doba, která uplyne mezi dvěma po sobě jdoucími průchody Slunce jarním bodem. Pak platí tropický rok ve hvězdném čase= ( ) dnů= 1 + = tropický rok ve středním čase dnů fl Hodnota je zjištěna z dlouhodobých pozorování. Důležité však je, že v čitateli musí být o jedničku více, protože za jeden rok je přesně o jeden hvězdný den více než dnů slunečních. Převodní koeficient 1 + fl je pak možno používat pro převod jakýchkoliv časových intervalů ve slunečním čase na intervaly ve hvězdném čase. Platí např.: (3.3.10a) kde So je greenwichský hvězdný čas pro Oh času UTl příslušného dne (tato hodnota je tabelována v astronomických ročenkách). Schematicky můžeme tedy psát S= /(UTl) (3.3.10b) Atomový čas Atomový čas je tzv. fyzikální čas a je následníkem tzv. času efemeridového, který byl odvozen z pohybů planet ve sluneční soustavě. Takto odvozená časová škála je totiž

20 ÚVOD DO KOS rovnoměrnější, než časová škála odvozená z rotace Země. Rotace Země se totiž v důsledku slapového tření a dalších fyzikálních jevů zpomaluje. Přesná definice atomové sekundy, která je v souladu s Mezinárodní soustavou měrových jednotek SI, zní: Atomová sekunda je určena dobou J1 770 kmitů, které přísluší atomu cesia 1JJ při přechodu mezi hladinami F = 4, M = O a F = J, M = O základního stavu bez vlivu vnějších magnetických polí. (XIII. konference Mezinárodního komitétu pro váhy a míry, Paříž 1967). Další jednotky atomového času, označme je (A), jsou: 1 d(a) = 24h(A) = 1440m(A) = (A).. Na této definici byla a je založena škála atomového času, jehož počáteční relativní přesnost byla 10" 12 Vývoj atomového času má svou historii. V současné době se používá soustava atomového času AJ (nový). Soustava atomového času A3 (nový) byla zavedena 1. ledna 1966 jako zvážený průměr ze všech atomových hodin, pracujících v systému Mezinárodní časové služby BIH (Bureau International de l'heure). Stanice Boulder, USA, měla váhu 5, všechny ostatní 1. Celkový jejich počet byl deset. Pro Oh dne 1. ledna 1966 platilo UT2 =AJ. (Čas UT2 = UTI + variace, působené slapy, je tedy "rovnoměrnější" než UTl). V roce 1975 byl systém AJ označen jako systém mezinárodního atomového času lat (International Atomic Time, označovaný též TAJ) na základě rozhodnutí XIV. Mezinárodní konference pro míry a váhy. Ke konci 70-tých let bylo zapojeno v tomto mezinárodním programu na 30 stanic včetně pražského Ústavu radiotechniky a elektroniky ČSAV (ÚRE ČSA V). Výsledky shromažd'ovala a zpracovávala Mezinárodní časová služba BIH (Bureau International de l'heure) v Paříži. Atomový čas TAO) j-té laboratoře (stanice) je zjišťován elektronickými metodami. Kromě těchto odečtů jsou jednotlivé časy TA(j) vzájemně porovnávány pomocí televizních signálů, geostacionárních družic a pomocí přenosných atomových hodin, v poslední době též pomocí družic systému NAVSTAR-GPS. Jednotlivé časy TA(j} se liší vzájemně nejen systematickými odchylkami, ale i rozdílnostmi, vyplývajícími z relativistických vlivů v důsledku rotace Země. Závisí tedy na nadmořské výšce a zeměpisné šířce dané laboratoře. Po zavedení oprav je vypočten čas TAJ z jednotlivých opravených TA(j) jako jejich zvážený aritmetický průměr. V roce 1997 mezinárodně spolupracovalo 50 laboratoří s 282 hodinami různých typů, založenými na cesiovém standardu nebo vodíkovém maseru. Relativní přesnost výsledného atomového času TAJ je již asi 1 o- 14 a potud je ho možno považovat za rovnoměrný. Od 1. ledna 1988 přešla Mezinárodní časová služba BIH do kompetence Mezinárodního úřadu pro váhy a míry BIPM (Bureau International des Poids et Mesures). Údaje o TAJ jsou vydávány v cirkuláři Tl BIPM od 1. března Čas TAJ je základním časem pro astrometrii a kosmickou geodézii včetně GNSS Řízený (koordinovaný) čas Pro účely praktických měření a užití vůbec v občanském životě je čas TAJ nevhodný z teoretických a provozních důvodů. Proto je z něho odvozován tzv. řízený (koordinovaný) světový čas UTC (Universa! Time Coordinated), který slouží především k produkci časových radiových signálů a tím plní funkci občanského času. Jelikož život je vázán na skutečnou, t.j. nepravidelnou rotaci Země, kterou podchycuje rotační světový čas UTI, je nutné vázat UTC

21 na čas UTl. Výsledný čas UTC má být však současně v jednoduchém vztahu k času TAJ. Musí proto splňovat následující podmínky, viz obr : Sekunda času UTC je rovna sekundě času TAJ. Chod UTC vůči TAJ je tudíž nulový a čas UTC je časem rovnoměrným Rozdíl TAJ - UTC = n, kde n je počet celých kladných nebo záporných sekund. Hodnota n závisí na podmínce, aby rozdíl IUTI-VTcj < 0.9 s. Hodnotu DUT1 = UTl - UTC je třeba soustavně určovat astronomicko-geodetickým měřením metodami kosmické geodézie, protože variace v rotaci Země nelze doposud přesně teoreticky modelovat. Aby byla splněna druhá a třetí podmínka, je nutné měnit čas UTC skokem, a to o +I s, jestliže se UTl - UTC blíží k hodnotě +0.9s, a o -1 s, jestliže se UTl - UTC blíží hodnotě -0.9s. Podle potřeby se tak děje v poslední sekundě 31. prosince a případně i 30. června. Znamená to, že v prvním případě, kdy UTl - UTC ~ 0.9s, je nutno UTC zvětšit skokem o + ls, takže po 23h59m58 8 UTC následuje za 1 sekundu čas ohomos prvního dne následujícího měsíce. Ve druhém případě, který je častější, kdy UTl - UTC s, je tedy nutno UTC zmenšit skokem o minus ls, následuje po 23h59m59s UTC za 1 sekundu 23h59m60 8 UTC a poté ohomos prvního dne následujícího měsíce. Z těchto důvodů byl rozdíl TAJ- UTC v roce roven 12s, v roce již 23s a v roce 2006 je tato hodnota 33s. Vzhledem k tomu, že variace v rotaci, tedy i variace v UTl vůči UTC nelze přesně předvídat, není možné ani vložení či vypuštění sekundy plánovat do budoucna. Příklad rozdílů DUTl = UTl - UTC je uveden pro jednotlivá data v tab. 3.2, která dále ukazuje skok v čase UTC o jednu sekundu a rozdíly UTl- TAL Platí, že (UTl-UTC)- (UTl-TAl)= TAJ- UTC= 33s pro rok Veličina DUTl se určuje pozorováním metodami kosmické geodézie a je tabelována v Bulletinech IERS (IERS- International Earth Rotation and Reference Systems Service). T a b u lk a R oz díl uy DUTl = UTl -UTC a UTl -TAJ Datum 1987/1988 MJD DUTI = UTl - UTC UTl- TAJ Oh UTC s s s s s Ll s s s s s

22 ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE Obdobně k času TA(j) j-té observatoře existuje i čas UTC(j), přičemž rozdíly TA(j) - UTC(j) jsou získány elektronicky a řízeny tak, aby byly rovny rozdílu TAJ- UTC, tj. celému počtu sekund Terestrický a barycentrický dynamický čas Na základě rezolucí Mezinárodní astronomické unie IAU z roku 1976 a 1979 byly definovány dva nové časy. Protože se váží na pohyb těles sluneční soustavy, nazývají se dynamické časy. Jsou jimi terestrický dynamický čas TDT {Terrestrial Dynamical Time) a barycentrický dynamický čas TDB (Time Dynamical Barycentric). Oba dva časy jsou vázány na atomový čas TAJ. Terestrický dynamický čas má délku sekundy shodnou s časem TAJ. Chod času TDTvůči TAJ je tedy nulový, viz obrázek Platí tak TDT =TAJ s. (3.3.11) Čas TDT je nezávislým časovým argumentem pohybových rovnic a od 1. ledna 1984 je argumentem v efemeridách Slunce, Měsíce a planet. Plně tak nahradil výše zmíněný efemeridový čas. Pro terestrický dynamický čas se používá různého označení, takže TDT= TT=DČ. Barycentrický dynamický čas TDB se liší od času TDT o variace působené jako důsledek teorie relativity. Pro praktické použití se většinou nahrazuje časem TDT Čas GPS Dalším důležitým časovým standardem je čas GPS, který je definován rovnicí GPS= TAJ (3.3.12) Tento čas byl zvolen tak, aby rozdíl mezi časem GPS a UTC byl roven nule v tzv. standardní epoše GPS 6. ledna 1980.

23 TAl - UTC t------'------'-----'~--...~ ~ TDT(=TI) -UTC > TAI-GPS =19 s 40 "'O 35 c ::J o ~ ET ID 30 Cf) s 15 TAI-TDB TAl- TDT(=TI) I I I I rok 10 5 o Obrázek 3.3.1: Atomový čas TAJ, řízený (koordinovaný) čas UTC, čas GPS, světový čas UTl, dynamický čas terestrický TDT a barycentrický TDB. Index j značí }-tou časovou stanici

24 ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 3.4 PRECESE, NUTACE, POHYB PÓLU A VARIACE VROTACIZEME Precese a nutace v Světové póly rovníku a ekliptiky, a spolu s nimi i rovník a ekliptika, mění svoji polohu v prostoru. To znamená, že se ustavičně mění základní směry a roviny rovníkového a ekliptikálního systému a tím i poloha jarního bodu vůči stálicím. Jelikož je jarní bod počátkem obou souřadnicových soustav, mění se rektascenze a ekliptikální délka, díky zrněně polohy rovníku a ekliptiky se mění deklinace a ekliptikální šířka hvězd. Jev precese a nutace je způsoben gravitačním působením Slunce, Měsíce a planet na zploštělou Zemi. Obrázek 3.4.1: Znázornění jevu precese, nutace, variace v rotaci Země a pohyb pólu, převzato z [KOSTELECKÝ, VONDRÁK, 2003] Složitý pohyb světových pólů a rovin rozkládáme na 1) sekulární (věkovitou) složku zvanou precese 2) periodické složky zvané nutace Podle sil, které způsobují jednotlivé složky, rozeznáváme a) lunisolární precesi a nutaci, kterou způsobuje Měsíc a Slunce, mění se poloha rovníku, b) planetární precesi a nutaci, která vzniká rušivým působením planet sluneční soustavy na polohu roviny dráhy Země - ekliptiku. Celkový vliv lunisolární a planetární precese na pohyb jarního bodu se nazývá generální (obecná) precese.

25 Precese Vlivem lunisolární precese - viz obr se zemská osa se pohybuje po plášti kužele s vrcholovým úhlem, který je roven sklonu ekliptiky E = Tento pohyb se děje v matematicky záporném smyslu, doba oběhu trvá přibližně let, a nazývá se platonský rok. V důsledku pohybu světového pólu mění svou polohu i světový rovník, a tím i jarní bod jako průsečík světového rovníku a roviny ekliptiky. Hodnotu posunu činí 50.3" za rok. Pohyb středního světového pólu není přesně kruhový, ale spirálovitý, protože se v důsledku planetární precese pohybuje i pól ekliptiky. Pohyb pólu ekliptiky je způsoben rušivým účinkem planet, především Venuše a Jupitera, na dráhu Země kolem Slunce, a tím i na polohu roviny ekliptiky. Výsledkem je, že se pól ekliptiky pohybuje v záporném směru po přibližně kruhové dráze s poloměrem 90'. Jednu otočku, která také není uzavřená, vykoná přibližně za let. V důsledku tohoto pohybu mění svou polohu i průsečík roviny ekliptiky a rovníku - jarní bod. Tímto způsobem vzniká planetární precese, která je však ve srovnání s lunisolární precesí podstatně menší. Na rozdíl od lunisolární precese se zde mění i sklon ekliptiky & zhruba o " za rok, jarní bod se posune o 0.125" za rok ve směru oběhu Země kolem Slunce. Světový severní pól Pn se z důvodů precese pohybuje mezi stálicemi. V současné době se nachází blízko hvězdy a Ursae Minoris (Malá Medvědice), která je tak v současnosti naší polární hvězdou - lidově zvanou Polárka. Do roku 2100 se bude Pn stále Polárce přibližovat až na hodnotu 28', potom se bude vzdalovat. Kolem roku 4000 bude světový pól v blízkosti hvězdy ycephei a kolem roku se naší Polárkou stane a Lyrae. Nutace Poloha Měsíce a Slunce se vzhledem k Zemi periodicky mění. Díky tomu se mění moment sil vzájemného působení Země, Měsíce a Slunce. Vliv Měsíce je přibližně dvakrát větší než vliv Slunce. Díky tomu se pak periodicky mění poloha rotační osy vůči ose ekliptiky. Tuto změnu lze také vyjádřit jako periodický - přibližně eliptický - pohyb pólu Pn kolem středního pólu Pn a nazývá se nutace. Pohyb je v prvním přiblížení eliptický a probíhá v matematicky záporném směru při pohledu na kouli zvnějšku. Základní perioda nutace s amplitudou 9.21" a periodou 6798 dnů (18.62 let) je způsobena pohybem uzlové čáry Měsíce (změnou délky výstupního uzlu Měsíce, uzlová čára je spojnice Země s bodem, ve kterém protíná dráha Měsíce ekliptiku). Uzlová čára Měsíce se za tuto dobu otočí o 360 v retrográdním směru v důsledku vlivu zploštění Země na dráhu Měsíce. V současné době je pro redukci nejpřesnějších pozorování nutno uvažovat i planetární nutaci, která je podobně jako precese působena planetami sluneční soustavy Vliv precese na rovníkové souřadnice Sr2 Vlivem generální precese se vůči inerciální soustavě (spojené se stálicemi) změní směr osy rotace Země a směr osy ekliptiky a spolu s nimi i polohy základních rovin, poloha rovníku, ekliptiky a poloha jarního bodu. Důsledkem těchto změn je změna rovníkových a ekliptikálních souřadnic. Vzhledem k tomu, že katalogy souřadnic uvádějí polohy hvězd v rovníkové soustavě Sr 2, bude nejdůležitější úlohou vyjádřit vliv precese právě na tento typ souřadnic.

26 ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 176 Obrázek 3.4.2: Vliv precese na rovníkové souřadnice Vyjdeme z obrázku Střední polohu rovníku, ekliptiky a jarního bodu v základní epoše to označíme r 0, eo a Xo. Vlivem generální precese zaujmou v epoše t1 novou polohu r, e a :r_. Roviny rovníku v základní epoše a rovníku v epoše t1 se protnou v přímce A, A '. Rovina kolmá k přímce A, A', procházející počátkem O, protne obě polohy rovníku v bodech M,M'. Definujme nyní nové úhlové veličiny S, e, z následujícím způsobem: t; je úhlová vzdálenost XoM měřená v rovině rovníku r 0, B je úhlová vzdálenost MM' měřená v rovině kolmé k přímce A, A', procházející počátkem O, z je úhlová vzdálenost M' X měřená v rovině rovníku r. V úvodu jsme se zmínili, že budeme pracovat ve druhé rovníkové souřadnicové soustavě. Zaveďme obvyklým způsobem pravoúhlou soustavu, tak jak jsme to učinili v kapitole 3.1. Osa xo (nulu použijeme pro označení epochy to) bude pak procházet jarním bodem X, 0, osa zo světovým pólem a osa Yo doplní soustavu na pravoúhlou. Pro epochu t 1 bude osa x 1 procházet jarním bodem X,, osa ZJ světovým pólem v epoše t 1 a osa y 1 doplní soustavu na pravoúhlou. Pro přechod ze soustavy v epoše to do soustavy v epoše t1 pak použijeme rotačních matic z kapitoly 3.1 a rotaci provedeme pomocí úhlových veličin S, e, z. Podle obrázku pak bude platit (3.4.1) první rotaci jsme provedli kolem osy zo o úhel t; v matematicky záporném smyslu, druhou kolem osy YI = A,A' v kladném smyslu o úhel e a třetí kolem osy z 1 v záporném smyslu o úhel z. Tímto způsobem převedeme souřadnice ze základní epochy to (J2000.0) na tzv. střední souřadnice v epoše lt. (O "středních" souřadnicích hovoříme, zavedeme-li na výchozí souřadnice vliv precese). Zaveďme označení Pak matici P nazýváme precesní matice. P =z( -z )Y( e)z( -s). (3.4.2) Hodnoty precesních parametrů s, Z, e a sklonu ekliptiky E jsou definovány Mezinárodní astronomickou unií z roku 1976:

27 s= ( " " T " T 2 ) t + ( " " 1) t tJ, z= ( " " T " T 2 ) t + ( " " 1) t tj' e = ( " " T " T 2 ) t- ( " " 1) t tj. Počítáme-li hodnoty parametrů pro epochu t 1 ze základní epochy J2000.0, pokládáme T = O a pro t platí JD(t 1 ) t = ---'-' _ Vliv notace na rovníkové souřadnice Jak jsme viděli v předchozím odstavci, nutací rozumíme periodický pohyb světového pólu Pn, kolem jeho střední polohy, kterou ve shodě s obrázkem označme Pt. Precesí a nutací ovlivněný pól se pak nazývá pravý pól. Přesto, že jde v případě reálné Země o složitý pohyb, je tento pohyb možné modelovat pomocí harmonického rozkladu do součtu konečného počtu sinusovek a kosinusovek. Veličiny, určující nutaci, máme znázorněny na obrázku Díky změně polohy světového pólu se mění i poloha rovníku. Precesí ovlivněný střední rovník r 1 se posune do polohy r a jarní bod přejde z polohy X. 1 do polohy ry>. Díky posunu rovníku se změní i sklon ekliptiky z hodnoty &1 na &. Úhlovou vzdálenost X.t ry> nazýváme nutací v ekliptikální délce a značíme ji Lllfl. Nutace ve sklonu ekliptiky se značí Ll& a platí Ll&=&- &J. Jak již bylo řečeno vyse, nutační parametry se vyjadřují pomocí harmonických rozvojů. Proto můžeme psát - podle nutační teorie IERS 1996 (International Earth Rotation and Reference Systems Service- viz [IERS, 2006]) 263 l1lfl = L(A; + A;t)sin(ARGUMENT) +A; cos(argument) i=l (3.4.3) &= L(B; + B;t)cos(ARGUMENT)+ B; sin(argument} i=l kde ARGUMENT je lineární kombinací pěti základních argumentů F.1 zvaných Delaunayovy proměnné, kterými jsou- viz obr : F 1 = l = střední anomálie Měsíce = o " t " j " ť " t 4, F2= l' = střední anomálie Slunce = " t- o.5532" r-- o.oool36" ť " l,

28 F3=F=L-il = " " r- o.oow37" ť " t 4, F 4 = D = střední elongace Měsíce od Slunce = " " r + o.oo6593" r " t, F 5 =Q = střední délka výstupního uzlu Měsíce = " " r- o.oo11o2" ť " t 4 kde L je střední délka Měsíce a t je měřeno v Juliánských stoletích od epochy , měřeno v dynamickém čase JD(t 1 ) t= dráha Měsíce pericentrum Obrázek a 3.4.4: Vliv nutace, Delaunayovy proměnné Delaunayovy proměnné jsou obdobou Keplerových elementů. Základní rovinou, ke které jsou vztaženy, je v tomto případě ekliptika, a nikoliv rovník. Pro argument pak platí ARGUMENT= LNjFj 5 I a N jsou násobné koeficienty. Několik největších koeficientů nutačního rozvoje je patrné z Tabulky nutačních veličin. Součet 263 členů v (3.4.3) obsahuje "lunisolární" nutaci, která byla donedávna pro běžné redukce dostačující. Z Tabulky je zřejmé, že největší hodnotu obsahuje člen s argumentem Q s periodou 18.62let a amplitudami 17.2" v ekliptikální délce a 9.2" v ekliptikální šířce. Pro zpracování nejpřesnějších astrometrických pozorování (technologie interferometrie s velmi dlouhými základnami) je však i tato nutace nedostačující a je nutno zavádět dalších 118 členů, majících amplitudu větší než ", působených "plane- ÚVOD DO KOSMICKÉ GEODÉZIE 178