Volba parametru averze k riziku v optimalizaci

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Eliška Janásková Volba parametru averze k riziku v optimalizaci Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D Matematika Obecná matematika Praha 2016

2 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V... dne... Podpis autora i

3 Název práce: Volba parametru averze k riziku v optimalizaci Autor: Eliška Janásková Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstrakt: Cílem této práce je studovat chování portfolia složeného z daných akcií pro různé parametry averze k riziku. Nejprve popíšeme, jaké vlastnosti by měla splňovat vhodná míra rizika a poté ukážeme, které z nich tyto vlastnosti opravdu splňují. Představíme Markowitzův model a Mean-CVaR model, které slouží k optimalizaci portfolia. Z historických dat poté pomocí Mean-CVaR modelu určíme pro dané akcie jejich zastoupení v optimálním portfoliu v závislosti na parametru averze k riziku a podíváme se, jak by si toto portfolio vedlo v následujících obdobích. Na základě těchto výpočtů budeme diskutovat výběr vhodného parametru. Klíčová slova: mean-risk modely, CVaR, míry rizika Title: Choice of the risk-aversion coefficient in optimization Author: Eliška Janásková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: doc. RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D, Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Abstract: The aim of this thesis is to study behaviour of portfolio composed of given stocks for various risk-aversion coefficients. At first, we describe desirable properties for measures of risk and show which risk measures actually satisfy them. Afterwards, we present Markowitz Mean-Variance Model and Mean-CVaR Model, which aim to select an optimal portfolio. Then, we use historical prices and Mean-CVaR model to find optimal portfolio for given stocks for different risk-aversion coefficients and study its returns in next time periods. Based on these calculations, we will discuss which coefficient values are suitable. Keywords: mean-risk models, CVaR, risk measures ii

4 Mé vřelé poděkovaní patří konzultantovi této práce RNDr. Václavu Kozmíkovi, Ph.D. za trpělivé zasvěcování do problematiky a podnětné rady a připomínky. Dále bych ráda poděkovala doc. RNDr. Ing. Miloši Kopovi, Ph.D za závěrečnou revizi celé práce. iii

5 Obsah Úvod 2 1 Teoretické pozadí Základní pojmy Vlastnosti rizika Monotonie Subaditivita Positivní homogenita Translační invariance Koherentní míra rizika Míry rizika Rozptyl Směrodatná odchylka Střední absolutní odchylka Value at Risk Conditional Value at Risk Markowitzův model Mean-CVaR Model Praktická část Linearizace úlohy Aplikace na reálná data Volba 1. portfolia Volba 2. portfolia Volba 3. portfolia Shrnutí Závěr 22 Seznam použité literatury 23 Seznam obrázků 24 Seznam tabulek 25 Přílohy 26 1

6 Úvod Představme si investora na trhu, který chce investovat své peníze do akcií na základě historických dat, která má k dispozici. Jinak by vypadalo ideální portfolio konzervativního investora, pro kterého je klíčové co nejmenší riziko a jinak portfolio investora, který chce dosáhnout většího zisku a je ochoten podstoupit vysoké riziko. Jistě existuje i mnoho mezistupňů mezi těmito dvěma extrémy. Zatímco očekávaný zisk je dobře představitelný pojem, s měřením rizika se pojí mnoho komplikací. V této práci nejprve uvedeme, jaké vlastnosti je rozumné od míry rizika požadovat a které z těchto vlastností splňují často používané míry rizika. Představíme dva modely Markowitzův (Markowitz, 1952) a Mean-CVaR (Rockafellar a Uryasev (2000), Rockafellar a Uryasev (2002)), které se k optimalizaci portfolia často využívají, a s využitím historických dat sestavíme několik optimálních portfolií. Jak už bylo zmíněno, nejvhodnější portfolio se pro různé investory může lišit v závislosti na jejich vztahu k riziku. V této práci za tímto účelem užíváme parametr λ [0,1], pomocí kterého dáváme důraz na očekávané zisky a na riziko. S rostoucí hodnotou tohoto parametru investor upřednostňuje očekávané zisky a akceptuje vyšší riziko. Nabízí se otázka, jestli je možné znalosti historických dat využít k investování do akcií v budoucnosti a předvídat jejich vývoj. V této práci nejprve sestavíme pro různé hodnoty λ a dané akcie jejich optimální zastoupení k získání nejlepšího portfolia na základě historických dat z rozmezí let a následně na začátku roku 2013 akcie v tomto zastoupení v portfoliu nakoupíme a každý půlrok situaci vyhodnotíme z hlediska očekávané výnosnosti. Také se budeme zajímat o to, zda nějaká hodnota λ trvale vykazuje nejvyšší zisky. K výpočtům využijeme softwaru R, který obsahuje všechny nezbytné funkce k jejich provedení. 2

7 1. Teoretické pozadí 1.1 Základní pojmy V této části jsou uvedeny základní pojmy, se kterými budeme dále pracovat. Cena aktiva (P) je náhodná veličina, nemá žádné předem dané rozdělení. V této práci uvažuji za cenu aktiva zavírací cenu na burze v pondělí. Všechna aktiva, se kterými se v této práci počítá, jsou americké akcie. Výplata dividend probíhá každé čvrtletí a jejich výše je srovnatelná s týdenní změnou ceny, v této práci nebudou brány v potaz, neboť je jejich vliv na cenu akcie minimální. Výnosem aktiva (R) za časové období t 1, t 2 rozumíme R = P t2 /P t1 1. Tedy pokud by P t1 = 100 Kč a P t2 = 200 Kč, výnos činí 200/100-1 = 1, jinak zapsáno 100 %. Výnos aktiva je rovněž náhodná veličina s konečnou střední hodnotou (očekávaným výnosem) a rozptylem. Očekávaný výnos je vnímán kladně a investor usiluje o co nejvyšší očekávaný výnos, zatímco přístup k rozptylu se může u investorů lišit. Riziko je oproti očekávanému výnosu vnímáno investorem negativně. Existuje několik možností, jak určit riziko, této problematice se věnuje první část práce. Investor usiluje o nízké riziko. Portfoliem rozumíme kombinaci aktiv, která slouží investorovi k navýšení zisku. Předpokládáme, že pokud investor volí mezi dvěma portfolii, zvolí to s vyšším očekávaným ziskem (výnosem), pokud jsou rizika stejná, nebo to s nižším rizikem, pokud mají stejné očekávané výnosy. Portfolio nazýváme eficientní, pokud pro danou hodnotu očekávaného zisku skýtá nejnižší riziko z dostupných portfolií pro daný očekávaný zisk, nebo naopak dává nejvyšší očekávaný zisk pro zadané riziko. V této práci se budeme zabývat eficientními portfolii a porovnávat je z hlediska výnosu. 1.2 Vlastnosti rizika V teorii portfolia předpokládáme, že investor chce maximalizovat zisk a minimalizovat riziko. Zatímco maximalizace zisku je poměrně jednoznačně určený cíl, o minimalizaci rizika se toto říci nedá. Riziko lze interpretovat mnoha různými způsoby. V této části se budeme zabývat vlastnostmi, které je rozumné po zvolené míře rizika požadovat. Definice této kapitoly pocházejí z vědeckého článku o koherentních mírách rizika (Artzner a kol., 1998). Označíme-li G množinu všech reálných náhodných výnosů, můžeme definovat míru rizika následujícím způsobem: Definice 1 (Míra rizika). Mírou rizika rozumíme zobrazení ρ : G R. Nyní můžeme přistoupit k jednotlivým vlastnostem, které budeme dále zkoumat na několika základních mírách rizika Monotonie Definice 2 (Monotonie). Nechť X, Y G. Potom míra rizika ρ je monotónní, jestliže pro všechny náhodné výnosy splňující X Y skoro jistě platí, že 3

8 ρ(y ) ρ(x). Požadavek monotonie zajišťuje, že je-li výnos aktiva Y vyšší nebo roven výnosu aktiva X skoro jistě, je aktivum X stejně rizikové, nebo rizikovější než aktivum Y. Z toho také plyne, že aktiva s nižším očekávaným výnosem jsou rizikovější Subaditivita Definice 3 (Subaditivita). Nechť X, Y G. Potom míra rizika ρ je subaditivní, jestliže pro každé X a Y platí: ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ). Požadavek subaditivity říká, že riziko portfolia složeného z více různých aktiv není vyšší, než součet rizik jednotlivých aktiv. To umožňuje určit horní hranici rizika portfolia, která bude určena součtem rizik jednotlivých akcií. Tento pojem úzce souvisí s diverzifikací portfolia, neboť mnoho investorů snižuje riziko celého porfolia tím způsobem, že jej složí z akcií, které mají pestrou škálu korelací. Z tohoto pohledu jsou ideální akcie se zápornými korelacemi, neboť pokud jedna klesá, druhá spíše roste, tedy celkový výnos portfolia se tím vyvažuje Positivní homogenita Definice 4 (Positivní homogenita). Nechť X G a λ je libovolné reálné nezáporné číslo. Potom míra rizika ρ splňuje axiom pozitivní homogenity, jestliže pro každé X a pro každé λ platí: ρ(λx) = λρ(x) Axiom pozitivní homogenity lze interpretovat tak, že zvětšíme-li portfolio λ- krát, riziko se zvýší také λ-krát, tedy nedochází k nepředvídaným změnám rizika při nákupu většího objemu aktiva Translační invariance Definice 5 (Translační invariance). Nechť X G a α je libovolné reálné číslo. Potom míra rizika ρ splňuje axiom translační invariance, jestliže pro každé X a pro každé α platí: ρ(x + α) = ρ(x) α. Tento axiom nám říká, že přidáme-li do portfolia bezrizikové aktivum, celkové riziko portfolia se tím sníží Koherentní míra rizika Spojíme-li všechny předchozí požadavky na míru rizika, získáme koherentní míru rizika: Definice 6 (Koherentní míra rizika). Uvažujme náhodné výnosy X, Y G. Funkci ρ : G R nazveme koherentní mírou rizika, pokud splňuje: 1. Monotonie: X, Y G, X Y s.j. ρ(x) ρ(y ). 2. Sub-aditivita: X, Y, X + Y G ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ). 3. Positivní homogenita: X G, λ > 0, λx G, ρ(λx) = λρ(x). 4

9 4. Translační invariance: X G, α R ρ(x + α) = ρ(x) α. S koheretními měrami rizika budeme dále pracovat. V následující části se podíváme na často používané míry rizika a na to, zda splňují požadavky koherence. 1.3 Míry rizika V předešlé části jsou popsány vlastnosti míry rizika, které je rozumné požadovat. Nyní se zaměříme na míry rizika, které připadají v úvahu, a rozebereme jejich vhodnost. Chceme ukázat, že míra rizika CVaR definována v (Rockafellar a Uryasev, 2002), se kterou dále pracujeme v praktické části, je koherentní mírou rizika a popsat, jaká úskalí skýtají jiné míry rizika Rozptyl Rozptyl je druhý centrální moment náhodné veličiny, vyjadřuje variabilitu rozdělení hodnot kolem její střední hodnoty. Je určen vztahem Var X = σ 2 = E[X EX] 2 = EX 2 (EX) 2, (1.1) kde EX je střední hodnota náhodné veličiny X. Rozptyl je dán odchylkami od střední hodnoty, avšak nerozlišuje mezi kladnými a zápornými, tedy z pohledu investora není příliš vhodným nástrojem pro měření rizika, neboť pro něj jsou negativní odchylky velkou hrozbou, kterou se snaží minimalizovat a positivní odchylky naopak vítá. Z hlediska podmínek koherentní míry rizika nesplňuje positivní homogenitu, protože z vlastností rozptylu máme, že pro náhodné výnosy X za určité časové období a reálné číslo a platí, že Var ax = a 2 Var X. Subaditivitu obecně také nesplňuje, neboť Var(X + Y ) = Var X + Var Y + 2 cov XY, (1.2) kde cov XY může nabývat i kladných hodnot. V takovém případě nerovnost subaditivity nebude platit, jak ilustruje následující příklad. Uvažujme náhodnou veličinu Y určenou pravděpodobnostmi P (Y = 0) = 1/2 a P (Y = 1) = 1/2 a náhodnou veličinu X = 2Y, v této situaci je cov XY = 1 a subaditivní nerovnost není splněna. Translační invarianci rovněž nesplňuje, neboť rozptyl konstanty je nulový a tedy Var(X + a) = Var X. Monotonie taktéž není splněna, jak ukážeme na následujícím příkladu. Zvolme X náhodnou veličinu určenou pravděpodobnostmi P (X = 0) = 1/2 a P (X = 1) = 1/2 a Y určenou pravděpodobnostmi P (Y = 2) = 1/2, P (Y = 4) = 1/2. Je vidět, že X Y skoro jistě a EX = 1/2(0 + 1) = 1/2, EY = 1/2(2 + 4) = 3. Dále dopočteme: ρ(x) = Var X = EX 2 (EX) 2 = 1/2( ) (1/2) 2 = 1/4, ρ(y ) = Var Y = EY 2 (EY ) 2 = 1/2( ) 3 2 = 10 9 = 1. Tedy ρ(x) < ρ(y ), což je v rozporu s podmínkou monotonie. Rozptyl tudíž není koherentní míra rizika. 5

10 1.3.2 Směrodatná odchylka Směrodatná odchylka je definována jako odmocnina z rozptylu. Značíme ji σ. Stejně jako rozptyl nerozlišuje mezi kladnými a zápornými odchylkami. Narozdíl od rozptylu splňuje podmínku positivní homogenity, neboť pro a 0 σ(ax) = Var ax = a 2 Var X = a Var X. Monotonie není splněna, což lze ukázat na stejném příkladu jako u rozptylu, neboť pokud odmocníme výsledné rozptyly, stále bude platit, že ρ(x) < ρ(y ), což je v rozporu s podmínkou monotonie. Subaditivita narozdíl od rozptylu splněna je. Rozepišme σ(x + Y ) = Var X + Y = Var X + Var Y + 2 cov XY. Uvažujme X, Y s korelací 1. Dostáváme, že cov XY = corr XY σ(x)σ(y ). Tedy σ(x + Y ) Var X + Var Y + 2σ(X)σ(Y ) = (σ(x) + σ(y )) 2 = = σ(x) + σ(y ). Podmínka translační invarantnosti není splněna, neboť σ(x + a) = Var(X + a) = Var X = σ(x). Směrodatná odchylka tedy rovněž není koherentní Střední absolutní odchylka Nechť mírou rizika ρ je střední absolutní odchylka, tedy ρ(x) = E X EX pro náhodné výnosy X za dané časové období. Podívejme se na její vlastnosti: Na protipříkladu ukážeme, že monotonii tato míra rizika nesplňuje. Zvolme X,Y náhodné veličiny určené pravděpodobnostmi P (X = 1) = 1/2, P (X = 2) = 1/2 a P (Y = 3) = 1/2, P (Y = 5) = 1/2. Je vidět, že X Y skoro jistě a dále platí, že EX = 1/2(1 + 2) = 3/2, EY = 1/2(3 + 5) = 4. Potom ρ(x) = E X EX = 1/2( 1 3/ /2 ) = 1/2 ρ(y ) = E Y EY = 1/2( ) = 1 Tedy pro X Y skoro jistě neplatí ρ(y ) ρ(x), což ukazuje na porušení podmínek monotonie. Subaditivita plyne z trojúhelníkové nerovnosti: ρ(x + Y ) = E X + Y E[X + Y ] = E X + Y EX EY = = E X EX + Y EY E X EX + Y EY = ρ(x) + ρ(y ) Positivní homogenita: Volme λ 0, pak platí ρ(λx) = E λx EλX = E λ(x EX) = λe X EX Tedy postivní homogenita je splněna. Translační invariance není splněna stejně jako u rozptylu a směrodatné odchylky: ρ(x + a) = E X + a E[X + a] = E X + a EX Ea = = E X EX + a a = ρ(x) ρ(x) a Střední absolutní odchylka tedy splňuje pouze dvě ze čtyř uvedených vlastností, tudíž není koherentní. 6

11 1.3.4 Value at Risk Míra rizika Value at Risk (VaR) se odlišuje od předchozích, neboť je založena na kvantilech a odlišuje negativní a pozitivní odchylky od průměru. Je definována následujícím způsobem: Definice 7 (Value at Risk). Pro α [0,1] definujeme Value at Risk VaR α na hladině 1 α pro náhodné výnosy X za určité časové období určené rozdělením P X jako VaR α (X) = inf{x P[X x] > α} (1.3) Z pohledu investora VaR α říká, jaké nejméně příznivé výnosy portfolia mu hrozí, pokud zanedbá α% nejhorších případů, tedy na hladině významnosti 1 - α. Nejčastěji se uvádí hodnoty α = 0,05, což je hodnota, se kterou budeme dále pracovat, případně α = 0,01. Je zřejmé, že pokud bude investor vyžadovat vyšší přesnost, zvolíme menší hodnotu α, pak budou vycházet nižší nejhorší výnosy, neboť nebudou zanedbány. VaR α neposkytuje žádnou informaci o rozložení zanedbaných dat. V Artzner a kol. (1998) je ukázáno, že tato míra rizika je monotónní, positivně homogenní a translačně invariantní. Ovšem není subaditivní, takže se nejedná o koherentní míru rizika. Na obrázcích (1.1, 1.2) je vidět, jak zvolená hladina 1 - α ovlivňuje hodnotu VaR α. Jsou zde vyobrazeny výnosy akcií firmy Adobe v letech Zvolíme-li α = 0,05, vyjde nám, že VaR 0.05 = Tedy, že v nejhorším případě na hladině 0,95 proděláme 5%. Pro nižší hodnotu α = 0,01 dostáváme, že VaR 0.01 = S vyšší hladinou přesnosti 0,99 je nejhorší případ ještě méně příznivý a činí propad o 9%. Pokud bychom se dívali na portfolio z hlediska ztrát, nikoliv výnosů, odpovídal by VaR α nejvyšší ztrátě při zanedbání nejhorších α%. Tento pohled využijeme u Mean-CVaR modelu. Obrázek 1.1: VaR na hladině 95% Obrázek 1.2: VaR na hladině 99% Conditional Value at Risk Conditional Value at Risk 1 (CVaR) je v součastnosti velmi používaná míra rizika, která je stejně jako VaR založena na kvantilech, ale navíc je koherentní. 1 V literatuře se používají i další značení, např. Mean Excess Loss, Mean Shortfall, případně Tail VaR. 7

12 CVaR α definujeme na hladině 1 - α jako průměrný výnos z α% nejhorších výnosů, tedy: CV ar α (X) = E[X X V ar α (X)] (1.4) Narozdíl od VaR α poskytuje CVaR α informace o rozložení zanedbaných dat na hladině 1 - α. Z obrázku (1.3) je dobře patrná souvislost mezi CVaR α a VaR α. Zvolíme - li hladinu spolehlivosti 0,95, získáme hodnotu CVaR 0,05 jako průměr z hodnot, které byly zanedbány na hladině 0,95, tedy jsou menší než VaR 0.05, což odpovídá hodnotě , tedy propadu o 7,3%. Na obrázku (1.3) je tato hodnota vyznačena černě. Stejně jako u VaR α, i na tuto míru rizika se můžeme dívat z hlediska ztrát. V takovém případě vyjadřuje CVaR α průměrnou ztrátu z α% nejvyšších ztrát. V této situaci se bude hodnota lišit znaménkem. Tuto interpretaci využijeme u Mean-CVaR modelu. Obrázek 1.3: CVaR na hladině 95% 1.4 Markowitzův model Harry Markowitz je považován za zakladatele moderní teorie portfolia. Jeho model se týká vhodného rozložení investic do portfolia a pracuje s řadou zjednodušujících předpokladů. Uvažuje ideální trh bez transakčních nákladů, neomezenou dělitelností aktiv. Obchodují na něm investoři, kteří dávají přednost větším výnosům před menšími, nižšími riziku před vyšším. Tato část čerpá z volně dostupného studijního materiálu (Dupačová). Chceme investovat do J akcií, přičemž jednotková investice do j -té z nich dává v určitém časovém období náhodnou výnosnost ρ j. Rozdělení vektoru ρ je popsáno vektorem středních hodnot E ρ = r a varianční maticí V = [cov(ρ i, ρ j )], i,j {1,..., J}. Právě kovariance jednotlivých akcií mají zásadní vliv na diversifikaci portfolia, neboť umožňují vhodnou skladbou snížít celkové riziko. Složení portfolia je určeno vahami x j, j {1,..., J}, které splňují podmínku J x j = 1. j=1 8

13 Očekávaný výnos tohoto portfolia budeme chápat jako střední hodnotu celkových očekávaných výnosů. r( x) = J x j r j = r x. (1.5) j=1 Riziko tohoto portfolia bude určeno rozptylem celkové očekávané výnosnosti: σ 2 ( x) = x V x. (1.6) V souladu s požadavky investorů definujeme portofolio s nejvhodnější skladbou aktiv: Definice 8 (Eficientní portfolio). Portfolio s váhami x je eficientní vzhledem ke střední hodnotě a rozptylu, jestliže neexistují jiné váhy x splňující podmínku J x j = 1, pro které je r( x) r( x ) a současně σ 2 ( x) σ 2 ( x ) a alespoň jedna j=1 z nerovností je ostrá. Eficientní portfolia se hledají nejčastěji řešením optimalizačních úloh. Naším cílem je minimalizovat riziko a maximalizovat zisk. Pokud si zvolíme nějaké pevné R, které nepřesahuje očekávaný výnos nejvýnosnějšího aktiva v portfoliu, jako hodnotu zisku, které chceme dosáhnout, najdeme eficientní portfolio vyřešením následující úlohy. za podmínek min x V x, (1.7) r x R (1.8) J x j = 1, (1.9) j=1 x j 0, j {1,..., J} (1.10) Hledáme tedy rozložení vektoru vah x j, pro které dostaneme portfolio s mininimálním rizikem zaručující výnos R. Poslední podmínka zakazuje tzv. shortselling, tedy výpůjčení akcií a jejich následný prodej investorům. K této operaci přistupují investoři, pokud předpokládají, že cena vypůjčené akcie v budoucnu poklesne. Pokud vyjádříme investorův vztah k riziku parametrem λ [0,1], kde vyšší hodnota λ značí vyšší averzi k riziku, získáme následující úlohu: za podmínek min (1 λ) x V x λ r x (1.11) J x j = 1, (1.12) j=1 9

14 x j 0, j {1,..., J}. (1.13) Pro λ = 0 získáme analogickou úlohu jako výše, ovšem bez omezení, které udává požadovaný výnos, pro hodnotu λ = 1 dáváme důraz jen na očekávané výnosy a riziko nebereme v potaz. Tento model bere jako míru rizika rozptyl, o kterém jsme ukázali, že není koherentní. Modernější přístup nabízí následující Mean-CVaR Model. 1.5 Mean-CVaR Model Model Mean-CVaR je ve srovnání s předchozím Markowitzovým modelem podstatně novější. Je vystavěn na riziku měřeném CVaRem, což je koherentní míra rizika, jak je popsáno dříve. Formulace Mean-CVaR modelu vychází z Rockafellar a Uryasev (2002). Na rozdíl od předchozího modelu, který pracoval s výnosy, tento model využívá ztráty, budeme zde tedy pracovat s alternativní interpretací VaR α a CVaR α pro ztráty. Opět uvažujme investici do J aktiv, vektor x = (x 1,..., x J ) takových, že J x j = 1, x j 0, j J značí zastoupení jednotlivých akcií v portfoliu, náhodné j=1 vektory výnosů r = (r 1,..., r J ), kde r j, j J, značí výnos j -tého aktiva za dané časové období. Nyní můžeme spočíst ztrátu z( x, r) portfolia x jako z( x, r) = [x 1 r x J r J ] = x r (1.14) Označme r k = (r k1,..., r kj ) vektor výnosů J akcií podle k-tého scénáře, které jsou v této práci brány z historických dat. Náhodný vektor r nabývá hodnot r k s pravděpodobností p k. Pravděpodobnost, že tato ztráta nepřesáhne danou hranici β lze popsat funkcí h( x,β) = P[z( x, r) β] = k:z( x, r k ) β p k. (1.15) Nyní můžeme vyjádřit hodnoty VaR a CVaR tohoto portfolia vztahy: V ar α ( x r) = min {β R : h( x,β) 1 α} (1.16) CV ar α ( x r) = α 1 z( x, r k )p k, (1.17) k:z( x, r k ) V ar α( x)) kde 1 - α je předen daná hladina spolehlivosti. Podle Rockafellar a Uryasev (2002) lze úlohu minimalizace míry rizika CVaR popsat následujícím způsobem: min x CV ar α ( x r) = min x,β F α( x, β), (1.18) kde funkce F α ( x, β) je určena vztahem q F α ( x, β) = β + α 1 [z( x, r k ) β] + p k. (1.19) k=1 10

15 Symbol [a] + značí kladnou část čísla a, je určen vztahem a + = max{0, a}. Uvažujeme-li, že všechny scénáře mají stejnou pravděpodobnost, dostáváme F α ( x, β) = β + 1 qα q [z( x,r k ) β] +. (1.20) Číslo q značí počet scénářů, které získáme z historických dat. Výsledný model lze tedy zapsat v následujícm tvaru: k=1 za podmínek min x,β β + 1 qα q [z( x, r k ) β] + (1.21) k=1 r x R (1.22) J x j = 1, (1.23) j=1 x j 0, j {1,..., J} (1.24) Stejně jako u Markowitzova modelu lze i do tohoto promítnout investorův vztah k riziku, který je znázorněn parametrem λ [0,1]. Úloha je potom formulována následujícím způsobem: za podmínek 1 min(1 λ)(β + x,β qα q [ x r k β] + ) + λ 1 q k=1 q x r k (1.25) k=1 J x j = 1, (1.26) j=1 x j 0, j {1,..., J} (1.27) 11

16 2. Praktická část V této části se budeme zabývat Mean-CVaR modelem. V předchozí kapitole jsme uvedli dvě možné formulace tohoto modelu, jedna zaručovala dosažení hladiny R, která nepřekračovala očekávaný výnos nejvýnosnější akcie, druhá zohledňovala investorův vztah k riziku. V této kapitole budeme pracovat s parametrem λ [0,1], kterým položíme důraz na riziko a výnosy. Pro vysoké hodnoty λ klade investor větší důraz na očekávané výnosy. Budeme hledat vhodná portfolia pro různé konvexní kombinace rizika a výnosů, toho dosáhneme řešením úlohy (1.25) za podmínek (1.26) a (1.27). 2.1 Linearizace úlohy Úlohu (1.25) za podmínek (1.26) a (1.27) je třeba převést do tvaru úlohy lineárního programování, aby ji bylo možné vyřešit simplexovým algoritmem, který je k dispizici ve formě balíčku k výpočetnímu prostřední softwaru R, ve kterém budou prováděny výpočty. Požadovaný tvar by měl být následující: za podmínek min c y (2.1) A 1 y b 1 (2.2) A 2 y = b 2 (2.3) y j 0, j {1,..., N} (2.4) Je tedy třeba najít takový vektor proměnných y a takový vektor hodnot c, aby jejich skalární součin c y dával požadovanou funkci. Navíc bude nutné přidat další skluzové proměnné, aby všechna omezení šla zapsat maticí (viz Dupačová a Lachout (2011)). Nejprve vzorec přepíšeme do následujícího tvaru: kde jsme volili (1 λ)β + (1 λ) 1 qα q u k + λ 1 q k=1 q v k, (2.5) k=1 v k = x r k (2.6) u k = [v k β] + (2.7) Proměnná v k může nabývat jak kladných, tak záporných hodnot, takže ji zapíšeme jako rozdíl kladné části [v k ] + a záporné části [v k ], v k = [v k ] + [v k ], které obě splňují požadavek nezápornosti. Nyní můžeme původní úlohu zapsat ve tvaru skalárního součinu vektorů y a c: y = (x 1,..., x J, [β] +, [β], u 1,..., u q, [v 1 ] +,..., [v q ] +, [v 1 ],..., [v q ] ) (2.8) 12

17 c = (0, 0,..., 0,1 λ, λ 1, 1 λ qα,...,1 λ qα,λ q,..., λ q, λ q Omezení, která musíme vzít v potaz, jsou následující:,..., λ q ) (2.9) J x j = 1, (2.10) j=1 [v k ] + [v k ] + x r k = 0, k {1,..., q} (2.11) u k [v k ] + + [v k ] + β + β 0, k {1,..., q} (2.12) kde k značí jednotlivé diskrétní scénáře a x j, j {1,..., J} značí procentuální zastoupení j-té akcie v portfoliu. Všechny proměnné, které figurují v úloze, jsou nyní nezáporné, což má většina optimalizačních programů zabudováno implicitně, takže to není třeba v matici zohledňovat. Tím získáme požadované matice A 1 a A 2 : A 1 = x 1... x J [β] + [β] u 1 u 2... u q [v 1 ] + [v 2 ] +... [v q ] + [v 1 ] [v 2 ] +... [v q ] (2.13) x 1... x J [β] + [β] u 1 u 2... u q [v 1 ] + [v 2 ] +... [v q ] + [v 1 ] [v 2 ] +... [v q ] r r 1J r r 2J A 2 = r q1... r qj Vektory b 1 a b 2 nabývají následujících hodnot: (2.14) b 1 = (0, 0, 0,..., 0, 0) (2.15) b 2 = (0, 0, 0,..., 0, 1) (2.16) 2.2 Aplikace na reálná data V předchozí části jsme úlohu linearizovali, abychom ji mohli vyřešit ve výpočetním softwaru R (R Core Team, 2015), konkrétně R studiu (RStudio Team, 2015). V této části budeme pracovat s reálnými daty, která získáme z webového portálu Yahoo Finance. Vybereme několik akcií a najdeme pomocí Mean-CVaR modelu nejvhodnější váhy pro portfolio z nich složené. K tomuto účelu využijeme časového období od počátku roku 2003 do konce roku Budeme pracovat se zavírací cenou každý pondělní večer očištěnou o splity a dividendy. Napočítáme 13

18 výnosy v rámci každého týdne, použijeme tato historická data jako diskrétní scénáře a na jejich základě určíme výpočetním algoritmem nejvhodnější rozložení těchto akcií v optimálním portfoliu. Následně spočítaných vah využijeme k tomu, abychom zjistili, jak by si toto portfolio vedlo v následných obdobích. Na začátku roku 2013 nakoupíme akcie v požadovaném poměru a vyhodnotíme výnos portfolia v polovině roku 2013, na začátku roku 2014, v polovině roku 2014, na začátku roku 2015, v polovině roku 2015 a na začátku roku Jak už bylo zmíněno na začátku, vyplácené dividendy v této práci nebereme v potaz, neboť jsou vypláceny 4x do roka a v porovnání s průměrnými změnami kurzu akcií jsou zanedbatelné. Ve výpočetním softwaru R využijeme balíčku linprog a výše zmíněného přepisu na úlohu lineárního programování. Naším cílem je zjistit, jak se portfolio mění v závislosti na investorově averzi k riziku, která je reprezentována parametrem λ. Budeme postupně uvažovat hodnoty λ = 0, 0.05, 0.1, 0.15,..., 0.95, 1. Nyní následuje ukázka několika portfolií a výpočty optimálního rozložení akcií v nich obsažených. Akcie v portfoliích byly náhodně zvoleny tak, aby splňovaly různorodost korelací a neznamenaly příliš vysoký nárůst v testovacím období (např. výnos akcií Apple činil v tomto období 70 %, což je z dlouhodobého hlediska nerealistické a neudržitelné a mohlo by to zkreslovat výsledky) Volba 1. portfolia Uvažujme akcie Bank of America Corporation (BAC), The Coca-Cola Company (KO), Energy Transfer Partners, L.P. (ETP), The Gap, Inc. (GPS), Johnson & Johnson (JNJ) a Pfizer Inc. (PFE). V tabulce (2.1) jsou uvedeny základní charakteristiky vývoje jejich cen. Nákup byl proveden na počátku roku 2013, od té doby akcie bez přestání vlastníme a vyhodnocujeme stav za celé mezidobí. Očekávanými výnosy je myšlen průměr týdenních výnosů. Na začátku roku 2013, kdy jsme akce virtuálně kupovali, bychom tyto charakteristiky samozřejmě neznali, ovšem takto zpětně na jejich základě můžeme posuzovat různé aspekty volby portfolia. Z tabulky (2.1) je patrné, že akcie JNJ měla nejnižší CVaR 0.05 jak v testovacím období, tak i ve všech následných, tedy se zdá být stabilní. Oproti tomu akcie BAC, která z testovacího období vyšla nejhůře, si v následných obdobích polepšila, zatímco akcie ETP a GPS se propadly až za ni. Co se týče očekávaných výnosů, situace je proměnlivá a hodně záleží na jednotlivých obdobích. Favorit z testovacího období akcie ETP je na počátku roku 2016 dokonce v záporu. Situace v reálných obdobích se tedy od té testovací odlišuje, což se jistě projeví na výsledcích. Tabulka (2.2) znázorňuje korelace jednotlivých akcií. Jak jsme zmiňovali u axiomu subaditivity, vhodnou skladbou portfolia se dá významně snížit riziko jeho ztráty. Kdyby byla míra korelací příliš blízká číslu 1, znamenalo by to, že vývoj těchto akcií spolu úzce souvisí, což není pro diversifikaci přínosem. Ideální jsou korelace blízké 0, které značí nízkou závislost, a záporné korelace. Tyto akcie by tedy měly být z tohoto hlediska vhodné. V grafech (2.1, 2.2) jsou znázorněny výnosy v závislosti na parametru λ. Nejprve vidíme srovnání dat, na kterých byla provedena optimalizace s budoucími 14

19 Tabulka 2.1: CVaR 0.05 a očekávané zisky BAC KO ETP GPS JNJ PFE CVaR , , , , , ,07095 do , , , , , ,04994 do , , , , , ,04693 do , , , , , ,05557 do , , , , , ,05074 do , , , , , ,04878 do , , , , , ,04956 Očekávané výnosy , , , , , ,00102 do , , , , , ,00313 do , , , , , ,00369 do , , , , , ,00275 do , , , , , ,00254 do , , , , , ,00291 do , , , , , ,00193 Tabulka 2.2: Korelace akcií BAC KO ETP GPS JNJ PFE BAC 1,000-0,063 0,033-0,044 0,007 0,034 KO -0,063 1,000 0,344 0,350 0,493 0,432 ETP 0,033 0,344 1,000 0,236 0,276 0,228 GPS -0,044 0,350 0,236 1,000 0,267 0,302 JNJ 0,007 0,493 0,276 0,267 1,000 0,520 PFE 0,034 0,432 0,228 0,302 0,520 1,000 obdobími. Druhý graf podrobněji porovnáná jednotlivá období. Obrázek 2.1: Očekávání vs. realita Obrázek 2.2: Detail budoucích období Z obrázku (2.1) vyplývá, že v testovacích datech nastal prudký nárůst výnosů nad hodnotami λ = U následných budoucích dat to však není pravidlem a na začátku roku 2016 dokonce zisk pro vysoké hodnoty λ prudce klesá, což s přihlédnutím k tabulce (2.1) dává dobrý smysl, neboť je v ní patrný pokles očekávaných výnosů v závěru tohoto období. Je vidět, že do poloviny roku 2013 se 15

20 akciím příliš nedařilo, až do počátku roku 2015 se situace vytrvale zlepšovala, aby se během roku 2015 opět zhoršila a to do takové míry, že důraz na očekávané výnosy nebyl tou nejlepší strategií. Zde je také vidět největší odchýlení od předpokládaného vývoje na základě historického modelu. Graf na obrázku (2.3) znázorňuje zastoupení jednotlivých akcií v optimálním portfoliu v závislosti na parametru λ. Obrázek 2.3: Zastoupení akcií v portfoliu v závislosti na parametru λ Zatímco pro velký důraz na riziko (nízké hodnoty λ) je portfolio velmi různorodé, s narůstajícím důrazem na očekávané výnosy akcií ubývá, až zbyde jen jediná, a to ETP, která slibuje nejvyšší očekávaný výnos v historických datech. S rostoucím zastoupení této akcie v portfoliu tak logicky dáváme větší důraz na očekávané výnosy, což jasně vysvětluje propad v (2.2), neboť tato akcie si na konci roku 2015 výrazně pohoršila a vzhledem k tomu, že pro vysoké hodnoty λ měla v portfoliu velkou váhu, stáhla ho s sebou do záporných hodnot. Pro úplnost ještě v příloze uvádíme tabulku (2.7), kde jsou uvedeny přesné hodnoty rozložení akcií v portfoliu a následné výnosy v závislosti na parametru λ a histogramy četností výnosů jednotlivých akcií, které jsou v tomto portfoliu zastoupeny (2.8) Volba 2. portfolia Uvažujme akcie Citigroup Inc. (C), Netflix, Inc. (NFLX), Berkshire Hathaway Inc. (BRK-A), Companhia Paranaense de Energia - COPEL (ELP), MKS Instruments, Inc. (MKSI) a index S&P 500. V tabulce (2.3) jsou uvedeny základní charakteristiky vývoje jejich cen. Z tabulky (2.3) je vidět, že akcie BRK-A a index S&P mají stabilně velmi nízký CVaR 0.05, akcie NFLX a ELP ho udržují vysoký, akcie C a MKSI si oproti testovacímu období polepšily. Co se týče očekávaných výnosů, jasným favoritem ve všech obdobích je NFLX. Na počátku vypadala slibně akcie ELP, která je na tom v závěru nejhůře. Kdyby v portfoliu nefigurovala akcie NFLX, nejspíš by se zopakovala situace z minulého portfolia, kde by sázka na akcii s nejvyšším očekávaným výnosem skončila v závěru fiaskem. Tabulka (2.4) znázorňuje korelace jednotlivých akcií. 16

21 Tabulka 2.3: CVaR 0.05 a očekávané zisky C NFLX BRK-A ELP MKSI S&P 500 CVaR , , , , , ,05984 do , , , , , ,02112 do , , , , , ,02109 do , , , , , ,02376 do , , , , , ,02791 do , , , , , ,02804 do , , , , , ,03998 Očekávané výnosy , , , , , ,00122 do , , , , , ,00421 do , , , , , ,00440 do , , , , , ,00398 do , , , , , ,00336 do , , , , , ,00275 do , , , , , ,00185 Tabulka 2.4: Korelace akcií C NFLX BRK-A ELP MKSI S&P 500 C 1,000 0,019-0,015-0,067-0,036-0,045 NFLX 0,019 1,000 0,126 0,097 0,313 0,316 BRK-A -0,015 0,126 1,000 0,286 0,296 0,558 ELP -0,067 0,097 0,286 1,000 0,301 0,524 MKSI -0,036 0,313 0,296 0,301 1,000 0,601 S&P 500-0,045 0,316 0,558 0,524 0,601 1,000 Korelace jsou poměrně různorodé a nevykazují žádné závažnější závislosti, z toho hlediska je tedy skladba portfolia příznivá. V grafech na obrázcích (2.4, 2.5) jsou opět znázorněny výnosy v závislosti na parametru λ. Z obrázku (2.4) vyplývá, že v historických testovacích datech nastal prudký nárůst výnosů nad hodnatami λ = 0.8. Následná data tento trend poměrně věrně kopírují. Až na výjimku ve 2. polovině roku 2015 navíc se s prodlužující se délkou období čím dál víc blíží testovacím datům. Model vytvořený z testovacích dat v tomto případě funguje velmi dobře, což je zásluhou vyrovnaných nejvyšších očekávaných výnosů akcie NFLX, která vyrovnala i nečekaný pokles akcie ELP. Graf na obrázku (2.6) znázorňuje zastoupení jednotlivých akcií v optimálním portfoliu v závislosti na parametru λ. Z měnícího se rozložení portfolia můžeme vidět, že pro nízkou averzi k riziku (malé hodnoty λ) je portfolio složeno ze 4 akcií, přičemž převažují akcie BRK-A a index S&P 500, což koresponduje s tím, že mají nejnižší CVaR S rostoucí hodnotou λ ustupuje na rozdíl od akcie BRK-A index S&P 500 do pozadí, neboť slibuje menší očekávané výnosy. Naopak až pro vysoké hodnoty λ se dostává ke slovu akcie NFLX, která vládne očekávaným výnosům, ovšem z hlediska rizika není dobrou volbou. V příloze je opět uvedena tabulka (2.9), kde jsou uvedeny 17

22 Obrázek 2.4: Očekávání vs. realita Obrázek 2.5: Detail budoucích období Obrázek 2.6: Zastoupení akcií v portfoliu v závislosti na parametru λ přesné hodnoty rozložení akcií v portfoliu a následné výnosy v závislosti na parametru λ a histogramy četností výnosů jednotlivých akcií, které jsou v tomto portfoliu zastoupeny (2.10) Volba 3. portfolia Uvažujme akcie Boston Scientific Corporation (BSX), NIKE, Inc. (NKE), CA, Inc. (CA), General Electric Company (GE), International Business Machines Corporation (IBM) a Vulcan Materials Company (VMC). V tabulce (2.5) vidíme základní charakteristiky. Tabulka (2.5) ukazuje, že rozmezí bylo z hlediska CVaRu méně příznivé, neboť i akcie BSX s nejhorším CVaR 0.05 se na následných datech dotáhla k ostatním. Co se týče očekávaných výnosů, stabilně velmi dobře v porovnání s ostatními akciemi si vede akcie NKE. Příjemným překvapení je akcie BSX, která si v historických testovacích datech vedla špatně a zaznamenala obrovský skok k lepšímu, zejména v 1. polovině roku 2013 a své prvenství s přehledem uhájila v následujících vyhodnocovacích meznících. Protože si však nevedla dobře v historických datech, investor, který by založil své portfolio na základě závěru z konce roku 2012 by z toho nečekaného obratu příliš neprofitoval. Nejhůře je na tom jednoznačně akcie IBM, která byla v původním období nadprůměrná, 18

23 Tabulka 2.5: CVaR 0.05 a očekávané zisky BSX NKE CA GE IBM VMC CVaR , , , , , ,11563 do , , , , , ,06145 do , , , , , ,06009 do , , , , , ,06514 do , , , , , ,06339 do , , , , , ,06227 do , , , , , ,06851 Očekávané výnosy , , , , , ,00279 do , , , , , ,00506 do , , , , , ,00232 do , , , , , ,00275 do , , , , , ,00258 do , , , , , ,00445 do , , , , , ,00356 avšak s blížícím se počátkem roku 2016 si vedla stále hůře. Protože však nepatří ke špičce tohoto portfolia, co se týče očekávaných výnosů, investorovi by tento propad neměl způsobit závažnější potíže. Tabulka 2.6: Korelace akcií BSX NKE CA GE IBM VMC BSX 1,000-0,016-0,081-0,015-0,058-0,031 NKE -0,016 1,000 0,436 0,463 0,503 0,409 CA -0,081 0,436 1,000 0,453 0,537 0,490 GE -0,015 0,463 0,453 1,000 0,479 0,525 IBM -0,058 0,503 0,537 0,479 1,000 0,440 VMC -0,031 0,409 0,490 0,525 0,440 1,000 Korelace se opět příliš neblíží hodnotě 1, jsou zde i záporné, takže celková skladba portfolia by měla být vhodná. V grafech na obrázcích (2.7, 2.8) jsou znázorněny výnosy v závislosti na parametru λ. Z grafu (2.8) je vidět, že s nárustající délkou období se přibližujeme grafu napozorovaném v období Výnosnost portfolia pro důraz na riziku je konstantní, až pro vyšší hodnoty parametru λ nastává nárůst výnosnosti. Za tento trend vděčíme tomu, že nejvýnosnější akcie si udržela očekávané výnosy, narozdíl od akcie IBM, která by z pozice původně nejvýnosnější akcie stáhla výnos portfoliu do záporu, kdyby byla v její roli. Graf na obrázku (2.9) znázorňuje zastoupení jednotlivých akcií v optimálním portfoliu v závislosti na parametru λ. V zastoupení akcií celou dobu chybí akcie GE, což je pochopitelné, neboť skýtá nejnižší očekávané výnosy a nepříliš dobrý CVaR S důrazem na očekávané 19

24 Obrázek 2.7: Očekávání vs. realita Obrázek 2.8: Detail budoucích období Obrázek 2.9: Zastoupení akcií v portfoliu v závislosti na parametru λ výnosy opět nabývá na důležitosti akcie NKE, jak jsme předpokládali na základě tabulky (2.5). V příloze je opět uvedena tabulka (2.11), kde jsou uvedeny přesné hodnoty rozložení akcií v portfoliu a následné výnosy v závislosti na parametru λ a histogramy četností výnosů jednotlivých akcií (2.12), které jsou v tomto portfoliu zastoupeny Shrnutí Z vývoje jednotlivých portfolií vidíme, že pro hodnoty λ < 0,6 se výnos portfolia prakticky nelišil. U 1. portfolia změna nastala při překročení hodnoty λ = 0,6, což je moment, kdy se zastoupení akcie s nejvyšším očekávaným výnosem ETP poprvé zvýšilo. Tato hodnota byla často zlomová i pro následný vývoj tohoto portfolia. Z porovnání výnosů napříč obdobími vychází nejlépe hodnota λ = 0,8. I u 2. portfolia vývoj zisku úzce souvisí se zastoupením akcie s nejvyšším očekávaným výnosem. Ve chvíli, kdy se v portfoliu významněji objevila akcie NFLX, což nastalo pro λ = 0,65, zaznamenáváme nárůst zisku, který je přímo úměrný nárůstu zastoupení této akcie v portfoliu. Díky stabilitě Netflixu v následných obdobích se tento trend udržel. V případě 3. portfolia znatelnější změna nastala až pro λ = 0,9, neboť akcie s nejvyšším očekávaným výnosem NKE se v portfoliu rozrostla až pro tyto hodnoty. Vývoj zisku portfolia v budoucnosti se od toho 20

25 modelu příliš neodchýlil. Na základě těchto experimentů bych doporučila hodnotu λ = 0,8, pokud víme, že portofolio má vysokou volatilitu. Pro portfolio složené ze stabilních akcií bych zvolila hodnotu λ = 1. Pokud nemáme informace o volatilitě portfolia k diskpozici, doporučila bych jako kompromis mezi oběma situacemi hodnotu λ = 0,9 neboť i v nejméně příznivém případě bychom netratili a v ostatních by nám přinesla vysoký výnos. Už jsme několikrát zmiňovali, že není příliš moudré investovat do portfolia, které obsahuje pouze jednu akcii. Pro tuto hodnotu λ se všechna portfolia skládala z alespoň čtyřech akcií, což také mluví v její prospěch. 21

26 Závěr Práce se zabývala volbou optimální hodnoty parametru λ, který určuje investorův vztah k riziku. Vyzkoušeli jsme postupně 3 porfolia. Na základě historických dat do roku 2012 jsme napočítali optimální rozložení akcií v portfoliu pro různé hodnoty λ a následně jsme zkoumali, jak se tato portfolia chovají v období Na základě těchto výpočtů bych doporučila hodnotu λ = 0,9, která ve většině případů zaručovala vysoký výnos portfolia a zároveň se pro tuto hodnotu portfolio vždy skládalo alespoň ze 4 akcií. V jediném případě, kde nastal velký propad akcie s nejvyšším očekávaným výnosem v minulosti, se pro tuto hodnotu zisk portfolia stále udržel v kladných hodnotách díky své celkové skladbě. V této situaci sehrála důležitou roli diversifikace portfolia, které se pro hodnotu λ = 0,9 skládalo ze 4 akcií, takže propad jedné akcie byl vyvážen ostatními a celkový dopad na portfolio nebyl tak zásadní. Pokud bychom měli k dispozici informace o volatilitě akcií v portfoliu, volila bych hodnotu λ = 1 pro stabilní akcie a hodnotu λ = 0,8 pro volatilní akcie. Ve většině případů vývoj zisku portfolia v závislosti na parametru λ poměrně věrně kopíroval jeho vývoj v minulosti, a to i přes měnící se hodnoty rizika a očekávaných zisků jednotlivých akcií. Tento model je tedy vhodný využít na historická data a na základě jeho závěrů se rozhodovat. Pro přesnější závěry by bylo potřeba provést další pozorování a experimenty. Bylo by možné uvažovat více akcií v portfoliu, zkoušet různá časová období, případně vzít akcie z jiného trhu. Také by se daly uvažovat i spojité modely místo diskrétních scénářů z historických dat. Zároveň by se mohlo zkoumat, o kolik se liší výnos portfolia na historických testovacích datech oproti skutečnosti, na čem tato odlišnost závisí a zda by se dala předvídat. 22

27 Seznam použité literatury Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J. M. a Heath, D. (1998). measures of risk. Mathematical Finance, 9, Coherent Dupačová, J. Markowitzův model, optimální volby portfolia, předpoklady, data, alternativy. URL Markowitz.pdf. Dupačová, J. a Lachout, P. (2011). Úvod do optimalizace. MATFYZPRESS. Markowitz, H. (1952). Porfolio selection. The Journal of Finance, 7(1), R Core Team (2015). R: A Language and Environment for Statistical Computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL Rockafellar, R. T. a Uryasev, S. (2000). Optimization of conditional valueat-risk. Journal of Risk, 2(3), Rockafellar, R. T. a Uryasev, S. (2002). Conditional value-at-risk for general loss distributions. Journal of Banking & Finance, page RStudio Team (2015). RStudio: Integrated Development Environment for R. RStudio, Inc., Boston, MA. URL 23

28 Seznam obrázků 1.1 VaR na hladině 95% VaR na hladině 99% CVaR na hladině 95% Očekávání vs. realita Detail budoucích období Zastoupení akcií v portfoliu v závislosti na parametru λ Očekávání vs. realita Detail budoucích období Zastoupení akcií v portfoliu v závislosti na parametru λ Očekávání vs. realita Detail budoucích období Zastoupení akcií v portfoliu v závislosti na parametru λ

29 Seznam tabulek 2.1 CVaR 0.05 a očekávané zisky Korelace akcií CVaR 0.05 a očekávané zisky Korelace akcií CVaR 0.05 a očekávané zisky Korelace akcií Váhy akcií v 1. portfoliu a následné výnosy Histogram výnosů jednotlivých akcií v 1. portfoliu Váhy akcií ve 2. portfoliu a následné výnosy Histogram výnosů jednotlivých akcií ve 2. portfoliu Váhy akcií ve 3. portfoliu a následné výnosy Histogram výnosů jednotlivých akcií ve 3. portfoliu

30 Přílohy Tabulka 2.7: Váhy akcií v 1. portfoliu a následné výnosy Váhy Výnos portfolia λ BAC KO ETP GPS JNJ PFE t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 0 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,05 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,1 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,15 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,2 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,25 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,3 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,35 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,4 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,45 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,5 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,55 0,069 0,172 0,068 0,052 0,525 0,114 0,979 0,188 0,290 0,404 0,446 0,398 0,323 0,6 0,069 0,190 0,068 0,052 0,514 0,107 0,990 0,187 0,286 0,401 0,442 0,393 0,320 0,65 0,065 0,190 0,116 0,054 0,510 0,066 1,245 0,190 0,288 0,408 0,458 0,390 0,295 0,7 0,066 0,213 0,120 0,057 0,472 0,072 1,276 0,186 0,282 0,398 0,449 0,381 0,282 0,75 0,066 0,213 0,120 0,057 0,472 0,072 1,276 0,186 0,282 0,398 0,449 0,381 0,282 0,8 0,076 0,126 0,155 0,104 0,443 0,096 1,414 0,194 0,293 0,405 0,467 0,390 0,241 0,85 0,073 0,189 0,179 0,096 0,400 0,063 1,571 0,189 0,282 0,394 0,460 0,373 0,222 0,9 0,051 0,301 0,331 0,000 0,317 0,000 2,343 0,161 0,257 0,378 0,473 0,350 0,174 0,95 0,065 0,285 0,589 0,060 0,000 0,000 3,611 0,145 0,237 0,340 0,499 0,311-0, ,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 5,498 0,140 0,267 0,404 0,646 0,366-0,195 26

31 Tabulka 2.8: Histogram výnosů jednotlivých akcií v 1. portfoliu 27

32 Tabulka 2.9: Váhy akcií ve 2. portfoliu a následné výnosy Váhy Výnos portfolia λ C NFLX BRKA ELP MKSI S&P 500 t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 0 0,131 0,000 0,368 0,055 0,000 0,445 0,857 0,137 0,226 0,312 0,425 0,391 0,251 0,05 0,129 0,001 0,366 0,060 0,000 0,444 0,889 0,135 0,226 0,312 0,424 0,391 0,250 0,1 0,129 0,004 0,384 0,057 0,000 0,426 0,927 0,142 0,233 0,324 0,435 0,411 0,275 0,15 0,128 0,005 0,396 0,057 0,000 0,414 0,957 0,145 0,236 0,331 0,441 0,421 0,287 0,2 0,127 0,005 0,397 0,058 0,000 0,412 0,964 0,144 0,235 0,329 0,440 0,419 0,284 0,25 0,127 0,005 0,397 0,058 0,000 0,412 0,964 0,144 0,235 0,329 0,440 0,419 0,284 0,3 0,123 0,001 0,383 0,072 0,000 0,422 0,967 0,134 0,222 0,313 0,424 0,390 0,246 0,35 0,123 0,001 0,383 0,072 0,000 0,422 0,967 0,134 0,222 0,313 0,424 0,390 0,246 0,4 0,118 0,000 0,379 0,082 0,000 0,421 1,007 0,130 0,217 0,308 0,418 0,381 0,233 0,45 0,120 0,006 0,396 0,072 0,000 0,406 1,049 0,141 0,231 0,329 0,436 0,416 0,277 0,5 0,120 0,006 0,396 0,072 0,000 0,406 1,049 0,141 0,231 0,329 0,436 0,416 0,277 0,55 0,124 0,010 0,396 0,070 0,000 0,400 1,088 0,145 0,239 0,341 0,444 0,436 0,301 0,6 0,118 0,013 0,401 0,090 0,000 0,378 1,243 0,144 0,239 0,348 0,444 0,445 0,307 0,65 0,114 0,020 0,398 0,108 0,000 0,360 1,436 0,146 0,248 0,367 0,451 0,473 0,337 0,7 0,114 0,022 0,399 0,112 0,000 0,354 1,484 0,147 0,251 0,373 0,453 0,482 0,346 0,75 0,113 0,031 0,408 0,125 0,000 0,323 1,680 0,153 0,263 0,397 0,466 0,520 0,389 0,8 0,113 0,040 0,424 0,137 0,000 0,286 1,879 0,162 0,277 0,425 0,483 0,564 0,439 0,85 0,108 0,085 0,480 0,162 0,000 0,165 2,692 0,211 0,358 0,569 0,575 0,795 0,709 0,9 0,087 0,175 0,481 0,257 0,000 0,000 4,498 0,281 0,508 0,843 0,720 1,223 1,202 0,95 0,000 0,452 0,000 0,548 0,000 0,000 9,869 0,446 0,982 1,681 1,079 2,508 2, ,000 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 15,324 1,222 2,279 3,663 2,445 5,719 6,698 Tabulka 2.10: Histogram výnosů jednotlivých akcií ve 2. portfoliu 28